数学建模期末作业
数学建模期末作业
一.问题的提出
某公共汽车站每隔30分钟到达一辆汽车，但可能有[0,3]分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。汽车最多容纳50名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从[20,50]的均匀分布，到站下车的旅客人数服从[3,7]的均匀分布，每名旅客下车的时间服从[1,7]秒的均匀分布。旅客按照每30分钟到达12个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。旅客上车时间服从[4,12]秒的均匀分布。上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。
假设每天共发车25辆，现在要求模拟30天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。
二．问题的分析
本问题涉及到两种数据：一是汽车运行状况，包括汽车到站、旅客下车、上车及汽车离站；二是旅客活动情况，包括到站、排队、上车及未能上车而离站。
这里我们用下次事件法推进模拟时间，具体做法是:首先确定汽车到站时间，然后再按旅客到站的分布情况计算出上一辆汽车至现在所到的旅客数，根据上下车旅客数确定该汽车离站的时间。由于上下车时间以秒计算，因此，模拟过程中的时间均以秒为单位。另外，旅客到站的分布可以转换成为间隔时间以150秒的指数分布。
这里假定汽车到站后，在旅客上下车期间未有旅客到达，于是，要在该汽车离站后才开始统计等待下一辆汽车的旅客数。
三．问题的假设：
1）候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来后到的原则；
2）忽略其他情况对公交车的影响，即不计公交车启动，加速，制动时间的情况；
3）公交公司只对公交车进行调度，但是在允许的范围内不限制乘客上车，
即只要该车乘客数不大于50则允许乘客上车，直到达到50人为止。
4）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。
5）每天的乘客数量都一样，不考虑高峰期等因素。
四．符号说明与概念引进
下面是建立模拟模型时所用的符号的说明；
t------当前模拟时间；
上一辆汽车离开车站的时间；
t
l-----------
------当天到达汽车站候车的乘客总人数；
N
q
N
------当天在汽车站下车额乘客的总人数；
d
------当天候车乘客中能上车的总人数；
N
u
N
------当天候车乘客中不能上车的总人数；
o
-----当天候车乘客队列的最大长度；
Q
max
n
------到站汽车到达时等候的乘客数；
q
------到达汽车车内的乘客数；
n
b
n
------到站汽车下车的乘客数；
u
------到站汽车能载走的候车乘客数；
n
u
t
------到站汽车到达时，候车乘客的排队时间；
q
Q
------当天候车乘客总的排队时间；
t
N[i]----当天候车时间在i*300 -i*300+300秒的乘客数；
C[i]----当天有i个乘客不能上车的次数。
五．模型的建立与求解
经过模拟运行，得到下面描述的某一次运行结果：（1）系统总的特性：
到达旅客总数：307人；
下车旅客总数：126人；
能上车旅客数：271人；
未能上车旅客数：36人；
候车队列最大长度：17人；
旅客平均排队时间：882.72秒.
（2）旅客排队时间分布情况，见下表.
（3）旅客离去人数的分布情况，见下表：
六、模型的评价
为了准确的评价该系统，应该将此模型运行若干次。为此，我们模拟运行10次之后算出：在每隔30分钟开出一辆公交汽车的情况下，约有9.34%的旅客不能上车，旅客平均候车时间也较长。如果我们安排每隔25分钟发一辆汽车，一天共发出30辆，相应地修改程序并重新模拟运行后可以得出约有5.28%的旅客不能上车，以这些多种方案模拟得出的数据位依据那个为管理部门提供合理化的建议。
从建模的设想和实施过程，我们可以看到有如下的优点和不足：
优点：
（1）由模拟所得到理论结果与计算机模拟结果高度吻合；
（2）模型易推广到一般的情形；
（3）充分利用计算机资源；
缺点：
（1）尽管本模型求的的子优解很靠近全局最优解，但不能做出严密的证明；
（2）本模型不能代表所有的情形，未考虑特殊情形的发生，不具备一般性。
参考文献：
大学生数学建模案例精选罗万成西南交通大学出版社
实用数学建模教程刘建洲武汉理工大学出版社
数学建模案例分析白其峥北京:海洋出版社,2000.1
数学建模=方法与实例寿纪麟主编西安交通大学出版社,1993.12
数学建模案例精选朱道元北京:科学出版社,2003.3
数学建模方法及其应用韩中庚北京:高等教育出版社,2009
数学建模期末作业
数学建模期末作业
一.问题的提出 某公共汽车站每隔30分钟到达一辆汽车，但可能有[0,3]分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。汽车最多容纳50名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从[20,50]的均匀分布，到站下车的旅客人数服从[3,7]的均匀分布，每名旅客下车的时间服从[1,7]秒的均匀分布。旅客按照每30分钟到达12个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。旅客上车时间服从[4,12]秒的均匀分布。上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。 假设每天共发车25辆，现在要求模拟30天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。 二．问题的分析 本问题涉及到两种数据：一是汽车运行状况，包括汽车到站、旅客下车、上车及汽车离站；二是旅客活动情况，包括到站、排队、上车及未能上车而离站。 这里我们用下次事件法推进模拟时间，具体做法是:首先确定汽车到站时间，然后再按旅客到站的分布情况计算出上一辆汽车至现在所到的旅客数，根据上下车旅客数确定该汽车离站的时间。由于上下车时间以秒计算，因此，模拟过程中的时间均以秒为单位。另外，旅客到站的分布可以转换成为间隔时间以150秒的指数分布。 这里假定汽车到站后，在旅客上下车期间未有旅客到达，于是，要在该汽车离站后才开始统计等待下一辆汽车的旅客数。 三．问题的假设： 1）候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来后到的原则； 2）忽略其他情况对公交车的影响，即不计公交车启动，加速，制动时间的情况； 3）公交公司只对公交车进行调度，但是在允许的范围内不限制乘客上车，
数学建模期末大作业-2013年
数学建模期末大作业-2013年 期末大作业题目 一、小行星的轨道问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立了以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文观测单位。在5个不同的时间对 （1） 建立小行星运行的轨道方程并画出其图形； （2）求出近日点和远日点及轨道的中心（是太阳吗？）；（3）计算轨道的周长。 二、发电机使用计划 为了满足每日电力需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下所示： 一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。 电机不需要付出任何代价。我们的问题是： （1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？（2）如果增加表3中的关闭成本，那么在每个时段
应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ （3）如果增加表4中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ 三、合理计税问题 所以此人一年上税为：245×12+__=__元 在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择。显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题。假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是__元，试解决下面这个问题： 四、光伏电池的选购问题 早在1839年，法国科学家贝克雷尔（Becqurel）就发现，光照能使半导体材料的不同部位之间产生电位差。这种现象后来被称为“光生伏特效应”，简称“光伏效应”。1954年，美国科学家恰宾和皮尔松在美国贝尔实验室首次制成了实用的单晶硅太阳电池，诞生了将太阳光能转换为电能的实用光伏发电技术。据预测，太阳能光伏发电在未来会占据世界能源消费的重要席位，不但要替代部分常规能源，而且将成为世界能源供应的主体。 现有一家公司欲在面积为30平方米的一片向阳的屋顶安装光伏电池以解决部分电力紧张的问题。请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题：
数学建模期末大作业
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
数学建模作业及答案
数学建模作业 姓名：叶勃 学号： 班级：024121
一：层次分析法 1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵 1261/2141/61/41A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11/2433 217551/4 1/711/21/31/31/52111/31/5 3 1 1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 的特征根和特征向量 （1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为： #include X[i]=0; for(j=0;j 《数学建模》期末考试A卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心： 一、判断题（每题3分，共15分） 1、模型具有可转移性。------------------------------（对） 2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。----（对） 3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。 -------------------------------------------（对） 4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。------（对） 5、数学模型是原型的复制品。 ----------------- （错） 二、不定项选择题（每题3分，共15分） 1、下列说法正确的有AC 。 A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。 B、模型误差是可以避免的。 C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。 D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。 2、建模能力包括ABCD 。 A、理解实际问题的能力 B、抽象分析问题的能力 C、运用工具知识的能力 D、试验调试的能力 3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。 A、传染病模型 B、代数模型 C、几何模型 D、微分模型 E、生态模型 4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。 A、机理分析法 B、几何法 C、系统辩识法 D、代数法 5、一个理想的数学模型需满足AB 。 A、模型的适用性 B、模型的可靠性 C、模型的复杂性 D、模型的美观性 三、用框图说明数学建模的过程。（10分） 答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下： 四、建模题（每题15分，共60分） 1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？ 解：4条腿能同时着地 （一）模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设: (1)地面为连续曲面 (2)长方形桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 （二）模型建立 现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B、C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除 这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和，g(θ)为C、D离地距离之和， A 题：图书馆购书计划的制定 现代化图书馆馆藏图书，主要目的不是为了收藏而是为了使用。除了国家图书馆等特大型的图书馆以外，一般图书馆都有特定的服务群体，办馆宗旨就是要尽量好地为这些特定群体服务，提高馆藏资源的利用率、读者文献信息需求的满足率以及对图书馆服务功能的满意率。图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分配使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一。 以学校图书馆为例，要实现办馆效益，必须做到入藏文献合乎本校教师、学生（有时也兼顾社会）的需求，使图书馆藏书结构（学科结构、文种结构、文献类型结构等）满足本校教学科研的要求，以求藏书体系与本校专业设置相适应。所购图书要能够真实地反映读者的实际需要，使读者结构和藏书结构尽量吻合，以便减少读者借不到图书的现象，即降低读者被借的比率、增加满足率。文献只有在流通中才能传播信息，产生效益。文献资料得不到利用，购置文献资料所耗费的资金就体现不出其价值。因此，图书馆在增加藏书规模的同时，要千方百计地把文献提供给读者，以增加图书的出借次数、出借时间以及在借图书的数量等，力求使有限的价值投入获得最大的办馆效益。 设某普通高校现有十个系： 计算机科学与技术系，在校学生960 人，信息科学与工程系，在校学生900 人，信息与计算科学系，在校学生280 人，生物与制药工程系，在校学生1500 人，机电工程系，在校学生1440 人，建筑工程系，在校生960 人，外语系，在校学生720 人，法律系，在校学生460 人，新闻系，在校学生642 人，经济与管理系，在校学生2400 人。此外，该校目前还有“药物分子设计及生物化工”和“土木建筑工程”2 个重点学科；“外国语言学及应用语言学”重点扶植学科以及“计算机科学与技术”、“市场营销”2 个重点专业。 该校图书馆每学年都要投入大量资金购置图书，图书覆盖全院各学科专业、具有较完整的中外文文献资源。假设今年图书馆计划投入100 万元用于购置各种图书，并且准备按照表1 中的中图分类进行购置。现请你帮助解决以下问题：1) 要同时考虑到重点实验室和重点学科建设的需要、常用书籍和流行热门书籍、重要公共课、技能课图书(如英语、计算机类)的普遍需求等。不同图书对该校的重要性是不尽相同的，图书馆应当如何确定各类图书的相对重要程度（即相对权重）？ 2) 图书最终的实现价值应取决于图书的被利用率。因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短等，请分析这一问题，并根据该校上一年各类图书的出借情况(表1)，提出一种评价一本书籍在该校实际使用价值的办法。 3) 依据你对前两问的研究，通过建立数学模型的方法来确定购书资金的分配方案。购书方案既应当尽可能符合学校学科发展的需要和教学科研需要，又应当尽可能提高读者的满意率，使所购的图书能够产生最大的实际效益。此外，图书馆自然还应当注意到各类馆藏图书的更新率。当然，用于购书的总经费是有限制的。 4) 由于学校图书馆每年都要购置图书，馆方希望你们队写出一个决策方法的简要说明，阐述输入哪些数据、怎样操作即可求得一个较为合理的购书方案。简要说明必须与前面的分析结果相一致，但又不能过于专业化，以便让一个不善于建模的人能够大致了解你的意图。 数学建模作业习题 1.4 在1.3节“椅子能在不平地面上放稳吗”的假设条件中，将四角连线呈正方形改为呈长方形，其余不变，构造模型求解。 解：在地面建立坐标系设椅子对角线ac 开始与之夹角为0度，用f （x ）表示ac 腿与地面的距离和，g （x ）表示bd 与之距离和，则可知f （x ），g （x ）是x 的连续函数，对任意的x 有f （x ）·g （x ）=0，起始时f （x ）=0，g （x ）﹥0.现将椅子旋转180度，a ，c 和b ，d 分别互掉位置，且f （x ）先增加后减小为0. g （x ）先减小为0后又变为g （x ）﹥0。 令h （x ）= f （x ）-g （x ），有以上条件可知在0与180度之间必有一个位置使得h （x 1）=0，而且f （x 1）·g （x 1）=0，所以可得f （x 1）=g （x 1）=0，可 知其为长方形是亦可以放稳。 1.5 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，做下面问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，最多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时猫吃鱼、鸡吃米，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽量最少。 解：人、猫、鸡、米分别记做i=1,2,3,4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s=（x 1，x 2，x 3，x 4，）表示。记s 的反状态为s '=（1-x 1，1-x 2，1-x 3，1-x 4），允许状态集合S={（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1，1，0,1），（1,0,1,1,）， （1,0,1,0）及它们的5个反状态}。 决策为乘船方案，记作d=（u 1，u 2，u 3，u 4），当i 在船上时记做u i =1，否则记做u i =0，允许决策集合为D={（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）}。 记第k 次渡河前此案的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移 律为s k+1=s k +（-1）∧d ·d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1，d 2，···，d n ∈D ，是状态s k ∈S 按状态转移律有初始状态s 1=（1,1,1,1,），经n 步到达s n+1= 1.7 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为x(t ）) (01t t r m e --+=，其中0t 是人口增长出现拐点的时刻，并说明0t 与r ，m x 的关系。 解：当0t t =时，2/m x x =，立即可得)(01)(t t r m e x t x --+=，且.ln 10 00x x x r t m -= 1.8 假定人口增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x （t ），t 到t t ?+时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）。是建立模型并求解。 解：r x x r dt dx m ),(-=为比例系数，0)0(x x =，所以解得 rt m m e x x x t x ---=)()(0。 1.9 回答下列问题： （1）甲早八点从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午五点到达山顶并留宿次 数学建模期末考核题 考题一 1、在一段时间内,某中商品(de)价格x元和需求量Y件之间(de)一组数据为： 求出Y对X(de)回归直线方程,并说明拟合效果(de)好坏. （请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 2据观察,个子高(de)人一般腿都长,今从16名成年女子测得数据如下表,希望从中得到身高x与腿长y之间(de)回归关系.（请使用Matlab求解,并附上代码及图形） 身高x与腿长y观测数据 3、某人每天由饮食获取10467焦热量,其中5038焦用于新陈代谢,此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗,其余热量则转化为脂肪,已知以脂肪形式贮存(de)热量利用率为100%,每公斤脂肪含热量41868焦,问此人(de)体重如何随时间而变化 4、在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征(de)人骨碎片, 科学家们把它们带到实验室,作碳14年代测定.分析表明C14与C12(de)比例仅仅是活组织内(de)％,此人生活在多少年前 （宇宙射线在大气中能够产生放射性碳—14,并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入.只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳—14,在机体内保持一定(de)水平,这意味着在活体中,C14(de)数量与稳定(de)C12(de)数量成定比.生物体死亡后,交换过程就停止了,放射性碳便以每年八千分之一(de)速度减少.并逐渐消失.对于任何含碳物质,只要测定剩下(de)放射性碳—14(de)含量,就可推断其年代. ） 5、 你已经去过几家主要(de)摩托车商店,基本确定将从三种车型中选购一种.你选择(de)标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观情况.经反复思考比较,构造了它们之间(de)成对比较矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1315181315171551318731A 三种车型（记为a ,b ,c ）关于价格、耗油量、舒适程度及你对它们表观喜欢程度(de)成对比较矩阵为 （价格） （耗油量） c b a c b a c b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121312121321 c b a ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡17127152111 《数学建筑模型与设计》 课程作业 数学建模作业 1. 钟表问题 （1）在2点到3点之间的什么时刻，钟表的时针与分针重合？ （2）时针从0点转一周到12点（即回到0点）的过程中，总共有多少个时刻时针与分针重合，这些重合的时刻分别是什么？ （3）时针从0点转一周到12点（即回到0点）的过程中，总共有多少个时刻时针与分针可以对换，使得对换后还是某一实际的时候。 （4）关于钟表，你尝试提出自己的问题，并给出解答。 解：（1）方法一：分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合： 钟面的一周分为60格,每格为6°。每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°。时针每分钟走1/12格.为0.5°。分针速度是时针的12倍。时钟在两点的时候，分针比时针落后10个小格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走10个格。又因为分针速度与时针速度的差值(1-1/12)，因此到达这一时刻所用的时间为: 10÷(1-1/12)=10 1110 (分)。则所求的重合时刻为2点1011 10 (分)。 方法二：变成追及问题 设起始位置：分钟A 在位置0点，时针B 在位置2点，过X 分钟后A ，B 两针相遇，已知分针速度为1/60(分/格),时针速度为1/5(分/格)，则51X=601X+2，解X=1011 10 (分)，则所求的重合时刻为2点10 11 10 (分)。 （2）答：每个小时内都有一次重合，即有12次重合。0点0分时算一次，然后就可以按简单的追及问题计算。 1点到2点： 51X=601X+1，X= 1160(分)，则重合时间为1点1160 (分)。 2点到3点： 51X= 601 X+2，X=11120(分)，则重合时间为2点11120 ((分)。 3点到4点： 51X= 601 X+3，X=11180(分)，则重合时间为3点11180 (分)。 4点到5点： 51X= 601 X+4，X=11240(分)，则重合时间4点11240 (分)。 5点到6点： 51X= 601 X+5，X=11300(分)，则重合时间为5点11300 (分)。 6点到7点： 51X= 601 X+6，X=11360(分)，则重合时间为6点11360 (分))。 7点到8点： 51X= 601 X+3，X=11420(分)，则重合时间为7点11420 (分)。 8点到9点： 51X= 601 X+3，X=11480(分)，则重合时间为8点11480 (分)。 9点到10点： 51X= 601 X+3，X=11540(分)，则重合时间为9点11540 (分)。 10点到11点：51X= 601 X+3，X=11600(分)，则重合时间为10点11600 (分)。 11点到12点：51X= 60 1 X+3，X=11 660 (分)，则重合时间为12点。 综上：从1点开始，每次重合时间为 时针数+（时针数×11 60 (分)）。 （3）答：①分针与时针重合的时候，分针与时针肯定可以兑换，且时间不变。 其他还没想出来。 （4）提出的问题： ①当5点08分时，求时针与分针所成角度 解：5点时分针与时针成6×25=150°, 8分钟分针走了48°，时针走了48°×（1/12）=4°. 数 学 模 型 作 业 第13组 组长：王周闯3082010017 组员：贾永旺3082010011 王亚东3082010015 李岩3082010056 2012.05.05 第一题已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 X 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 机翼下轮廓线 解：1.问题分析：机翼轮廓线应是平滑的曲线，并已知x和y的数据， 故可采用差值拟合的方法，来画出x与y的关系 图，并求得x每改变0.1时的y值。 2.编程如下：X=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; Y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:.1:15; y=interp1(X,Y,x,'spline'); plot(X,Y,'+',x,y,X,Y,'r:') 3．得出x-y图形：得出图形如下图所示： 4.求出每隔0.1时的y值： 编程：y1=y 输出y1即可。 第二题：在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进 入。 解： 平面上做出测量点的分布图，再利用二维插值的方法补充，分布点的水深，最后做出海底曲面图和等高线图即可求出小于5米的海域范围。 2.编程如下： x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5]; z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; [cx,cy]=meshgrid(75:5:200,-50:5:150); cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'v4'); surf(cx,cy,cz); figure(2) [c,h]=contour(cx,cy,cz);%?画出等高线 clabel(c,h);%标出等高线高程，画出避免区域。 3.得出图形如下： 数学建模作业 姓名：李成靖 学号：11 班级：计科1403班 日期：某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整 名队员4种泳姿的百米平均成绩 解:(1).设c ij (秒)为队员i 第j 种泳姿的百米成绩，转化为0—1规划模型 若参选择队员i 加泳姿j 的比赛，记x ij =1, 否则记x ij =0 目标函数: 即 min=*x11+*x12+87*x13+*x14+*x21+66*x22+*x23+53*x24+78*x31+*x32+*x33+*x 34+70*x41+*x42+*x43+*x44+*x51+71*x52+*x53+*x54; 约束条件: x 11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1′06"8 57"2 1′18" 1′10" 1′07"4 仰泳 1′15"6 1′06" 1′07"8 1′14"2 1′11" 蛙泳 1′27" 1′06"4 1′24"6 1′09"6 1′23"8 自由泳 58"6 53" 59"4 57"2 1′02"4 ∑∑=== 41 5 1 j i ij ij x c Z Min 数学建模期末作业题 1、数学规划 设有甲、乙、丙三种物品，其重量、体积和价值见下表：甲乙丙重量(单位：kg)体积(单位：L)123213价值(单位：百元)357某人出行，选10件物品随行。受条件所限，随身物品总重量不得超过18kg，体积不得超过100L问三种物品分别选择几件，可使随身物品价值最大？ 2、谣言的传播 设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言，于是就利用他认识的人开始传播这个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的比例为p，这些人只有a%相信这一谣言，而其他人约有b%会相信。又设相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反应谣言传播情况的数学模型，并简单分析其规律。 假设1 第1个人还是会参加第2次的谣言传播。即第1个人和相信谣言的人会不断传播谣言假设2 相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数这个比恒定不变假设3 传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人 设第i个单位时间开始时相信谣言总人数某yz(i) 没听过人数mt(i) 受传播人数中没听过的人数占总人数比例（共有n+1个人，出去自己就有n个人） t(i)=mt(i)/n; 受传播人数如果k为定植cb(i)=k某mt(i)某某yz(i); 受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人) ch_mt(i)=cb(i)某t(i);其中相信的有 cb_mt_某某(i)=ch_mt(i)某p某a/100+ch_mt(i)某(1-p)某b/100;其中不相信的有 cb_mt_b某某(i)=ch_mt(i)-cb_某某(i); 第i＋1时刻单位时间开始时相信谣言总人数 某yz(i+1)=某yz(i)+cb_mt_某某(i);没听过人数 mt(i+1)=mt(i)-ch_mt(i); 受传播人数中没听过的人数占总人数比例t(i+1)=mt(i+1)/n; 受传播人数如果k为定植cb(i+1)=k某mt(i+1)某某yz(i+1); 受传播人数中没听过谣言的人数(考虑到传播的时候也会传给传播谣和听过谣言的人) ch_mt(i+1)=cb(i+1)某t(i+1);其中相信的有 cb_mt_某某(i+1)=ch_mt(i+1)某p某a/100+ch_mt(i+1)某(1-p)某 b/100;其中不相信的有 优化作业(1) 1.（本题只写模型不求解）某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季度末交60台，第三季度末交80台。工厂的最大生产能力为每季度100台，每季度的生产费用是2 2.050)(x x x f +=元，其中x 为该季度生产发动机的台数。若工厂生产得多，多余的发动机可移到下季度向用户交货，这样，工厂就需要支付存储费用，每台发动机每季度的存储费用为4元。问该厂每季度生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？ 2.（本题只写模型不求解）某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区821,,,A A A 增设若干所小学，经过论证知备选校址有621,,,B B B ，它们能够覆盖的居民小区如下表所列，试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能覆盖所有的居民小区。 备选校址 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 覆盖小区 A 1,A 5,A 7 A 1,A 2,A 5,A 8 A 1,A 3,A 5 A 2,A 4,A 8 A 3,A 6 A 4,A 6,A 8 3.写出下面LINGO 程序所对应的完整数学模型。 SETS: HANG/1..3/:B; LIE/1..4/:X,C; XISHU(HANG,LIE):A; ENDSETS DATA: A= 1 2 3 1 2 5 1 2 3 1 6 -2; B=4 5 7; C=1 3 4 5; ENDDATA min=@sum(LIE(I):C(I)*X(I)); @FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):A(I,J)*X(J))>B(I)); 4.根据下面LINGO 程序的集合段和模型段写出其所对应的数学模型。 SETS: HANG/1..3/:A; LIE/1..4/:B; XISHU(HANG,LIE):C,X; ENDSETS min=@sum(XISHU(I,J):C(I,J)*X(I,J)); @FOR(HANG(I):@SUM(LIE(J):X(I,J))=A(I)); @FOR(LIE(J):@SUM(HANG(I):X(I,J))=B(J)); 数学建模作业 1、在甲乙双方的一场战争中，部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，乙方封锁了所有 水陆交通通道，因此被包围的甲方只能依靠空中交通维持补给，运送4个月的供给依此分别 需要2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成，每架飞机都需要3名飞 行员，每架飞机每月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，每次执行完运输飞行 任务后的返回途中有20%的飞机被乙方部队击落，导致机上的飞行员也牺牲或失踪。在第 一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，每个月开始时，甲方可以招聘 新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查磨合后才可以投入使用，新飞行员也 必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能成为熟练飞行员而投入飞行（作为教练的 熟练飞行员本月不能参与飞行任务），每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括 自己在内）进行训练，每名飞行员在完成本月的飞行任务后必须有一个月的带薪休假，然后 返回待命可再次投入飞行，已知各项费用平均单价如下表所示（单位：千元）。 第一个月第二个月第三个月第四个月新飞机价格200 195 190 185 闲置的熟练飞行员报酬7 6.9 6.8 6.7 10 9.9 9.8 9.7 教练及飞行员报酬和训练 费用 执行飞行任务的飞行员报 9 8.9 9.8 9.7 酬 休假期的飞行员报酬 5 4.9 4.8 4.7 （1）为甲方安排一个总费用最小的飞行计划。 （2）如果每名熟练飞行员作为教练每月指导不超过20名飞行员（包括自己在内）进行训练， 相应的模型和安排将会发生怎样的改变？ 解：（1） 设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量为 y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟练 飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。由于每月执行任务的飞行员和休假期的飞行员 的数量是固定的，即这部分的花费是固定的，所以在优化目标中可以不必考虑。 模型建立： 决策变量：设每月初购买飞机数量为d1，d2，d3,d4架，每月闲置飞机数量 为y1,y2,y3,y4架，每月教练与新飞行员总数量为a1,a2,a3,a4人，每月闲置熟 练飞行员的数量为b1,b2,b3,b4人。 目标函数：设总费用为z元，则由价格平均表可知： z=200d1+195d2+190d3+185d4+10a1+9.9a2+9.8a3+9.7a4+7b1+6.9b2+6.8b3+ 6.7b4 约束条件包括： （1）飞机数量限制：四个月中出去执行任务的飞机数量分别为100，150，150，200架次，每次安全返回的数量为80，120，120，160架次。 根据每个月的实际情况可得方程： 100+y1=110； 150+y2=80+y1+d1； 150+y3=120+y2+d2； 200+y4=120+y3+d3； （2）飞行员数量限制：四个月中出去执行任务的飞行员的数量分别为300， 绍兴文理学院2014-2015学年第一学期 信计专业 13级《数学模型与数学软件》考核命题卷(含答题卷)(编号1) 闭卷） 一、综合题（15分） 为了研究同类车的刹车距离d （司机想刹车到车停下来所行驶的距离）与刹车时的车速v 之间存在什么样的函数关系，通过多组同条件实验测得一组数据如下表：（车速与距离都是多次实验的平均车速和平均距离） 车速 (km/h) 29.3 44.0 58.7 62.2 73.3 88.0 102.7 110.2 117.3 刹车距离（m ） 39.0 76.6 126.2 135.8 187.8 261.4 347.1 388.9 444.8 1．（6分）请简述数学建模一般步骤的基本方法。 2．（2分）为了研究刹车距离与车速的关系，需要做哪些资料数据的搜集？ 3．（7分）请给出合理的假设，建立合适的模型，来研究)(v f d 。（注：模型不需要求解） 二、综合题（16分） 在研究存储模型中，设某产品日需求量为常数r ，每次生产为瞬间完成，每次生产的准备费为1c ，并与生产量无关, 每单位时间每件产品贮存费为2c 。现需要制定最优的生产计划（即最佳的生产周期T 和每周期生产量Q 的确定）。 1．（6分）请简述数学建模的基本方法。 2．（10分）请在合适的假设下，建立不允许缺货的最优生产计划模型。 三、综合题（18分） 研究奶制品深加工问题中，有80 桶牛奶,共680小时的可利用工作时间，至多能加工80公斤A1产品，其他对于下列关系： 1．（12化。 （注：不要求求解结果） 2．（6分）以此题为例，简述线性规划三个特征。 四、综合题（16分） 研究治愈即免疫的传染病模型，设每个病人每天有效接触为a ，日治愈率为b ，初始状态下病人数和健康人数占总人数的比值分别为00,s i 1（6分）做合适的假设，并建立传染病的SIR 模型； 2（10分）写出利用ODE45函数求解此模型的MATLAB 程序代码。 获利44元/千克 获利32元/千克 数学建模作业题 习题1第4题. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MATLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --=+-模拟美国人口从1790年至2000年的 变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 习题2第1题. 继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？ 习题2第2题. 一盘录像带，从头转到尾，时间用了184分钟，录像机计数器读数从0000变到6061. 表2.5是观测得到的计数器读数，图2.7是录像机计数器工作原理示意图. 请问当计数器读数为4580时，剩下的一段录像带还能否录下一小时的节目？ 目录 1 平板中小孔周围应力集中影响程度简单建模分析 (1) 1.1 背景材料 (1) 1.2 模型假设 (1) 1.3 模型建立 (3) 1.4 结果分析 (4) 1.5 评注 (6) 2 鼓风机三角带传动设计的反求分析 (7) 2.1 背景资料 (7) 2.2 建立模型 (7) 2.3 结果分析 (9) 3带钢 (10) 3.1背景 (10) 3.2带钢卷取跑偏电液伺服控制系统组成和工作原理 (10) 3.3控制系统数学模型 (11) 3.4模型假设 (11) 3.5模型建立 (12) 3.6 控制系统的性能分析 (13) 3.7评注 (16) 1 平板中小孔周围应力集中影响程度简单建模分析 1.1 背景材料 应力集中是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。应力集中是局部现象，因为，在几倍孔径以外的地方，应力的大小和分布几乎不受孔（几何尺寸突变因素）的影响。应力集中是弹性力学中的一类问题，在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k，它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。1898年德国的G.基尔施首先得出圆孔附近应力集中的结果。1909年俄国的G.V.科洛索夫求出椭圆孔附近应力集中的公式。20世纪20年代末，苏联的N.I.穆斯赫利什维利等人把复变函数引入弹性力学，用保角变换把一个不规则分段光滑的曲线变换到单位圆上，导出复变函数的应力表达式及其边界条件，进而获得一批应力集中的精确解。各种实验手段的发展也很快，如电测法、光弹性法、散斑干涉法、云纹法等实验手段均可测出物体的应力集中。随着科技的进步，计算机和有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找应力集中的数值解开辟了新途径。为避免应力集中造成构件破坏，可采取消除尖角、改善构件外形、局部加强孔边以及提高材料表面光洁度等措施；另外还可对材料表面作喷丸、辊压、氧化等处理，以提高材料表面的疲劳强度。 1.2 模型假设 如图（1.1）所示矩形薄板中有一小孔，孔径为2a，先考虑在板的两端收到的均匀拉力q作用下，孔边的应力分布情况。取板的厚度为1，孔的直径为坐标原点。考虑到圆孔边界，选用极坐标求解此问题。为此须将外边直线边界变换成圆边界。设想以原点O为圆心，以远大于a的长度b为半径做一个圆，根据应力集中的局部性，可认为大圆周边上任一点A的应力与无孔时相同，即: 选修课——数学建模部分习题详细解答 【陈文滨】 1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 【模型假设】 （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形． （2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件． （3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。 【模型建立】 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形． 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题． 如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至 A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置． 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来． 我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数． 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。 数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。 【模型求解】 如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。 如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD 绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。 令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）； 又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 【模型讨论】 用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案
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