排列组合与概率计算
排列组合与概率计算
在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列
排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：
P(n,r) = n! / (n-r)!
其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。根据排列公式可得：
P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120
所以，共有120种不同的放法。
二、组合
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组
合公式来计算不同的组合可能性：
C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)
举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不
同的组合？这就是一个组合问题。根据组合公式可得：
C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84
所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2
张红心和3张黑桃的概率是多少？
首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。根据排列公式，总共有：
P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960
其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑
桃的不同排列数量。根据排列组合的原理，可以计算出：
P(13,2) * P(13,3) = (13! / (13-2)!) * (13! / (13-3)!) = (13! / 11!) * (13! / 10!) = 78 * 286 = 22308
最后，我们可以计算出所求事件的概率：
P = 符合条件的排列数量 / 总的排列数量= 22308 / 2598960 ≈ 0.0086所以，恰好有2张红心和3张黑桃的概率约为0.0086。
综上所述，排列组合是一种重要的数学工具，可以用于计算事件发生的可能性。在概率计算中，排列组合可以帮助我们更准确地计算出事件的概率。通过掌握排列组合的概念和计算方法，我们可以更好地应用于实际问题中，提高问题求解的准确性和效率。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习 ------排列组合与概率统计 【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于 排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶排列与组合的主要公式 ①排列数公式：An m (n n! n(n1) (nm 1) (m ≤n) m)! A n n =n!=n(n ―1)(n ―...2)21 .· ②组合数公式：Cn m n! n(n 1) (n m 1) (m ≤n). m!(n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质：①C n m C n n m (m ≤n). ②C n 0 C n 1 C n 2 C n n 2n ③Cn 0 C n 2 C n 4 C n 1 C n 3 2 n1 2.二项式定 理 ⑴二项式定理 (a+b)n =C n 0a n +C 1 n a n －1 b+⋯+C n r a n －r b r +⋯＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数 C n r ，展开 r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r (r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公 式。 ⑶二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两 端 “等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n ②若n 是偶数，则中间项 (第 n n 项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2 ；若n 是奇数， 1 2 则中间两项(第n 1项和第n 3 n1 n1 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2 ③所有二项式系数和等于 2n ，即C 0 n +C 1 n ＋C 2 n +⋯+C n n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
利用排列组合计算概率问题
利用排列组合计算概率问题 概率是数学中一个重要的概念，用来描述某个事件发生的可能性。在现实生活中，我们经常需要计算概率来做出决策或者预测结果。而排列组合是概率计算中常用的方法之一，它可以帮助我们解决各种概率问题。 一、排列组合的基本概念 排列和组合是数学中的两个概念，它们都是通过对一组元素进行选择和排列来计算概率。排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序排列，形成不同的组合。组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序，形成不同的组合。 二、排列的计算方法 排列的计算方法比较简单，可以通过以下公式来计算： P(n, m) = n! / (n-m)! 其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的可能性，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。 例如，从5个人中选取3个人进行排列，可以计算为： P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5*4*3 = 60 三、组合的计算方法 组合的计算方法稍微复杂一些，可以通过以下公式来计算： C(n, m) = n! / (m!*(n-m)!) 其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的可能性。 例如，从5个人中选取3个人进行组合，可以计算为：
C(5, 3) = 5! / (3!*(5-3)!) = 5! / (3!*2!) = 5*4 / 2 = 10 四、概率计算的实际应用 排列组合可以应用于各种实际问题中，例如： 1. 抽奖概率计算：假设有10个人参加抽奖活动，每个人的中奖概率相同，计 算其中5个人同时中奖的概率。 解答：可以使用组合的方法计算，即从10个人中选取5个人进行组合，计算 公式为： C(10, 5) = 10! / (5!*(10-5)!) = 10! / (5!*5!) = 252 所以，其中5个人同时中奖的概率为1/252。 2. 生育概率计算：假设一个家庭有3个孩子，计算其中至少有2个女孩的概率。 解答：可以使用排列的方法计算，即从3个孩子中选取2个或3个孩子进行排列，计算公式为： P(3, 2) + P(3, 3) = 3! / (3-2)! + 3! / (3-3)! = 3! / 1! + 3! / 0! = 3 + 6 = 9 所以，其中至少有2个女孩的概率为9/8。 通过以上两个实际应用的例子，我们可以看到排列组合在概率计算中的重要性 和实用性。它可以帮助我们计算各种复杂的概率问题，从而做出更明智的决策或者预测结果。 总结起来，排列组合是概率计算中的重要工具，可以帮助我们解决各种概率问题。通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用概率理论，提高自己的数学能力和解决问题的能力。在实际生活中，我们可以利用排列组合来计算各种概率，从而做出更准确的判断和决策。
排列组合与概率统计
三 排列组合，概率统计 （一）排列组合 1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m n A 公式 m n A = ! ()! n n m - 规定0！=1 3，组合 组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n m n m - 性质 m n C = n m n C - 1 1m m m n n n C C C -+=+ 2 排列组合题型总结 一 直接法 1 .特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择2 5A ，其余2位有四个可供选择2 4A ，由乘法原理：2 5A 2 4A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有3 5A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1 4A 种，余下的有2 4A ，共有1 4A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当 2）可用间接法
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =?? ?. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+ +-?+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2 q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-?? =Φ ??? . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算 在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。 一、排列 排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性： P(n,r) = n! / (n-r)! 其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。 举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。根据排列公式可得： P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120 所以，共有120种不同的放法。 二、组合
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。 对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组 合公式来计算不同的组合可能性： C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!) 举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不 同的组合？这就是一个组合问题。根据组合公式可得： C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84 所以，共有84种不同的组合方式。 三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。 例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2 张红心和3张黑桃的概率是多少？ 首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。根据排列公式，总共有： P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960 其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑 桃的不同排列数量。根据排列组合的原理，可以计算出：
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题 排列组合知识点总结： 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③1 1-k n kc -=k n nc ； 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
排列组合及概率统计
考纲解析 排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。 资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。 本讲内容 10.1 排列组合基础 10.1.1 排列的基本概念及实例 从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为 )1()2)(1(+---=m n n n n A m n Λ（其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。 10.1 （1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。 （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。 （3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——6 6A = 720。 （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有2 2A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 5 5A =240种排列方法。 （5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头 和排尾有25A 种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5 5A 种方法， 所以一共有22A 5 5A =2400种排列方法。 解法二：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有6 6A 种方法；若甲站在排 这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要 注意审题，题 意是可能设置 陷阱的地方。 对于这类 问题，要掌握 常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组 合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10 ==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于 从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有1 1--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+
排列组合及其概率 12份
排列组合及其概率 排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握： 一、相邻问题---捆绑法不邻问题---插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法? 二、插板法 一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。 【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法? A.190 B.171 C.153 D.19 三、特殊位置和特殊元素优先法 对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。 【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种? A.120 B.240 C.180 D.60
四、逆向考虑法 对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。 正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? A.70 B.64 C.61 D.58 五、分类法 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步， 保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 A.120种 B.96种 C.78种 D.72种 知识点训练 1、丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位， 丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种? A.6 B.12 C.9 D.24 2、马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其 中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求 满足条件的关灯方法共有多少种? A.60 B.20 C.36 D.45 3、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数? A .300 B.360 C.120 D.240 4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? A.45 B.36 C.9 D.30 5、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数? A.120 B.64 C.124 D.136 概率知识要点分析： 1. 随机事件的概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m 总接近于某个常数， 在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）。 由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 2. 当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式： P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥） 3. 对立事件的概率计算公式：P （A ）+P （A ）=1。
高中数学排列组合与概率结合解题技巧
高中数学排列组合与概率结合解题技巧 在高中数学中，排列组合和概率是两个重要且常见的概念。它们在解题过程中 经常结合使用，能够帮助我们解决各种实际问题。本文将介绍一些排列组合与概率结合解题的技巧，并通过具体题目进行说明和分析，以帮助高中学生提高解题能力。 一、排列组合与概率的基本概念回顾 在开始讨论解题技巧之前，我们先回顾一下排列组合与概率的基本概念。 排列是指从一组元素中选取若干个进行排列，排列的顺序很重要。当从n个元 素中选取r个进行排列时，排列数用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)! 组合是指从一组元素中选取若干个进行组合，组合的顺序不重要。当从n个元 素中选取r个进行组合时，组合数用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 概率是指某一事件发生的可能性。概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次 数 / 总的可能性次数。 二、排列组合与概率结合解题技巧 1. 使用排列组合计算总的可能性次数 在解决概率问题时，有时我们需要计算总的可能性次数。这时，我们可以利用 排列组合的知识来计算。例如，有5个红球和3个蓝球，从中任选3个球，求选出 的3个球中至少有一个红球的概率。 解答：我们可以利用排列组合的知识来计算选出的3个球中至少有一个红球的 总的可能性次数。首先，我们可以计算选出3个球中没有红球的情况，即选出的3 个球都是蓝球的情况。根据组合的计算公式，C(3,3) = 1，表示选出3个球中都是 蓝球的情况只有1种可能。接下来，我们可以计算选出3个球中只有1个红球的情
况，即选出的3个球中有2个蓝球和1个红球的情况。根据排列的计算公式，P(5,1) = 5，表示选出1个红球的可能性有5种，而P(3,2) = 3，表示选出2个蓝球的可能 性有3种。因此，选出3个球中只有1个红球的情况共有5 * 3 = 15种可能。最后，我们可以计算选出3个球中有2个红球的情况，即选出的3个球中有1个蓝球和2 个红球的情况。根据排列的计算公式，P(5,2) = 20，表示选出2个红球的可能性有 20种，而P(3,1) = 3，表示选出1个蓝球的可能性有3种。因此，选出3个球中有 2个红球的情况共有20 * 3 = 60种可能。综上所述，选出的3个球中至少有一个红 球的总的可能性次数为1 + 15 + 60 = 76。而总的可能性次数为从8个球中选出3个 球的排列数，即P(8,3) = 8! / (8-3)! = 8 * 7 * 6 = 336。因此，选出的3个球中至少有 一个红球的概率为76 / 336 ≈ 0.226。 通过以上例题，我们可以看出，在解决概率问题时，有时需要计算总的可能性 次数。利用排列组合的知识，我们可以快速计算出总的可能性次数，从而解决问题。 2. 利用概率计算事件发生的次数 在解决排列组合问题时，有时我们需要计算某一事件发生的次数。这时，我们 可以利用概率的知识来计算。例如，有6个人参加一次抽奖活动，其中3个人将被抽中，求其中两个人是朋友的概率。 解答：我们可以利用概率的知识来计算其中两个人是朋友的次数。首先，我们 可以计算抽中的3个人中只有两个人是朋友的情况。根据组合的计算公式，C(6,3) = 20，表示抽中3个人的可能性有20种。而其中两个人是朋友的情况共有C(4,2) = 6种。因此，抽中的3个人中只有两个人是朋友的次数为20 * 6 = 120。最后，我们可以计算抽中的3个人中有3个人是朋友的情况，即抽中的3个人正好是朋友。根 据组合的计算公式，C(6,3) = 20，表示抽中3个人的可能性有20种。而其中3个人是朋友的情况只有1种。因此，抽中的3个人中有3个人是朋友的次数为20 * 1 = 20。综上所述，其中两个人是朋友的概率为120 / (120 + 20) = 0.857。
排列组合与概率知识点
排列组合与概率 两个基本原理： 1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +⋅⋅⋅+++=321种不同的方法. 2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=321种不同的方法. 特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。 三组基本概念： 1． 排列 1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数。通常用m n A 表示。 特别地，当n m =时，称为全排列，当n m 时，称为选排列。 2． 组合 1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的组合数,记作m n C 。 3． 事件与概率 1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。 2）一些特殊事件： （1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。 （2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。 （3）对立事件：必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件A 的对立事件通常记作A 。特别地，有B A +、B A ⋅的对立事件分别是B A ⋅、B A +，即B A B A ⋅=+、B A B A +=⋅。 （4）相互独立事件：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件。 3）事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )。
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。 一、排列组合的基本概念 1.1 排列 排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。排列的计算公式为： P(n,m) = n! / (n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。 1.2 组合 组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。组合的计算公式为： C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!) 二、概率计算的基本原理 概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。概率计算基于排列组合的
概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。 2.1 样本空间 样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。例如，掷一枚 普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。 2.2 事件 事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。例如，掷一枚 硬币出现正面是一个事件。 2.3 概率 概率是事件发生的可能性。对于一个随机试验和事件，概率的计算 公式为： P(A) = n(A) / n(S) 其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。 三、排列组合与概率计算的应用 排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。下面以几个具体 的例子说明它们的具体应用。 3.1 组合在概率计算中的应用
组合数学：排列、组合与概率
组合数学是数学中一门重要的学科，它研究的是“选择”的问题，这种选择可 以是排列、组合或者概率中的各种情况。在组合数学中，排列、组合与概率是 三个关键的概念。 首先，我们来看排列。排列是指从一组元素中，按照一定的顺序选择几个元素 进行排列。例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行排列， 那么可能的排列方式就是AB、AC、BA、BC、CA、CB。排列的数量可以通过阶乘 来计算，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1，其中n表示元素的数量。 接着，我们来看组合。组合是指从一组元素中，不考虑顺序选择几个元素进行 组合。例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行组合，那么 可能的组合方式就是AB、AC、BC。组合的数量可以通过公式 C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) 进行计算，其中n表示元素的数量，r表示选择的元素个数。 最后，我们来看概率。概率是指某个事件发生的可能性的大小，它是一个介于 0和1之间的实数。概率可以通过排列和组合的方法来计算。例如，有一副扑 克牌，从中随机抽取一张牌，如果我们想计算摸到黑桃牌的概率，那么可以用 排列的方法计算。黑桃牌的数量为13张，总牌数为52张，所以摸到黑桃牌的 概率为 P = 13/52 = 1/4。又如，有4个红色球和6个蓝色球，从中抽取两个球，如果我们想计算摸到一个红色球和一个蓝色球的概率，那么可以用组合的 方法计算。红色球的数量为4个，蓝色球的数量为6个，总球数为10个，所以摸到一个红色球和一个蓝色球的概率为 P = C(4,1) * C(6,1) / C(10,2) = 24/45。 综上所述，组合数学是一门研究“选择”的数学学科，其中排列、组合与概率 是三个重要的概念。通过排列和组合的方法，可以计算出各种“选择”的可能性。而概率则用来计算某个事件发生的可能性大小。组合数学在实际应用中有 着广泛的应用，例如在概率统计、密码学、图论等领域。因此，理解和掌握组 合数学的基本概念和计算方法对我们的学习和生活都具有重要意义。
排列组合的概率
排列组合的概率 排列组合是概率论中一个非常重要的知识点，也是数学中的一支分支。在实际生活中，排列组合也有广泛的应用，例如在概率统计、密 码学等领域都有重要的作用。本篇文章将为大家介绍排列组合在概率 中的应用及其相关概念和公式。 一、排列组合的基本概念 排列和组合是计数学中最基本的问题之一，他们的特点是在某个集 合中从中选出元素并进行排列。排列和组合的区别是排列允许重复， 组合不允许重复。举个例子，假设一个3个球的盒子中有红色、黄色 和蓝色三个球，从中选两个球排列，那么所有可能的结果有：红色球，黄色球 红色球，蓝色球 黄色球，红色球 黄色球，蓝色球 蓝色球，红色球 蓝色球，黄色球 这是从三个球中选取两个并进行排列的结果，共有6个可能的结果。这种情况下的计算就是典型的排列问题。如果是组合问题的话，那么 从三个球中选两个，可能的结果就是：
红色球，黄色球 红色球，蓝色球 黄色球，蓝色球 这是从三个球中选取两个并进行组合的结果，共有3个可能的结果。 二、排列组合的公式 计算排列和组合的问题本质上就是在进行选择和排序。在实际计算 过程中，可以使用排列组合的公式来进行求解。 1. 排列公式 在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行排列，那么总的可能组合数就是： A(n,m) = n! / (n - m)! 其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。这个 公式的意思是先从 n 个元素中选择 m 个不同的元素，然后对这 m 个元 素进行全排列。 2. 组合公式 在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行组合，那么总的可能组合数就是： C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)
排列组合的应用概率计算
排列组合的应用概率计算 在数学中，排列组合是一种重要的概念，它与概率计算密切相关。 在实际生活中，排列组合的应用广泛存在于各个领域。本文将探讨排 列组合在概率计算中的应用，以及它们对我们日常生活的影响。 1. 介绍 排列组合是数学中研究对象的一种组合方式。排列指的是从一组元 素中选取若干个元素并按照一定顺序进行排列的方式。组合则是从一 组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。排列与组合的计算方 式可以通过数学公式进行推导，但是在实际应用中，我们更多地使用 这些公式来解决问题。 2. 排列的应用概率计算 排列在概率计算中有着广泛的应用。以抽奖为例，当从一组编号为 1至10的球中抽取3个球时，我们可以通过排列的概念来计算中奖的 可能性。根据排列的计算公式，一共有10个球可供选取，中奖的可能 性为10个球中选取3个球的排列数，即10P3。通过排列的计算，我们 可以得到中奖的准确概率。 3. 组合的应用概率计算 组合同样在概率计算中发挥着重要的作用。以彩票为例，当从一组 编号为1至30的号码中选取6个号码时，我们可以通过组合的概念来 计算中奖的可能性。根据组合的计算公式，一共有30个号码可供选取，
中奖的可能性为30个号码中选取6个号码的组合数，即30C6。通过组合的计算，我们可以得到中奖的准确概率。 4. 排列组合在实际生活中的应用 排列组合不仅在概率计算中有着广泛的应用，还在我们的日常生活中扮演着重要的角色。比如，在购买彩票时，我们可以利用组合的概念计算中奖的可能性，从而决定是否购买。此外，在排队、选课、选取团队成员等情景中，我们可以利用排列组合的知识来计算不同的可能性，并作出相应的决策。 5. 排列组合的局限性和扩展 尽管排列组合在概率计算和实际生活中有着广泛的应用，但也存在一些限制和扩展的可能性。排列组合的计算适用于有限元素的情况，而当元素数量非常大时，计算量也会非常大。此外，随着计算机科学的发展，我们可以利用计算机算法来解决更复杂的排列组合问题，从而扩展了排列组合的应用领域。 总结： 通过本文的探讨，我们了解到排列组合在概率计算中的应用，并且可以看到它们在实际生活中的重要性。排列组合的概念与计算公式是解决问题的有力工具，我们可以利用它们来计算概率、做出决策，并在各个领域中应用。虽然排列组合有其局限性，但随着科技的进步，我们可以利用计算机算法来解决更复杂的问题。在日常生活中，我们
排列组合与概率
专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m ≤n)． 4.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N * ，且m ≤n). 5.组合数的两个性质： (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+ （3）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 6.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =⋅！ . 7.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 【题例分析】 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有234C （44A －3 3A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋2 2A ） 种，故共有252种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有5 5A 种,共有5 513452335 )(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404 447=A C 种．
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。 一、排列的概念与性质 排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。排列的计算公式为： P(n, m) = n!/(n-m)! 其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。 排列的性质如下： 1. 排列数P(n, m)满足如下关系： P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1) 2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。 3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。 4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质 组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为 C(n, m)。组合的计算公式为： C(n, m) = n!/(m!(n-m)! ) 组合的性质如下： 1. 组合数C(n, m)满足如下关系： C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1) 2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。 3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。 4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系： C(n, m) = P(n, m)/m! 三、排列与组合的应用 1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。例如，计算从牌组中抽取m张牌中，其中恰好有n张某种特定牌的概率。 2. 组合数学：排列与组合是组合数学的基础概念，它们在组合数学中有广泛的研究和应用。例如，组合恒等式、二项式系数等都与排列和组合的性质密切相关。