用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项

一、递推数列特征方程的研究与探索

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？

（一）、 若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：

设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1

-=

c d

t ，当1≠c 时可得 )1

(11-+=-+

+c d a c c d a n n ，知数列?

?????

-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，

11)1

(1--+=-+

∴n n c c d

a c d a 将

b a =1代入并整理，得()1

1---+=-c d

c b

d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征

方程是：x=cx+d

（二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a

仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设

)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11

)(-++-=n n n sta a t s a , 令 ?

??==-q st p

t s （ ※）

（1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,

则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、

{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得

1

1

11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1

2

12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②,

∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()()

n

n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=

.

（2）若方程组（ ※）有两组相等的解???==21

2

1t t s s ，易证此时11s t -=，则

())(2112

111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a

=)(1121

1

a t a s n +=-，2

1

1

121

1

1

1s a s a s a s a n

n n n -=

-

∴

++,即?

??

??

?n n s a 1是等差数列，由等差数列通项公式可知

()21112111

.1s a s a n s a s a n

n --+=

，所以n

n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.???

?????-+???? ??--=． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t 即得02

=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程

q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方

程，

所以有结论： 若递推公式为 ,11-++=n n n qa pa a 则其特征方程为 q px x +=2

1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则n

n

n s c s c a 2211+=；

2、 若方程有两等根21s s =，则n

n s nc c a 121)(+=. 其中1c 、2c 可由初始条件

确定。

（三）分式线性递推数列d

a c b

a a a n n n +?+?=

+1（0,,,,≠∈c R d c b a ），

将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则

d

a c ct a dt

b a ct a t d a

c b a a t a n n n n n +?+++

+=++?+?=++)(1 ①， 令ct

a dt

b t ++=

，即0)(2

=--+b t d a ct ②， 记②的两根为21,t t ， （1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入①式可得 d a c t a ct a t a n n n +?++=++1

111)

(，

d

a c t a ct a t a n n n +?++=++2

221)

(

以上两式相除得

21

212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++?++=++++，于是得到?

?????++21t a t a n n 为等比数列，其公比为

21

ct a ct a ++，数列{}n a 的通项n a 可由12

1211121)(-++?++=++n n n

ct a ct a t a t a t a t a 求得； （2）若21t t =，将1t t =代入①式可得d

a c t a ct a t a n n n +?++=++1

111)

(,考虑到上式结构特

点，两边取倒数得

1

11111)(1

1t a ct d t a c ct a t a n n n +-++?+=++ ③

由于21t t =时方程③的两根满足c

d

a t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是④式可变形为

1

1111

1t a ct a c t a n n ++

+=++ ∴?

?

???

?

+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c

+， ∴ 数列{}n a 的通项n a 可由

1

111)1(11ct a c

n t a t a n +?-++=+求得．

这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列d a c b a a a n n n +?+?=

+1的特征方程为d

cx b

ax x ++=，

即0)(2

=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：

分式线性递推数列d a c b a a a n n n +?+?=

+1的特征方程为d

cx b

ax x ++=

1、若方程有两相异根1s 、2s ，则??????--21s a s a n n 成等比数列，其公比为

2

1

cs a cs a --； 2、若方程有两等根21s s =，则?

?

???

?

-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c

-. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等

比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，

三、例题

例1、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。 解 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，∴11)(-++-=n n n sta a t s a 令

???-==-44st t s ， 可得??

?-==2

2

t s ， 于是 =-=-=----+)2(2)2(22212

11n n n n n n a a a a a a (1121)

23)2(2

--?=-=n n a a ，

∴

432211=-++n n n n a a ，即?

??

???n n a 2是以21211=a 为首项、43为公差的等差数列， ∴

43)1(212

?-+=n a n

n ，从而2

2)13(-?-=n n n a . 例2、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7

24

5,211++==+.

解： 对等式两端同加参数t 得

()(),7

2524

75272475272451++++

?

+=++++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a 令5

24

7++=

t t t ，解之得1-=t ，2，代入上式 得 721311+-?

=-+n n n a a a ， ,7

22

921++?=++n n

n a a a 两式相除得

,2

1

312111+-?=+-++n n n n a a a a

即31

,41212111公比为是首项为=+-?

?

???

?+-a a a a n n 的等比数列， ∴1

342

34,34121111-?+?=?=+----n n n n n n a a a 从而．

四、本课小结：

1．可用特征方程解决递推数列的三类模型

⑴．线性递推关系： 已知),0(,11≠+==+c d ca a b a n n

⑵．齐次二阶线性递推关系： 已知,,21b a a a == 且 ,11-++=n n n qa pa a ⑶．分式递推关系： 已知b a =1， d

a c b

a a a n n n +?+?=

+1

2. 特征根方程及求法 ⑴． {

1,1

1n a n n pa q a =++=

的特征根方程为 x=px+q ，其根为α,则1n a α+-=p(1n a α+-)

⑵. 12

21

(1)(2)n n n a n a a n pa qa

++=??

==??+?的特征根方程为2x px q =+设两实根为α,β ①.若α≠β时,则n a =1

112n n c c αβ--+,其中1c ,2c 是由1a ,2a 确定

②. 若α=β时,则1

12()n n a c n c α

-=+其

1c ,2c 是由, 1a 2a 确定

⑶. 1n n n pa q a ra h ++=+的特征根方程为px q

x rx h

+=+若方程的两根为α,β

若1,a αβ≠且αβ≠,则

11n n n n a a p r a p r a αααβββ++---=?---即{n n a a α

β

--}等比数列

若1a αβ=≠且0p h +≠,则1121n n r a p h a αα+=+-+-即{ 1

n a α

- }等差数列

五、练习

1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 求.n a 2.已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=41n a +-4n a 求n a 3. 已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=21n a ++3n a 求n a

4. 各项均为正数的数列{n a }1a =a, 2a =b ，且对任意的m+n=p+q 的正整数 m ，n ，p ，q ， 都有

(1)(1)(1)(1)

p q m n

n m n q a a a a a a a a ++=

++++当a=

12,b=4

5

时 ，求通项n a 5:已知数列{}n a 满足*11

1

2,2,n n a a n N a -==-

∈,求通项n a . 6．已知数列{}n a 满足*

12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 7．已知数列{}n a 满足*

12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 8．已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求数列{}n a 的通项n a

9．已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a

练习答案

1、解：作特征方程.23,231-=--=x x x 则 .211231=+a 数列13n a ?

?+???

?是以31-为公比

的等比数列.于是 13n a +

=（231+a ）.N ,)3

1

(21123,)31(211)31(111∈-+-=-=----n a n n n n

2、解：作特征方程x 2

=4x-4由特征根方程得α=β=2故设n a =(1c +2c n) 12n -,其中3=1c +2c ,6=(1c +22c ).

2， 所以1c =3, 2c =0,则n a =3.

12n -

3、解：作特征方程x 2

=2x+3由特征根方程得α=3, β=-1所以n a =1c 1

3

n -+2c 1

(1)

n --其中

3=1c +2c , 6=31c -2c ， 得1c =94, 2c =34所以n a =14.13n ++3

4

1(1)n -- 4、解:由

(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)

n n n n a a a a a a a a --++=++++将

14,25a b ==代入上式化简得1

1212n n n a a a --+=+考虑特征方程21

2

x x x +=+得特征根1x =±所以11111121

1

12112113112n n n n n n n n a a a a a a a a ------+--+-==?+++++，所以数列11n n a a ??-??+??

是以111113a a -=-+为首项,公比为

1

3的等比数列，，故11111()()1333n n

n n a a --=-?=-+ 即3131

n n n a -=+ 5、解: 考虑特征方程1

2x x

=-，得特征根1x =，

11111

1111

111111

(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+

------ 所以数列11n a ???

?

-??

是以11

11a =-为首项,公差为1的等差数列， 故

11n n a =- 即1

n n a n

+= 6．解：其特征方程为2

32x x =-，解得121,2x x ==，令1212n

n

n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

12

c c =???=??， 1

12n n a -∴=+

7．解：其特征方程为2

441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n

n a c nc ??

=+ ???

，

由1122121()121(2)2

4

a c c a c c ?

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=

8．解：其特征方程为221

x x x +=

+，得2

220x -=，

解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=?++ 由12,a =得245a =

，可得13c =-，∴数列11n n a a ??-??

+??

是以1111

13a a -=+为首项13-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+??，3(1)3(1)

n n

n n n

a --∴=+- 9．解：其特征方程为2146

x x x -=

+，即2

4410x x ++=，解得1212x x ==-，

令 111

1122n n c a a +=+++ ， 由12,a =得2314a =，求得1c =，

∴数列112n a ????????+??是以112

152

a =+

为首项，以1为公差的等差数列， 123

(1)11552

n n n a ∴=+-?=-+，135106n n a n -∴=

-