电磁场与电磁波习题+问题课(一)

1.16(P32)：已知)2()()(222xyz czx z z e by xy e axz x e E z y x -+-++++=

，试

确定常数a 、b 、c

使E

为无源场。

（知识点：无散场定义（散度为0的矢量场为无散场）；

散度计算：z

E y E x E E z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 。

关键点：无源场就是无散场，这里的源指通量源。

相关拓展：无散场又称无源场，无旋场又称保守场，无旋无散场又称调和场。）

解：z

xyz czx z z y by xy x axz x z E y E x E E z y x ∂-+-∂+∂+∂+∂+∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)

2()()(222 cx

z b az x xy

xc z b xy az x +-+++=-+-++++=21222122

若E 为无源场，即E

无无散场：0=⋅∇E

有2,1,201,02,02-=-==⇒=+=-=+c b a b a c

因此在2,1,2-=-==c b a 时E

为无源场。

)

1()2()2(++-++=b z a x c

1.18(P32)：（1）求矢量32222224z y x e y x e x e A z

y x ++=的散度；（2）求A ⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A

对立方体表面的积分，验证散度定理。

（知识点：散度计算z

E y E x E E z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ ；

散度定理：V E S E S

V

d d ⎰⎰⋅∇=⋅

;

体积分和面积分。

注意：“A

对立方体表面的积分”只能积分求得，不能用散度定理

来求。因为题目的要求是要验证散度定理。）

解：（1）矢量A

的散度：z A y A x A A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ z

z y x y y x x x ∂∂+∂∂+∂∂=32222224 2

2227222z y x y x x ++=

（2）A

⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分

(3) A

对立方体表面的积分

24

1d d d )7222(d )7222(d 2

12121212

12

12

2222222=++=++=⋅∇⎰⎰⎰

⎰

⎰---z

y x z y x y x x V z y x y x x V A V

V

241d d 21d d 21d d 21d d 21d d )2124d d )2124d d d d d d d 212121212

212121212

212121212221212121222121212132

22

1212

12132

2

=--+--+--=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------z y z y z x x z x x y x y x y x y x S

A S A S A S A S A S A S A S S S S S S S

）（）（）（）（（（后

前

右

左

下

上

即有V A S A S

V

d d ⎰⎰⋅∇=⋅

，得证散度定理。

1.22(P32)：求矢量2

xy e x e A y x +=沿圆周x 2+y 2=a 2的线积分，再

计算A

⨯∇对此圆面积的积分。

（知识点：直角坐标分量与圆柱坐标分量的转换：

ϕϕsin ,cos r y r x ==；

斯托克斯定理：S A l A C

S

d d ⎰⎰⨯∇=⋅

。）

解：矢量2

xy e x e A y x +=沿圆周x 2+y 2=a 2的线积分：

()

()

y

xy x x y e x e xy e x e l A y x C

C

y x d d d d d 22⎰⎰⎰

⎰+=++=⋅

由ϕϕsin ,cos a y a x ==得：

4

sin d sin cos cos d cos d 2

2220

20

a a a a a a l A C

πϕ

ϕϕϕϕπ

π=

+=⋅⎰⎰

⎰

利用斯托克斯定理S A l A C

S

d d ⎰⎰⨯∇=⋅

，知：

4d d 2

a l A S A C S π⎰⎰=⋅=⨯∇

2.3(P84) 电荷q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的z 轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。

（知识点：电流密度与运动电荷密度的关系：v J ρ=;

线速度与角速度之间的关系：r v ω=。）

解：导体球面选用球坐标系，任一点P 的位置矢量为r

，任一点

P 的线速度为： θωωsin r r v P ==

即ϕθωe r v sin =

球面上任一点的电荷面密度2

4a q

S πρ=

因此，可知导体球面的电流面密度为ϕθωπρe r a

q

v J S S

sin 42

=

= 2.9(P84)：无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行与z 轴，线电荷密度为ρl ，试求

P (x ,y ,x )处的电场强度E

。

（知识点：高斯定理：⎰⎰==⋅S l l l

q S E 0

0d d ερε 。）

解：对于无限长线电荷可用高斯定理⎰⎰==⋅S l l l q S E 0

0d d ερε

对于空间任意点P 有0

22d επρερπP l

S l P

R E l

l R E S E =⇒==⋅⎰

P 点到线电荷的位置矢量为)8()6(-+-=y e x e R y x P

则P 点处的电场强度

[]

(V/M)))8()6(()

8()6(222

200-+--+-==

=y e x e y x R R R e E E y x l P P P l R p

περεπρ

2.16（P85）：一个半径为a 的导体球带电量为q ，当球体以均匀

角速度ω绕一直径旋转时，试求球心处的磁感应强度B 。

(知识点：电流密度与运动电荷密度的关系：v J

ρ=;

磁感应强度表达式（比奥-萨伐儿定理）⎰

⨯=

V

V R

R

J B d 43

π

μ）

2.22(P86)：通过电流密为J

的均匀电流的长圆柱导体中有一平行

的圆柱形空腔，其横截面如图（见书）所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 （知识点：安培环路定理:

⎰⎰

⋅==⋅S

C

S J I l B d d 00μμ.

关键点：空腔内电流为0，为方便应用安培环路定理把空腔补齐，假设空腔内同时有电流密度为J

的电流流进和流出，这样既不改变原本的电流分布，也可得到两个呈圆柱状分布的体电流。） 解：设半径为b

的圆柱内有电流密度为J

的电流流出，半径为

a

的圆柱内有电流密度为J

的电流流进，空间各部分的磁感应强度

是这两部分电流激发的磁场叠加的结果。

在本题中r

JS

B JS S J I r B l B S

C πμμμμπ2d 2d 0000=⇒=⋅===⋅⎰⎰

半径为b 的圆柱中的电流激发的磁场为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=)(2)(2

200b r e r Jb b r e Jr B b b

b b b ϕϕμμ

半径为a 的圆柱中的电流激发的磁场为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥'

-<'-=)(2)(2200a r e r Ja a r e Jr B a a a a a ϕϕμμ 空间任一点处的磁感应强度为b a B B B +=，由图可知空间可分为三

部分。 空腔内（b r a r b a

<<,）

()d e J r r e J e e Jr e e Jr e Jr e Jr B J a b J r J a r J b b a a

b ⨯=-⨯=⨯-⨯=+'-=2

22

222000000μμμμμμϕϕ

导体内（b r a r b a <≥,）

ϕϕμμe Jr e r Ja B b a 2

2020+'-=

导体外（b r a r b a ≥≥,）

ϕϕμμe r Jb e r Ja B b

a

222020+'-=

3.13(P167)：在一块厚度为d 的导体板上，由两个半径分别为r 1和r 2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如图所示。试求：（1）沿导体板厚度方向上的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）沿α方向的两电极见的电阻。设导体板的电导率为σ。

(知识点：电导（电阻）的求解：R U E J I →→→→

R I J E U →→→→

⎰⎰⋅=⋅=C

S

l E U S J I d ,d ）