2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法
2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节,是考研数学一和数学三的必考内容,其主要考点包括两个方面,一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断,另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断,由于其方法较多,很多同学在学习和复习中感到有些困惑,为了帮助大家掌握好这些方法,文都网校的蔡老师对其做些分析总结,供各位参考,下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。
一、通过部分和来判断级数的敛散性
通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性,是判断敛散性的最基本方法之一,因为按照级数收敛性的定义,收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言,由于其部分
和是单调增加的数列,所以只要其部分和是有界的,则部分和数列就是收敛的,因此级数就是收敛的.
无穷级数中有一类常见的级数,就是正负项相间的级数,即交错级数,交错级数的敛散性判断有多种方法,包括:莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法,下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结,供各位同学参考。
一、交错级数的敛散性判别法
对于交错级数的敛散性判别,使用得较多的是莱布尼茨判别法。
从上面的例题我们看到,并非所有的交错级数都是收敛的,即使级数的通项趋于零也不一定收敛,但如果通项趋于零且通项是单调的,则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数,但经过恒等变形后却是交错级数,这时就可以利用上面方法进行判断;
如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件,但每项取绝对值后的级数是收敛的,即绝对收敛,则原交错级数是收敛的。
正项级数是无穷级数的一种基本类型,其敛散性的判断方法有多种,包括:比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等,在不同的条件下,需要根据具体情况使用不同的判别法,下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型,供广大考生参考。
一、正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法,其基本用法如下:
从上面的典型题型分析看到,有些级数虽然不是正项级数,但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛,如上面例2的情况;在具体正项级数中,p级数是一个十分有用的比较工具,我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数,也需要利用正项级数的判别法,如比较判别法。以上分析希望对大家有所帮助,最后预祝各位考研取得成功,金榜题名!
正项级数敛散性地判别方法
正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多,但是用起来仍有一定的技巧,归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别,才能事半功倍。 关键词:正项级数;收敛;方法;比较;应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题,最初的问题可以追溯到公元前五世纪,而到了公元前五世纪,而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J (1638—1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究,得到了一系列数项级数的判别法。因而,判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时,常会有这些感觉:有时不知该选用哪种方法比较好;有时用这种或那种方法时,根本做不出来,也就是说,定理它本身存在着一些局限性。因此,我们便会去想,我们常用的这些定理到底有哪些局限呢?定理与定理之间会有些什么联系和区别呢?做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =,可 得推论:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一(比较判别法的极限形式): 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数,且有lim n n n u l v →∞=,于是 (1)若0l <<+∞,则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 (2)若0l =,则当 1 n n v ∞ =∑收敛时,可得 1 n n u ∞ =∑收敛。
数项级数敛散性判别法。(总结)
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。(总结) 课程名称:高等数学(下) 专业班级: 成员组成 联系方式: 2012年5月18日
摘要:在学习数项级数的时候,对于单一的方法所出的例题,大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后,再给出题目,大家似乎一头雾水,不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法,虽然也可行。但是对于同一个级数,用不同的方法判断敛散性的难易程度不同,如果选用合适的方式,可以到到事半功倍的效果,但是如果悬选择了错误的方法,可能费了九牛二虎之力之后,得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法,了解它们的特性,才能更好地运用它们。 关键词:数项级数,敛散性,判断,方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言:以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理,并通过一些例题,讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
正项数收敛判别方法
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目:正项级数收敛的判别方法
摘要: 各项都由正数组成的级数称为正项级数,它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题,通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法,并结合相关实例,判断所给级数的敛散性。 关键字:正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质,下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1:给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和,记为1 n n k k S u == ∑,称为(1)的前n 项部分和。 定义2:若(1)的部分和数列{}n S 收敛于S (即lim n n S S →∞ =),则称数项级数(1)收 敛,并称S 为(1)的和,记为1 n n S u ∞ == ∑,若{}n S 为发散数列,则称数列(1)发散。 根据级数(1)的收敛性,可以得到收敛级数的一些性质: (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数(1)收敛的充要条件是:0ε?>,0N ?>,n N ?>,p Z + ?>,有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件:若级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数也满足)。 (v) 运算性质: 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛,c d 是常数,则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛,且满足
考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结
2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型,而且是考试的难点,为了便于同学们解题,文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论,希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛,则第三个收敛; 若其中一个收敛,另一个发散,则第三个发散;
若有两个发散,则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛,则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛,另一个条件收敛,则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛,则第三个收敛,但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。
1.林黛玉:三生石畔,灵河岸边,甘露延未绝,得汝日日倾泽。离恨天外,芙蓉潇湘,稿焚情不断,报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗:原以为金玉良缘已成,只待良辰,奈何君只念木石前盟,纵然艳冠群芳牡丹姿,一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春:贤孝才德,雍容大度,一朝宫墙春不再,一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息,红颜无罪,到底无常。 4.贾探春:虽为女流,大将之风,文采诗华,见之荡俗。诗社杏花蕉下客,末世悲剧挽狂澜,抱负未展已远嫁。 5.史湘云:醉酒卧石,坦荡若英豪,私情若风絮,嫁与夫婿博长安,终是烟销和云散,海棠花眠乐中悲。 6.妙玉:剔透玲珑心,奈何落泥淖,青灯古佛苦修行,高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云,玉碎冰裂,不瓦全。 7.贾迎春:沉默良善,见之可亲,深宅冷暖,累遭人欺,腹中无诗情风骚,膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名,可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春:高墙白曼陀,冷水伴空门。孤寒寂立一如霜,如何能得自全法?狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋,海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤:毒酒甘醇,罂粟灿艳,锦绣华衣桃花眼,眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心,只惜冷硬霜凝集。千机算尽,反误性命。
关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)
n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题,是数学分析的一个重要部分.数项级数,从形式上看,就是无穷多个项的代数和,它是有限项代数和的延伸,因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起,其判别方法多样,技巧性也强,有时也需要多种方法结合使用,同时,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的工具,所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论,但由于求数列前 n 项和的问题比较困难,甚至可能不可求,因此,在实际问题中,应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ ( 1) 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛, 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛, 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的,若级数∑(cu n + dv n ) 收敛,则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注:特殊的,对于级数 ∑u n 与 ∑v n ,当两个级数都收敛时, ∑(u n ± v n ) 必收敛;当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛,另一个发散时, ∑(u n ± v n ) 一定发散;当两个都发散时, ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解:因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛,故级数 ∑( n n =1 ∞
数项级数敛散性的判别法毕业论文
数项级数敛散性的判别法毕业论文
关于数项级数敛散性的判别法 摘要:级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔(D ’Alembert )判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词:数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言 设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的,否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下,我们称S 为级数的和.可见,无穷级数是否收敛,取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:
数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法 设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递 增,由数列的单调有界公理,有 定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得 定理2.2 [2] :设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ,当n >N 时有 n u ≤c n v ,则 (i )若级数1 n n u ∞=∑收敛,则级数1 n n v ∞ =∑也收敛; (ii )若级数1 n n u ∞=∑发散,则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’(比较判别法的极限形式) [2] :设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ, (i )若0<λ<+∞,则两个级数同时敛散; (ii )若 λ=0,级数1 n n v ∞ =∑收敛,则级数1 n n u ∞ =∑也收敛; (iii )若 λ=+∞,级数1 n n v ∞=∑发散,则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:
任意项级数敛散性判断练习及 答案
任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n
答 解:1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ ( 2 1 =p 的p 级数) 而原级数是交错级数 且: 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理,原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n