知识讲解 一元二次不等式及其解法 基础

一元二次不等式及其编稿：张希勇 审稿：李霞

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；

2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；

3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx ??.一元二次不等式的一般形式：20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?. 设一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，则不等式20axbxc ???的解集为??21xxxxx ??或，不等式20axbxc ???的解集为??21xxxx ??

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ?成立.

要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，设ac b42???，它的解按照0??，0??，0??可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc ???(0)a ?的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?的解集.

要点诠释：

（1）一元二次方程20(0)axbxca????的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的

取值，是抛物线?y cbxax??2与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0??????三种情况，得到一元二次不等式20axbxc???与20axbxc ???的解集.

要点三、解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程20axbxc???(0)a?，计算判别式?：

①0??时，求出两根12xx、，且12xx?（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②0??时，求根abxx221???；

③0??时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程

开始

将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)

Δ=b2-4ac

求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根Δ≥0?否

是

要点诠释：

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法

例1.解下列一元二次不等式

（1）250xx??；（2）2440xx???；（3）2450xx????

【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符法则解答.

【解析】

（1）方法一：

因为2(5)410250????????

所以方程250xx??的两个实数根为：10x?，25x?

函数25yxx??的简图为：

因而不等式250xx??的解集是{|05}xx??. 方法二：

250(5)0xxxx?????050xx???????或050xx??????

解得05xx?????或05xx?????，即05x??或x??. 因而不等式250xx??的解集是{|05}xx??. （2）方法一：

因为0??，

方程2440xx???的解为122xx??.

函数244yxx???的简图为：

所以，原不等式的解集是{|2}xx?

方法二：2244(2)0xxx?????（当2x?时，2(2)0x??）

所以原不等式的解集是{|2}xx?

（3）方法一：

原不等式整理得2450xx???.

因为0??，方程2450xx???无实数解，

函数245yxx???的简图为：

所以不等式2450xx???的解集是?. 所以原不等式的解集是?.

方法二：∵2245(2)110xxx??????????

∴原不等式的解集是?. 【总结升华】

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

2. 当0??时，用配方法，结合符法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0??且是一个完全平方数时，利用因式分解和符法则比较快捷，（如第1小题）.

3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】

【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx???????????解不等式f(x)＞3.

【答案】由题意知20,23xxx??????或20,23,xxx???????

解得：x＞1.

故原不等式的解集为{x|x＞1}

．．

【变式2】（2015 重庆）函数22(x)log(x2x3)f???的定义域是（）

A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞)

D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞) 【答案】由题意得：2230xx???，即(x1)(x3)0???

解得x>1或x<-3,

所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)，

故选D。

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法

例2．解下列关于x的不等式

（1）x2-2ax≤-a2+1；

（2）x2-ax+1>0；

（3）x2-(a+1)x+a<0；

【思路点拨】

解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

【解析】

(1) 22210[()1][()1]011xaxaxaxaaxa???????????????

∴原不等式的解集为{|11}xaxa????. (2) Δ=a2-4

当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不

等式的解集为}2424|{22??????aaxaaxx或

当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2axx?. 当Δ<0，即-2

原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0

当a>1时，原不等式的解集为{x|1

当a=1时，原不等式的解集为?.

【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：)0(01)1(2?????axaax【答案】原不等式化

为0)1)((???axax

①a=1或a=-1时，解集为?；

②当0

③当a>1或 -1

【变式2】解关于x的不等式：223()0xaaxa????（aR?）

【答案】2232()0()()0xaaxaxaxa????????

当a＜0或a＞1时，解集为2{|}xxaxa??或；

当a=0时，解集为{|0}xx?；

当0＜a＜1时，解集为2{|}xxaxa??或；

当a=1时，解集为{|1}xx?；

【变式3】（2015春房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。

【答案】

∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[()]()078aaxx????。

①当a=0时，78aa??，不等式化为x2＜0，解得x∈?。

②当a＞0时，78aa??，不等式解集为{|}78aaxx???。

当a＜0时，78aa??，不等式解集为{|}87aaxa???

例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式?－x+1＜0?x＞1；

若a＜0，原不等式?211(1)0xxaa????11()(1)0xxxaa??????或x＞1；若a＞0，原不等式?2111(1)0()(1)0xxxxaaa????????，

其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故

（1）当a=1时，原不等式?x??；

（2）当a＞1时，原不等式?11xa??；

（3）当0＜a＜1时，原不等式?11xa??

综上所述：

当a＜0，解集为1{|1}xxxa??或；

当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为1{|1}xxa??；

当a=1时，解集为?；

当a＞1时，解集为1{|1}xxa??. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法

是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【答案】当a=0时，x∈(-?,2].

当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121??xax

①当a>0时，

若210??aa，，即210??a时，),1[]2,(?????ax?；

若210＝，aa?，即21?a时，x∈R；

若210??aa，，即21?a时，),2[]1,(??????ax.

②当a<0时，则有：21?a，∴]21[，ax?.

【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；

【答案】当a=0时，)21,(???x. 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，

①a>0时，则Δ>0

，)11,11(aaaax???????.

②a<0时，

若a<0，△<0，即a<-1时，x∈R；

若a<0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1；

若a<0，△>0，即 -1

),11()11,(???????????aaaax . 【高清课堂：一元二次不等式及

其解法 387159 题型二含参数的一元二次不等式的解法】

【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．

【答案】

当a＞0时，不等式的解集为{|-}43aaxxx??或；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，不等式的解集为{|-}34aaxxx??或.

类型三：一元二次不等式的逆向运用

例4. 不等式20xmxn???的解集为(4,5)x?，求关于x的不等式210nxmx???的解集. 【思路点拨】

由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20xmxn???的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.

【解析】由题意可知方程20xmxn???的两根为4x?和5x?

由韦达定理有45m???，45n???

∴9m??，20n??

∴210nxmx???化为220910xx????，即220910xx???

(41)(51)0xx???，解得1145x????，

故不等式210nxmx???的解集为11(,)45??.

【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.

举一反三：

【变式1】（2015 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集

为{x|-1

A.-2

B.-1

C.0

D.1

【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1

∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，

∴11xa??或x=-1, 即a的值是1，故选D。

【变式2】已知220axxc???的解为1132x???,试求a、c,并解不等式

220cxxa????. 【答案】由韦达定理有：11232a????，1132ca???，∴

12a??,2c?.

∴代入不等式220cxxa????得222120xx????，

即260xx???，(3)(2)0xx???，解得23x???，

故不等式220cxxa????的解集为：(2,3)?.

【变式3】已知关于x的不等式20xaxb???的解集为(1,2)，求关于x的不等式210bxax???的解集.

【答案】由韦达定理有：1212ab????????，解得32ab??????, 代入不等式

210bxax???得

22310xx???，即(21)(1)0xx???，解得12x?或1x?. ∴210bxax???的解集为：1(,)(1,)2????.

类型四：不等式的恒成立问题

【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三不等式恒成立的问题】

例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，

求实数a的取值范围．

【思路点拨】

不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，

显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

从而有220,44(2)(1)0.aaa???????????

整理，得2,(2)(3)0.aaa??????????

解得a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论. 举一反三：

【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】

(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5

若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去. (2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，

由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，

所以???????????????0)5m4m(12)1m(1605m4m222，

即????????19m15m1m或，∴ 1

综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.