2018年九年级二次函数模型专题
2018年九年级二次函数模型专题
母题:如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
模型一：点P为抛物线上直线AM下方一动点，E为线段AM上一动点，且PE//Y轴，当点P的坐标为多少时，线段PE的长度有最大值？
模型二：点P为抛物线上一动点，E为直线AM上一动点，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由。
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九年级数学二次函数应用题 含答案
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.
件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，
九年级二次函数讲义
二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
二次函数模型的巧用
二次函数模型的巧用 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解．进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习． 一、“二次”的应用 函数、方程、不等式三者，在一定条件下可以相互联系. 函数是研究ｙ与x之间的对应关系，而方程则是求x取何值时，函数值恰好为零；不等式就是考察x的值在什么范围变化时，函数值为正或负. 当a ≠ 0时，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c 0的解集． （３）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. （４）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 答案（１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 2.（４）k < 2. 例２（２００８年安徽省）如图为二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图像，在下列说法中： ①ａｃ＜０； ②方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根是 ｘ１＝－１，ｘ２＝３
③ａ＋ｂ＋ｃ＞０ ④当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而增大. 正确的说法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正确的答案的序号都填在横线上） 答案正确的说法有：①②④. ２. 在解方程组的应用 例３（２００７甘肃陇南）如图，抛物线y = ■x2 + mx + n 交x轴于ａ，ｂ两点，交y轴于点ｃ，点ｐ是它的顶点，点ａ的横坐标是-３，点ｂ的横坐标是１． （１）求m，n的值； （２）求直线ｐｃ的解析式； 解（１）由已知条件可知：抛物线y = ■x2 + mx + n经过ａ（－３，０）、ｂ（１，０）两点． ∴０＝■－３ｍ＋ｎ，０＝■＋ｍ＋ｎ．，解得ｍ＝１，ｎ＝ -■． （２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ｐ（－１，－２），ｃ０，－■． 设直线ｐｃ的解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则－２＝－ｋ＋ｂ，ｂ＝－■． 解得ｋ＝■，ｂ＝－■． ∴直线ｐｃ的解析式是y = ■x - ■． 从以上解题可以看出，求两个图像的交点坐标，一般方法是把两
数学九年级上册 二次函数专题练习(解析版)
数学九年级上册 二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，将函数2 263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值； （3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ????+ ? ????? ，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）0a =或3a =-；（2） 118；（3）21136x -<<-；（4）1 8 m <-或1 16 m >- 【解析】 【分析】 （1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】 解：（1）当1m =-时，()2 2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得 22611a a ++= 解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-< 当0m ≤时，2 22 3926=2()22 y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ?? -- ??? 此时，229911=()22918 m m m - --++ ∴0y 的最大值1 18 =
人教版九年级上册数学 二次函数专题练习(word版
人教版九年级上册数学 二次函数专题练习（word版 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．已知，抛物线y＝- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A． （1）直接填写抛物线的解析式________； （2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MN∥y轴； （3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值. 【答案】（1）2 1 2 2 y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】 （1）把点C、D代入y＝- 1 2 x2 +bx+c求解即可； （2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解； （3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】 详解：（1）∵y＝- 1 2 x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2）， ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? ＝ ,
解得：1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0， ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4， ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. （3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+
浙教版九年级下册考点专题训练-【学案】建立二次函数模型解决商品经济问题
浙教版九年级下册考点专题训练 建立二次函数模型解决商品经济问题 一、明确学习目标 1、能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识. 2、经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 3、通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感. 二、自主预习 1、求下列函数的最大值或最小值. （1）5322--=x x y （2）432+--=x x y 2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？ 学生展示，师生互评. 商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？ 三、合作探究 活动1 1、阅读教材第49页问题及探究1和探究2并思考： （1）涨价的情况； （2）如何确定函数关系式？ （3）变量x 有范围要求吗？ 2、教师分层引导： （1）销售额为多少？ （2）进货额为多少？ （3）利润y 与每件涨价x 元的函数关系式是什么？ （4）变量x 的范围如何确定？ （5）如何求最值？ 3、解决问题：
活动2 例某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？ 教师点拨：此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内. 四、当堂检测 1、如图所示，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？ 2、如图所示，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
(完整)初三中考二次函数专题复习
第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0