时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b ；当a ≥e 2
时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . 4．已知函数F (x )＝e x ＋sin x －ax ，当x ≥0时，函数y ＝F (x )的图象恒在y ＝F (－x )的图象上方，求实数a 的取值范围．
解：设φ(x )＝F (x )－F (－x )＝e x －e －
x ＋2sin x －2ax .
则φ′(x )＝e x ＋e －x ＋2cos x －2a .
设S (x )＝φ″(x )＝e x －e －x －2sin x .
∵S ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0在x ≥0时恒成立，
∵函数S (x )在[0，＋∞)上单调递增，
∵S (x )≥S (0)＝0在x ∵[0，＋∞)时恒成立，
因此函数φ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，
∵φ′(x )≥φ′(0)＝4－2a 在x ∵[0，＋∞)时恒成立．
当a ≤2时，φ′(x )≥0，
∵φ(x )在[0，＋∞)单调递增，即φ(x )≥φ(0)＝0.
故a ≤2时F (x )≥F (－x )恒成立．
当a >2时，φ′(x )<0，又∵φ′(x )在[0，＋∞)单调递增，
∵存在x 0∵(0，＋∞)，使得在区间[0，x 0)上φ′(x )<0.
则φ(x )在[0，x 0)上递减，而φ(0)＝0，
∵当x ∵(0，x 0)时，φ(x )<0，这与F (x )－F (－x )≥0对x ∵[0，＋∞)恒成立不符，
∵a >2不合题意．
综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．
5．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝a x
，a 为实常数． (1)设F (x )＝f (x )－g (x )，当a >0时，求函数F (x )的单调区间；
(2)当a ＝－e 时，直线x ＝m ，x ＝n (m >0，n >0)与函数f (x )，g (x )的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m －1)(n －1)<0.
解：(1)F (x )＝e x －a x
，其定义域为(－∞，0)∵(0，＋∞)． 而F ′(x )＝e x ＋a x 2， 当a >0时，F ′(x )>0，
故F (x )的单调递增区间为(－∞，0)∵(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)证明：因为直线x ＝m 与x ＝n 平行，
故该四边形为平行四边形等价于f (m )－g (m )＝f (n )－g (n )且m >0，n >0，m ≠n .
当a ＝－e 时，F (x )＝f (x )－g (x )＝e x ＋e x
， 则F ′(x )＝e x －e x 2.设h (x )＝F ′(x )＝e x －e x 2(x >0)， 则h ′(x )＝e x ＋2e x 3>0， 故F ′(x )＝e x －e x 2在(0，＋∞)上单调递增． 又F ′(1)＝e －e ＝0，
故当x ∵(0,1)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；
当x ∵(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，
而F (m )＝F (n )，
故0所以(m －1)(n －1)<0.
高中数学导数精选题目(附答案)
高中数学导数精选题目（附答案）(1)函数的单调性与其导数正负的关系 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调 性 f′(x)>0单调递增 f′(x)<0单调递减 f′(x)＝0常数函数 (2) 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对 值 函数值变化函数的图象 越大快比较“陡峭”(向上或向 下) 越小慢比较“平缓”(向上或向 下) (3) ①极小值点与极小值 如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． ②极大值点与极大值 函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． ③极值点与极值 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． (4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值． ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (6)函数最值的求法 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？ 答：f(x)为常数函数，不具有单调性． (8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件． (9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？ 答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)； 单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．
高中数学导数的典型例题
高中数学导数的典型例题 题型一 利用二次求导求函数的单调性 【典例1】 若函数f (x )＝sin x x ，00时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )单调递减． 【解析】由f (x )＝sin x x ，得f ′(x )＝x cos x －sin x x 2 ， 设g (x )＝x cos x －sin x ， 则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x . ∵0f (x 2)，即a >b . 【方法归纳】 从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′(x )＝x cos x －sin x x 2 的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题． 【变式训练】 1．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12 x 2，求f (x )的解析式及单调区间． 解：因为f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12 x 2， 所以f ′(x )＝f ′(1)e x － 1－f (0)＋x . 令x ＝1，得f (0)＝1. 所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12 x 2， 所以f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e. 所以f (x )＝e x －x ＋12 x 2. 设g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ， 则g ′(x )＝e x ＋1>0，所以y ＝g (x )在R 上单调递增． 因为f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0＝f ′(0)∵x >0，f ′(x )<0＝f ′(0)∵x <0. 所以f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12 x 2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0). 题型二 利用二次求导求函数的极值或参数的范围
高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数）,且 .0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小， 试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h 。 .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛, 0)0(≠'f 故.02=+b a 联 立可解出.1,2-==b a 习题2 设 ,0, 00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .2 1 )0()(lim )0(2 0-''= -='-→g x e x g f x x 二次洛 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧=-' '≠++-'='∴-. 0,21)0(0,)1()()()(2 x g x x e x x g x g x x f x （2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022 =++++c y b x a y x (圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则
高中数学导数经典100题
题401：XX 省峨山彝族自治县第一中学2018届高三2月份月考理科 已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数． （1）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值； （2）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x = +是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数． 题402：2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六） 已知()ln()f x x m mx =+- （1）求()f x 的单调区间； （2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +< 题403：XX 省实验中学2018届高三上学期第六次月考数学（文） 已知函数2()ln (0)f x x a x a =-> （1）讨论函数()f x 在(,)a +∞上的单调性； （2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+> 题404：西北师大附中2017届高三校内第二次诊断考试试题数学(理科) 已知函数21()ln (1)..2 f x a x x a x a R =+-+∈ (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立,XX 数a 的取值X 围; (3)证明:对于任意正整数,,m n 不等式 111...ln(1)ln(2)ln()() n m m m n m m n +++>++++恒成立. 题405：XX 一中2017-2018学年度高三年级第五次月考数学（理）试 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)()f x x x k x x k R =++---∈ （1）当3k =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；
高中数学导数经典题目
1、设函数231 23 1 )(x x e x x f x --=-，R ∈x （1）求函数)(x f y =的单调区间。 （2）求)(x f y =在]2,1[-的最小值。 （3）当),1(x +∞∈时，用数学归纳法证明：! e n 1 * n x N n x >∈∀-， 2、设a 和m 均为实常数，函数a mx e x x 22)(f +-=，R ∈x （1）求函数)(x f y =的单调区间与极值。 （2）若1=m ，求证：当12ln ->a 且0>x 时，有不等式12e 2 +->ax x x 恒成立。 3、函数)ln()(a e x f x +=为R 上的奇函数，函数x x bf x g sin )()(+=在]1,1[-上位减函数 （1）求a 的值。 （2）不等式1)(2++≤bt t x g 在]1,1[-∈x 且b 满足一定条件时恒成立，求t 的范围。 （3）方程m ex x x f x +-=2) (ln 2的根的情况。 4、证明不等式的恒成立问题： （1）x x ≤+)1ln(，1->x （2）) 1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n n Λ，N n ∈,2≥n 。 5、设2 1)(ax x e x f x ---= （1）若0=a ，求)(x f 的单调区间。 （2）当0≥x 时，0)(≥x f 成立，求a 的取值范围。
6、对),2 1 [+∞∈∀x ，有不等式1)3(2 5322 2 +-+≥-+x a x x x e x 恒成立， 求a 的取值范围。 7、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，求a 的值。 8、设函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中1-≥a ，求单调性。 9、设函数)1ln()(2 ++=x b x x f ，0≠b （1）求函数)(x f 在其定义域上的单调性； （2）证明：对*n N ∈∀，不等式321 1)11ln(n n n ->+恒成立。 10、已知：)1ln() 1(1 )(-+-= x a x x f n ，其中*n N ∈，a 为常数。 （1）当2=n 时，求函数)(x f 的极值； （2）当1=a 时，证明：对* n N ∈∀，当2≥x 时，有不等式1)(-≤x x f 恒成立。 11、已知：1ln )1()(+-+=x x x x f （1）若1)('2 ++≤ax x x xf ，求a 的取值范围。 （2）证明：0)()1(≥-x f x 。 12、已知：x b x a x f -+=1)(2 2，)1,0(∈x ，0,0>>b a ，求min 。 13、已知：13)(2 3 +-+=x x ax x f 在R 上单调递减，求a 的取值范围。
高中数学导数训练练习题(含答案)
高中数学导数训练练习题（含答案） 一、单选题 1．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ．要使矩形广告牌的面积最小，广告牌的高与宽的尺寸比值为（ ） A ．140:175 B ．175:140 C ．(205):(255)++ D ．(25605):(20605)++ 2．若函数()2sin f x x a x =+在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．(2,)-+∞ C ．[2,)-+∞ D ．(1,1)- 3．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+ >，若()1a f =，3311log log 99b f ⎛ ⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫ = ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c a b << 4．已知函数()3 1,()3ln 2e(e )e f x mx g x x x ==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点 ,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是（ ） A ．29,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ B ．223 9,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．229,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,3e e ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 5．函数()2 2ln f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．（－∞，1 2] B ．（0，1 2） C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝ ⎭和（0，1 2） D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 6．函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '->，则下列一定成立的为（ ） A ． () (e) e f f ππ > B ．()(e)f f π< C ．()(e) e f f ππ< D ．()(e)f f π> 7．已知函数ln ()3x f x x =+，则0(1)(12) lim x f f x x →-+=（ ） A ．12 - B ．1 4 - C ．1 2 D ．14
高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题(详解版)
高中数学导数及其应用典型例题专题练习40(详解版) 一、单选题 1.函数“x) = (x—3)，的单调递增区间是() A. (-00,-2) B.(2,+8) C. (1,4) D, (0,3) 【答案】B 【府】 【分析】 求出函数y = /(x)的导数，在解出不等式ra)>o可得出所求函数的单调递增区间. 【详解】 \ /(.r) = (x-3)e' , ：.f\x) = (x-i)e x ,解不等式解得x>2, 因此,函数/(6 =(工一3)/的单调递增区间是(2,+8),故选B. 【点睛】 本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题. in 2.若函数/*) = Inx+ —在[1,3]上为增函数，则〃?的取值范围为( ) x A. [L+8) B. [3,+co) C. (3,1] D. (一8,3] 【答案】C 【的】 【分析】 Y— JM 转化为r(x) 二—即〃7对XW[1,3]恒成立，继而得解. 厂 【详解】 由题意函数/(x) = lnx+”在[1,3]上为增函数， X 可知/")==之0， 厂 即机< X对x W [1,3]恒成立， 所以"ML 故选：C 【点睛】
本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 3.设/(X)、g(x)是R上的可导函数，/'(X)、/(X)分别为“X)、g(x)的导函数，且满足 r(x)g(x)+/(x)，(x)<0,则当时，有( ) A. /(x)g(x)>/(〃)g(〃) B. /(x)g(G>/(a)g(x) c. 7(x)g(b)>/(b)g(x) D. f(x)g(x)>/(a)g(a) 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数/?(x) = /(x)g(x),利用导数判断出函数y = 〃(x)的单调性，结合a 高中导数经典例题
高中导数经典例题 问题一 函数的单调性和导数的关系 例1、求下列函数的单调区间 （1）x x x f ln 23)(2-= （2）x e x x f -⋅=2)( （3）x x x f 1)(+= 变式1、已知31292)(2 3-+-=x x x x f ，试确定)(x f 的单调区间. 变式2、设函数)0(19)(2 3<--+=a x ax x x f ，若曲线)(x f y =的斜率最小的切线与直线612=+y x 平行， 求：（1）a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间. 例2、设函数a ax x e x f ++=22 )(，其中a 为实数. （1）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围. （2）当)(x f 的定义域为R ，求)(x f 的单调递减区间. 例3、已知函数R a x ax x x f ∈+++=,1)(23 （1）讨论函数)(x f 的单调区间； （2）设函数)(x f 在区间)3 1 ,32(--内是减函数，求a 的取值范围. 变式1、若函数1)1(2 131)(2 3+-+-= x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求函数a 的取值范围.
问题二 函数的单调性与导数的关系的应用 例4、（1）函数),0()0,(,sin ππ⋃-∈= x x x y 的图像可能是（ ） （2）设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图像如图所示，则导函数)('x f y =的图像可能为（ ） 变式1、设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =与)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，其中不可能正确的是（ ） 例5、当2 0π <+. 变式1、已知1>x ，证明不等式：)1ln(x x +>
高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案 一、解答题 1．已知函数()32 f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 2．已知函数321()33 f x x x ax =-+ (1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4 π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间. 3．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321 x y x -= +； (3)e cos x y x = 4．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标； (2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围． 5．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 6．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点； (2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论． 7．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； (2)当()0f x =在1 ,22⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 有解，求实数k 的取值范围； (3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有
高中数学导数经典习题
导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- x y o A x y o D x y o C x y o B
高中数学导数专题常考练习题
高中数学导数专题常考练习题 高考数学中，导数是一个常考的题型。下面介绍几道典型的导数题目。 1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件： ①当$f'(x)>0$时，$x2$； ②当$f'(x)<0$时，$-15.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？ 6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？ 7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足 $f(1)=0$。当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？ 8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线 $y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？ 9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？ 10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$， $x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。则不等式$f(x)高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标； (2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围． 3．已知函数()()2e 2e 1e 2e x x f x x =-++． (1)若函数()()g x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围． (2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>． 4．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值； (2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 5．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()a g x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2 上的最值. 6．已知函数()32 3f x x ax x =-+. (1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围. 7．已知函数()()()()e 0=+->x f x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为 ()e 1e e 10x y -++-=． (1)求a ，b 的值； (2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x ， ①证明：12 m >-； ②当0m <时，2121x x m ->+是否成立？如果成立，请简要说明理由． 8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 f x 是()f x 的导函数，()f x ''是f x 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处
(完整版)高中数学导数练习题
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
求导数例题
求导数例题 求导数是高中数学学习中的一个重要部分，它给学生提供了开展数学研究和解决实际问题的方法。这里将介绍几个求导数的例题，帮助学生更好地掌握求导数的技巧。 例题1：设函数f(x) = x2+2x，求f(x)的值 解：我们已知f(x) = x2+2x，用一阶导数的定义求出f(x) = 2x+2，所以f(x)的值为2x+2。 例题2：设函数f(x) = x3+3x2-2x，求f(x)的值 解：答案是f(x) = 3x2+6x-2。 例题3：设函数f(x) = sin x，求f(x)的值 解：f(x) = cos x，所以f(x)的值为cos x。 以上三个例题均是计算求导数的基本例题，它们可以帮助学生更好地了解求导数的概念和方法。计算求导数的过程基本一致，其中重要的步骤是使用一阶微分定义和求值，熟悉这一基本步骤后，学生可以对更复杂的求导问题也能有效求出求导数的值。 除了掌握计算求导数的基本步骤，学生还需要学习求导数的相关知识，如函数的定义、利用泰勒级数计算求导数等，这些内容都是学习求导数的基础。 在学习求导数的时候，学生还需要不断的练习，并积极查找更复杂的求导数例题，通过多次练习，学生可以更好地掌握求导数的基本技能。此外，学生还可以尝试解决求导数的应用题，例如使用求导数来分析函数的波峰、波谷点以及函数的单调性等。
求导数的学习涉及到较为抽象的概念，因此在学习的过程中，学生可以寻求老师或者辅导老师的帮助，以便更好地理解和掌握求导数的知识点。 总之，求导数是高中数学学习中一个重要的知识点，学习者需要不断练习，并积极查找不同类型的求导数例题，了解求导数相关的基础知识，同时也可以咨询老师以及辅导老师，从而掌握求导数的基本技能。
完整高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 32cbx?x?ax?f(x)?(1))fx()P(1,y?f的切线方程为 1.已知函数过曲线上的点x y=3。+1 )xf(2?f(x)在x?（1）若函数的表达式；处有极值，求)x?f(y上的最大值；3，1]在（2）在（1）的条件下，求函数[－)x?f(y上单调递增，求实数b的取值范围，（3）若函数在区间[－21] （1）极值的求法与极值的性质解：（2）由导数求最值 驻点拐点————草图3）单调区间零点（ 232?3x()?a?Rx?2ax).f(x已知2.31(?1,1))f(x? |a|内是减函数(1)当, 在求证：; 时4y?f(x)(?1,1)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围在(2)若. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 322f(x)?x?6ax?9ax a?R）．（1例：已知 f(x)的单调递减区间；（Ⅰ）求函数??0,3?x?a4)?xf(0a?的取值范围．有时，若对（Ⅱ）当恒成立，求实数
12xx22?1?x)?x(et?2f(x)?e??2tx)x)?(g(f．：例2已知函数，2t?22g(x)R上是增函数；（1）证 明：当时，在[a，b]g(x)[a，b]kt?k在闭区间，当）对于给定的闭区间，试说明存在实数时， （2上是减函数； 3≥x)f(．（3）证明：2解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 2?ax???x3ln?xx,g(x)xf()：例3已知f(x)[t,t?2](t?0)上的最小值）求函数（1在?x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围 2（）对解：讨论点x=1/e 1/e高中数学导数练习题附答案
高中数学导数练习题附答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．设函数21()ln 2 f x x ax bx =--. (1)令21()()(03)2a F x f x ax bx x x =+++<≤，以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12 k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当0,1a b ==-时，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值. 3．已知函数()32 f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2 x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()()1ln 0f x a x x a x =-+>． (1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当1a =时，()()2 1g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求 证：211e x x m ->+． 5．已知函数()2 ln 1f x x x mx nx =+++在点()()1,1f 处的切线方程是10x y +-=. (1)记()f x 的导函数为()g x ，求()g x 的最大值； (2)如果()12,0,x x ∈+∞，且121x x ⋅>，求证()()120f x f x +<. 6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12F F 、分别是椭圆C 的左、 右焦点，以线段12F F ． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知点P ，直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB △面积的最大值． 7．函数()3e x f x ax =-，0a >. (1)讨论函数()f x 的极值点个数； (2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若
