算法导论复习要点
一、基础知识部分
1.算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。
2.算法是由若干条指令组成的有穷序列，且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质。
3. 快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法。
4.矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。
5、算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
6、从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法。
7、问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。
8、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
9.贪心算法的基本要素是贪心选择质和最优子结构性质。
10.动态规划算法的两个基本要素是最优子结构性质和重叠子问题性质。
11、合并排序算法是利用（ A ）实现的算法。
A、分治策略
B、动态规划法
C、贪心法
D、回溯法
12、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。
A、找出最优解的性质
B、构造最优解
C、算出最优解
D、定义最优解13．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。
A、备忘录法
B、动态规划法
C、贪心法
D、回溯法
14.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ）
A、分治法
B、动态规划法
C、贪心法
D、回溯法15．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。
A、分支界限法
B、动态规划法
C、贪心法
D、回溯法16．贪心算法与动态规划算法的主要区别是（ B ）。
A、最优子结构
B、贪心选择性质
C、构造最优解
D、定义最优解
17. （ D ）是贪心算法与动态规划算法的共同点。
A、重叠子问题
B、构造最优解
C、贪心选择性质
D、最优子结构性质
18. 矩阵连乘问题的算法可由（ B）设计实现。
A、分支界限算法
B、动态规划算法
C、贪心算法
D、回溯算法
19、使用分治法求解不需要满足的条件是（A ）。
A 子问题必须是一样的
B 子问题不能够重复
C 子问题的解可以合并
D 原问题和子问题使用相同的方法解
20．下列是动态规划算法基本要素的是（ D ）。
A、定义最优解
B、构造最优解
C、算出最优解
D、子问题重叠性质
二、分析解答部分
1、堆的高度与元素个数之间的关系
2、散列表技术中碰撞的定义与解决方法是什么
3、平摊分析的方法有哪些？重点是势能法的应用。
例、对某个数据结构执行一个n个操作的序列。如果i为2的整数次幂，则第i 个操作的代价为i，否则为1.请用势能分析来确定每次操作的平摊代价。
解：不妨设k i j +=2，其中k 和j 均为非负整数，且j 取满足等式最大的整数。定义第i 个操作i D 的势能函数为k D i 2=Φ）（，
下面分析第i 个操作i D 的平摊代价。
当0=k 时，第i 个操作i D 的实际代价i C i =，从而
2]
2)12(2[)]
212(20[)]()([?11
+-=---=---+=Φ-Φ+=--i i i i D D C C j j j i i i i
当0≠k 时，第i 个操作i D 的实际代价1=i C ，从而
3
)]
1(22[1)]()([?1
=--+=Φ-Φ+=-k k D D C C i i i i
所以第i 个操作i D 的平摊代价总为）（1O 。 4、贪心算法的应用，参考书上的0-1背包问题和部分背包问题的例子。
5、作图说明利用合并排序算法将输入数组(3,7,12,32,5,20,16,28)A =按从小到大排序的执行过程。
6、作图说明利用堆排序（HEAPSORT ）将数组(2,8,17,4,11,14)A =从小到大排序的执行过程，注意包含建最大堆（BUILD-MAX-HEAP ）的执行过程。
7、用主方法求解递归式紧确的渐进界，比如
34(1)()6();(2)()6();(3)()6();232
n n n T n T n T n T n T n T n =+=+=+ 8、写出利用动态规划解矩阵链乘问题的最小代价的递归式，并由此给出维数序列为(35,15,5,10,20)A =的最优加全括号的方案。
9、会写出利用动态规划解最长公共子序列（LCS ）问题的最大长度的递归式，并由此确定(1,0,0,1,0,1,0,1)A =和(0,1,0,1,1,0,1,1,0)B = 的最长公共子序列。
10、对某个数据结构执行一个n 个操作的序列。如果i 为2的整数次幂，则第i 个操作的代价为i ，否则为1.请用聚集分析来确定每次操作的平摊代价。
11、猜测下列递归式的良好渐进界，并用代换法证明你的猜测：(1).()4()2n T n T n =+的解为2()n Θ； (2).()2()2n T n T n ??=+????
的解为(lg )O n n 。 12、给出红黑树的定义，并由此证明：（1）从根到叶子的最长的可能路径不多于最短
的可能路径的两倍长。 （2）一棵有n 个内节点的红黑树的高度至多为
1lg +1)2
n （ 13、给出渐进记号Θ记号、Ω记号和Ο记号的定义，并证明：对任意实常数a 和b, 其中b>0,)(a n b
b n Θ=+）（，提示：当n 足够大时，n 2a n n 21≤+≤
中科大软件学院算法复习概念综合题
一、概念题： （1）排序算法时间复杂度： 排序算法最好最坏平均 插入O(n)O(n2)O(n2) 归并O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn) 快排O(nlogn)O(n2)O(nlogn)排序算法空间复杂度： 1、所有简单排序和堆排序都是0(1) 2、快速排序为0(logn)，要为递归程序执行过程栈所需的辅助空间 3、归并排序和基数排序所需辅助空间最多，为O(n) （2）渐近记号 1、渐近确界：Θ(g(n))={f(n):存在正常数c1和c2和n0，使对所有的n>= n0，都有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)}。大Θ记号给出函数的渐进确界。 2、渐近下界：Ω(g(n))={f(n):存在正常数c和n0，使对所有的n>=n0，都有0<=cg(n)<=f(n)}。大Ω记号给出函数的渐进下界。 3、渐近上界：O(g(n))={f(n):存在正常数c和n0，使对所有的n>=n0，都有0<=f(n)<=cg(n)}。大O记号给出函数的渐进上界。 （3）二叉查找树： 执行基本操作的时间与树的高度成正比。搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望O(lgn)，最坏O(n)（数列有序，树退化成线性表） （4）红黑树： 1、时间复杂度： 基本动态集合操作：O(log n)，n是树中元素的数目。 2、性质： 1)节点是红色或黑色。 2)根节点是黑色。 3)每个叶节点（NIL节点）是黑色的。 4)如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的（不能有两个连续 红结点） 5)从任一节点到其子孙结点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。 3、相关概念，定理： 1）黑高度：从某个结点出发（不包括该结点）到达一个叶结点的任意一条路径上，黑色结点的个数称为该结点x的黑高度，bh(x)。红黑树的黑高度定义为其根节点的黑高度。 2）一颗有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。(用2-3-4树理解) 3）在一颗黑高度为K的红黑树中，总结点数最多有22k+1-1，此时内结点
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USC算法导论作业4
CSCI303Homework4 Problem1(6.1-1): What are the minimum and maximum numbers of elements in a heap of height h? Solution1: A heap is a semi-complete binary tree,so the minimum number of elements in a heap of height h is2h,and the maximum number of elements in a heap of height h is2h+1?1. Problem2(6.1-6): Is the sequence 23,17,14,6,13,10,1,5,7,12 a max-heap? Solution2: The sequence is not a max-heap,because7is a child of6,but7>6. Problem3(6.2-1): Using Figure6.2as a model,illustrate the operation of Max-Heapify(A,3)on the array A= 27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,10 . Solution3:
Problem4(6.2-6): Show that the worst-case running time of Max-Heapify on a heap of size n is?(lg n).(Hint:For a heap with n nodes,give node values that cause Max-Heapify to be called recursively at every node on a path from the root down to a leaf.) Solution4: Consider a heap of n nodes where the root node has been changed to contain the smallest value of all the nodes.Now when we call Max-Heapify on the root,the value will have to be exchanged down with its child at every level,until it reaches the lowest level.This is because,after every swapping,the value will still be smaller than both its children(since it is the minimum),until it reaches the lowest level where it has no more children.In such a heap,the number of exchanges to max-heapify the root will be equal to the height of the tree,which is lg n.So the worst case running time is?(lg n).
算法导论-复习笔记
《算法导论》复习笔记 Chapter 22 基本图算法 有向图邻接链表，计算节点出度和入度的时间复杂度 O(V+E) 开一个degree[]数组，大小为结点个数，复杂度O(V); 遍历邻接链表，经过边uv时，计算出度degree[u]+=1,计算入度degree[v]+=1,复杂度O(E) 将一个多图变成等价无向图，用邻接链表表示，时间复杂度O(V+E) 多图是允许重复边和自循环边的图。 开一个bool数组mark[],大小为节点个数，初始化为false。复杂度O(V)。 对每个顶点u的邻接链表，遍历，令v为u的边所指向的顶点；如果mark[v]=false，将uv加入新图，并将mark[v]设置为true；否则就跳过。复杂度O(E) 再次遍历u的连边，将mark[v]初始化 整体复杂度O(V+E) 伪代码: SOLVE(G,G’) 1 for each vetex u∈G 2 for each v∈ [u] 3 if mark[v]==false 4 mark[v]==true 5 Addedge(G’,u,v) 6 for each v∈[u] 7 mark[v]=false 图G的邻接矩阵表示，给出一个O(V)的算法来判断有向图G中是否存在一个通用汇点。 通用汇点指的是入度|V|-1，但出度为0。 等价问题：给定有向图G的V×V邻接矩阵G，在O(V)时间内判断是否存在一个数k，使得对所有的i有A[i][k]=1,对所有的j有A[k][j]=0,(i≠k,j≠k)
令i和j初值为1，若G[i][j]=0,说明i到j无边，j不可能是通用汇点，令j=j+1;若G[i][j]=1,说明i 到j有边，i不可能是通用汇点，令i=i+1，循环直到i>|V|或者j>|V|;若i>|V|，则不存在通用汇点，若j>|V|，则检查顶点i是否满足要求。 伪代码： 判断是否存在通用汇点 O(V) HAS_UNIVERSL_SINK(G) 1 i=j=1 2 while i≤V and j≤V 3 if G[i][j]==1 4 i=i+1 5 else j=j+1 6 if i>V 7 return false 8 else return CHECK(G,i) CHECK(G,u) 1 for each vertex v∈ 2 if G[u][v]=1 3 return false 4 for each vertex v ∈ 5 if G[v][u]==0& u!=v 6 return false 7 return true 检查点u是否是通用汇点 【宽度优先搜索】 计算无向图BFS后的d值和π值 简单，注意初始节点u的π值写NIL或者写-1
(完整版)算法导论复习要点
一、基础知识部分 1. 算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。 2. 算法是由若干条指令组成的有穷序列，且要满足输入、输出、确定性和有限性四条性质。 3. 快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法。 4. 矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。 5、算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 6、从分治法的一般设计模式可以看出，用它设计出的程序一般是递归算法。 7、问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 8、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。 9. 贪心算法的基本要素是贪心选择质和最优子结构性质。 10. 动态规划算法的两个基本要素是最优子结构性质和重叠子问题性质。 11、合并排序算法是利用（A ）实现的算法 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 12、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 13．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法B动态规划法C、贪心法D回溯法 14. 备忘录方法是那种算法的变形。（B ） A、分治法B动态规划法C、贪心法D回溯法 15．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法B动态规划法C贪心法D回溯法16．贪心算法与动态规划算法的主要区别是（ B ）。 A、最优子结构 B、贪心选择性质 C、构造最优解 D、定义最 优解 17. （D ）是贪心算法与动态规划算法的共同点。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质D最优子结构性质 18. 矩阵连乘问题的算法可由（B ）设计实现。 A、分支界限算法 B 、动态规划算法C、贪心算法D、回溯算法19、使用分治法求解不需要满足的条件是（ A ）。 A 子问题必须是一样的 B 子问题不能够重复 C 子问题的解可以合并 D 原问题和子问题使用相同的方法解 20．下列是动态规划算法基本要素的是（ D ）。 A、定义最优解B构造最优解C、算出最优解D子问题重叠性质 二、分析解答部分 1 、堆的高度与元素个数之间的关系 2、散列表技术中碰撞的定义与解决方法是什么 3、平摊分析的方法有哪些？重点是势能法的应用。例、对某个数据结构执行一个n 个操作的序列。如果i 为2的整数次幂，则第i 个操作的代价为i ，否则为 1.请用势能分析来确定每次操作的平摊代价。 解：不妨设i 2j k，其中k和j均为非负整数，且j取满足等式最大的整数。
大连理工大学软件学院算法导论第一次大作业源码
\documentclass{ctexart} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{fancyhdr} \begin{document} \pagestyle{fancy} \title{算法分析与设计第一次作业} \author{XXXX XXX\XXXXXX} \date{2013/9/11} \maketitle \noindent 3.1-2\ 证明： 证明$(n+a)^b=\Theta(n^b)$等价于证明存在$c_{1},c_{2},n_{0}>0$使得对于任意的 $n>n_{0}$,都有$0\leq c_{1}n^b \leq (n+a)^b \leq c_{2}n^b$成立。 $\because$ $n+a\leq n+|a|$，$\therefore$当$n\geq |a|$时，$n+a\leq 2n$。 又$\because$ $n+a\geq n-|a|$，$\therefore$当$|a|\leq \frac{1}{2}$时，$n+a \geq \frac{1}{2}n$。综上，当$n\geq 2|a|$时，$0\leq \frac{1}{2}n \leq (n+a) \leq 2n$。 $\therefore$ 对于$b>0$，有$0\leq (\frac{1}{2}n)^b \leq (n+a)^b \leq (2n)^b$ $\therefore$ 存在$c_{1} = (\frac{1}{2}n)^b$，$c_{2} = (2n)^b$，$n_{0}=2|a|$， 使得$0\leq c_{1}n^b \leq (n+a)^b \leq c_{2}n^b$成立。\ \ \ $\therefore$原命题得证。 \\ \noindent 3.1-3\ 解释：设运行时间为$F(n)$，则$F(n)\geq 0(n^2)$， $\therefore$ 若$F_{1}(n) = 0(n^2)$，则$F(n)\geq F_{1}(n)$， 又$\because$ $\forall$ n，$T(n)=0$时，$T(n)=0(n^2)$，且运行时间都大于0， $\therefore$对于所有的运行时间$F(n)$都有$F(n)\geq 0(n^2)$， $\therefore$这句话是没有意义的。 \\ \noindent
算法复习整理(呕心之作)
《算法设计与分析》复习提纲2011.06.12 1 引言(ch1) 1.什么是算法及其特征 算法是通过一系列有限的指令集构成的对特定问题进行求解的计算机执行描述。 算法特征：输入、输出、有限性、确定性、通用性 2.问题实例和问题规模 问题实例：解决一个问题所需要的所有输入 问题规模：算法输入实例的大小 2 算法初步(ch2) 1.插入排序算法 INSERT_SORT(A) for j<-2 to length[A] Do key<-A[j]//将A[j]插入到已排序的数列A[1..j-1] i<-j-1 while i>0 and A[i]>key do A[i+1]<-A[i]//给A[j]腾出位置 i<-i-1 A[i+1]<-key//找到位置插入key 2.算法复杂性及其度量 (1)时间复杂性和空间复杂性； 一个算法所需要的时间通常和输入的规模成同步增长，所以我们通常把算法运行的时间写成输入规模的某种形式，称为时间复杂度。 算法的空间复杂度通常是指算法所需要的内存存储空间的大小的量级，通常也写成输入规模的某种形式。 (2)最坏、最好和平均情形复杂性； 算法的最坏运行时间是指在任何输入情况下运行时间的一个上界。最好的复杂度是指在任何输入情况下运行时间的一个下界。平均时间复杂度是指算法运行时间的数学期望。 3.插入排序的最坏、最好和平均时间 插入排序的最坏时间复杂度是O(n2)发生在输入是逆序的情况下,最好时间复杂度是O(n)发生输入是顺序的情况下。平均时间复杂度同O(n2)。 3.归并排序算法及其时间复杂性 MERGE(A,p,q,r)//将两个排好序的数组合并 n1 <-q-p+1 n2<-r-q//r-(q+1)+1 create arrays L[1..n1+1] and R[1..n2+1]//建立两个数组
算法导论 第三版 第七章 答案 英
Chapter7 Michelle Bodnar,Andrew Lohr April12,2016 Exercise7.1-1 13199512874212611 13199512874212611 13199512874212611 91913512874212611 95131912874212611 95131912874212611 95819121374212611 95871213194212611 95874131912212611 95874131912212611 95874219122113611 95874261221131911 95874261121131912 Exercise7.1-2 If all elements in the array have the same value,PARTITION returns r.To make PARTITION return q= (p+r)/2 when all elements have the same value,modify line4of the algorithm to say this:if A[j]≤x and j(mod2)= (p+1)(mod2).This causes the algorithm to treat half of the instances of the same value to count as less than,and the other half to count as greater than. Exercise7.1-3 The for loop makes exactly r?p iterations,each of which takes at most constant time.The part outside the for loop takes at most constant time.Since r?p is the size of the subarray,PARTITION takes at most time proportional to the size of the subarray it is called on. Exercise7.1-4 To modify QUICKSORT to run in non-increasing order we need only modify line4of PARTITION,changing≤to≥. 1
算法导论 第三版 第21章 答案 英
Chapter21 Michelle Bodnar,Andrew Lohr April12,2016 Exercise21.1-1 EdgeP rocessed initial{a}{b}{c}{d}{e}{f}{g}{h}{i}{j}{k} (d,i){a}{b}{c}{d,i}{e}{f}{g}{h}{j}{k} (f,k){a}{b}{c}{d,i}{e}{f,k}{g}{h}{j} (g,i){a}{b}{c}{d,i,g}{e}{f,k}{h}{j} (b,g){a}{b,d,i,g}{c}{e}{f,k}{h}{j} (a,h){a,h}{b,d,i,g}{c}{e}{f,k}{j} (i,j){a,h}{b,d,i,g,j}{c}{e}{f,k} (d,k){a,h}{b,d,i,g,j,f,k}{c}{e} (b,j){a,h}{b,d,i,g,j,f,k}{c}{e} (d,f){a,h}{b,d,i,g,j,f,k}{c}{e} (g,j){a,h}{b,d,i,g,j,f,k}{c}{e} (a,e){a,h,e}{b,d,i,g,j,f,k}{c} So,the connected that we are left with are{a,h,e},{b,d,i,g,j,f,k}, and{c}. Exercise21.1-2 First suppose that two vertices are in the same connected component.Then there exists a path of edges connecting them.If two vertices are connected by a single edge,then they are put into the same set when that edge is processed. At some point during the algorithm every edge of the path will be processed,so all vertices on the path will be in the same set,including the endpoints.Now suppose two vertices u and v wind up in the same set.Since every vertex starts o?in its own set,some sequence of edges in G must have resulted in eventually combining the sets containing u and v.From among these,there must be a path of edges from u to v,implying that u and v are in the same connected component. Exercise21.1-3 Find set is called twice on line4,this is run once per edge in the graph,so, we have that?nd set is run2|E|times.Since we start with|V|sets,at the end 1
算法导论
1 第一课课程细节；绪论：算法分析，插入排序法(Insertion Sort)，归并排序(Merge Sort) 阅读：1-2章 发测验0 2 演示课1 算法的正确性 发《作业1》 3 第二课渐进记号(Asymptotic Notation)。递归公式(Recurrences)：置换法，迭代法，主方法 阅读：3-4 章，除了§4.4 4 第三课分治法：Strassen 算法，费氏数列，多项式乘法。 阅读：28 章第2 节，30章第1节 5 演示课2 递归公式，松散性 阅读：Akra-Bazzi 的讲义 6 第四课快速排序法，随机化算法 阅读：5 章 1 到 3 节，7 章 收《作业1》发《作业2》 7 演示课3 排序法：堆排序，动态集合，优先队列 阅读：6 章 8 第五课线性时间的排序法：时间下界，计数排序法，基数排序法 阅读：8 章第1 到 3 节 收《作业2》发《作业3》 9 第六课顺序统计学，中位数 阅读：9 章 10 演示课4 中位数的应用，桶排序 阅读：8 章第4 节 11 第七课散列，全域散列 阅读：11 章 1 到 3 节 收《作业3》发《作业4》 12 第八课散列函数，完美散列 阅读：11 章第 5 节 13 演示课5 测验1 复习 收《作业4》
14 评分后的作业4可以在中午拿到 15 测验1 16 演示课6 二叉搜索树，树的遍历 阅读：12 章 1 到 3 节 17 第九课二叉搜索树和快速排序法之间的关系；随机二叉搜索树的分析阅读：12 章 4 节 发《作业5》 18 第十课红黑树，旋转，插入，删除 阅读：13 章 19 演示课7 2-3树，B-树 阅读：18 章 1 到 2 节 20 第十一课高级数据结构，动态顺序统计，线段树（区间树） 阅读：14 章 收《作业5》发《作业6》 21 第十二课计算几何，区间查询 阅读：33 章 1 到 2 节 22 演示课8 凸多边形 阅读：33 章 3 节 23 第十三课van Emde Boas树，优先队列 阅读：van Emde Boas 的讲义 收《作业6》发《作业7》 24 第十四课平摊分析，表的复制，可能法 阅读：17 章 25 演示课9 竞争分析，自我排序列 26 第十五课动态规划，最长公共子序列，最优二叉搜索树 阅读：15 章 收《作业7》发《作业8》 27 第十六课贪婪算法，最小生成树 阅读：16 章 1 到 3 节，23 章 28 演示课10 贪婪算法和动态规划的范例
算法导论 第三版 第二章 答案 英
Chapter2 Michelle Bodnar,Andrew Lohr April12,2016 Exercise2.1-1 314159264158 314159264158 314159264158 263141594158 263141415958 263141415859 Exercise2.1-2 Algorithm1Non-increasing Insertion-Sort(A) 1:for j=2to A.length do 2:key=A[j] 3://Insert A[j]into the sorted sequence A[1..j?1]. 4:i=j?1 5:while i>0and A[i] Chapter6 Michelle Bodnar,Andrew Lohr December31,2016 Exercise6.1-1 At least2h and at most2h+1?1.Can be seen because a complete binary tree of depth h?1hasΣh?1 i=02i=2h?1elements,and the number of elements in a heap of depth h is between the number for a complete binary tree of depth h?1exclusive and the number in a complete binary tree of depth h inclusive. Exercise6.1-2 Write n=2m?1+k where m is as large as possible.Then the heap consists of a complete binary tree of height m?1,along with k additional leaves along the bottom.The height of the root is the length of the longest simple path to one of these k leaves,which must have length m.It is clear from the way we de?ned m that m= lg n . Exercise6.1-3 If there largest element in the subtee were somewhere other than the root, it has a parent that is in the subtree.So,it is larger than it’s parent,so,the heap property is violated at the parent of the maximum element in the subtree Exercise6.1-4 The smallest element must be a a leaf node.Suppose that node x contains the smallest element and x is not a leaf.Let y denote a child node of x.By the max-heap property,the value of x is greater than or equal to the value of y.Since the elements of the heap are distinct,the inequality is strict.This contradicts the assumption that x contains the smallest element in the heap. Exercise6.1-5 Yes,it is.The index of a child is always greater than the index of the parent, so the heap property is satis?ed at each vertex. 1 Introduction to Algorithms September7,2005 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Professors Erik D.Demaine and Charles E.Leiserson Handout5 (a) (b) (c) (d)and(note the little-) (e)and Problem1-2.Recurrences Give asymptotic upper and lower bounds for in each of the following recurrences.Assume that is constant for.Make your bounds as tight as possible,and justify your answers. (a) (b) (c) (d) Figure1:An example of a convex polygon represented by the array.is the vertex with the minimum-coordinate,and are ordered counterclockwise. (b)Give an algorithm to?nd the vertex with the maximum coordinate in time. (c)Give an algorithm to?nd the vertex with the maximum coordinate in time. 《分布式算法导论》读后感 分布式算法20多年来一直是倍受关注的主流方向。本书详细介绍了分布式算法及其理论，结合大量定理、引理、命题等的证明，讨论了点到点消息传递模型上的算法、计算机通信网络中实现的算法，重点是分布式应用的控制算法(如波动算法、广播算法、选举算法、同步系统算法等)，还涉及了利用分布式算法实现容错计算、方向侦听和故障检测器等方面的内容。本书条理清晰、深入浅出，适合作为大学本科高年级和研究生的分布式算法课程的教材和参考书，对于具有实践经验的专业人员也大有帮助。 1.为什么看这本书？个人认为是为了学习解决计算机科学普遍问题的方法论。该书的名称就是“导论”，本质上没讲几个算法，而是把900多页（我手头的电子版本）的篇幅都用在了算法证明，推导，分析上了，这些过程才是clrs 希望大家掌握的知识，因为这些知识可以帮你分析远远超过clrs本身的知识体系。这里，大多数同学认为，我不想了解这些玩意，我看clrs，就是为了了解尽可能多算法，其实如果只有这一个目的，给大家推荐一个我经常翻来翻去的一本“书”：《吉大模板》，该书抛弃了clrs中的一切废话，将远远超越clrs 容量的，以少/错一个字都不行的文本描述了大量基础算法。注意：这本书和类似的《浙大模板》（规模更大），《交大模板》（鬼畜版算法集合）在ACM/ICPC 是可以带进场内自由翻阅的，想想为什么一个竞赛在允许这样的同时还受世界各大计算机公司的青睐？ 2.虽然凭大家的智商，硬啃本书没问题，但还是建议看本书之前，先把大学相关科目复习一遍。《离散数学》是必须要完全搞定的，要不算法分析部分会让你很抓狂。《数据结构》可以提前剧透clrs的一些基础内容，刚考研的同学们有福了。如果你在本科时选修过组合数学，运筹学等，特定章节你是完全可以直接跳过的，因为你当时学的东西比clrs上那点详细多了。另外，《概率论》，《高数/数分》，《形式语言&自动机》也会有直接的间接的帮助。如果你在大学时不是一心为了刷狗日的保研分，而是认认真真的把上面这些玩意学好，那看clrs基本就是玩票级轻松。 3.为了让自己能答上面试的算法题（不管是下周还是3年后）而看这书的，希望你们考虑下，clrs给你带来了什么？3年前，如果你知道第K大还有O(N)的算法，3-sum还有O(N^2)的，基本上去百度是没啥问题了，但随着这几年程序员面试宝典之类的玩意泛滥，是个CS人就能答的上上面两个问题，面试管问的问题就水涨船高了，具体表现并不是问些clrs上没有的算法，而是clrs上算法的证明，组合和应用（当然狗搜还不厚道的搞起了TAOCP，操他妈的）。或是干脆不问算法了，改问分布式之类的新东西，如果你数据库学的很深，map/reduce 或各种NoSQL上的那些深层次的优化你也可以讲出个大概。总之，不要希望穷举面试官的问题，clrs提供的问题真的不够问。如果说clrs对面试有什么效果，我希望它能帮助你提高自己的分析能力。面试官想看到的是解决问题的能力，不是问题的答案。不要怕面试官考你原题你不会，我实习的时候，经理和我聊起面 第二章算法入门 由于时间问题有些问题没有写的很仔细，而且估计这里会存在不少不恰当之处。另，思考题2-3 关于霍纳规则，有些部分没有完成，故没把解答写上去，我对其 c 问题有疑问，请有解答方法者提供个意见。 给出的代码目前也仅仅为解决问题，没有做优化，请见谅，等有时间了我再好好修改。 插入排序算法伪代码 INSERTION-SORT(A) 1 for j ← 2 to length[A] 2 do key ←A[j] 3 Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1] 4 i ←j-1 5 while i > 0 and A[i] > key 6 do A[i+1]←A[i] 7 i ←i ? 1 8 A[i+1]←key C#对揑入排序算法的实现: public static void InsertionSort 算法导论复习资料 一、选择题：第一章的概念、术语。 二、考点分析： 1、复杂度的渐进表示，复杂度分析。 2、正确性证明。 考点：1）正确性分析（冒泡，归并，选择）；2）复杂度分析（渐进表示O，Ｑ，?，替换法证明，先猜想，然后给出递归方程）。 循环不变性的三个性质： 1）初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的； 2）保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确； 3）当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。 插入排序算法： INSERTION-SORT(A) 1 for j ← 2 to length[A] 2 do key ←A[j] 3 ?Insert A[j] into the sorted sequence A[1，j - 1]. 4 i ←j - 1 5 while i > 0 and A[i] > key 6 do A[i + 1] ←A[i] 7 i ←i - 1 8 A[i + 1] ←key 插入排序的正确性证明：课本11页。 归并排序算法：课本17页及19页。 归并排序的正确性分析：课本20页。 3、分治法（基本步骤，复杂度分析）。——许多问题都可以递归求解 考点：快速排序，归并排序，渐进排序，例如：12球里面有一个坏球，怎样用最少的次数找出来。（解：共有24种状态，至少称重3次可以找出不同的球） 不是考点：线性时间选择，最接近点对，斯特拉算法求解。 解：基本步骤： 一、分解：将原问题分解成一系列的子问题； 二、解决：递归地解各子问题。若子问题足够小，则直接求解； 三、合并：将子问题的结果合并成原问题的解。 复杂度分析：分分治算法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的，T(n)为一个规模为n的运行时间，得到递归式 T(n)=Q(1) n<=c T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) n>c 附加习题：请给出一个运行时间为Q(nlgn)的算法，使之能在给定的一个由n个整数构成的集合S 和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。 Chapter24 Michelle Bodnar,Andrew Lohr April12,2016 Exercise24.1-1 If we change our source to z and use the same ordering of edges to decide what to relax,the d values after successive iterations of relaxation are: s t x y z ∞∞∞∞0 2∞7∞0 25790 25690 24690 Theπvalues are: s t x y z NIL NIL NIL NIL NIL z NIL z NIL NIL z x z s NIL z x y s NIL z x y s NIL Now,if we change the weight of edge(z,x)to4and rerun with s as the source,we have that the d values after successive iterations of relaxation are: s t x y z 0∞∞∞∞ 06∞7∞ 06472 02472 0247?2 Theπvalues are: s t x y z NIL NIL NIL NIL NIL NIL s NIL s NIL NIL s y s t NIL x y s t NIL x y s t 1 Note that these values are exactly the same as in the worked example.The di?erence that changing this edge will cause is that there is now a negative weight cycle,which will be detected when it considers the edge(z,x)in the for loop on line5.Since x.d=4>?2+4=z.d+w(z,x),it will return false on line7. Exercise24.1-2 Suppose there is a path from s to v.Then there must be a shortest such path of lengthδ(s,v).It must have?nite length since it contains at most|V|?1 edges and each edge has?nite length.By Lemma24.2,v.d=δ(s,v)<∞upon termination.On the other hand,suppose v.d<∞when BELLMAN-FORD ter-minates.Recall that v.d is monotonically decreasing throughout the algorithm, and RELAX will update v.d only if u.d+w(u,v)算法导论 第三版 第六章 答案 英
MIT麻省理工学院 算法导论公开课Problem Set 1
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算法导论 第三版 第24章 答案 英