2020广州二模理科数学试题及答案

考前八步法

1.考前检查进入考场前，检查一下自己是否带齐了应带的证件和文具

2.拿到试卷不要急于答题

3.迅速统览全卷

4.按序号先易后难答题

5.仔细审题，避免失误

6.量分用力

7.规范答卷

8.审阅检查

试卷类型：A

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟

参考公式：球的表面积公式2

4S R =π，其中R 是球的半径．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．命题“若2x =，则2

320x x -+=”的逆否命题是

A ．若2x ≠，则2

320x x -+≠ B ．若2

320x x -+=，则2x = C ．若2

320x x -+≠，则2x ≠ D ．若2x ≠，则2

320x x -+=

2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是

A ．sin sin a b >

B ．22log log a b <

C ．1122

a b < D ．1133a b

????

< ? ?????

3．已知函数(

)40,1,0,

x f x x x x ?≥?=???-

??则()2f f =???? A ．14 B ．1

C ．2

D ．4

4．函数()sin y A x ω?=+()0,0,0A ω?>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为

A ．3sin y x ππ??=+ ?44??

B ．3sin y x π

3π??=+ ?44??

C ．3sin y x ππ??=+ ?24??

D ．3sin y x π

3π??=+ ?2

4??

5．已知函数()2

23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为

A ．

425 B ．12 C ．2

D ．1 6．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A B

C D 7．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()

()5

1,2x =-a ，()1,2y x =-b ，

且//a b .数列{}n

a 是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++???+=，则129a a a ++???+= A .0 B .9 C .18 D .36

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）

图1

V C

图2

9．已知i 为虚数单位，复数1i

z -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是．

11．已知()sin 6f x x

???，若cos 5α=02α<< ???，则

12f α

+= ??

? ．

12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共

有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起

点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()

()i j s t +?+a a c c 的最小值，其中

{}{},1,2,3i j ?，{}{},1,2,3s t ?，则m = ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，

垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为． 15．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-??=-?（t 为参数）和2

4,2x t y t =??=?

（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值；

（2）若△ABC 的面积为ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示． B

E F

G 图4

（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；

（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予

“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；

（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）

已知点(),n n n P a b (

)n ∈*

N 在直线l ：31y x =+上，1

P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n

a 是公差为1

的等差数列．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：

1111

n PP PP PP ++

<． 20．（本小题满分14分）

已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2

44x y -+=．

（1）求圆C 的方程；

（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 21．（本小题满分14分）

已知函数()ln f x a x =-

x x -+，()e x

g x =（其中e 为自然对数的底数）． C 1

A 1

B 1

D 1 C

E 1

F 1

图5

（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点()

,e b P b ，(

),e

Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切

线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据

试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．

16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，

所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，

222cos 2b c a A bc +-=()()()222

537253k k k k k

+-=

??…………………………………………………………3分

．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1

cos 2

A =-，

因为A 是△ABC 的内角，

所以sin A

6分由（1）知5b k =，3c k =，因为△ABC

的面积为

sin 2

bc A =8分

即

15322

k k ???=

解得k =10分

由正弦定理

2sin a R A =

，即72sin k R A ==

，…………………………………………………11分解得14R =．

所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）

解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++?=，

解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分第1组人数为1000.3535?=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分第4组人数为2525.0100=?，所以250.410a =?=．……………………………………………4分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，

所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分

()02

2426C C 2

0C 5P X ===，

…………………………………………………………………………………7分 ()1124

26C C 81C 15

P X ===，………………………………………………………………………………8分

()2024

26C C 12C 15

P X ===，………………………………………………………………………………9分

所以X 的分布列为：

所以281012515153

EX =?

+?+?=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）

第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，

在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，

所以11

A E BD 且11=A E BD ，

所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B

E D ．………………………………2分

在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以

AM AN AB

AA =，所以1MN BA ． (4)

分所以1MN

DE ．

所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线

分别为

x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，

则()

B ，9,022

C ??

? ???

，()0,3,0D ，

()10,0,3E ，()

M ，…………………………8分

………………………………………

10分 C 1

A 1

B 1

D 1

E 1

F 1

则3,02BC ??

= ? ???

，()10,3,3DE =-，

()

2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分

设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，

则10,

DE DM ?=??=??n n

即330,20.

y z y -+=???-=??

取y =2x =

，z =

所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BC

θ=

n n

116

．故直线BC 与平面1MNE D 14分第（1）（2）问均用向量法：

（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线

分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()

B ，9,02

C ?????

，(

)0,3,0D ， ()10,0,3E ，()M ，()

N ，……………2分

所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，

所以1

DE MN ．…………………………………………5分

所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1

）知3,02BC ??

= ?

，()10,3,3DE =-

，()

2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）

设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，

则10,0.

DE DM ?=??=??n n

即330,20.

y z y -+=???-=??

取y =2x =

，z =

所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BC

θ=

n n

116

．故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116

．………………………………………………14分第（1）（2）问均用几何法：

（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，

在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，

所以11

A E BD 且11=A E BD ，

C 1

A 1

B 1

D 1

E E 1

F 1

所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B

E D ．………………………………2分

在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以

AM AN

AB AA =，所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN

DE ．

所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BC

AD ，

所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，

则sin h

θ=

．……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMN V V --=，即11

DMN AMN S h S DB ????=??．…………………………………………9分

在边长为3的正六边形ABCDEF

中，DB =6DA =，在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，

由余弦定理可得，DM =

在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =

，所以DN =．在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =

，所以MN = 在△DMN

中，DM =

DN =

MN =

由余弦定理可得，cos DMN ∠=

，所以sin DMN ∠=

所以1sin 2DMN S MN DM DMN ?=

???∠=．…………………………………………………11分

又1

AMN S ?=，……………………………………………………………………………………………12分

所以AMN DMN S DB h S ???=

．…………………………………………………………………………13分

所以sin h AD θ=

=．故直线BC 与平面1MNE D

14分 19．（本小题满分14分）

（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，

所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，

所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．

所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()

n ∈N ．………………………6分

（2）证明：因为()10,1P ，()1

,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()2

11310n PP n n n +=+=．

………………………………………………………………………7分所以

111n PP PP PP ++

222111

11012

n ??

+++

???

．……………………………………8分因为

()()22

211441

12141212121214

n n n n n n n ??<===- ?--+-+??-，……………………………10分所以，当2n ≥时，

111n PP PP PP ++

111111210352121n n ??

??<

+-++

- ???-+???

……………………………………………………………11分 15110321n ??

- ?+??

………………………………………………………………………………………12分 16

．又当1n =时，

12111

106PP =

<．………………………………………………………………………13分所以2

1+1

n PP PP PP +

<．……………………………………………………………14分