样本方差与总体方差的区别
样本方差与总体方差的区别
之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。
总体方差:
也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量
立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X-
期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差:
无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本,
这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐,
水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同
样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它
不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就
是那个”偏"的由来
刊屮）二
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证明:
10次，测量值和期望值之间是独
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《总体平均数与方差的估计》 教学设计
《总体平均数与方差的估计》教学设计 本节课是湘教版数学九年级上册第五章用样本推断总体的第一节课，是统计的初步知识，本节课主要讲解用总体平均数与方差的估计，本节要求了解用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体的百分比、平均数或方差；进一步体会用样本估计总体的统计思想方法。 因此本节课重点是用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。 【知识与能力目标】 1.了解用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体的百分比、平均数或方差； 2.进一步体会用样本估计总体的统计思想方法。 【过程与方法目标】 经历生活实例，体会统计估计，能对问题发表看法。 【情感态度价值观目标】 培养学生学习认真、细致、耐心的学习态度与习惯，加深学生对统计估计意义和基本思想的理解，构建师生、学生互动平台，让学生发表自己的看法，提高学生的表达能力。【教学重点】 用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。 【教学难点】 用简单随机样本的百分比、平均数或方差去估计总体百分比、平均数或方差。 ◆教学过程 一、导入新课 阅读下面的报道，回答问题。 阅读PPT上的新闻报道。 从上述报道可见，北京市××局进行2019年度人口调查采用的是什么调查方式？ 二、新课学习 我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性。 从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想.
样本方差的期望
方差： 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 历史： “方差”（variance）这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。 统计学意义： 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 最近进展：
方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度，更是揭示了样本内部彼此波动的程度，也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然，这个结论是在二阶统计矩下成立。 样本方差： 先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。 均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 简介： 在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
总体平均数与方差的估计
总体平均数与方差的估计 教学目标 1.掌握并灵活、快速、准确地计算样本的平均数、方差，以及对样本和总体的结合分析。 2.会利用样本的平均数众数中位数方差估计总体的平均数众数中位数方差. 3.进一步体会用样本估计总体的统计思想方法. 重点难点 重点：平均数.加权平均数.方差的计算方法.． 难点：在简单随机样本中，会用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差. 教学设计 一.预习导学 学生通过自主预习教材P141-P144完成下列各题. 1.什么是平均数?平均数是怎样计算的? 2.什么是方差?方差是怎样计算的?方差反映的是一组数据的什么特征? 3.什么情况下，可以用样本的平均数或方差来估计总体？ 设计意图：通过复习平均数与方差的计算方法，挑起学生对统计知识的回忆，同时训练学生的基本计算能力。通过自主预习课本新知，培养学生自主学习的良好习惯和能力。 二.探究展示 (一)合作探究 1.教材第141页的“议一议”。 分析下面三个方面的问题： （1）上述调查繁琐吗？ （2）上述调查的对象多不多？ （3）如果你去进行具体调查，从你自身的角度出发，你认为采取什么样的方式要好？ 2.小组讨论：用哪种方案解决此问题最好？ 归纳：从总体中抽取简单随机样本，然后对样本进行分析，再用样本的各种数据去推断总体的各种情况是最好的，是最简单同时也有效的。 教师总结：在大多数情况下，当样本容量足够大时，才用随机抽取的样本进行分析，然后用样本的数据去推断总体的各种情况是比较合理的，是符合数学规律的。 推广：由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差。 (二)展示提升 以下题目先由学生独立完成，然后小组内讨论交流 交流完毕后，各小组选派人员上台展示. 1.为检测一批节能灯的使用寿命,从中抽取了25个节能灯进行试验.这25个节能灯的使用寿命是( ). A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量. 设计意图：复习统计中的各基本名称术语。 2.了解某中学学生的身高情况,需要抽取部分学生进行调查,下列抽取学生的方法合适的是( ) A随机抽取该校一个班级的学生.
5.1总体平均数与方差的估计
第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【学习目标】 教学目标 1. 会利用样本的平均数众数中位数方差估计总体的平均数众数中位数方差 2. 进一步体会用样本估计总体的统计思想方法 . 重点：平均数.加权平均数.方差的计算方法.? 难点：在简单随机样本中，会用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差 【预习导学】 学生通过自主预习教材 P l41-P l44完成下列各题. 1. 什么是平均数？平均数是怎样计算的？ 2. 什么是方差？方差是怎样计算的？方差反映的是一组数据的什么特征 3. 什么情况下，可以用样本的平均数或方差来估计总体? 【探究展示】 合作探究 1.（一）教材第141页的“议一议”。 分析下面三个方面的问题： （1）上述调查繁琐吗？ （2）上述调查的对象多不多? （3 ）如果你去进行具体调查，从你自身的角度出发，你认为采取什么样的方式要好? 2. 小组讨论：用哪种方案解决此问题最好？ 归纳：从总体中抽取 ____________ 样本，然后对样本进行分析，再用样本的各种数据 去 ______ 总体的各种情况是最好的，是最简单同时也有效的。 总结：在大多数情况下，当样本容量足够大时，才用随机抽取的样本进行分析，然后用 样本的数据去推断总体的各种情况是比较合理的，是符合数学规律的。 推广：由于简单随机样本客观地反映了实际情况， 能够代表总体，因此我们可以用简单 随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差。 ,从中抽取了 25个节能灯进行试验.这25个节能灯的使用寿 样本 D. 样本容量. ,需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法合适的 （—二 ）展示提升 1.为检测一批节能灯的使用寿命 命是（）如图. A. 总体 B. 个体 C. 2 .为了解某中学学生的身高情况 是（）
第十九讲正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的 区间估计 1. 单个正态总体方差的区间估计 设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。 ①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此， )1,0(~N X i σ μ -（,2,1=i n , ）。 由2χ分布的定义知： ∑ =-n i i n X 1 22 2 )(~)(χσ μ， 据)(2n χ分布上α分位点的定义，有： αχσμχαα-=<-<∑ =-1)}()()({2 1 2 2 212 2 n X n P n i i 从而 αχμσχμαα-=????? ??-<
方差分析公式
方差分析公式 （20PP-06-2611:03:09） 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以 上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态 分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完 全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式 GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。 例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有 无差别？ 表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）
SS 加刖=丄 和 ' 10619.265^ 170 HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4 H1:四个总体均数不等或不全相等 a =0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31 （工吋 “ 1 广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千 K .IT N "一 - ? r . —I b K V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28 MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中
分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布
2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到
求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解
《总体平均数与方差的估计》教案
5.1总体平均数与方差的估计 【教学目标】： 通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。 【重点难点】： 重点、难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。 【教学过程】： 一、课前准备 问题：2010年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2010年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网，网址是 二、新课 师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示： 这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2010年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染。 讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。 2、体会用样本估计总体的合理性 下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2010年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样本估计总体的合理性。
经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。 练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2010年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？ 显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围，将来同学们会学习到有关的数学知识。 3、加权平均数的求法 问题1：在计算20个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示： 然后，他这样计算这20个学生的平均身高： 小华这样计算平均数可以吗？为什么？ 问题2：假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如下表所示.
概率分布以及期望和方差
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布
用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)
考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等） 1．(13辽宁T16) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加 该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本 数据中的 最大值为 . 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10 【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知 2222212345 123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5 x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个 整数的平 方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可 得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10. 2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=. 【测量目标】方差. 【难易程度】中等 |d 【试题解析】
1 1219 110 1918 19 +2 9 1919 x d x x x E x d x ξ ? + ++ ===+= … （步骤1） 2 2222222 (981019)30 19 d D d ξ=+++++++= L L．（步骤2） 3.(13北京T16) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． JC113 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）设 i A表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P( i A)＝ 1 13 ，且 i j A A I＝?(i≠j)． 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝ 58 A A U. 所以P(B)＝P( 58 A A U)＝P( 5 A)＋P( 8 A)＝ 2 13 .（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝()()()()() 3671136711 4 13 P A A A A P A P A P A P A =+++= U U U，
方差 — 标准差
方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑]
样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。
样本方差的期望
样本方差的期望 假设某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理，超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球的分数之和即为中奖分数，获奖如下： 一等奖100分，冰柜一个，价值2500元； 二等奖50分，电视机一个，价值1000元； 三等奖95分，洗发液8瓶，价值178元； 四等奖55分，洗发液4瓶，价值88元； 五等奖60分，洗发液2瓶，价值44元； 六等奖65分，牙膏一盒，价值8元； 七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元； 八等奖85分，香皂一块，价值3元； 九等奖90分，牙刷一把，价值2元； 十等奖75分与80分为优惠奖，只収成本价22元，将获得洗发液一瓶； 分析：表面上看整个活动对顾客都是有利的，一等奖到九等奖都是白得的，只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？求得其期望值便可真相大白。 摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金
额数，计算得到E(X)=-10.098，表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元，而平均每个抽奖者将花10.098元来享受这种免费的抽奖。 从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗？相反，商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了，而且还为超市大量集聚了人气，一举多得。 此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动，最后一举多得，从中可看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。 体育比赛问题： 乒乓球是我们的国球，上世纪兵兵球也为中国带了一些外交。中国队在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设德国队（德国队名将波尔在中国也有很多球迷）和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？ 分析：由于中国队在这项比赛中的优势，不妨设中国队中每一位队员德国队员的胜率都为60%，接着只需要比较两个队对应的数学期望即可。 参考资料来源：百度百科-数学期望 期望值：
正态总体样本标准差
正态总体样本标准差S 不是总体标准差σ的无偏估计量 设12,,,n X X X ???是来自正态总体2 (,)N μσ的一个样本，1 1n i i X X n == ∑ 为样本均值， 2 2 1 1 ()1 n i i S X X n == --∑为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差2 S 是总体方差 2 σ的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计 量。 证明： 由于 2 2 2 (1)~(1)n S n χσ --，若令2 2 (1)n S Y σ -= ，则2 ~(1)Y n χ-的概率密度为 11 () 22110 22()200 n n n y y e y P y y --Γ-? ->?=?? ≤? 从而 11 22 2 2 1 22()11 2()11 ()2() 2() 22 2 n y n y n n n E y dy y e dy y e dy n n n +∞ +∞ +∞ ---- --∞ = = =--ΓΓΓ? ? ? ① () 21() 2 n n = -Γ 另一方面， )()E E E S σσ == ， 所以有1()2 n E S E C σσ= = =≠， 所以，样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计量。 如果进行修正，则可以得到σ的无偏估计量 n C S σ= ，其中2 n C =
评注： 1. 理论依据： 正态总体样本的抽样分布，2 χ分布与Γ分布的有关性质。 2. 应用与推广： 无论总体X 服从什么分布，修正的样本方差 2 2 1 1()1 n i i S X X n == --∑ 是总体方差()D X 的无偏估计量，但是样本方差S 不是总体标准差 ()X σ= 的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得 n C S σ= 是总体标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。 参考文献： 茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000 参数估计方法在捕鱼问题中的应用 设湖中有鱼N 条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数s 条()s r ≥ ,其中有t 条(0)t r ≤≤标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的N 值。 （1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是r N （概率），而在捕出的s 条中有记号的鱼为t 条，有记号的鱼的比例是 t s （频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条 鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有 r t N s = 即 rs N t = 故 rs N t ≈（取最接近的整数）。 （2）用矩估计法：设捕出的s 条鱼中，标有记号的鱼为ξ，因为ξ是超几何分布，
样本方差的期望
样本方差的期望和方差沉义义（上海工程技术大学基础教学学院，上海201620）摘要在实际应用中，样本均值珔X和样本方差s 2，x I珔X和计算XJ珔X有必要计算协方差和相关系数。本文给出了相应的计算公式，并提供了一些简单的计算方法。关键词：样本均值样本方差期望;方差;协方差研究生入学数学考试中的相关系数，样本均值X的期望和方差和样本方差s 2是非常重要的测试点。但是，在概率论和数理统计的教学过程中，很少涉及如何计算样本方差S2的方差。其次，对于简单的随机样本x 1，x 2如何计算协方差cov（x I，珔x），相关系数ρx I珔x，yi = x I-X和YJ = x J-xx，协方差cov（y I，y J）以及x I和XX的相关系数ρy I y J使学生感到困惑。本文对以上知识进行了系统分析，并给出了一些简单的计算方法。1，课本中样本均值和样本方差的期望值和方差，样本均值珔X和样本方差s 2的性质由以下定理给出：定理：让总体x?n（μ，σ2），x 1，x 2如果xn（n> 1）是一个简单的随机样本，X是一个样本均值，s 2是一个样本方差，则（1）x?nμ，σ2（）n; （2）x和S 2是独立的；（3）（n-1）S2σ2?χ2（n-1）。推论1 e （x）=μ，D（x）=σ2n; E（S2）=σ2，D（S2）= 2σ4N-1。上述推论的前三个结论的证明
见教科书[1]。D（s 2）= 2σ4N-1的证明如下。从定理（3）的结论中，我们可以得出D （n-1）s 2σ（）2 = 2（n-1），即（n-1）2σ4D（s 2）= 2（n-1），所以D（s 2）= 2σ4N-1。2，2 cov（x I，x）=σ2n，ρx I珔x = 1 = n（I = 1，2，n）。证明x I?n（μ，σ2）独立于彼此（I = 1,2然后cov（x I，XJ）=σ2，I = J0，I≠{J（I = 1，2，...））因此，cov（x I，珔x）= 1ncov（x I，x 1 + ...）+ X i +…+ X n）= 1ncov（X i，X 1）+…+ 1ncov（X i，X i）+…+ —8 1 —1ncov（X i，X n）= 0 +…+σ2n +…+0 =σ2n（i = 1，2，…，n），ρx I珔x = cov（x I，珔x）d（xi）d （xx槡）=σ2nσ2·σ2槡n = 1槡n（I = 1,2，n）。3，yi = x I-X的性质是推论3 E（yi）= 0，D （yi）= 1-1（）nσ2; cov（y I，y J）=-σ2n（I≠J），ρy I y J =-1n-1（I≠J）（I = 1,2，n）。证明了e（yi ）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x IX）=u-μ= 0，D（yi）= D（x ixx）= D（xi）+ D（x（x）珔（x I，x，x）=σ2 +σ2 +σ2n-2，σ2n = 1-1（nσ2），cov （y I，y J）= cov（x I ，y J）= cov（x IX，x，J）x，jx jx，jxx，xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-x-= cov（x I，XJ）-CoV（x I，XJ）-CoV（xx，XJ）+ cov （x，x，x）= 0-σ2n-σ2n +σ2n =-σ2n，ρy I，y J = cov（yi）YJ）d（yi）d（y J槡）=-σ2n1 -1（）nσ2 =-1n-1。这里我们必须指出
总体平均数与方差的估计
.总体平均数与方差的估计
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第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是
这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.
样本方差的期望
样本方差的期望 （1）样本（背景知识）：由学过的概率论的知识可以知道，若在总体个数有限的情况下，抽取出一些个体，总体的分布可能会发生变化，所以个体的分布可能反映不了总体的分布。后一句不太好理解，所以举个经典例子：若N个产品中有M个废品，在抽样调查其废品率时，正常抽取样本（随机抽不放回），则样品的废品率服从超几何分布；而产品中的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计，统计性质就与总体不同。而且当产品数量不是很大时，这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多个个体时，不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响，这种例子才不成立，此时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见，数理统计学在理论上对其研究得也最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布，称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本，简称为从某总体中抽出的样本。【1】 （2）样本均值/方差：顾名思义，样本均值就是样本的均值，样本方差就是样本数据的方差。 （3）总体均值/方差：同上。。 （4）样本均值/方差的期望：样本数据均为我们抽取得来（是已知量）
我们利用它算出样本参数（例如样本均值），假装它是总体的参数（例如总体均值，是未知量），这就是用样本估计总体的过程；由样本的定义，用样本估计得到的总体的参数不是完美的，有时和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是，由于我们对样本参数计算式已知，除去不可控的抽样随机性，从计算方法的角度上来说，我们可以知道这个偏移量是多少吗？更进一步地，我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗？自然地，类似前述在定义样本时举过的例子，我们还可以假设对总体的数据和参数已知，这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样，反算出样本参数，并与真实的总体参数加以对比，达到修正偏移的目的了！而这样反算出的样本参数，就叫做样本参数（例如样本均值、样本方差）的期望。 从正面的/科学的（也是教材上的）角度来说，我们是用总体反过来估计了样本，得到的当然就是样本参数的期望值啦。 若样本参数经修偏后，在某种算法下与真实的总体参数达到一致，该样本参数为总体参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计，我们需要在一个对估计的整体的优良性准则下视情况讨论。
样本方差与总体方差的区别
样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独
DGH 兀） 担工加D （X ；）） g ? u 曰右力m-工P) 占E (m ：-寸) __________ ■!■ A^(E ：=iCV —2A ；T + X-)) 闵肯) ) + ￡：D) n(<7- + //-) E(X 力二丫) nE(X~) MD(X) + E2(X)) M 吟+ “?) 尙e + //-) - 角F + "') t7- 证毕?? D(X)二 --- ◎ E(f)= D(X) + Eh 工) E{S-)= ￡(E ； =1 A ；y )=
方差计算公式的证明
方差计算公式的证明 （1）用新数据法求平均数 当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：=+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，=-a,=-a,…,=-a ○1 =(+)是新数据的平均数（通常把,,…,,叫做原数据， ,,…,,叫做新数据）。证明： 把○1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式： +=-a+-a+…+-a +=++…+-na =—a 即○2 亦即=+a （2）方差的基本公式 方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据，，，中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“” 表示，即: =[+] (3) 方差的简化计算公式 =[++…+)-n] 也可写成=[++…+)]- 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明： =[+] =[++++…++] =[++…+)-2++…++n] =[++…+)-2n =[++…+)-2n =[++…+)-n] =++…+)-………………..(I)
根据○1，有=+a,=+a,…=+a,和=+a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有： =[（）+（）+…（）- =[(++…+)+2a(++…+)+n]-(+2a+) =(++…+)+2a+-2a- =(++…+)+ 2a+ =(++…+)…………………….(II) 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等 量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方 差都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据,,…,计算方差；简化公 式（II）按新数据,,…,计算方差，计算出的方差相同。 (4) 用新数据法计算方差 原数据,,…,的方差与新数据=-a,=-a,…,=-a的方差相等。也就 是说，根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。 证明： 把○1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有： -=(-a)-(-a)=- -=(-a)-(-a)=- ………… -=(-a)-(-a)=- 再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2： （）=（） （）=（） ………… （）=（） 最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：[（）+（）+…+（）]=[+] 这就是根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。