曲率及曲率变化率

一、曲率

曲率定义为一定弦长的曲线轨道（如30M ）对应之园心角θ（度/30米）。度数大，曲率大，半径小。反之，度数小，曲率小，半径大。轨检车通过曲线时（直线亦如此），测量车辆每通过30米后车体方向角的变化值，同时测量车体相对两转向架中心连线转角的变化值，即可计算出轨检车通过30米曲线后的相应圆心角θ变化值。

测量曲率的传感器分布如图4-12。摇头速率陀螺YAW ，测量车体摇头角速率；

位移计DT1测量车体一位端的心盘处与一位转向架构架间的相对位移；位移计DT2、DT3测量车体二位端心盘前后两侧与二位转向架构架之间的相对位移；光电编码器TACH 提供速度距离信息,由于一阶模拟滤波器在处理模拟时间域信号时，其频率特性是固定不变的，但在处理YAW 所表示的空间域频率信号时，其频率特性就是变化的了。因此，一阶模拟滤波器输出信号经采样，进入计算机还需进行数字滤波处理。数字滤波的作用，是对一阶模拟滤波器引起的频率特性变化进行校正，使得模拟滤波和数字滤波混合处理后，在设计的通带范围内，空间域幅值特性不受列车运行速度的影响。

曲率测量的信号流程如图4-13。摇头速率陀螺输出信号经B(s)一阶模拟滤波处理后，进入计算机，再进行数字处理。)(z C 为一阶数字滤波器。)(z C 的输出，是单位采样距离对应的车体方向角x c ??/φ。用安装于一位转向架构架和车体间的位移计DT1测量一位转向架构架与车体间的位移d 1。用安装于二位转向架构架和车体间的位移计DT2和DT3，测量二位转向架构架和车体间的位移d 2。由d 1和d 2计算出单位采样距离相应的车体与两转向架中心连线间相对夹角x ct ??/φ。通过

x c ??/φ和x ct ??/φ的结合计算出两转向架中心连线对应于单位采样距离的方向

角x t ??/φ，对信号x t ??/φ进行低通滤波，滤除不必要的波长成分，最终获得轨

二、曲率变化率

曲率变化率

?目前轨检车是由相隔18m 的两点实际测量的曲率差除以18m 计算得到。

?选择18m 主要考虑车辆定距和滤波。

?曲率可以通过测量20m 正矢得到，简化近似公式为：?，C 为曲率(1/m)，δ为20m 正矢(mm)。?曲率变化率静态测量时，基长取20m ，则曲率变化率为:?。即弦长20m 正矢变化为1mm 时，曲率变化

率为。

?这只是简单计算，还要做些数据处理，消除测量误差和不需要的成分。

曲率变化率主要考虑直线段长波长轨向和曲线段曲线不圆顺，是舒适性控制指标。

δC ＝－??5102δ

,10-=C R 6

10-

曲面连续性G0--G4详解

一. G0、G1、G2、G3是描述曲面、曲线的连续方式，平滑程度的，一般常用于判断修补曲面时的曲面质量。国际模具网 G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。曲线无断点，曲面相接处无裂缝。判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。 G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。 G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。 G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。二. Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。 1.G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。 2.G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲壮，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。我们通常的倒圆角就是这种情况。 3.G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。曲率连续意味着在任何曲面上的任一“点”中沿着边界有相同的曲率半径。外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。 4.G3两的对象光顺连续，三阶微分连续等。

曲率变化率的变化率连续逆向造型的A级曲面详解

因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。他们按独立分类做出了同样的定义。物理定义： A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。曲面是挺难做到这一点的，切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。点连续仅仅保证没有缝隙，完全接触。事实上，切连续的点连续能满足大部分基础工业（航空和航天、造船业、BIW等）。基于这些应用，通常并无曲率连续的需要。 A-surf首先用于汽车，并在消费类产品中渐增（牙刷，Palm，手机，洗机机、卫生设备等）。它也是美学的需要。 *点连续（也称为G0连续）在每个表面上生产一次反射，反射线成间断分布。 *切线连续（也称为G1连续）将生产一次完整的表面反射，反射线连续但呈扭曲状。-*曲率连续（也称为G2连续的，Alias可以做到G3！）将生产横过所有边界的完整的和光滑的反射线。在老的汽车业有这样一种分类法： A面，车身外表面，白车身；B面，不重要表面，比如内饰表面；C面，不可见表面。这其实就是A级曲面的基础。

曲率与挠率

曲率与挠率摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性. 关键词：曲率与挠率平面特征刚性运动 1. 曲率与挠率的定义及其几何意义 1.1曲率的解析定义设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r ,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k =,并称()s r 为C 的曲率向量,当 ()0≠s k 时,称()() s k s p 1 = 为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理. 引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=?α r ,即r r 垂直于α . 另一方面由于1=r ,两边关于弧于s 求导便得 0=?r r , 即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ?共线,即r 与β 共线. 由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C

的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数 () 1 s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义任取曲线C :()s r r =上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +?,P 和Q 点处的单位切向量分别为()()s r s =α和()()s s r s s ?+=?+ α,它们的夹角设为θ?,将()s s ?+α 的起点移到()p s 点,则()()2 sin 2θ αα?=-?+s s s ,于是 ()() s s s s s s ?????=??= ?-?+θθθ θαα2 2sin 2sin 2 故 ()()s r s k = ()() s s s s s s s s ??=?????=?-?+=→?→?→?→?θθθθ ααθθ000 lim lim 2 2sin lim lim 这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大. 1.3.2挠率的几何意义由挠率的定义和()γ τ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度. 1.4 直线与平面曲线的特征

曲率

曲率： . 1 ;0.) 1(lim M s M M :.,13202a K a K y y ds d s K M M s K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???= =''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α ααα α 定积分的近似计算： ???----+++++++++-≈ ++++-≈ +++-≈ b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n a b x f y y y y n a b x f y y y n a b x f )](4)(2)[(3)(])(2 1 [)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式： ??--==?=?=b a b a dt t f a b dx x f a b y k r m m k F A p F s F W )(1)(1 ,2 2 2 1均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：

。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+?=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++?? ? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用

UG曲线连续性定义

曲线绘图的连续性简介 G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。曲线无断点，曲面相接处无裂缝。判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。 G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。 G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。 G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。 9、Gn连续的定义 1、Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。 G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。 G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲状，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。我们通常的倒圆角就是这种情况。 G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有相同的曲率半径。外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。 G3两的对象光顺连续，三阶微分连续等。 Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。 2、G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。 G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。如何分析出一个曲面是G1还是G2？用高斯曲率分析：两个面之间公共线左右如果颜色有分界线就是G1；如果没有分界线就是G2 用加亮曲线分析：如果加亮曲线条纹在公共线左右断开就是G1；如果没有分界线就是G2。G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续

曲率连续讲解

上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面

最外侧是G4

注意看平面和过度面的连接处 G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续用这些术语描述曲面的连续性。曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。连续性类型： G0-位置连续

图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。

图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。

图中的两组曲线属于曲率线续。顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。这通常是制作光滑表面的最低要求。也是制作A级面的最低标准。

UG关于连续的几种方式

关于连续的几种方式，以下是我个人的一点看法： G0连续又叫——点连续。是指曲线或曲面与任意平面交线是连续曲线，没有断点，既曲线方程连续。对曲面来说,说白了就是没有裂缝。 G1连续又叫——相切连续。是指曲线或曲面与任意平面交线平滑无折点（相切），既曲线方程一阶导数连续。对曲面来说,说白了就是处处圆滑相切，没有楞，显示曲率时颜色有突变。 G2连续又叫——曲率连续。是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率连续，作曲率分析的曲线是连续曲线，无断点。既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线连续。对曲面，最简单的判断方法就是斑马线圆滑无折点，显示曲率时颜色是渐变的。 G3连续又叫——？（我的叫它曲率变化连续）。是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率变化率连续，作曲率分析的曲线是平滑曲线，无折点。既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线平滑，三阶导数曲线连续。小弟才疏学浅，除了用曲率分析外不知其他的判断方法，请各位大侠指教。由上，我个人拙见：所谓G1、G2、G3是指曲线方程最高导数曲线连续的阶次，例如G2连续曲线1、2阶导数曲线都连续。好像记得高等数学有这样一个定理：如果一个曲线方程一阶、二阶、三阶导数连续，则其n阶导数曲线连续（n为自然数）。我想这也许是将G3连续称作完美曲线的原因吧，也许也是没有什么G4、G5连续的原因。严重声明：本人是菜鸟一个，以上只是个人在这个论坛混了几个月的一点思考。肯定有错误，请大侠不吝指教，我尽快改正，以免扰己误人。另：本人作图说明各种连续，但是没有更简单明确的方式说明G3连续，请大侠门帮忙赐我一个例子。各种连续的曲线说明：

以下是简单曲面的说明：

曲率变化率的化率连续逆向造型的A级曲面详解

在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为 Class A Engineering，重点是在确定曲面的质量可以符合A级曲面的要求。所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在 0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到 0.001mm），切率改变 ( tangency Change )在0.16度以下，曲率改变 (curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。 a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class 通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。他们按独立分类做出了同样的定义。物理定义：A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。曲面是挺难做到这一点的，切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。

proe 曲面曲率

分析曲面曲率模块概述使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。在本模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率连续曲面的创建方法。目标成功完成此模块后，您即可知道如何： ?分析曲面理论。 ?定义曲率和曲率连续性。 ?分析曲线的曲率。 ?分析曲面的曲率。 ?使用截面分析曲率。 ?使用法线分析曲率。 ?使用曲面的着色曲率。 ?使用着色截面曲率。 ?创建曲率连续曲面。

曲面分析理论您可使用专用工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。 ?其目标是为了创建高质量的曲面。 ?分析曲面的原因： o预期的平滑度和连续性 o预期的曲率 o无扭曲或扭结 o适合于制造过程 ?常用分析选项： o快速 o已保存 o特征查看着色曲率

“保存的分析”对话框剖面分析曲面分析理论 Pro/ENGINEER 提供了许多不同的工具，以满足不同的建模要求。您可根据自己的目标使用特定工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。

分析曲面的原因创建曲面时，目标是创建具有高质量的曲面。请考虑以下分析曲面的原因： ?创建具有预期平滑度和连续性的曲面。可使用分析工具检验相切和曲率连续性。 ?创建具有预期曲率的曲面。可检查是否存在不需要的高曲率区域，这些区域表示曲面有问题。例如，曲面中的扭结会使曲率显示为突然增大，借助Pro/ENGINEER 的分析工具可轻松找出此类扭结。 ?创建无扭曲的曲面。扭结或小曲面片是曲面模型中常见的问题。在创建实体零件或创建制造序列时，它们可能在添加厚度时引起一些问题。 ?创建适合于制造过程的曲面。许多操作(例如创建加工序列) 都会将曲面侧考虑在内。曲面模型中的面组应具有相应的正法向侧。常用分析选项使用Pro/ENGINEER 的模型分析工具时有三个选项可用： ?快速(Quick) - 允许计算测量而不保存分析或在模型树中创建特征。关闭对话框后此分析消失。 ?已保存(Saved) - 允许保存测量以备今后使用。关闭对话框后此分析保留。可以为分析指定一个唯一名称，以使以后它对您有意义。可通过单击“分析”(Analysis) > “保存的分析”(Saved Analysis)来启用、禁用或编辑保存的分析的显示。已保存分析更新为模型几何更改。“保存的分析”对话框如左下图所示。 ?特征(Feature) - 允许将分析作为一种特征保存在模型树中。该分析更新为模型几何更改。定义曲率曲面的曲率定义为与1/R 成正比，其中R 为曲面在指定位置的半径。

曲率及曲率变化率

一、曲率曲率定义为一定弦长的曲线轨道（如30M ）对应之园心角θ（度/30米）。度数大，曲率大，半径小。反之，度数小，曲率小，半径大。轨检车通过曲线时（直线亦如此），测量车辆每通过30米后车体方向角的变化值，同时测量车体相对两转向架中心连线转角的变化值，即可计算出轨检车通过30米曲线后的相应圆心角θ变化值。测量曲率的传感器分布如图4-12。摇头速率陀螺YAW ，测量车体摇头角速率；位移计DT1测量车体一位端的心盘处与一位转向架构架间的相对位移；位移计DT2、DT3测量车体二位端心盘前后两侧与二位转向架构架之间的相对位移；光电编码器TACH 提供速度距离信息,由于一阶模拟滤波器在处理模拟时间域信号时，其频率特性是固定不变的，但在处理YAW 所表示的空间域频率信号时，其频率特性就是变化的了。因此，一阶模拟滤波器输出信号经采样，进入计算机还需进行数字滤波处理。数字滤波的作用，是对一阶模拟滤波器引起的频率特性变化进行校正，使得模拟滤波和数字滤波混合处理后，在设计的通带范围内，空间域幅值特性不受列车运行速度的影响。曲率测量的信号流程如图4-13。摇头速率陀螺输出信号经B(s)一阶模拟滤波处理后，进入计算机，再进行数字处理。)(z C 为一阶数字滤波器。)(z C 的输出，是单位采样距离对应的车体方向角x c ??/φ。用安装于一位转向架构架和车体间的位移计DT1测量一位转向架构架与车体间的位移d 1。用安装于二位转向架构架和车体间的位移计DT2和DT3，测量二位转向架构架和车体间的位移d 2。由d 1和d 2计算出单位采样距离相应的车体与两转向架中心连线间相对夹角x ct ??/φ。通过 x c ??/φ和x ct ??/φ的结合计算出两转向架中心连线对应于单位采样距离的方向

曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点

曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究. 给出了常曲率和挠率的空间曲线特性? 关键词：曲率挠率空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定 ?而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解? 一曲率的概念和几何意义 1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在 P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。图1-1

设空间中c3类曲线（c）的方程为曲线（C）上一点P,其自然参数为S,另一邻近点p i,其自然参数为S + A S。在P, P1两点各作曲线（c）的单位切向量*is和〉s ?厶s。两个切向量间的夹角是丄（图1-3），也就是把点p的切向量〉s平移到点P后，两个向量〉s 和:：i is： =s的夹角为「。图1-3 定义空间曲线（C）在P点的曲率为 3豐忑，其中厶S为P点及其邻近点p间的弧长，二!'为曲线在点P和p」勺的切向量的夹角。2曲率的几何意义利用“一个单位变向量"（（即卩（t）| = 1）的微商的模A '（t）的几何意义是丫（t）对于t的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量〉上去，则有 '■ s 八。由于「所以曲率也可表示为由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。

catia连续性分析

catia连续性分析发表时间:2013-06-22 10:08 来源:mfcad 作者:daomi 点击:215次斑马线斑马线实际上是模拟一组平行的光源照射到索要检测的表面上所观察到的反光效果。 G0的斑马线在连接处毫不相关，各走各的，线和线之间不连续，通常是错开的。 G1的斑马线虽然在相接处是相连的，但是从一个表面到另一个表面就会发生很大的变形，通常会在相接的地方产生尖锐的拐角。 G2的斑马线则是相连，且在连接处也有一个过渡，通常不会产生尖锐的拐角，也不会错位。 G3,G4的斑马线很难和G2的区分开。 CATIA 斑马线G0 点连续表示曲面连接（仅连接）在一起，斑马纹在中间有断开层。表现在模型上为尖角等情况 G1 相切连续斑马纹在转折处为突变的情况，表示曲面相切连续表现在模型上为倒圆角等情况

G2 曲率连续斑马纹平滑连续，表示曲率连续，反看上去很舒服的那种一般为外观产品，如消费类电子产品等外观均作此要求这5中连续性的名称分别叫做：G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续

曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅

G0-位置连续图中所示的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。这种连续性的表面看起来会有一个很尖锐的接缝，属于连续性中级别最低的一种

G1-切线连续图中所示的两组曲线属于切线连续，他们不仅在连接处端点重合，而且切线方向一致(可以看到相连的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。这种连续性的表面不会有尖锐的连接接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上仍然会有很明显的差异。会有一种表面中断的感觉通常用倒角工具生成的过渡面都属于这种连续级别。因为这些工具通常使用圆周与两个表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。如果想生成更高质量的过渡面，还是要自己动手

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是

CATIA 曲面的连续性

catia曲面连续性资料整理 G1,G2,G3 是一种曲面连续性，surface connection continuty G1 is point continuty G2 is tangent continuty G3 is Curvature continuty. 基本上，入学者是用光线的分辨A 面的质素是最直接的。想象汽车的曲面，阳光照在车身的线条是非常不顺畅。这代表那曲面是有许多不顺畅的曲面连续。一般上，人们都会用黑白条线，来分析。高级者用曲面的radius转变，porcupine analysis。曲面的转变，不能够太大和突然。有时间。看下过去一些高手贴的资料。我有几个版本的关于A面的解释，分享一下 G0连续 1.一条曲线的一个端点与另一条曲线的一端点相接触,我们可认为：两曲线在这一点的连接处于G0连续状态。 2.一个曲面的一边界与另一曲面的一边界重合,我们可认为：两曲面在这一边界的连接处于G0连续状态。 3.如果两者间的连续性达不到G0我们称之为误差,这个误差是个绝对误差,是以毫米或英寸为测量单位的一距离值。 G1连续 1.曲线与曲线在某一点处于G0连续状态，且两曲线在某一点的法线相同，在这一点的切线的夹角为零度时，我们就称两条曲线处于G1连续。 2.如果曲面与曲面在曲线的某一处于G0连续状态，曲面a在曲线b的任意点的法线方向和曲面b在曲线b的同一点的法线方向相同，我们就称两个曲面处于G1连续。 3.如果两者间的连续性达不到G1我们称之为G1误差,这个误差是个绝对误差,是以deg 或rad为测量单位的一角度值。 G2连续 1.曲线与曲线在某一点处于G1连续状态，两条曲线在在这一点的曲率的向量，如果两条曲线向量(方向和绝对值) 相同，我们就说这两条曲线处于G2连续。 2.当曲面与曲面在曲线A处于G1连续状态，曲面A在曲线A的任意点的法方量和曲面B在曲线B的同一点的法方量相同，我们就说这两个曲面处于G2连续。 3.如果两者间的连续性达不到G2我们称之为G2误差，这个误差是个相对误差汽车A级曲面汽车A级曲面在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变(curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。

alias曲线的连续性详解

ALIAS 曲线连续性详解 GO G1 G2

G0、G1、G2、G3… …这些都是NURBS软件中表示连续性的词。那么如何能更好的去理解他们呢？下面我们以三个控制点的两条曲线为例，分别来介绍下它们的涵义。从字面上来理解，两曲线的端点没有相接就谈不上连续，如图1； (图1，无连续) 那么当它们的端点相接以后，就至少是G0。可以执行 CurvatureGraph命令，俗称曲率梳命令来对曲线进行连续性的检测。完毕之后，两曲线相接处的曲率梳呈现出v字形（黄色高亮显示）或锐角，也就是曲率梳有开口，这种情况我们就称它为G0，如图2；

(图2，G0) 两曲线端点相接且相切就是G1，它们的切线方向一致。特征是:两相接曲线最末端的两个控制点相互排成一直线。再来看曲率梳，你会发现，原来在G0中出现的V形开口消失了，却重叠成一条平滑直线，这种情况我们叫做G1，如图3； (图3，G1)

我们用Match命令将这两条曲线匹配成Curvature(曲率)，即G2。如图4。G2可以理解为光顺。依然打开曲率梳来看G2的情况，如图5，两曲线相接处的曲率梳呈现出1字形（黄色高亮显示），并且两边的曲率梳还一样长，这种情况我们称之为G2。 (图4，Match命令对话框)

(图5，G2) 那么G1、G2他们的原理是什么呢？我们在G1的图上来标示圆角看下，可以发现曲线的任意处都有他的曲率圆，如图6。

(图6，曲率圆) 我们把这图拆开来，对着曲线标注半径。会发现G2连续的两条曲线有共同的曲率半径，如图7。 (图7，标注半径工具检测G2曲线的曲率半径) 说了半天的曲率梳，那么他代表的是什么呢？曲率梳的梳齿代表的是曲率半径的大小以及垂直曲线的方向(法

曲线的连续性

本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览： G0、G1、G2、G3… …这些都是NURBS软件中表示连续性的词。那么如何能更好的去理解他们呢？下面我们以三个控制点的两条曲线为例，分别来介绍下它们的涵义。从字面上来理解，两曲线的端点没有相接就谈不上连续，如图1； (图1，无连续) 那么当它们的端点相接以后，就至少是G0。可以执行 CurvatureGraph命令，俗称曲率梳命令来对曲线进行连续性的检测。完毕之后，两曲线相接处的曲率梳呈现出v字形（黄色高亮显示）或锐角，也就是曲率梳有开口，这种情况我们就称它为G0，如图2；

(图2，G0) 两曲线端点相接且相切就是G1，它们的切线方向一致。特征是:两相接曲线最末端的两个控制点相互排成一直线。再来看曲率梳，你会发现，原来在G0中出现的V形开口消失了，却重叠成一条平滑直线，这种情况我们叫做G1，如图3；

(图3，G1) 我们用Match命令将这两条曲线匹配成Curvature(曲率)，即G2。如图4。G2可以理解为光顺。依然打开曲率梳来看G2的情况，如图5，两曲线相接处的曲率梳呈现出1字形（黄色高亮显示），并且两边的曲率梳还一样长，这种情况我们称之为G2。

(图4，Match命令对话框) (图5，G2) 那么G1、G2他们的原理是什么呢？我们在G1的图上来标示圆角看下，可以发现曲线的任意处都有

他的曲率圆，如图6。 (图6，曲率圆) 我们把这图拆开来，对着曲线标注半径。会发现G2连续的两条

曲线有共同的曲率半径，如图7。 (图7，标注半径工具检测G2曲线的曲率半径) 说了半天的曲率梳，那么他代表的是什么呢？曲率梳的梳齿代表的是曲率半径的大小以及垂直曲线的方向(法向)。长度代表曲率半径大小，曲率方向代表法向，如图8。 (图8，曲率半径，以及法线方向) 比如G1就是法向一致，所以两曲线相接端点处的切线方向也会一样，斜率相同。而G2则是两曲线相接端点处斜率相同并且曲率半径相同，如图9。

UG曲线连续性定义

1 / 4 曲线绘图的连续性简介 G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。曲线无断点，曲面相接处无裂缝。判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。 G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。 G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。

2 / 4 G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。9、Gn连续的定义 1、Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。 G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。 G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲状，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。我们通常的倒圆角就是这种情况。 G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。曲率连续意味着在任何曲面上的任一点中

曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点

曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率挠率空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一曲率的概念和几何意义 1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。图1-1 图1-2 要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q 间切向量关于弧长的平均旋转角。

设空间中c 3 类曲线（c ）的方程为 ()s γγ= 曲线（C ）上一点P ，其自然参数为S,另一邻近点p 1 ，其自然参数为s s ?+。在p, p 1 两点各作曲线（c ）的单位切向量()s α和()s s ?+α。两个切向量间的夹角是??（图1-3），也就是把点p 1 的切向量()s s ?+α平移到点P 后，两个向量() s α和()s s ?+α的夹角为??。图1-3 定义空间曲线（C ）在P 点的曲率为 ()s s s ??=→?? κ0lim ，其中s ?为P 点及其邻近点p 1 间的弧长， ??为曲线在点P 和p 1 的的切向量的夹角。 2曲率的几何意义利用“一个单位变向量()t γ（即()t γ1=）的微商的模)(' t γ的几何意义是()t γ对于t 的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C ）的切向量α上去，则有 ()? =ακs 。由于? α=? ?γ，所以曲率也可表示为

Gn连续的定义

Gn连续的定义 1、Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。 G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。 G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲状，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。我们通常的倒圆角就是这种情况。 G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有相同的曲率半径。外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。 G3两的对象光顺连续，三阶微分连续等。 Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。 2、G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。 G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。如何分析出一个曲面是G1还是G2？用高斯曲率分析：两个面之间公共线左右如果颜色有分界线就是G1；如果没有分界线就是G2 用加亮曲线分析：如果加亮曲线条纹在公共线左右断开就是G1；如果没有分界线就是G2。G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续 3、这些术语用来描述曲面的连续性。曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅 G3-曲率变化率连续这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。曲率的变化率可以用一个一次方程表示为一条直线。这种连续级别的表面有比G2更流畅的视觉效果。但是由于需要用到高阶曲线或需要更多的曲线片断所以通常只用于汽车设计。 G4-曲率变化率的变化率连续 "变化率的变化率"似乎听起来比较深奥，实际上可以这样理解，它使曲率的变化率开始缓慢，然后加快，然后再慢慢的结束。这使得G4连续级别能够提供更加平滑的连续效果。但是这种连续级别将比G3计算起来更复杂，所以几乎不会在小家电一类的产品设计中出现。实际上，就算出现了，我们也未必看得出来。总结一下这几种连续级别: G0由于使模型产生了锐利的边缘，所以平时都极力避免，甚至想尽办法摆脱这种效果。不常用 G1由于制作简单，成功率高，而且在某些地方及其实用，比如手机的两个面的相交处就用这种连续级别。比较常用 G2由于视觉效果非常好，是大家追求的目标，但是这种连续级别的表面并不容易制作（一些高手们出的题目基本上就是和这种连续级别表面的制作方法拼命的），这也是Nurbs建模中的一个难点。这种连续性的表面主要用于制作模型的主面和主要的过渡面。 G3,G4这两种连续级别通常不使用，因为他们的视觉效果和G2几乎相差无几，而且消耗更多的计算资源。这两种连续级别的优点只有在制作像汽车车体这种大面积、为了得到完美的