函数的定义域及函数值

【教学目的】

1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；

2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；

3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；

4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】

在对应的基础上理解函数的概念

【教学难点】

函数概念的理解

【教学过程】

一、复习引入

〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数

值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

〖提问〗问题1：

y=1（x∈R）是函数吗？

问题2：y=x与y=x

x2

是同一函数吗？

〖投影〗观察对应：

〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？

二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射

〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集

合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，

x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，

函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。

函数符号

y =)(x f 表示“y 是x 的函数”

，有时简记作函数)(x f 。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素

y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.

如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y

叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解

(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:

(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.

函数与映射的关系

函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.

映射

B

A

f→

:函数B

y

A

x

x

f

y∈

∈

=,

),

(

集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,

数等

函数的定义域和值域均为非空的数集

对于集合A中任一元素a,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应

对集合B中任一元素b,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应

函数是特殊的映射,映射是函数的推广.

〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应

f：A→B。这里A，B为非空的数集。

（2）A：定义域，原象的集合；{

)

(x

f|x∈A}：值域，象的集合，其中{)

(x

f|x∈A}?B；f：对应法则，x∈

A，

y∈B

（3）函数符号：y=)

(x

f，y是x的函数，简记)

(x

f

〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：

1、一次函数

)

(x

f=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R

2、反比例函数

)

(x

f=x

k

(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y | y≠0}

3、二次函数

)

(x

f=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥a

b

ac

4

42

-

｝；当a＜0时，

｛y|y≤a

b

ac

4

42

-

｝。

（三）函数的值：关于函数值

) (a f

例析：若

)

(x

f=x2＋3x＋1，求)2(f。

解：

)2(f=22＋3×2＋1=11

〖注意〗（1）在y=)

(x

f中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；

（2）

)

(x

f不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；

（3）)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数，)(a f 是)(x f 的一个特殊值。 （四）区间的概念

〖投影〗设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：

（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ,b ]； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ,b ）；

（3）满足不等式a ≤x ＜b 或者a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a 、],(b a ； （4）实数集R 可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合可以分别表示为[a ,＋∞)，（a ,＋∞），（－∞,b ]，（－∞,b ）。

〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a ≤x ≤a 。 三、实例提升

〖例析〗例1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={

y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：

其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ② ③ 。

〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M 到N 的函数关系。 〖例析〗例2、求下列函数的定义域：

①

21)(-=

x x f ； ②)(x f =23+x ； ③)(x f =1+x ＋x -21

〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y =)(x f ，而没有指明它的定义域，那么

函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。

解：①∵x －2=0，即x =2时，分式21

-x 无意义， 而x ≠2时，分式21

-x 有意义

∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}。 ②∵3x ＋2<0，即x ＜

32

-

时，根式23+x 无意义 而3x ＋2≥0，即x ≥

32

-

时，根式23+x 才有意义

∴这个函数的定义域是{x |x ≥32-}。

③∵当x ＋1≥0且2－x ≠0，

即x ≥－1且x ≠2时，根式1+x 和分式x -21

同时有意义

∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1且x ≠2}

另解：要使函数有意义，必须：x ＋1≥0且2－x ≠0?x ≥－1且x ≠2 ∴这个函数的定义域是：{x |x ≥－1且x ≠2}

〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。 求函数的定义域的常见类型：

（1）当)(x f 为整式时，定义域为R ；

（2）当)(x f 为分式时，定义域为使分母不为0的x 的集合；

（3）当)(x f 为n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x 的集合； （4）当)(x f 是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 的取值的集合。 〖例析〗例3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。 〖解析〗解：f (3)=3×32－5×3＋2=14；

)2(-f =3×(－2)2－5×(－2)＋2=8＋52；

)1(+a f =3(a ＋1)2－5(a ＋1)+2=3a 2＋a 。

〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数

y =x 是同一个函数？

（1）2)(x y =； （2）3

3x y =； （3）2x y =

〖解析〗解：（1）y =x ，x ≥0，y ≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；

（2）

y =x ，x ∈R ，y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数；

（3）y =|x |=?

?

?<-≥)0()0(x x x x ，y ≥0；值域不同，不是同一个函数。

〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

（1）

3

)

5)(3(1+-+=

x x x y 52-=x y （定义域不同）

（2）111-+=

x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）

（3）2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）

〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

四、演练反馈

1、函数

)

13lg(13)(2++-=

x x

x x f 的定义域是（ ）

A ．),31(+∞-

B ．)1,31(-

C ．)31,31(-

D ．

)

31,(--∞ 2、下列各组，函数)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是（ ）

A ．)(x f =1，)(x g =x 0

B ．)(x f =x 0 ，)(x g =x x 2

C ．)(x f =x 2， )(x g =4)(x

D ．)(x f =x 3，)(x g =93

)(x

3、已知函数)(x f =2x －3，求： （1）)0(f ，)2(f ，)5(f ； （2）)]([x f f ；

（3）若x ∈{0，1，2，3}，求函数的值域。

4、若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个

演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）)0(f=－3，)2(f=1，)5(f=7；（2）)]

(

[x

f

f=4x－9；

（3）值域为{－3，－1，1，3} 4、81,64,81 五、课堂小结

本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；)

(x

f

y 表示y

是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个

函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；

) (a

f表示)

(x

f在x=a时的函数值，是常量；而)

(x

f

是x的函数，通常是变量。

【教后札记】

本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。

〖板书〗函数的概念 （一）函数与映射

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 （二）已学函数的定义域和值域：

1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R

2、反比例函数)(x f =x k

(k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0}

3、二次函数)(x f =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b ac 442

-｝；当a ＜0时，｛y |y ≤a b ac 442

-｝。

〖板书〗（三）函数的值：关于函数值)(a f 例析：若)(x f =x 2＋3x ＋1，求)2(f 。 解：)2(f =22＋3×2＋1=11

〖板书〗（四）区间的概念

（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ,b ]； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ,b ）；

（3）满足不等式a ≤x ＜b 或者a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a 、],(b a ； （4）实数集R 可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合可以分别表示为[a ,＋∞)，（a ,＋∞），（－∞,b ]，（－∞,b ）。