数学分析研究生考试大纲 - 浙江师范大学
2009年浙江师范大学数理信息学院研究生招生考试大纲
考试科目：数学分析
适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论
一、复习要求：
要求考生掌握数学分析课程的基本概念、基本定理和基本方法，能够运用数学分析的理论求解和证明相关命题。
二、主要复习内容
本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学：
1、实数理论和连续函数
（1）了解实数域及性质.
（2）掌握几种不等式及应用。
（3）熟练掌握邻域，上确界，下确界的概念和确界原理。
（4）熟练掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
（5）熟练掌握数列极限的"ε-N"定义。
（6）掌握收敛数列的常用性质。
（7）熟练掌握数列收敛的判别条件（单调有界原理、迫敛性定理、柯西准则等）。
（8）熟练掌握"ε-δ"等语言，且能用它叙述各类型的函数极限。
（9）掌握函数极限的常用性质。
（10）熟练掌握函数极限存在的条件，（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。
（11）熟练应用两个重要极限。
（12）掌握无穷小量、无穷大量的定义和性质，熟悉等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小及其性质。
（13）熟练掌握函数在某点连续的定义和等价定义。
（14）掌握间断点及类型。
（15）熟练掌握区间上连续函数和一致连续函数的性质。
（16）知道初等函数的连续性。
2、一元微积分学
（1）熟练掌握导数的定义、几何意义，知道导数的物理意义。
（2）熟练掌握求导法则和求导公式。
（3）掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。
（4）熟练掌握理解连续、可导、可微之间的关系。
（5）熟练掌握微分中值定理及其应用。
（6）熟练运用洛必达法则求极限。
（7）熟练掌握单调区间、极值、最值的求法。并能证明相关命题。
（8）熟练掌握曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质。
（9）会求曲线各种类型的渐近性。
（10）掌握区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列的含义。
（11）掌握实数完备性的七个定理的等阶性，并且知道每个定理的条件与结论。
（12）会用七个定理证明其它问题，如连续函数性质定理等。
（13）掌握原函数与不定积分的概念。
（14）记住基本积分公式，熟练掌握换元法、分部积分法。
（15）知道有理函数的积分步骤，会求可化为
有理函数的积分。
（16）掌握定积分定义和性质，知道可积条件和可积类。
（17）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。
（18）熟练计算定积分，掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。
（19）熟练掌握平面图形面积的计算，会求旋转体或已知截面面积的体积。
（20）会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。
（21）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等）。
3、级数
（1）熟练掌握级数收敛和发散的定义、性质和判别法。
（2）熟练掌握条件收敛、绝对收敛及莱布尼兹定理。
（3）熟练掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法，知道函数列的极限函数和函数项级数的和函数的性质。
（4）熟练掌握幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法，知道幂级数的若干性质。
（5）熟练掌握函数的幂级数展开的方法，会用间接法求函数的幂级数展开式。
（6）熟记付里叶系数公式，会求付里叶展式。掌握余弦级数，正弦级数的求法。
（3）理解收敛性定理，掌握贝塞尔不等式、勒贝格引理等几个重要定理。
4、多元微积分学
（1）了解平面点集的若干概念，掌握二元函数、二重极限的定义、性质。
（2）熟练掌握二次极限、二重极限与二次极限的关系。
（3）熟练掌握二元连续函数的定义、性质
（4）掌握全微分和偏导数的几何意义
（5）熟练掌握二元函数连续、偏导数连续、可微、可导之间的关系。
（6）会计算偏导数和全微分，会求空间曲面的切平面、法线。
（7）会求函数的方向导数与梯度，会求二元函数的泰勒展式、无条件极值、条件极值。
（8）熟练掌握一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数和微分公式。
（9）掌握由m个方程n个变元组成方程组，确定n-m个隐函数组的条件，并会求这n-m个隐函数对各个变元的偏导数。
（10）会求空间曲线的切线与法平面，会求空间曲面的切平面与法线。
（11）知道二重积分、三重积分定义与性质。
（12）熟练掌握二重积分的换序和变量代换。
（13）了解三重积分的换序，熟练运用球、柱、广义球坐标变换计算三重积分。
（14）掌握含参量正常积分的定义及性质。
（15）知道重积分应用，会求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。
（16）掌握含参量非正常积分一致收敛定义、性质和判别法。
（17）掌握用积分号下求导数、积分号下求积分方法计算一些定积分（广义积分）。
（18
）了解欧拉积分，递推公式及性质。
（19）熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算。
（20）知道曲线积分，两种曲面积分的关系。
（21）熟练掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，掌握积分与路径无关的条件。
（22）了解场论初步知识，知道梯度，散度和旋度的慨念。
三、重点内容：
1、求极限的方法与类型。
2、掌握实数完备性定理，如数列的单调有界定理、柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、魏尔斯特拉斯聚点原则。
3、海涅归结原则、函数的一致连续性。
4、微分中值定理，微积分基本定理、导数及其应用。
5、积分法则、广义积分敛散性判别法、定积分的可积性及可积类的讨论、含参量广义积分的一致收敛判别法。
6、级数、函数列的各种收敛性判别法、幂级数的收敛域、和函数、幂级数展式。
7、多元函数极限和连续性、偏导数、全微分、一个方程确定的隐函数的导数、偏导数。
8、多元函数的极值。
9、二重积分换序、重积分及其几何意义。
10、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、积分与路径无关性。
四、参考书目：
1、《数学分析》（上、下册），华东师大编，（任意版本），高等教育出版社。
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