(精品)线性代数考研复习思维导图——行列式

知识点汇总和思维导图

第九单元知识点汇总和思维导图【一轮复习】一、溶液的形成 1、溶液概念：一种或几种物质分散到另一种物质里形成的均一的、稳定的混合物，叫做溶液溶液的基本特征：均一性、稳定性注意： a、溶液不一定无色，如CuSO4溶液为蓝色 FeSO4溶液为浅绿色 Fe2(SO4)3溶液为黄色 b、溶质可以是固体、液体或气体；水是最常用的溶剂 c、溶液的质量 = 溶质的质量 + 溶剂的质量溶液的体积≠溶质的体积 + 溶剂的体积 d、溶液的名称：溶质的溶剂溶液（如：碘酒——碘的酒精溶液） 2、溶质和溶剂的判断 3、饱和溶液、不饱和溶液 ⑴概念：（略）； ⑵注意：①条件：“在一定量溶剂里”“在一定温度下”；②甲物质的饱和溶液不是乙物质的饱和溶液，故甲物质的甲物质的饱和溶液还可以溶解乙物质。 ⑶判断方法：继续加入该溶质，看能否溶解； ⑷饱和溶液和不饱和溶液之间的转化注：①Ca(OH)2和气体等除外，它的溶解度随温度升高而降低；②最可靠的方法是：加溶质、蒸发溶剂 ⑸浓、稀溶液与饱和不饱和溶液之间的关系 ①饱和溶液不一定是浓溶液； ②不饱和溶液不一定是稀溶液，如饱和的石灰水溶液就是稀溶液； ③在一定温度时，同一种溶质的饱和溶液要比它的不饱和溶液浓； ⑹溶解时放热、吸热现象 a.溶解吸热：如NH4NO3溶解； b.溶解放热：如NaOH溶解、浓H2SO4溶解； c.溶解没有明显热现象：如NaCl 二、溶解度 1、固体的溶解度定义：在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量

四要素：①条件：一定温度②标准：100g溶剂③状态：达到饱和④质量：溶解度的单位：克（1）溶解度的含义：如20℃时NaCl的溶液度为36g含义： a.在20℃时，在100克水中最多能溶解36克NaCl。 b.或在20℃时，NaCl在100克水中达到饱和状态时所溶解的质量为36克。（2）影响固体溶解度的因素：①溶质、溶剂的性质（种类）②温度 a大多数固体物的溶解度随温度升高而升高；如KNO3 b少数固体物质的溶解度受温度的影响很小；如NaCl c极少数物质溶解度随温度升高而降低。如Ca(OH)2 （3）溶解度曲线例：（a）t3℃时A的溶解度为 80g ；（b）P点的的含义在该温度时，A和C的溶解度相同；（c）N点为 t3℃时A的不饱和溶液，可通过加入A物质、降温、蒸发溶剂的方法使它变为饱和；（d）t1℃时A、B、C、溶解度由大到小的顺序C>B>A；（e）从A溶液中获取A晶体可用降温结晶的方法获取晶体；（f）从B的溶液中获取晶体，适宜采用蒸发结晶的方法获取晶体；（g）t2℃时A、B、C的饱和溶液各W克，降温到t1℃会析出晶体的有A和B 无晶体析出的有 C ，所得溶液中溶质的质量分数由小到大依次为 A

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

《地球和地球仪》思维导图及知识点解析教学内容

《地球和地球仪》思维导图及知识点解析

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除《地球和地球仪》思维导图及知识点解析一、思维导图答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线

二、知识点解析知识点梳理（基础知识、基本方法、思维拓展）例题解析基础知识点一、地球的形状和大小（1）认识过程人类对地球形状的认识，经历了漫长而艰难的探索过程。天圆地方我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法太阳和月亮人们根据太阳、月亮的形状，推测地球也是个球体，于是就有了“地球”的概念麦哲伦环球航行路线图1519～1522年，葡萄牙航海家麦哲伦率领的船队，首次实现了人类环绕地球一周的航行，证实了地球是一个球体地球卫星照片20世纪，人类进入了太空，从太空观察地球，并且从人造卫星上拍摄了地球的照片，确证地球是一个球体（2）地球的大小随着科学的发展，人们利用科学仪器，精确地测量出了地球的大小，下面是一组数据。【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。答案：A 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法一、基本内容及历年大纲要求。本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。二、行列式在线性代数中的地位。行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。三、行列式的计算。由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。 1.数值型行列式的计算主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;

(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量

地球和地球仪思维导图及知识点解析

1 / 13 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析一、思维导图答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线

谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状地球的赤道半径比极半径长约21千米，可以证明：地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。析规律：歌谣记忆地球的基本数据 3 / 13

#线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==

故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，

民法结构图--思维导图

知识结构示意图民法的起源民法的本质民法的概念和特征；我国的民事立法民法调整的财产关系民法的调整对象民法调整的人身关系公民、法人的民事权益受法律保护原则导论平等原则自愿原则民法的调整原则等价有偿原则诚实信用原则公平原则禁止权利滥用原则民事法律关系的概念财产法律关系和人身法律关系民事法律关系的分类绝对法律关系和相对法律关系物权关系和债权关系民事法律关系民事法律关系主体民事法律关系的要素民事法律关系的内容民事法律关系的客体事件民事法律事实民事法律行为——有意合法行为行为事实行为——无意表意行为不合法行为——承担法律责任法人的概念和分类民事权利能力法人民事主体民事行为能力民事责任能力设立的原则法人的设立成立的条件法人制度人格的变更法人的设立、变更和终止法人的变更组织形态的变更宗旨的变更法人的终止法人型联营联营合同型联营合伙型联营

概念和特征民事法律行为的概念和特征民事法律行为与民事行为单方民事法律行为和双方民事法律行为单务民事法律行为和双务民事法律行为民事法律行为的分类有偿民事法律行为和无偿民事法律行为诺成性民事法律行为和时间性民事法律行为要式民事法律行为和不要式民事法律行为明示形式民事法律行为民事法律行为的形式默示形式行为人合格行为人意思表示真实民事法律行为的有效条件行为内容合法行为形式合法附条件和附期限的民事法律行为无效民事行为和可变更、可撤消的民事行为意思决定不自由：欺诈、胁迫第三人影响，可撤消意思表示不真实有意思的不一致单方不一致双方：通谋无意识：误解错误知识结构示意图：代理的概念和特征代理的适用范围代理的适用和种类委托代理代理的种类法定代理指定代理代理权的概念代理权的产生代理代理权及其行使代理权的行使转委托隐名代理无权代理的表现无权代理无权代理的效力表见代理代理关系的终止委托代理的终止法定代理或者指定代理的终止

1.4《地形图的判读》思维导图及知识点解析

. 《地形图的判读》思维导图及知识点解析一、思维导图答案：（1）海平面（2）垂直（3）闭和（4）相等（5）密集（6）稀疏（7 ）降低（8）降低（9）海拔低处（10）海拔高处（11）

. 重叠相交（12）平原（13）海洋（14）等高线地形图二、知识点解析知识点梳理例题解析知识点一、等高线地形图（1）地面高度的计算 ①海拔：地面某个地点高出海平面的垂直距离。 ②相对高度：某个地点高出另一个地点的垂直距离。辨误区：海拔和相对高度的参照点不同（2）等高线 ①含义：在地图上，把海拔相同的各点连接成线，叫等高线。 ②特点：除陡崖外，等高线一般不相交；同一条等高线上的各点，海拔相等；等高线有无数条。析规律：等高距的含义及特点任意相邻的两条等高线之间的距离，叫等高距。同一幅等高线地形图上，等高距相等。【例1－1】世界最高峰珠穆朗玛峰海拔约8 844米，我国陆地最低的地方吐鲁番盆地在海平面以下155米，两地相对高度约是（）。 A ．8689米 B ．9003米 C ．8999米 D ．9009米解析：首先确定所求两点的海拔。然后计算二者海拔之差就是相对高度。答案：C 【例1－2】读图（单位：米），完成下列问题。

（3）等高线地形图 ①含义：用等高线表示地形的地图，叫等高线地形图。等高线地形图实际上是将不同高度的等高线投影到同一平面上来表示起伏的地形。 ②等高线地形图的判读在等高线地形图上，可以根据等高线的疏密状况判断地面的高低起伏。坡陡的地方，表示等高线密集；坡缓的地方，表示等高线稀疏。山体的不同部位，等高线形态也不一样。山体不同部位的等高线分布特点，如下表：地形部位等高线分布特点山峰等高线封闭，数值从中间向四周逐渐降低，常用“”表示山脊等高线的弯曲部分向海拔低处凸出山谷等高线的弯曲部分向海拔高处凸出鞍部两个山顶之间相对低洼的部分陡崖等高线重叠、相交处，常用符号表示（4）等深线（1）写出图中字母所代表的地形名称。 A________，B______，C______，D_______，E________。（2）H点与G点的相对高度是________米。（3）沿B虚线和C虚线登山，较容易的是________，其原因是_______________。（4）山峰M与A，较高的是________。解析：第（1）题，根据图中等高线的分布特点可知，A处等高线封闭，数值从中间向四周逐渐降低，为山峰；B处等高线的弯曲部分向海拔低处凸出，为山脊；C处等高线的弯曲部分向海拔高处凸出，为山谷；D处位于两个山顶之间相对低洼的部分，为鞍部；E处有几条海拔不同的等高线重叠相交，为陡崖。第（2）题，H点所在的等高线是400米，G点处在200米等高线上，二者相对高度是200米。第（3）题，沿B处虚线的等高线稀疏，说明坡度较缓，易攀登。第（4）题，根据等高线地形图中数据变化规律，A、M两点海拔高，是山峰，且M峰多了 .

线性代数-特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=

民法--知识结构图--思维导图

民法-知识结构图 1、民法的概念（民法的概念民法的含义） 2、民法的调整对象（民法的调整对象人身关系及其特征财产关系及其特征） 3、民法的渊源（民法渊源的含义制定法习惯） 1、民法概述4、民法的适用范围（民法对人的适用范围民法在空间上的适用范围民法在时间上的适用范围） 5、民法的基本原则（民法基本原则的含义平等原则自愿原则公平原则诚实信用原则禁止权利滥用原则） 6、民事法律关系（民事法律关系的概念和特征民事法律关系的要素民事权利民事权利的救济民事义务民事责任民事法律事实） 1、自然人的民事权利能力（自然人与公民自然人的民事权利能力） 2、自然人的民事行为能力（自然人民事行为能力的概念自然人民事行为能力的类型） 3、自然人的住所（住所与居所住所的设定与变更户籍与身份证住所的法律效果） 4、监护（监护的概念监护人的设立监护人的职责监护的终止） 2、自然人5、宣告失踪与宣告死亡（宣告失踪宣告死亡） 6、个体工商户与农村承包经营户（个体工商户农地承包经营户个体工商户和农村承包经营户的财产责任） 7、个人合伙（个人合伙的概念和特征个人合伙的财产关系个人合伙的内部关系个人合伙的债务承担个人合伙的终止） 1、法人概述（法人的概念和特征法人应具备的条件法人的分类） 2、法人的能力（法人的民事权利能力法人的民事行为能力法人的责任能力） 3、法人3、法人的成立、变更和终止（法人的设立法人的变更法人的终止法人的登记） 1、民事行为与民事法律行为概述（民事行为与民事法律行为民事法律行为的特征民事法律行为的分类） 2、意思表示（意思表示的概念意思表示的类型意思表示瑕疵） 3、民事法律行为的成立与生效（民事法律行为的成立民事法律行为的生效） 4、附条件与附期限的民事法律行为（附条件的民事法律行为附期限的民事法律行为） 5、无效民事行为（无效民事行为的概念无效民事行为的类型无效民事行为的效果民事行为的部分无效）（重点章节） 4、民事法律行为6、可变更、可撤销的民事行为（可变更、可撤销民事行为的概念可撤销民事行为的类型可撤销民事行为的效果） 7、效力未定的民事行为（效力未定民事行为的概念效力未定民事行为的类型效力未定民事行为的效果）

基于思维导图的知识点

1. 函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2. 一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3. 一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4. 向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等。该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5. 多元函数微分学

重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6. 多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7. 无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8. 常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。

民法结构图--思维导图.

知识结构示意图民法的起源民法的本质民法的概念和特征; 我国的民事立法民法调整的财产关系民法调整的人身关系公民、法人的民事权益受法律保护原则导论平等原则自愿原则民法的调整原则等价有偿原则诚实信用原则公平原则禁止权利滥用原则民事法律关系的概念财产法律关系和人身法律关系民事法律关系的分类绝对法律关系和相对法律关系物权关系和债权关系民事法律关系民事法律关系主体民事法律关系的要素民事法律关系的内容

民事法律关系的客体事件民事法律事实合法行为行为事实行为一一无意不合法行为——承担法律责任法人的概念和分类民事权利能力民事行为能力民事责任能力设立的原则法人的设立成立的条件法人制度人格的变更法人的设立、变更和终止法人的变更组织形态的变更宗旨的变更法人的终止法人型联营联营合同型联营

合伙型联营概念和特征民事法律行为的概念和特征民事法律行为与民事行为单方民事法律行为和双方民事法律行为单务民事法律行为和双务民事法律行为有偿民事法律行为和无偿民事法律行为诺成性民事法律行为和时间性民事法律行为要式民事法律行为和不要式民事法律行为明示形式民事法律行为默示形式行为人合格行为人意思表示真实民事法律行为的有效条件行为内容合法行为形式合法附条件和附期限的民事法律行为无效民事行为和可变更、可撤消的民事行为意思决定不自由：欺诈、胁迫第三人影响，可撤消意思表示不真实有意思的不一致单方错误知识结构示意图:

代理的概念和特征代理的适用范围代理的适用和种类委托代理代理的种类法定代理指定代理代理权的概念代理权的产生代理代理权及其行使代理权的行使转委托隐名代理无权代理的表现无权代理无权代理的效力表见代理代理关系的终止委托代理的终止法定代理或者指定代理的终止时效的概念和种类诉讼时效的概念和特征诉讼时效概述诉讼时效的效力诉讼时效的适用范围

线性代数习题-[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义 1．计算三阶行列式123 4 56789 。 2．写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3．利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D

⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4．利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质 1．计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2．在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3．计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠

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线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算

例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.

《地球和地球仪》思维导图及知识点解析

-- 《地球和地球仪》思维导图及知识点解析一、思维导图答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4万（4）5.1亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北（12）0°（13）20°W 和160°E（14）经线（15）纬线

谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状地球的赤道半径比极半径长约21千米，可以证明：地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体。析规律：歌谣记忆地球的基本数据 --

思维导图法之创意空间站测试答案

课后测试恭喜您顺利通过考试！单选题 ?1、下列哪项是思维导图的呈现形式？（10 分） A 图文并茂式 B 全文字式 C 全图式 D 以上都是正确答案:D ?2、在老师的讲述中，下列哪个国家，从幼儿园开始一直到大学毕业，将思维导图作为必修课？（10 分） A 韩国 B 中国 C 新加坡 D 英国正确答案:C ?3、1981年诺贝尔奖获得者：罗杰·斯佩里，当时发现大脑的皮质区，分为左右两边，那左右两边它有不同的心智能力。所以，下列哪项不是右脑所负责的选项？（10 分）

A 图像 B 完形 C 空间顺序正确答案:D ?4、史坦教授说：多少百分比的人是以左脑处理语言？（10 分） A 7% B 97% C 9% D 67% 正确答案:B ?5、老师在圆周率的案例中，老师使用下列哪种方法进行思维的转换？（10 分） A 图像的联想抽象到具象 C 图像到具象 D 抽象的联想正确答案:B

?6、在老师的案例中，《秋思》是运用了思维导图的哪种呈现形式？（10 分） A 全图式 B 全文字式 C 图文并茂式 D 逻辑式正确答案:A ?1、我们要是用几力来呈现：思维导图和思维导图法对我们能力的提升的话，下列哪几项是正确的？（10 分） A 思考力 B 逻辑力 C 沟通力 D 理解力正确答案:A B C D ?1、东尼·博赞先生在1974年，把这样的一个图解的这个工具通过《启动大脑》和BBC的广播推向了全世界？（10 分）

正确 B 错误正确答案:正确 ?2、根据耶鲁大学耗时五年的研究所知，旋转的舞者顺时针旋转时，当下我们更多的是在使用我们的左脑？（10 分） A 正确 B 错误正确答案:错误 ?3、脑速是可以通过训练来得到一个提高？（10分） A 正确 B 错误正确答案:正确

七年级地理上册地图的阅读思维导图及知识点解析人教版

1 / 10 《地图的阅读》思维导图及知识点解析一、思维导图答案：（1）图上距离比实地距离缩小的程度（2）线段式、数字式、文字式（3）上北下南，左西右东（4）指向标（5）北方（6）南北（7）东西二、知识点解析

知识点梳理（基础、提升、拓展）例题解析基础知识点一、学会阅读地图地图是运用各种符号，将地理事物按一定的比例缩小以后表示在平面上的图像。比例尺、方向和图例是地图的“语言”。辨误区：地图和照片的区别地图和照片是有区别的，地图是把某一区域的景物进行选择和综合，并且按照一定比例缩小，用“符号”来代替真实的景物；照片是原封不动地展现景物的真实面貌。（1）比例尺 ①定义：比例尺表示图上距离比实地距离缩小的程度。 ②公式：比例尺＝图上距离/实地距离。 ③表示方式（以图上1厘米表示实地距离1千米为例）：数字式：1∶100 000或者1/100000 文字式：图上1厘米代表实地距离1千米线段式： ④大小比较：比较几个比例尺的大小时，可以先把不同的比例尺统一成同一形式的比例尺再进行比较。比较数字式比例尺大小时，分母越大，比例尺越小；分母越小，比例尺越大。【例1－1】下列关于地图及其构成要素的说法正确的是（）。 A．地图是照片的复制，二者没有区别 B．地图的构成要素包括比例尺、方向和图例 C．地图的构成要素有比例尺、方向和大小 D．地图都是反映在平面上的图形解析：A地图和照片是不同的，见上面的“辩误区”，B正确，这称为地图的三要素；C地图的大小不是地图的要素；D地图不一定都是在平面上，有时也做成立体地图。答案：B 【例1－2】李阳是树园中学初三年级学生，家住晶晶小区，每天步行上学。据图完成下列问题。（1）李阳家所在的晶晶小区位于树园中学的（）。 A．西北方 B．东南方 2 / 10

《地球和地球仪》思维导图及知识点解析

、思维导图地球和地球仪》思维导图及知识点解析答案：（1）不规则球体（2）6371（3）4 万（4）5.1 亿（5）赤道（6）缩短（7）东西（8）赤道（9）垂直（10）半圆（11）南北12）0°（13）20°W和160°E（14）经线（15）纬线

、知识点解析（1 例题解析【例1】下列可以说明地球的形状为球体的是（）。 ①人造卫星拍摄的地球照片 ②远航的船舶逐渐消失在地平线以下 ③麦哲伦环球航行 ④环太平洋地带多火山和地震 ⑤流星现象 A．①②③B．②③④ C．③④⑤D．②③⑤ 解析：人造卫星拍摄的地球照片是地球形状的最直观、最有力的证据；远航船舶消失在地平线以下说明地球是一个球体；麦哲伦环球航行也证明了地球是球体。而火山、地震、流星现象与地球的形状无关。答案：A （2

谈重点：地球的基本数据可以证明地球的形状地球的赤道半径比极半径长约21 千米，可以证明：地球是一赤道略鼓的不规则球体。个两极稍扁、析规律：歌谣记忆地球的基本数据地球是个圆球体，这个事实人共知；探求地球形状史，伟人献身我辈记；六三七一是半径，五点一亿表面积；要知赤道有多长，坐地日行八万里。释疑点：赤道周长的例证“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，出现在地球赤道附近辨误区：地球的平均半径地球的平均半径不是地球的极半径和赤道半径的平均数。

A．地球仪上地轴是一个假想的旋转轴 B．地球仪上的南、北极是地轴与地球表面的交点 C．地球仪是按比例缩小的地球模型 D．所有地球仪都会有表示国家的符号与名称解析：地球仪是按照一定比例缩小的地球的模型，有很多种类，有关于地形的，有关于政区的，在绘有世界政区图的地球仪上，有表示国家的符号和名称。答案：D

高考化学备考：铝及其化合物知识点+思维导图!

高考化学备考：铝及其化合物知识点+思维导图！【学习目标】 1、掌握铝的氧化物（Al2O3）、氢氧化物(Al(OH)3)，及其重要盐(KAl(SO4)2)的性质； 2、准确理解氧化铝（Al2O3）和氢氧化铝(Al(OH)3)的*，会书写相关反应的化学方程式； 3、了解Al(OH)3的制备，会书写相关反应的化学方程式； 4、掌握Al3+、 Al(OH)3 、AlO2-的转化（铝三角），并能够用化学方程式或离子方程式表示。【知识网络】【学习内容】一、氧化铝（Al2O3） 1、物理性质：白色固体，熔点（2054℃），沸点2980℃，难溶于水。 2、化学性质：氧化铝难溶于水，却能溶于酸或强碱溶液中。 *氧化物（既能与强酸反应又能与强碱反应生成盐和水的氧化物） Al2O3既能与酸反应，又能与碱反应，Al2O3是*氧化物。（金属氧化物不一定是碱性氧化物!） 3、用途 ① Al2O3是工业冶炼铝的原料

② 常作为耐火材料，例如，有氧化铝坩埚。 ③ 宝石的主要成分是氧化铝，各种不同颜色的原因是在宝石中含有一些金属氧化物的表现。如红宝石因含有少量的铬元素而显红色，蓝宝石因含有少量的铁和钛元素而显蓝色。【例题】 1．下列物质中既能跟稀H2SO4反应, 又能跟氢氧化钠溶液反应的是①NaHCO3②Al2O3③Al(OH)3④Al（） A．③④ B．②③④ C．①③④D．全部 2、对氧化铝的分类中准确的是（） A．酸性氧化物B．碱性氧化物 C．*氧化物 D．不成盐氧化物（像CO一样） 3.下列说法准确的是 ( ) A．Al2O3难溶于水，不跟水反应，所以它不是Al(OH)3对应的氧化物 B．因为Al2O3是金属氧化物，所以它是碱性氧化物 C．Al2O3能跟所有的酸碱溶液反应 D．Al2O3能跟强的酸碱溶液反应【答案】D 【解析】Al2O3虽然难溶于水，但是2Al(OH)3 Al2O3＋3H2O， Al2O3和Al(OH)3中Al的化合价相同，所以Al2O3是Al(OH)3对应的氧化物。金属氧化物与碱性氧化物是两个不同的概念，二者没有必然的联系。Al2O3是*氧化物，Al2O3与强酸、强碱反应，与弱酸、弱碱不反应。

民法结构图--思维导图

知识结构示意图民法的起源民法的本质民法的概念和特征；我国的民事立法民法调整的财产关系民法的调整对象民法调整的人身关系公民、法人的民事权益受法律保护原则导论平等原则自愿原则民法的调整原则等价有偿原则诚实信用原则公平原则

禁止权利滥用原则民事法律关系的概念财产法律关系和人身法律关系民事法律关系的分类绝对法律关系和相对法律关系物权关系和债权关系民事法律关系民事法律关系主体民事法律关系的要素民事法律关系的内容民事法律关系的客体事件民事法律事实民事法律行为——有意

合法行为行为事实行为——无意表意行为不合法行为——承担法律责任法人的概念和分类民事权利能力法人民事主体民事行为能力民事责任能力设立的原则法人的设立成立的条件法人制度人格的变更法人的设立、变更和终止法人的变更组织形态的变更

宗旨的变更法人的终止法人型联营联营合同型联营合伙型联营知识结构示意图：概念和特征民事法律行为的概念和特征民事法律行为与民事行为单方民事法律行为和双方民事法律行为单务民事法律行为和双务民事法律行为民事法律行为的分类有偿民事法律行为和无偿民事法律行为诺成性民事法律行为和时间性民事法律行为要式民事法律行为和不要式民事法律行为

明示形式民事法律行为民事法律行为的形式默示形式行为人合格行为人意思表示真实民事法律行为的有效条件行为内容合法行为形式合法附条件和附期限的民事法律行为无效民事行为和可变更、可撤消的民事行为意思决定不自由：欺诈、胁迫第三人影响，可撤消心中保留意思表示不真实有意思的不一致