变量与函数_正比例函数讲义全
私塾国际学府学科教师辅导教案
组长审核：
学员编号：HD00 年级：八年级课时数：3课时
学员：辅导科目：数学学科教师：
授课主题变量与函数、正比例函数
教学目的
1、了解常量与变量的含义，能够分清实例中的常量与变量；
2、掌握函数的概念，了解函数的表达形式，能够判断两个变量间是否是函数关系；
3、掌握求函数自变量取值围的方法；
4、了解函数的表达形式；
5、了解正比例函数的定义与表达式；
教学重点
1、常量与变量的含义
2、函数的概念和表达形式
3、正比例函数表达式
授课日期及时段2017年3月31日 19:00-21:00 星期五第1次课
知识点一：变量与函数
1、常量与变量概念：在某一变化过程中，有些量的数值是变化的，我们称数值发生变化的量叫变量；有些数值是始终不变的，我们称数值始终不变的量为常量。
2、函数概念：一般地，在一个变化中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值。
注意：与x的每一个确定值对应的y值都是唯一的
例题解析
例1 圆周长公式C=2πR中，下列说确的是（）
π、R是常量，2为变量 B.C、R为变量，2、π为常量
C.R为变量，2、π、C为常量
D.C为变量，2、π、R为常量
例2 一辆汽车以40km/小时的速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（小时）的关系式s=40t,其中______是变量，_______是常量。
例3 下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
（1）时间是8分钟时，水的温度为；
（2）此表反映了变量_____和___之间的关系，其中____是自变量，_____ 是因变量；
（3）在_____时间，温度随时间增加而增加；_____时间，水的温度不再变化．
巩固练习
变式2下列平面直角坐标系中的图象，不能表示
y是x的函数的是
知识点四：正比例函数
1、正比例函数定义：在函数中形如y=kx（k是常熟，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数y=kx是经过原点（0,0）的直线
2、正比例函数的等价形式
（1）y是x的正比例函数；
（2）y kx
=（k为常数且k≠0）；
（3）若y与x成正比例；
（4）k
x
y
=（k为常数且k≠0）.
3、正比例函数图像和性质
本知识点小结
定义
函数)0(≠=k kx y 叫做正比例函数
图像
经过点（0,0）和（1，k ）的一条直线
性质
图像在一、二象限，y 随x 的增大而增大
图像在二、四象限，y 随x 的增大而减小
例题解析
例1 下列式子中，表示y 是x 的正比例函数_____________________。 y=-3x （2）y=0.3x+4 （3）4y=x （4）y=3x 2+5x （5）y 2
=4x （6）
x
y =5 例2 若函数x y 3=b
a ++3a+2
b 是y 关于x 的正比例函数，求a 、b 的值.
例3. 设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数；
（2）如果z ＝2，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式.
A、y=|x|
B、
x
x
y
2
= C、33x
y= D、2x
y=
7.设点A（a，b）是正比例函数
3
2
y x
=-图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（）
A．2a+3b=0 B．2a﹣3b=0 C．3a﹣2b=0 D．3a+2b=0
8．设圆的面积为S，半径为R, 那么下列说确的是（）
A、S是R的一次函数
B、S是R的正比例函数
C、S是R2的正比例函数
D、以上说法都不正确
9.一等腰三角形的周长是20cm，将底边长y（cm）表示成腰长x（cm）的函数．
（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x的取值围．
10.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器，现用一注水管沿大容器壁匀速注水（如图所示），则小水杯水面的高度(cm)
h与注水时间(min)
t的函数图象大致为（）
家庭作业
1、要画一个面积为20平方厘米的长方形，其长为x厘米，宽为y厘米，在这一变化过程中，常量与变量分别为（）
A.常量为20，变量x、y ；
B.常量为20、y，变量为x；
C.常量为20、x，变量为y；
D.常量为x、y，变量为20；
2、（3分）函数
1
2
2
y x
x
=+-
-
的自变量x的取值围是（）
课堂总结
A ．2x ≥
B ．2x >
C ．2x ≠
D ．2x ≤ 3．函数1
x y x =
-的自变量x 的取值围在数轴上表示为（ ）
4.下列函数中y 是x 的正比例函数的是（）
A. y=-x 91 ；
B.y=4x 21
； C.10=-y x 5 ； D.5
1
xy=-2 5.函数y=(a+1)1
-a x 是正比例函数,则a 的值是 ( )
A.2
B.-1
C.2或-1
D.-2
6.函数y=
x
x 1
12+-中，自变量x 的取值围是_________ 7.7.已知一个正比例函数的图像经过点（-1,3），则这个正比例函数表达式_______。
8.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第N 层与白色正六边形个数n 的函数关系式___________,常量_______,变量______。
9.向最大容量为60升的热水器注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是( ) A. B. C. D.
10.小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y （米）和所经过的时间x （分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？ （2）小敏几点几分返回到家？
变量与函数正比例函数讲义
私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核：
（1）y=3x （2）y=4x+2（3）y= 3 1 x （4）y=-4x 当堂检测 1．小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元． (1)小明所花的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系式为________． (2)在这个问题中，变量是________，常量是________． 2．函数2 3 -=x y 的自变量x 的取值范围是（） A ．2>x B ．2≠x C ．2≥x D ．2≠x 且0≠x 3．函数1 3 x y x -= -的自变量x 的取值范围是() A ．x ＞1 B ．x ＞1且x ≠3 C ．x ≥1 D ．x ≥1且x ≠3 4.《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是_________，其中_______是常量,_________是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） A ． B ． C ． D ． 6．与函数y=x 是同一函数的是（） A 、y=|x| B 、x x y 2 =C 、33x y =D 、2x y = 7.设点A （a ，b ）是正比例函数3 2 y x =- 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（） A ．2a+3b=0B ．2a ﹣3b=0C ．3a ﹣2b=0D ．3a+2b=0 8．设圆的面积为S ，半径为R,那么下列说法正确的是（） A 、S 是R 的一次函数B 、S 是R 的正比例函数 C 、S 是R2的正比例函数D 、以上说法都不正确 9.一等腰三角形的周长是20cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数． 10.（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x 的取值范围． 本知识点小结
人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义
人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义 一次函数与正比例函数讲义 1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)． 谈重点 一次函数的条件 函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式． 【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )． A ．y ＝7x 2 B ．y ＝x －9 C ．y ＝6x D ．y ＝1x ＋1 解析： A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B √ 符合一次函数的一般形式． C × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D × 答案：B 2．正比例函数的定义 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系 需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数． 【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )． A ．y ＝－2x B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝－2x A √ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数． C × x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数. 辨误区 正比例函数的判断 要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式． 3．根据条件列一次函数关系式 列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式． 点技巧 如何列函数关系式 列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量． 【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走． (1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关
一次函数讲义优质讲义
一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B
第15讲 正比例函数(培优课程讲义例题练习含答案)
正比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、 k x y =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ， y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数
为1． 【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=??-=? 解得 1 1.5 m n =??=? ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2） x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春?凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数； （2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数 ∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠ （2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴121 4 k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14 z x = . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆. 举一反三： 【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系． 【答案】 解：由题意，y kx =，z m kx =+ , ∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5
沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义
【知识精要】 1. 函数 (1) 变量和常量 变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。 区别：表示量的数值变还是不变。 (2)函数的定义： 在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。 注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系； (2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域； (3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。 (3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子； (4)函数的定义域和函数值 定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。 函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。 值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。 2. 正比例函数 (1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成 正比例；用数学符号语言记为y k x =或y=kx(0 k≠). 解析式形如y=kx(0 k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。 正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。(可用来判断一个函数是不是正比例函数) (2) 定义域：一切实数。 (3) 图像 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0 ≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx. (4) 正比例函数的性质 ①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。
沪教版下第十八章 《正比例函数和反比例函数》全章复习 讲义
《正比例函数和反比例函数》全章复习与巩固知识讲解（提高） 【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系. 2．理解正比例函数和反比例函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题. 3．通过正比例函数和反比例函数的图像和性质，能够用数形结合的观点解决有关的题型. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、函数的相关概念 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数 ，x 叫做自变量 。 y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 要点二、正比例函数 1.定义： 定义域是一切实数的函数y=kx(k 是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数. 注意：正比例函数的定义域是一切实数. 2.图象： 一般地，正比例函数y=kx （k 为常数，k ≠0）的图像是经过原点（0,0）和点（1，k ）的一条直线，.我们把正比例函数y=kx 的图像叫做直线y=kx. 3.画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线. 画直线y=kx 的图像.为了方便，我们通常取原点O （0，0）和点（1，k ）. 4.正比例函数的性质： （1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 变化的世界 函 数 建立数学模型 应 用 概 念 选择方案 概 念 函数表示图 象 性 质 正比例函数 反比例函数 与数学问题的综合 与实际问题的综合 列表法 解析法 图象法
初二正比例函数讲义
关于正比例函数的知识点： 1、正比例函数的解析式是 ，它的图象是 。当k ＞0时，y 随x 的增大而 ，这时函数的图象从左到右 ， 当k ＜0时，y 随x 的增大而_____，这时函数的图象从左到右_____；图象一定过点（0 ， ）。 例题讲解： 1、下面哪个点不在函数32+-=x y 的图像上（ ） A.（-5，13） B.（0.5，2） C （3，0） D （1，1） 2、关于x 的一次函数35-+=m x y ，若要使其成为正比例函数，则m= ； 3．下列函数中，一定是正比例函数的是（ ） A ．y=3x 2 B ．y=-4x C ．3x+y=1 D ．y= 1x 4．下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是（ ） A ．正方体的体积与棱长; B ．正方形的周长与边长 C ．长方形的面积一定，它的长和宽; D ．圆的面积和它的半径 5．已知y=（3-m ）x （m 为常数），若y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是______． 6．小明在进行长跑训练时，以每小时20千米的速度进行耐力训练，小明最多能跑4小时，你能写出小明跑的路程s （km ）与时间t （h ）的函数关系式吗？并画出图象吗？ 7．函数y=m 23m x -+m-2是正比例函数，则m=_______，此函数图象一定过点______?和点_______，且y 随x 的增大而______． 8．函数y=-4x 中自变量的取值范围如果是-3≤x?≤3，?则y=?-?4x?的图象是一条_________，此函数的最大值是_______，最小值是________． 9．一枝钢笔5元钱，你能写出购买钢笔的钱数y （元）与枝数n （枝）之间的函数关系式吗？并画出图象吗？
精品 八年级数学下册 函数与变量 正比例函数讲义+同步练习
一次函数 第14讲 变量与函数 一、变量与函数 1．回答(1)----(4)题 （1）理解匀速运动中的行程S 与行驶时间t 的关系：S=________. （2）如何探索弹簧的变化规律，l=______________. （3）圆的面积r=_____________________. （4）长方形的面积S=_______________________. 2．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为_________，而始终不变的量称为____________。 3．具体指出(1)--(4)中，那些是变量，哪些是常量？ (1)变量是______________，常量是_________________； (2)变量是______________，常量是_________________； (3)变量是______________，常量是_________________； (4)变量是______________，常量是_________________。 巩固训练 1.关于r l π2=,下列说法正确的是（ ） A.2为常量,π,l,r 为变量 B.2π为常量,l ，r 为变量 C.2,l 为常量,π,r 为变量 D.2,r 为常量,π,l 为变量 2.摄氏温度C 与华氏温度F 之间的对应关系为5(F-32)9C =℃，则其中的变量是 ， 常量是 。 3.在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形的面积 ah S 21=，当底边a 的长一定时,在关 系式中的常量是 ，变量是 。 4.齿轮每分钟120转,如果n 表示转数,t 表示转动时间,那么用n 表示t 的关系是： ，其中 为变量， 为常量． 能力提升 1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量。 （1）甲乙两地相距1000千米，一人骑自行车以15千米/小时的速度从甲地前往乙地，用行驶时间t (小时)表示自行车离乙地的距离S (千米). （2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系． （3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t (小时)表示水箱中的剩水量y （吨）．
一次函数讲义.doc
百度文库- 让每个人平等地提升自我 2016 年春季某某校区 精品小班培优精讲 学科年级学生姓名授课教师上课时间课次数学初二唐老师第讲 一次函数 【教学目标】 掌握函数的基本性质 掌握一次函数的概念、性质、图像、平移等相关概念及常考题型 【教学重点】 根据一次函数的图像确定k，b 的范围 求函数的解析式 【教学内容】 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于x 的每一个确定 的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候， Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐 标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
(精品)数学讲义8Q-6函数的概念与正比例函数(教师)-贾玲玲
函数的概念与正比例函数 知识精要 1. 常量和变量 在某个变化过程中,可以取不同值的量叫变量,始终保持数值不变的量叫常量.变量和常量是相对的两个量. 2. 函数 在某个变化过程中有两个变量设为x 和y,对于变量x 的允许取值范围内的每一个值,变量y 都有唯一确定的值与它对应,那么我们就说y 和x 存在依赖关系,此时变量y 叫做变量x 的函数,x 叫做自变量. 3. 函数解析式 表达两个变量之间函数关系的数学式子叫做函数解析式. 4. 函数的定义域 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 5.正比例函数 形如(0)y kx k =≠ 热身练习 1.下列各式中不是函数关系的是( ) (A) y =y =y =y = 2.圆的周长公式2C r π=中,下列说法中正确的是( ) (A) r π、 是变量,2为常量 (B) C r 、 是变量,2π、为常量 (C) r 是变量, 2C π、、为常量 (D) C 是变量, 2r π、、为常量 3.底边长为10的三角形的面积y 与高x 之间的函数关系式是 其中 是自变量, 是函数; 4.某种弹簧原长20厘米,每挂重一千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂上的重物x(千克)之间的函数关系式是 其中 是自变量, 是函数; 5.已知定活两便储蓄的月利率是0.0675﹪,国家规定,取款时,利息部分要缴纳20﹪的利息税,如果某人存入2万元,取款时实际领到的金额y(元)与存入月数x 的 函数关系式是 ,其中 是自变量, 是函数; 6.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2/m s ,到达坡底时小球的速度达到40/m s , (1)求小球的速度v(/m s )与时间t(s)之间的函数关系式,并求t 的取值范围; (2)求3.5s 时小球的速度; (3)求n 秒时小球的速度为16/m s
正比例函数的图像及性质讲义
中小学1对1课外辅导专家龙文教育 个性化辅导教案讲义 任教科目：数学 授课题目：正比例函数的图像及性质年级：八年级 任课教师：任老师 授课对象： 武汉龙文个性化教育 校区 教研组组长签字： 教学主任签名： 日期：
武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象正比例函数授课教师任老师授课时间授课题目正比例函数 教学目标1、理解正比例函数的概念 2、能正确画出正比例函数y＝kx的图象 3、理解并会运用正比例函数的性质 4、根据正比例图像及性质解决相关面积问题 教学重点和难点1、理解并会运用正比例函数的性质（重点） 2、根据正比例图像及性质解决相关面积问题（难点） 知识点 1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式 2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________； 当k<0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________． 3．正比例函数的图像是经过坐标点和定点__ __两点的一条。根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值． 例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y与x2成正比例，且x=-2时y=12． ②函数y=（k2-4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．
选择题 1、如图函数y ＝－x （x ＜0）的图象是（） 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=4x+1 B ．y=2x 2 C ．y=-5x D ．y=x 3．下列说法中不成立的是（ ） A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=- 2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-3 5．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2?的大小关系是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 一次函数专项练习 例1 （1）已知直线y=kx+b 经过点（3，-1）和点（-6，5），则k=_______,b=______. （2）已知一次函数y=kx+5过点P(-1,2),则k=________. 例2（1）一次函数1-=x y 的图象不经过（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）如图，表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y=mnx(m ，n 是常数，且 mn ≠0)图像的是( ). 例3．直线y=kx+b 与直线y=5-4x 平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y 轴上，求此直线解析式。 例4. 已知函数2 21 (43)3a a y a a x --=-++是一次函数，则a 的值为 （ ） 例5如图，一次函数y =kx +b （k ＜0）的图象经过点A ．当y ＜3时，x 的取值范围是 ． 例6一个y 关于x 的函数同时满足两个条件： ①图象过(2，1)点；②当0x >时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为 _______________ (写出一个即可) 【知识点分类专练】 知识点1：一次函数的定义 :一次函数通常可以表示 的形式，其中k 、b 是 ，k 0．特别地，当 时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）也叫 ．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 1、下列函数:①y=-8x;②y=8x ;③y=8x 2 ;④y=8x+1;⑤y=53++z x .其中是一次函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、（1）若函数y=（m —2）x+5是一次函数，则m 满足的条件是 。 （2）当m= 时，函数y=3x 2m+1 +3是一次函数。 （3）已知函数y=（k-1）x+k 2 -1，当k________时，它是一次函数，当k=_______?时，它 是正比例函数． （4） (1)2m y m x =++，当m = ，y 是x 的一次函数． 3、下列说法不正确的是（ ） A 一次函数不一定是正比例函数。 B 不是一次函数就一定不是正比例函数。 C 正比例函数是特殊的一次函数 D 不是正比例函数就一定不是一次函数。 4、下列函数中一次函数的个数为（ ） ①y=2x ；②y=3+4x ；③y=1/2；④y=ax （a≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0 A ．3个 B.4个 C.5个 D.6个 5、若一次函数1)1(2 -+-=m x m y 的图象经过原点，则m 的值为（ ） A.-1 B.1± C.1 D.任意实数 知识点2：一次函数图像 1、已知一次函数y=kx+1()0k ≠的函数解析式中k<0，则一次函数y=x+k 的图象大致是图中的（ ） 2、如图，函数y=kx+b ，其中k>0, kb<0，它的大致图象是（ ） A B 1变量和函数 一、变量 1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量. 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。 注意： （1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中； （2）常数也是常量，如圆周率要作为常量 二、函数 1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 注意： ①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。 ②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。 ③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系 ④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数． ⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取 值可以相同．例如:函数 2 (3) y x =-中，2 x=时，1 y=；4 x=时，1 y=． 2.函数的三种表示形式 （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法． （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤 （1）根据题意列出两个变量的二元一次方程 （2）用汉字变量的式子表示函数 4确定自变量的取值范围 （1）分母不为0 （2）开平方时，被开方数非负性 （3）实际问题对自变量的限制。 注意： （1）整式型：一切实数 （2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组 （5）应用型：实际有意义即可 2.函数图象 私塾国际学府学科教师辅导教案 组长审核： 学员编号：HD00 年级：八年级课时数：3课时 学员：辅导科目：数学学科教师： 授课主题变量与函数、正比例函数 教学目的 1、了解常量与变量的含义，能够分清实例中的常量与变量； 2、掌握函数的概念，了解函数的表达形式，能够判断两个变量间是否是函数关系； 3、掌握求函数自变量取值围的方法； 4、了解函数的表达形式； 5、了解正比例函数的定义与表达式； 教学重点 1、常量与变量的含义 2、函数的概念和表达形式 3、正比例函数表达式 授课日期及时段2017年3月31日 19:00-21:00 星期五第1次课 知识点一：变量与函数 1、常量与变量概念：在某一变化过程中，有些量的数值是变化的，我们称数值发生变化的量叫变量；有些数值是始终不变的，我们称数值始终不变的量为常量。 2、函数概念：一般地，在一个变化中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值。 注意：与x的每一个确定值对应的y值都是唯一的 例题解析 例1 圆周长公式C=2πR中，下列说确的是（） π、R是常量，2为变量 B.C、R为变量，2、π为常量 C.R为变量，2、π、C为常量 D.C为变量，2、π、R为常量 例2 一辆汽车以40km/小时的速度行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（小时）的关系式s=40t,其中______是变量，_______是常量。 例3 下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： （1）时间是8分钟时，水的温度为； （2）此表反映了变量_____和___之间的关系，其中____是自变量，_____ 是因变量； （3）在_____时间，温度随时间增加而增加；_____时间，水的温度不再变化． 巩固练习 龙文教育 个性化辅导教案讲义 任教科目：数学 授课题目：正比例函数的图像及性质年级：八年级 任课教师：任老师 授课对象： 武汉龙文个性化教育 校区 教研组组长签字： 教学主任签名： 日期： 武汉龙文教育学科辅导讲义 知识点 1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式 2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________； 当k<0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________． 3．正比例函数的图像是经过坐标 点和定点__ __两点的一条 。根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值． 例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12． ②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小． 选择题 1、如图函数y ＝－x （x ＜0）的图象是（） 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=4x+1 B ．y=2x 2 C ．y=-5x D ．y=x 3．下列说法中不成立的是（ ） A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=- 2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-3 5．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2?的大小关系是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 例1.定义在R 上的函数)x (f 满足)x (f )4x (f =+，当6x 2≤≤时，,n )2 1 ()x (f |m x |+=- 31)4(f =． (1) 求n m ,的值； (2) 比较)m log (f 3与)n log (f 3的大小． 例2．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 例3.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 例4. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例5．定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 1.若函数1x y a b =+-（0>a ，且1≠a ）的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ） A.01a <<且0b > B.1a >且0b > C.01a <<且0b < D.1a >且0b < 2.函数2()log f x x =的图像是（ ） 3.方程lg lg(3)1x x ++=的解x =_______. 4.3128x y ==，则11______x y -=. 5若103x =，104y =，则210x y -=________. 6已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >?=? ≤?，若1()2f a =，则______a =. . （1）x y =；（2）2 1 x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y =对称． 定义域 、值域 、奇偶性 、 单调性 、 定点。 1．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ． 2．函数1 2(0.58)x y -=-的定义域是 ． 3．函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 1、 数1 2y x --=的定义域是 （ ） A [0，+∞] B （—∞，0） C （0，+∞） D R 2019届中考数学专题复习讲义函数型 我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式： “靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合. 类型之一分段函数应用题 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。 1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农． 下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题： （1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？ （2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？ （3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平． 类型之二与二次函数有关的最优化问题 二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用． 2.枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？ 3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x元．求： y（间）关于x（元）的函数关系式． （1）房间每天的入住量 （2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式． （3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 课题名称：一次函数 授课时间： 月 日 教学目标：了解一次函数与正比例函数的区别和联系； 掌握一次函数的图象和性质 教学重难点：掌握一次函数的图象和性质 知识点1、一次函数与正比例函数的概念 一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。 一般地，形如 的函数，叫做一次函数。 知识点2、一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 一次函数当k 0,b 0时是正比例函数。 [例1] 下列函数中是一次函数的是（ ） A.122 -=x y B. x y 1- = C.31 += x y D. 1232 -+=x x y [例2] 在函数y ＝3x －2，y ＝1 x ＋3，y ＝－2x ，y ＝－x 2 ＋7是正比例函数的（ ） A 、0 个 B 、1 个 C 、2 个 D 、3 个 [例3] 若函数2 3(2)m y m x -=＋m 是一次函数，则m 的值 [例4] 函数y =(m -2)1 n x -+n 是正比例函数,m,n 应满足的条件是 ( ). A . m ≠2且n =0 B . m =2且n =2 C . m ≠2且n =2 D . m =2且n =0 针对练习： 1.已知y ＝（k －3）2 k x -＋2是一次函数，那么k 得值为（ ） A .±3 B .3 C .－3 D .无法确定 2.若y ＝228 m x -＋m －3是一次函数，则m 的值为（ ） A .±3 B .3 C .－3 D .无法确定 知识点3、一次函数的图象和性质 1 形状 一次函数的图象是一条 2 画法 确定 个点就可以画一次函数图像。一次函数与x 轴的交点坐标（ ,0），与y 轴的交点坐标 正比例函数定义 一般的，我们把形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 注意：正比例函数y=kx形式特征：①k≠0；②x的次数是1． 正比例函数图象和性质 图像是过原点的一条直线. ①当k>0时，图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y 也增大． ②当k<0时，图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大，y 反而减小． 一次函数定义 一般的，形如y=kx＋b（k≠0）的函数叫做一次函数，若b=0，即y=kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数． 一次函数的图象 图象是过（0，b）和两点的一条直线，可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）而得到的． 直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 三、一次函数的性质 1、当k＞0时，y随x的增大而增大． 2、当k＜0时，y随x的增大而减小． 1、一次函数的应用的数学思想方法. 一次函数的应用包括转化的思想方法、方程思想方法、数形结合思想方法． 2、应用一次函数解决实际问题主要包括两个方面的内容 （1）是根据题意解读图像，会根据函数图象的信息，运用数形结合的思想来解决问题． （2）将实际问题转化成数学问题，根据题意建立一次函数关系模型． 3、运用一次函数的图象和性质解一次函数的应用题 (1)根据函数关系式，确定函数图象的位置； (2)给定x值（或y值），利用图象求y值（或x值）； (3)与市场经济有关的方案决策问题； (4)通信费用、电费、水费、行李费等图象题型等； (5)与函数性质有关的求最值等问题． 4、实际问题中如何确定一次函数的解析式 （1）和列方程有很多相似之处，关键是弄清题意，分清数量关系，确定它们的关系式，从而得函数的解析式． （2）注意函数的取值和自变量的取值要符合实际情况．在实际生活中许多量不能取负数，如：重量、路程、用水量等；还有的不能取小数，如：人数、车辆数等． 5、确定一次函数的最大（小）值 一次函数没有最大（小）值，但是当自变量的取值范围不是任意数的时候，函数的图象变成了一条线段，出现了最大（小）值． 6、用一次函数解决实际问题的基本步骤一次函数的图像与性质拔高讲义
一次函数详细讲义
变量与函数_正比例函数讲义全
正比例函数的图像与性质讲义全
幂函数复习讲义绝对经典整理
2019届中考数学专题复习讲义 函数型
(完整)初二数学一次函数讲义
正比例函数定义.