7.(2014·江苏)已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0
成立,则实数m 的取值范围是________.
解:由题可得f (x )<0对于x ∈[m ,m +1]恒成立,即?
????f (m )=2m 2
-1<0,f (m +1)=2m 2
+3m <0, 解得-
22<m <0.故填? ?
?
??-22,0. 8.若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集,求实数a 的取值范围.
解:x 2
-ax -a ≤-3的解集不是空集?x 2
-ax -a +3=0的判别式Δ≥0,解得a ≤-6或a ≥2.
9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ,且不等式f (x )>-2x 的解集为(1,3).
(1)若方程f (x )+6a =0有两个相等的实根,求f (x )的解析式; (2)若f (x )的最大值为正数,求a 的取值范围. 解:(1)∵f (x )+2x >0的解集为(1,3), ∴f (x )+2x =a (x -1)(x -3),且a <0.
因而f (x )=a (x -1)(x -3)-2x =ax 2
-(2+4a )x +3a.①
由方程f (x )+6a =0得ax 2
-(2+4a )x +9a =0.② 因为方程②有两个相等的实根,所以 Δ=[-(2+4a )]2
-4a ·9a =0, 即5a 2
-4a -1=0,解得a =1或a =-15
.
由于a <0,舍去a =1,将a =-1
5
代入①得f (x )的解析式
f (x )=-15
x 2-65
x -35
.
(2)由f (x )=ax 2
-2(1+2a )x +3a =a ? ??
??x -1+2a a 2
-a 2
+4a +1a , 及a <0,可得f (x )的最大值为-a 2+4a +1
a
.
由?????-a 2
+4a +1a >0,
a <0,
解得a <-2-3或-2+3<a <0.
故当f (x )的最大值为正数时,实数a 的取值范围是 (-∞,-2-3)∪(-2+3,0).
10.解关于x 的不等式:
a (x -1)
x -2
>1(a >0).
解:(x -2)[(a -1)x +2-a ]>0,
当a <1时有(x -2)?
??
??
x -
a -2a -1<0, 若
a -2a -1>2,即0<a <1时,解集为{x |2<x <a -2
a -1
};
若
a -2
a -1
=2,即a =0时,解集为?; 若
a -2a -1<2,即a <0时,解集为{x |a -2
a -1
<x <2}.
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18.
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0).
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元,即: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数,则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =). 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=,1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=,则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
基本不等式知识点归纳
向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小)
高一数学必修 不等式知识点总结
不等式 一、基本不等式 1、0a b a b ->?>;0a b a b -=?=;0a b a b -<. 2、不等式的性质: ①a b b a >?<;②,a b b c a c >>?>;③ a b a c b c >?+>+;④,0a b c ac bc >>?>,,0a b c ac bc ><;⑤,a b c d a c b d >>?+>+;⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>;⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >;⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >. 3、设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数,ab 称为正数a 、b 的几何平均数.4、均值不等式定理:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即 2a b ab +≥.5、常用的基本不等式:①()222,a b ab a b R +≥∈;②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈;③()20,02a b ab a b +??≤>> ???;④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? .6、极值定理:设x 、y 都为正数,则有⑴若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s .⑵若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值2p . 例:(13-14耀华7)若2-m 与|m |-3异号,则m 的取值范围是 A、m >3 B、-33 解析:由题.323,03020302><<-∴? ??>-<-???<->-m m m m m m 或或得答案:D 例:(13-14蓟县11)已知实数的最小值为则且、y x y x R y x 12,1,+=+∈解析:22323))(12(12+≥++=++=+y x x y y x y x y x 当且仅当222y x =
第41讲--基本(均值)不等式
第41讲 基本(均值)不等式 夯实基础 【p 87】 【学习目标】 1.了解基本(均值)不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【基础检测】 1.若函数f(x)=x +1 x -2 (x>2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 2.若a>0,b>0,且1 4 a +4 b =1,则ab 的最大值为______________. 3.若a>0,则a +8 2a +1 的最小值为__________. 4.已知两正数x ,y 满足x +y =1,则z =????x +1x ??? ?y +1 y 的最小值为________.
【知识要点】 1.基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥ __2ab__(a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥__2__(a ,b 同号); (3)ab ≤ ????a +b 22(a ,b ∈R ); (4) ????a +b 22≤a 2+b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b>0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0, (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p(简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4 (简记:和定积最大).
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =,
基本不等式知识点归纳教学内容
基本不等式知识点归 纳
基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ;
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高; 逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学 生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价)课前准备】教具:“几何画板”及PPT 课件. 粉笔:用于板书示范. 第1 页共4 页
基本不等式学习知识梳理
基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程,理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2. 2 a b +≤ 解决最大(小)值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一:重要不等式及几何意义 1.重要不等式: 如果,R a b ∈,那么2 2 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号“=”). 2.基本不等式: 如果,a b 是正数,那么 2a b +≥(当且仅当a b =时取等号“=”). 要点诠释:22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ (1)成立的条件是不同的:前者只要求,a b 都是实数,而后者要求,a b 都是正数;
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当a b =时取等号”。 (3)2 2 2a b ab +≥可以变形为:222a b ab +≤,2a b ab +≥可以变形为:2()2 a b ab +≤. 3.如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC a =,BC b =,过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ,连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??,那么2 CD CA CB =?,即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +,它大于或等于CD ,即ab b a ≥+2 ,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a b =时,等号成立. 要点诠释:1.在数学中,我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数,称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项,ab 看作是正数,a b 的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二:基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图,在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ,正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所 以:22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a b =时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有2 2 2a b ab +=。
基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
VIP 免费 欢迎下载 学生姓名: 任课教师: 试卷审查教师: 测试科目: 涉及章节: 教师评语: 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展:若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件,掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.难点:利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点:正确运用基本不等式证明不等式,会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1,求 x 1+y 1的最小值. 点拨:∵x 、y 为正数,且x +2y =1, 日期: 2012- 时间:
∴x 1+y 1=(x +2y )(x 1+y 1) =3+x y 2+y x ≥3+22, 当且仅当 x y 2=y x ,即当x =2-1,y =1-22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. (2)注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨: 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-,所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析:解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即,与104 xy <≤相矛盾。 解析:z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-,令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=,由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值
必修五不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间
三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结:
高级中学数学基本不等式知识点归纳及理解练习知识题
高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤ a + b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ???a +b 22 (a ,b ∈R ); (4) a 2+ b 22 ≥? ?? ? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a + b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24 .(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是 2 2 ? ??a +b 22 (a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
两个变形 (1) a 2+ b 22 ≥? ? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); (2) a 2+ b 22 ≥ a + b 2 ≥ab ≥ 2 1 a + 1 b (a >0,b >0,当且仅当a =b 时取等号). 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+1 2x 2 (2)y =x +1 x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。
均值不等式练习题
均值不等式知识点: 二、习题讲解: 例1: (1)求y = x+Z(x>O)的最小值 (2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值 X (3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2 变式训练: 4 1.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值 X 2.当x>-l时,求f(x)= x+ —的最小值 x + 1 3?已知xv-?求函数y=4x-2+—-一的最上值 4 4x-5 4?己知JU b. c ∈ R ?求证:a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ ac y= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石 5?X 6.y = ZxH—-—,x>3 x-3 7.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr) Sin X
例2: (1)已知OVXV丄,求y =ZX(I-2x)的最衣值 2 2 (2)已知:a、b都是正数,Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b 变式训练: 1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值 2.当0 Cx <4时,求y =χ(8 - 2x)的最人值。 3.设0 2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为 2 丿 sin2x 5 Z X Y - — 4x+ S 3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值 2 2x-4 y=手宀的最小值是 4. √X 2 + 2 IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。 χ- + 5 6求函数y =-==的值域。 7?设x ,y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 ?则的最小值 例 4:己知a,b,cwR+,且a + b+c = l?求证:丄 + —+ - ≥9 变式训练: 1 4 1.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。 例3:求函数y = X - +3x+3 x+1 (x>-l)的1?小值 变式训 练:
一元二次不等式及其解法练习题.doc
一元二次不等式及其解法练习 班级: 姓名: 座号: 1 比较大小: (1)2 6+ (2)2 21)-; (3 ; (4)当0a b >>时,12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空: (1),____a b c d a c b d >--; (2)0,0____a b c d ac bd >><; (3)0a b >>? (4)2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<,则一定成立的不等式是( ). A .220x a << B .22x ax a >> C .20x ax << D .22x a ax >> 4. 如果a b >,有下列不等式:①22a b >,②11 a b <,③33a b >,④lg lg a b >, 其中成立的是 . 5. 设0a <,10b -<<,则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+,2()21g x x x =+-,则()f x 与()g x 的大小关系为( ). A .()()f x g x > B .()()f x g x = C .()()f x g x < D .随x 值变化而变化 8.(1)已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. (2)已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤,求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤,则2αβ-的范围是( ). A .(,0)2 π - B .[,0]2π - C .(,0]2π- D .[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. (1)2230x x +->; (2)2230x x -+-> (3)2230x x -+-≤.
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件: a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件:当且仅当a =b时取等号. [探究]1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当a = b时,乞_卫_ ab取等号,即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时,-—丄」ab取等号,即 -—=.-;:ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫,几何平均数为,ab,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x y有最小值是2「p.(简记:积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时,xy有最大值是—.(简记:和定积最大). [探究]2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 1 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解?例如,y=x 在x_2时的最小值,利用单调 x 5 性,易知X = 2时丫皿山二. 2 [自测?牛刀小试] 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81,则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析:选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.