立体几何(1)教师版

立体几何（1）

一．基础训练

1．下列命题中，正确序号是

①经过不同的三点有且只有一个平面②分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ③垂直于同一个平面的两条直线是平行直线④垂直于同一个平面的两个平面平行

2. 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的

3. 设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中，M 为AA /的中点，则直线CM 和D /D 所成的角的余弦值为．

4. 对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：

其中正确的命题的个数是

5. 如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数个

6. OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______. 二．典型例题

例1. 已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（2 ）1A C ⊥面11AB D ．

αβαγαβγβααααα⊥?⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则若

则若则若

则若

,,)4(,//,,)3(//,,)2(,,,//)1(m m n n m m n n m m α

A C

′

D 1

C 1

B 1

A 1

D 图乙

B C E 例2. 如图，正三棱柱ABC--111C B A 中（地面是正三角形，侧棱垂直于地面），D 是BC 的中点，AB = a .

（1）求证：111C B D A

（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论

例3. 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.

现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；（Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE.

C C 1

B 1

A 1

例4．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点．（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；

（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．

三 .课后作业 (一).填空题

1．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为

2. 直线AB 、AD ?α，直线CB 、CD ?β，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线EH∩直线FG=M ，则点M 在上

3. 已知1111A B C D A B C D -是棱长为a 的正方体，求：

（1）异面直线1A A 与B C 所成的角为（）（2）求异面直线1B C 与A C 所成的角（）

4. 点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的心

5. 如果O A ‖11O A ， O B ‖11O B ，那么A O B ∠与111A O B ∠（）

6. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m ⊥n

②α⊥β

③n ⊥β

④m ⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．

命题： _________________________.

B 1

D 1

B C

D A 1

C 1

(二) 解答题

1. 如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ，且BD BC AB AC ===2=，

1=AE ，F 为CD 中点．（1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：⊥EF 平面BCD

2. 如图, P A ⊥矩形A B C D 所在平面, ,M N 分别是A B 和P C 的中点．

(1)求证: //M N 平面;P A D (2)求证:;M N C D ⊥ (3)若45P D A ∠=

, 求证:M N ⊥平面.P C D

3. 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点.

求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.

4. 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，90B A D ∠=

，AD ∥BC, AB=BC=2, AD=4,

PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 成30

角，E 是PD 的中点.

（1）点H 在AC 上且EH ⊥AC ，求E H

的坐标；

（2）求AE 与平面PCD 所成角的余弦值；

A B C E D F A

B C D

E B

答案基础训练

1. ③

2. 2

3. 1/3

4. 1个

5. 8个

6.37 典型例题

例1. 提示：连接A 1C 1交B 1D 1与点O 1。

例2. (1) 略证:由A 1A ⊥BC,AD ⊥BC,得BC ⊥平面A 1AD,从而BC ⊥A 1D,又BC ∥B 1C 1,所以A 1D ⊥BC.

(2)平行. 略证:设A 1C 与C 1A 交于点O,连接OD,通过证OD 是△A 1CB 的中位线,得出OD ∥A 1B, 从而A 1B ⊥平面A 1CD.

例3. 解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥AD, PA ⊥AB, AB ?AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）证明：因为BC ＝PB ＝2CD, A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，

又E 为BC 边的中点，所以AE ⊥ED.

又由PA ⊥平面ABCD, 得PA ⊥ED, 且PA ?AE ＝A, 所以ED ⊥平面

PAE ，

而ED ?平面PDE ，故平面PAE ⊥平面PDE.

（Ⅲ）过点F 作FH ∥ED 交AD 于H ，再过H 作GH ∥PD 交PA 于G , 连结FG .

由FH ∥ED, ED ?平面PED, 得FH ∥平面PED ；由GH ∥PD ，PD ?平面PED ，得GH ∥平面PED ，

又FH ?GH ＝H ，所以平面FHG ∥平面PED.所以FG ∥平面PDE. 再分别取AD 、PA 的中点M 、N ，连结BM 、MN ，

易知H 是AM 的中点，G 是AN 的中点，

从而当点G 满足AG ＝4

1AP 时，有FG ∥平面PDE.

例4 .（1）证明：连结1DD ，在三棱锥111ABC A B C -中，

1,D D 分别是11,BC B C 的中点， 1111//,B D BD B D BD ∴=，

∴四边形11BB D D 为平行四边形，

1111//,BB DD BB DD ∴= 1111//,AA BB AA BB = 1111//,AA DD AA DD ∴=

∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//A D AD ∴，

11A D ? 面1AB D ，AD ? 面1AB D ， 11//A D ∴面1AB D 。

课后作业一.填空题

1. 1个

2.BD

3. (1) 90? (2) 60?

4.垂心

5. 相等或互补

6. n m n m ⊥?⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥?⊥⊥⊥n m n m ,,. 二.解答题

1. 取BC 的中点M ，连接AM 、FM ，根据已知结合平面几何知识易证.

2. 证明： (1)取P D 的中点E , 连E N . 由E N

1,2

C D A M

12C D

得E N A M , A M N E ∴是平行四边形, //M N A E ∴.

又A E ?平面,P A D M N ?平面,P A D //M N ∴平面.P A D

(2)P A ⊥ 平面,A C ,P A A B ∴⊥ 又,A B A D ⊥ A B ∴⊥平面,P A D 又//,A B C D C D ∴⊥平面,P A D 则,C D A E ⊥ 再由//M N A E 得：.M N C D ⊥ (3)在等腰Rt △PAD 中, E 是P D 的中点, A E P D ∴⊥, 由//,M N A E

,M N P D ∴⊥ 又由,,M N C D P D C D D ⊥= 得M N ⊥平面.P C D

3. 证明：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线 ∴ EF ∥AD

又∵EF ?面ACD ，AD ?面ACD, ∴直线EF ∥面ACD

（Ⅱ）∵AD ⊥BD, EF ∥AD, ∴EF ⊥BD, ∵CB ＝CD, F 是BD 的中点,

∴CF ⊥BD

又EF ?CF ＝F, ∴BD ⊥面ECF, ∵BD ?面BCD, ∴面EFC ⊥面BCD

4. 解(1) 以AB,AD,AP 分别为x,y,z 轴，建立如图所示的坐标系。则由条件知，(0,0,0),(2,2,0),(0,4,0)A C D 而：

PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 成30

角

∴4

P A =

, ∴2(0,E

∴(2,2,0)A C

设(,,0)H m m ， ∴(,2,E H m m =-- 由EH ⊥AC 得，22(2)00

m m +-+=，解得 1.m =

∴所求

(1,1,E H =--

-- （2

）由上得，2(0,2,A E =

而4

(0,P ，

∴(2,2,P C =- , (0,4,P D =-

记平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =

，则4220x y +-=

且4

40y z -=

解得,x y z == 取n =

则

co s ,A E n <>==

，

设AE 与平面PCD 所成角为θ

，则sin θ=

立体几何中的最值(教师版)2014.10.06

立体几何中的最值问题一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（） A. 5 5 B. 5 5 2 C. 2 D. 1 解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，5 5 2=OQ 中。又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为5 5 2，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B 。图1 图2 二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=3。故3≥CD 。三、展成平面求最值例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 图3-2 解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A ’、D 与D ’在四面体中是同一点，且''////D A BC AD ， '//CD AB ，A 、C 、A ’共线，D 、B 、D ’共线，BD DD AA 2''==。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S ’PQRS ，S ’与S 在四面体中是同一点。因而当P 、Q 、R 在S ’S 上时， RS QR PQ P S +++'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又''SA A S =，所以最小值''DD SS L ==b BD 22==。故选B 。

专题06 立体几何(解答题)(教师版)

专题06 立体几何（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°， E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. （1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2） 17 . 【解析】（1）连结1,B C ME . 因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11 2 ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以11 2 ND A D = . 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故= ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H . 由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E 17 CH =.

从而点C 到平面1C DE 的距离为 17 . 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解. 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上， BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．【答案】（1）见详解；（2）18. 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ?平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．

1立体几何的基本概念.

高中数学总复习立体几何的基本概念【知识要点】【基本概念】一.空间几何体的结构特征【棱柱、棱锥、棱台和多面体】 : 1.棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体: ①有两个面互相平行; ②其余各面都是四边形; ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行; 棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 棱柱性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等; ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 .. 多边形 . ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 . 2.棱锥是由一个底面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体.棱锥具有以下性质: ①底面是多边形;

②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形; ③平行于底面的截面和底面是相似多边形,相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比.截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方. 3.棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分. 由棱台定义可知,所有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥. 4.多面体是由若干个多边形围成的几何体.多面体有几个面就称为几面体,如三棱锥是四面体. 【圆柱、圆锥、圆台、球】 : 分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有: ①平行于底面的截面都是圆; ②过轴的截面(轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形; ③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 附表: 1. 几种常凸多面体间的关系

立体几何专题第2节与球相关的切、接问题【教师版】

第二节与球相关的切、接问题考法(一) 球与柱体的切、接问题 [典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1 V 2 的值是________． [解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43 πR 3＝3 2 . [答案] 3 2 考法(二) 球与锥体的切、接问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A ．123 B ．18 3 C ．24 3 D ．54 3 [解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34 AB 2 ＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝ 3 3 AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为1 3 ×93×6＝18 3. [答案] B [题组训练] 1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( ) A ．4π B.16 3π C.323 π D ．16π 解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2. 故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D. 2．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外

立体几何三视图教师版

考点24 三视图考点一：棱长类 1．★（2014西城二模4）某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A ，且4A （B A ，且4 A （C ） 2A ，且A （D A A 【答案】D 2．★（2015年北京丰台区高三一模理科）上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 (A) 4 (B) 5 (C) (D) 正(主)视图侧(左)视图俯视图

【答案】D 考点二：面积类 3．★（2013海淀二模4）某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( ) A.180 B.240 C.276 D.300 【答案】B 4．★（2012西城一模4）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为33．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A ）23（B ）2 23（C ）28cm （D ）2 4cm 【答案】A 6 6 6 5 俯视图

正视图俯视图 5．★★★（2012朝阳二模8）有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 6．★★（2010海淀期末理）11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________. 【答案】2412π+ 考点三：体积类 7．★★（2011丰台期末文）3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是 A ． 32225+π B ．32 25 π C ．3225π D ．128 25 π 【答案】C 正视图侧视图俯视图

立体几何之及球有关的高考试题老师

立体几何与球专题讲义一、球的相关知识考试核心：方法主要是“补体”和“找球心” 1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的切球其棱长为球的直径． 3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与切球的半径之比为3∶1. 5.性质的应用 2 2 2 1 2r R OO d- = = ，构造直角三角形建立三者之间的关系。真题回放： 1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π

参考答案1、 2. 3. 4.

题型总结类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题） 1．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1 OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23 π ，则1AO B ∠= . 2．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1 OO ，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2 π ，则A,B 两点间的球面距离为（2009年文科）类型二：球接多面体，利用圆接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 r C c 2sin =，从而解决问题。 3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。 4.正三棱柱111ABC A B C -接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为． 5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33 B ．32 C ．3 D ．1

高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识 1.定义：直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直角）叫做。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D

立体几何证明题专题(教师版)分析

立体几何证明题考点1:点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是__________ . 【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示. ABC —A B C D'中，直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行，???⑥错. AB // CD BB n AB= B,但BB与CD不相交，.??⑦错?如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错. I、m外的任意一点，贝U （ A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行 B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直 C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交 D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面答案 B 解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I // m这与I , m异面矛盾. 对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条. 对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.

立体几何1 单元测试

立体几何一一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8，12，则其对角线的长为 (A)3 (B)5 (C) 26 (D)29 2.在空间，下列命题中正确的个数为 ①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行； ③平行于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行；（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3.棱长为a 的正方体外接球的表面积为 22224.3.2..a D a C a B a A ππππ 4. 在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．是 A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC 5.已知直线m 、n 、l 与平面βα,，给出下列六个命题： ①若;,,//m n n m ⊥⊥则αα②若.,//,βαβα⊥⊥则m m ③若m l m l //,//,//,//则βαβα ④若不共面与则点m l m A A l m ,,,?=??αα ⑤若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ⑥.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =?? 其中假命题有 A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6.设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ． l m l ⊥=?⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=?,,m C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ． αβα⊥⊥ ⊥m n n ,, 7.设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 A ．16 V B ．14 V C ．13 V D ．12 V 8.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β平行的条件有 ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等； ④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，

三角函数与立体几何(二)教师版

1．如图，在ABC ?中，点D 在边BC 上， 4 CAD π ∠= ， 72AC = ， cos 10 ADB ∠=-．（1）求sin C ∠的值；（2）若ABD ?的面积为7，求AB 的长．【答案】(1) sin C ∠= 4 5 ;(2) AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4 C ADB π ∠=∠- ，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1 ）因为cos 10ADB ∠=- ，所以sin 10 ADB ∠=，又因为4 CAD π ∠= ，所以4 C ADB π ∠=∠- ，所以sin sin 4C ADB π? ? ∠=∠- ?? ? sin cos cos sin 4 4 ADB ADB π π =∠-∠ 4 1021025 = +?=．（2）在ADC ?中，由正弦定理 sin sin AD AC C ADC =∠∠，故( )74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π? ?∠?∠?∠==== ∠-∠∠ = 又11sin 72210 ABD S AD AB ADB BD ?= ???∠=??=，解得5BD =．在ADB ?中，由余弦定理得 2 2 2 2cos AB AD BD AD BD ADB =+-??∠ 8252537AB ?=+-??=?= ?? 2．在ABC ?中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且 22sin sin cos cos C B B B C C -=

高考数学统考一轮复习第7章立体几何第1节空间几何体的结构及其表面积体积教师用书教案理新人教版

第7章立体几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式高考在本章一般命制2道小题、1 道解答题，分值约占22分. 2.考查内容 (1)小题主要考查三视图、几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较整合，难度稍大. (2)解答题一般位于第18题或第19 题的位置，常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第 (2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．属于中档题目. 空间几何体的结构及其表面积、体积 [考试要求] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．

1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 3．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面长度相等且相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或

专题07 立体几何初步(重难点突破)教师版

专题07 立体几何初步【重难点知识点网络】：一、空间几何体的有关概念 1．空间几何体对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体. 2．多面体（1）多面体：一般地,我们把由若干个围成的几何体叫做多面体. （2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等. （3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等. （4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等. 3．旋转体（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成. （2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.

二、几种最基本的空间几何体 1．棱柱的结构特征 ①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF?A′B′C′D′E′F′. ②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱. ①棱柱的底面：棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底. ③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.

①底面互相 . ②侧面都是 . 2．棱锥的结构特征

三角函数、立体几何(教师)

源于名校，成就所托高中数学备课组教师班级学生日期上课时间学生情况：主课题：三角函数、立体几何教学目标：教学重点：教学难点：考点及考试要求：

教学内容三角函数 1、已知：函数()2(sin cos )f x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若函数()f x 的图象过点6(,)5 α， 34 4π πα<< .求()4 f π α+的值．解：（1）()2(sin cos )f x x x =-222(sin cos )22 x x =? -?2sin()4x π=----3分 ∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤。--------------------------------------5分（2）解：依题意得：62sin(),45π α-= 3 sin(),45 πα-=---------------------------6分 ∵ 3.4 4π πα<< ∴0,42 ππ α<-< ∴cos()4π α- ＝2234 1sin ()1()455 πα--=-=-----------------------------------------8分 ()4f π α+＝2sin[()]44 π π α-+ ∵sin[()]sin()cos cos()sin 444444π πππππααα- +=-+-＝23472 ()25510 += ∴()4 f π α+＝ 72 5 ------------------------------------------------------------------------------12分 2、在ABC ?中，2AB =，1BC =，3 cos 4 C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）求BC CA ?的值．解：（1）在ABC ?中，由3cos 4C = ，得7sin 4 C =…………………………2分又由正弦定理 sin sin AB BC C A = ………………………………………3分得：14 sin 8 A = …………………………………………………………………………………4分（2）由余弦定理：222 2cos AB AC BC AC BC C =+-??得：23 2124 b b =+-? ……6分

立体几何1

高二数学单元练习一空间直线、平面编者 bwx 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．三条直线交于一点，则它们可确定的平面个数是（）（A）1 （B）3 （C）6 （D）1或3 2．四个命题：（1）空间三直线两两平行，则三直线可确定3个平面。（2）空间三点可确定一个平面。（3）空间一直线和一点可确定一个平面。（4）A与B两点和直线l距离相等，则直线AB 和l确定一个平面。其中正确的命题个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）0 3．三个互不重合的平面将空间分成n部分，则n的值为（）（A）4，6，7（B）4，5，6，8（C）4，7，8（D）4，6，7，8 4．异面直线是指（）（A）分别在两个不同平面内的直线。（B）无公共交点的两直线。（C）平面内的一直线与平面外的一直线。（D）不同在任何一个平面内的两直线。 5．正方体一面上的一对角线与正方体的棱可以组成的异面直线有（）（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对 6．分别与两条异面直线都相交的两条直线一定（）（A）不平行（B）不相交（C）相交或平行（D）既不相交又不平行 7．正方体AC1中，直线BC1与AC所具有的关系是（）（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）异面但不垂直 8．已知命题甲：点A、B、C、D不共面；命题乙：直线AB和CD不相交。则甲是乙的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件二、填空题（每小题4分，共32分） 9．△ABC三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点，则这三点位置关系是。10．和两条异面直线分别平行的两条直线的位置关系是。 11．正方体AC1中，M、N分别是B1C1及CC1的中点，则BM与DN所成的角是。12．正方体AC1中，AA1与CD所成的角是。 13．长方体AC1中，与AC1异面的棱共有条。A 14．不重合的两条直线与直线l都相交成等角，则这两条直线的位置关系是。 15．过空间四点中的每两点连一条直线，M 则一共可有对异面直线。 16．一条直线上有两点与一平面距离相等，则该直线与平面位置关系是。D 三、简答题（本大题共26分）E 17．如图，点E在CD上，点M在平面ABC上，C 画出DM与截面ABE的交点P。

立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用

立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用【命题分析】高考中立体几何命题特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点】空间距离和角 “六个距离”： 1、两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-=； 2、点P 到线l 的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）； 3 、两异面直线的距离d = （P 、Q 分别是两直线上任意两点，u 为两直线公共法向量）； 4、点P 到平面的距离 d =Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）； 5 、直线与平面的距离d =（P 为直线上的任意一点、Q 为平面上任意一点，u 为平面法向量）； 6 、平行平面间的距离d = （P 、Q 分别是两平面上任意两点，u 为两平面公共法向量）；

“三个角度”： 1、异面直线角[0，2π]，cos θ=2 121v v v v ;【辨】直线倾斜角范围[0，π）； 2、线面角 [0，2π] ，sin θ=n v vn n v =,cos 或者解三角形； 3、二面角 [0，π]，cos 212 1n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形。不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，证是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题1、（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

立体几何平行证明问题讲义教师

立体几何平行证明问题讲义（一）平行的问题一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB//平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。具体做法：如例1,平面AEC 的三个顶点，除中点E 夕卜，取AC 的中点0,连接EQ 再确定由直线 PB 和中点E 、O D 确定的 PBD （连接 PBD 的第三边BD ），在 PBD 中，E0为 PB 的中位线。a 【习题巩固一】 1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，0为AC 中点 M 为PD 中点.（I ）证明：PB//平面ACM ; 规范写法： a//b,a ,b , b// 例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥求证：PB//平面AEC ； P ABCD 中，点E 是PD 的中点 . 例2三棱柱ABC ABiG 中，D 为AB 边中点。求证: AG // 平面 CDB ,; b A B 1 B A C B

21. （2013年高考课标U卷（文））如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证明 BC// 平面A i CD; 2. （2011 四川文）如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AA i=1 ,延长A i C i 至点P,使C1P = A1C1，连接AP交棱CC1于D . 求证：PB1//平面 BDA1；（二）平行四边形法：当直线上有一个中点（如例1证明：FO//平面CDE ；O为中点）采用平行四边形法。具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC有关）,再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOE（原因是EF//OM, EF=OM,从而FO//EM。规范写法（如图）： EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH ,FG , EH // 例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF〃〔BC . （1）证明：FO//平面CDE ; 2

[高中数学]立体几何.球专题讲义,附练习题、

E B C D A 立体几何-球-专题学案 ? 双基练习 1.下列四个命题中错误．．的个数是（） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2. ? 知识预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：． 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫． 4. 球的表面积表面积S ＝；球的体积V ＝． 5. 球面距离计算公式：__________ ? 典例剖析（1）球面距离，截面圆问题例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习：球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7 21，求球的体积．例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．

9.6立体几何大题1(教师版)

A B C D 1 A 1 C 1B E 科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 9.2立体几何大题1 1、（2013新课标）如图,直棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别是1,AB BB 的中点,12 2 AA AC CB AB === . (Ⅰ)证明:1//BC 平面1A CD ; (Ⅱ)求二面角1D A C E --的正弦值. 【答案】 2、（2013湖南）如图5,在直棱柱 1111//ABCD A BC D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=, 13AD AA ==. (I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值. 【答案】解（Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥??⊥∴-111111,面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11 111,,⊥∴?⊥∴=?⊥，面。面且又 . (证毕)

(Ⅱ) 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111,////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向X AD Y AB A ()BD AC y BD y AC y C y B D D A ⊥-== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设 ). 3,0,3(),0,3,1(.30,003012==∴=?>=+-?=?AD AC y y y BD AC ），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.0 ,111==??????=?=?AD n ACD AD n AC n n ACD 721 3 733|,cos |sin 003,313-1=?= ><=?==∴AD n AD n ACD θ），，（），，（的一个法向量平面 7 21 11夹角的正弦值为与平面所以ACD BD . 3、（2013 北京）如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求 1 BD BC 的值. 【答案】解: (I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),

立体几何专题(教师版)

立体几何专题 1．如图，AE ⊥平面ABC ，AE BD ∥，22AB BC CA BD AE =====，F 为CD 中点．（1）求证：EF ⊥平面BCD ；（2）求二面角C DE A --的正弦值；（3）求点A 到平面CDE 的距离．【答案】（1）详见解析；（2） 6 arccos ；（3）22 【解析】试题分析：（Ⅰ）取BC 中点G 点，连接AG ，FG ，由F ，G 分别为DC ，BC 中点，知//FG BD 且1 2 FG BD = ，又AE ∥BD 且1 2 AE BD = ，故AE ∥FG 且AE=FG ，由此能够证明EF ⊥平面BCD ．（Ⅱ）取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，则( ) 300C ，，， ()012D ，，，()011E -，，，()010A -，，， ()312CD =-，，，()021ED =，，．求出面CDE 的法向量( ) 1312n =-，，，面ABDE 的法向量()2100n =，，，由此能求出二面角C DE A --的大小．（Ⅲ）由面CDE 的法向量( ) 1312n =-，，， ()001AE =，，，利用向量法能求出点A 到平面CDE 的距离．试题解析：解：⑴取BC 中点G 点，连接AG 、FG ， ∵F 、G 分别为DC 、BC 中点，∴FG BD ∥且12FG BD =，又AE BD ∥且1 2 AE BD =． ∴AE FG ∥且AE FG =，∴四边形EFGA 为平行四边形，则EF AG ∥， ∵AE ⊥平面ABC ，AE BD ∥，∴BD ⊥平面ABC ．又∵DB ?平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， ∵G 为BC 中点，且AC AB =，∴AG BC ⊥，∴AG ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD ． ⑵取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC 、OB 、OH 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，则() 300C ，，，()012D ，，，()011E -，，，()010A -，，， ( ) 312CD =-，，，()021ED =，，，设面CDE 的法向量()1n x y z =，，，

立体几何中的向量方法教师 1

立体几何中的向量方法 1．空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法(a ，b 分别为l 1，l 2的方向向量) (2)如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ |e ·n | |e ||n | ． (3)二面角的求法 a ．如图①，AB ，CD 是二面角α-l-β两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉． b ．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2．点到平面的距离的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | .

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是????0，π2，直线与平面所成角的范围是????0，π 2，二面角的范围是[0，π]．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.?? ?? 33 ，33，－ 33 B.?? ?? 33 ，－33， 33 C.? ?? ? － 33，33， 33 D.? ?? ? － 33，－33，－ 33 解析：选D.因为A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，所以AB →＝(－1，1，0)，AC → ＝(－1，0，1)．经验证，当n ＝? ?? ?－ 33，－33，－33时，n ·AB →＝33－33＋0＝0，n ·AC → ＝33＋0－33＝0. 所以? ?? ? － 33，－33，－ 33是平面ABC 的一个单位法向量．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为( ) A.π 6 B.π 3 C.π 4 D.π12 解析：选A. 以C 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A (2，0，0)，C 1(0，0，22)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2??? ?32，3 2，22. 所以AC 1→＝(－2，0，22)，AC 2→ ＝??? ?－12，32，22，设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则cos θ＝AC 1→·AC 2→ |AC 1→||AC 2→ |＝1＋0＋823×3＝3 2. 又θ∈????0，π 2，所以θ＝π6. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1如图所示，则直线B 1D 和CD 1所成的角为________．