一元二次方程应用(动点问题)教学内容
4.动点问题
例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？
变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？
A
B C P Q 6cm 8cm
2、如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm动点D从A点出发到B点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E从C点出发到A点为止，点E运动的速度为2cm/秒那么当点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）
C
3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CA向点A运动；点Q同时以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB向点B 运动,设P、Q两点移动t秒
（1）求△APQ与△ABC相似时t的值
（2）求四边形BCPQ面积S与时间t的关系式
（3）求△APQ为等腰三角形时t的值
例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正
以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心
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海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。
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二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
教案 一元二次方程的应用——利润问题
一元二次方程的应用——利润问题教学设计 （江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100） 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500
一元二次方程经典测试题(附答案解析)
. . . 一元二次方程测试题 考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16
一元二次方程与动点及答案
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间 为t 秒． （1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？ （3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． P C A B Q ↑
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题： （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？
第二十三章 一元二次方程全章导学案
第二十二章一元二次方程 1、一元二次方程（1） 学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 导学流程： 自学课本导图，走进一元二次方程 分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程 去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 探究新知 自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题： 问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 展示反馈 【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。 其中为一元二次方程的是： 【我学会了】 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。 自主探究： 自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）81 x（2）)2 42= -x x x = 3+ (5 )1 ( 【巩固练习】教材第27页练习
一元二次方程应用一对一辅导讲义
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
一元二次方程的应用学案
一元二次方程的应用学案 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一.自主学习 例1.如图，有一块长40c、宽30c的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.如图，N是一面长10的墙，要用长24的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABcD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃ABcD的宽为x，那么长____. 根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.
解这个方程，得＝ ＝ 根据题意，舍去_________________. 所以，花圃的宽是________. 二.对应练习 从一块正方形木板上锯掉2c宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积. 有一块矩形的草坪，长比宽多4.草坪四周有一条宽2的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽. 三.当堂检测 两个数的和是20，积是51，求这两个数. 如图，道路AB与Bc分别是东西方向和南北方向，AB＝1000.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000？
数学人教版九年级上册一元二次方程的应用-几何动点问题
基本信息 课题《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》学科数学班级初二134B1 授课教师卫霞授课时间2017-6-2 【教学任务分析】 教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性. 1）. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2）. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3）. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4）. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程； 5）. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根. 2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化. 3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。 教学重点用一元二次方程解决动点问题； 动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题 教学难点 分析动点的运动，列出一元二次方程. 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 教学方法自主探究、自主讲解、合作学习 媒体资源学生导学卡和多媒体课件 【教学过程设计】 教学流程教学活动师生活动设计意图 【板块一】复习回顾复习引入 1、列方程解应用题的步骤： （1）、（2）、（3）、（4）、 （5）、（6）、 回顾思考回顾前几节课刚刚 学过的利用一元二 次方程可以解决的 几类实际问题，引 出新课——用一元
二次方程解决几何动点问题. 【板块二】新知探究例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发， 其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动； 点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中 一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求 动点运动时间为多少秒时△PBQ的面积为4 cm2． 变式1：当x为何值 时，PQ长为13 变式2：当Q的运动 方向相反时，（从C 向B移动）当x为何值时，△PBQ的面积为4 cm2 读题， 边读边 推、动手 画图，尝 试设未知 数、列方 程、 讲解自己 思路 带领学生学会审题 和分析（A、线段长： 变量：常量： B、有几个动点？动 点的起点、终点、 运动方向、速度分 别是什么？时间范 围 C、图中有哪些线段 可以用t表示，试 着在导学卡中写出 来. ） 设计动点表格（在 学生的导学卡中） 【板块三】课堂练习1、在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点 A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点 Q从点B开始以2cm/s的速度沿 BC边向点C移动,如果P、Q分 别从A、B同时出发，几秒后△ 学以致 用、举一 反三. 本环节重在考察生 应用所学知识解决 类似问题的能力， 同时检测学生当堂 C B A B A C D Q P
一元二次方程应用(动点问题)
4.动点问题 例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、 BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？ 变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？ A B C P Q 6cm 8cm
2、如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm 动点D 从A 点出发到B 点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E 从C 点出发到A 点为止，点E 运动的速度为2cm/秒那么当点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ） 3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CA 向点A 运动；点Q 同时以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AB 向点B 运动,设P 、Q 两点移动t 秒 （1）求△APQ 与△ABC 相似时t 的值 B C E D A
（2）求四边形BCPQ面积S与时间t的关系式 （3）求△APQ为等腰三角形时t的值 例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正 以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域(包括边界)都属台 风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 10
201x版中考数学专题复习 专题二(11-2)一元二次方程的应用学案
2019版中考数学专题复习专题二（11-2）一元二次方程的应用学 案 【学习目标】 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型． 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 【重点难点】 重点：列出一元二次方程解决实际问题. 难点：将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程解决实际问题． 【知识回顾】 一．回顾练习 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，现有6个球队，共需安排_____场比赛. 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 3.一件工程，甲独做2小时完成，乙独做3小时天完成，甲乙合作_____小时可以完成. 4.一个两位数个位数字是a,十位数字是b，这个两位数是_______ 5.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米. 【综合运用】 （一）面积问题 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少？（二）传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
(三）平均增长率问题 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率. （四）商品销售问题 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【直击中考】 1..如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 2.（xx年）（本小题满分7分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学xx 年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，xx年投资18.59万元. （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从（xx年）到xx年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 一元二次方程的应用复习学案答案
一元二次方程解决动点问题
（三）迁移运用： 用一元二次方程的相关知识解决下列问题: 【导学流程】 （一）了解感知： 认真阅读下面一段话，然后完成练习 24.4 —元二次方程的应用（6） 班级： 姓名： 小组： 【学习目标】 1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3?借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程; 5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根 【重点难点】 重点：用一元二次方程解决动点问题； 难点：分析动点的运动，列出一元二次方程 2.如图所示，已知在厶 ABC 中，/ B=90° AB=BC=5cm 点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若一动点运动 到终点，则另一个也随之停止。 （1）如果P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，那么几秒后，△ （2）在（1）中，△ PBQ 的面积能否等于 7cm2?说明理由。 PBQ 的面积等于4cm2?
1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。 2. 完成课本56页C组1题（写在书上） （二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解 1.等腰直角厶ABC中,AB=BC=8cm动点P从A点出发,沿AB向 B移动，通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、 Q.当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR勺面积等于16cm2? 1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B移动, 点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0 一元二次方程的实际应用学案 ——几何图形问题 一、知识回顾： 1、列方程解应用题的步骤： （1）、 （2）、 （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 2、常见的几何图形的面积公式： （1）、矩形的面积＝长× ； （2）、正方形的面积＝ （3）、三角形的面积＝ 21×底× ； （4）、梯形的面积＝2 1×（ ）×高； 二、课前练习： 1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为 2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为 3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为x cm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲： 例1、如图，从一块长8厘米、宽6厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半。求这个宽度 解：设这个宽度为x cm ，则小长方形的长为 ， 宽为 ，根据题意，得 答： 例2、（08广东改编）在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去 四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 cm，求所截去小正方形的边长。 8002 解：设所截去小正方形的边长为x cm，则底面长方形 的长为，宽为，根据题意，得 答： 例3、振中的生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平 m，小道的宽应是行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 多少？ 解：设小道的宽为x m，根据题意，得 答： 四、当堂训练： 1、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边 m，小道的宽应是多少？的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 24.4 一元二次方程的应用(6) 班级：姓名：小组： 【学习目标】 1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程； 2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系； 3. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程； 4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程； 5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根. 【重点难点】 重点：用一元二次方程解决动点问题； 难点：分析动点的运动，列出一元二次方程. 【导学流程】 （一）了解感知： 认真阅读下面一段话，然后完成练习 1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按 照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。 2. 完成课本56页C组1题(写在书上) （二）深入学习： 分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解: 1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向 B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、 Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2? 2.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。 （1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由。 （三）迁移运用： 用一元二次方程的相关知识解决下列问题： 1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0 4.7一元二次方程的应用（1） 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一、自主学习 例1.如图，将一根为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160平方厘米，求两个正方形的边长。 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆的盈利增加10元，每盆应当种植该花卉多少棵？ 二.对应练习 1.天全村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。要求长宽的比为3:1,。在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1 m的通道。当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300平方米？ 2.矩形ABCD的边AB=200cm,O为AB的中点，O E⊥AB交CD于点E.质点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动。经过多少秒时，⊿OPQ的面积为1800平方厘米？ 三、当堂检测 1.两个实数的和是10，积是-75，求这两个数. 2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是10002 m？ 教学反思： A 7.动点问题 例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？ 变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？ A B C P Q 6cm 8cm 2、如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm动点D从A点出发到B点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E从C点出发到A点为止，点E运动的速度为2cm/秒那么当点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（） C 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CA向点A运动；点Q同时以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB向点B运动,设P、Q两点移动t秒 （1）求△APQ与△ABC相似时t的值 （2）求四边形BCPQ面积S与时间t的关系式 （3）求△APQ为等腰三角形时t的值 例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正 以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由. 变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。 10 一元二次方程的应用（1）导学案（新版新 人教版） 第8课时一元二次方程的应用 一、学习目标会列出一元二次方程解应用题； 学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题； 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 二、知识回顾1.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、 配方法、公式法、因式分解法. .列一元一次方程解应用题的步骤是什么？ 审：弄清题意和题目中的数量关系； 设：用字母表示题目中的一个未知数； 找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；解：解所列的方程，求出未知数的值；验：检验方程的解是否符合题意；答：写出答案. 三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤 审：指读懂题目审清题意，明确哪些是已知量，哪些 是未知量，以及它们之间的等量关系; 设：指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接 设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量； 列：指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程； 解：指解方程，即求出所列方程的解； 验：指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%,等等. 答：写出答案. 列一元二次方程解应用题的常见题型 传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等. 四、典例探究 .一元二次方程的应用——传播问题 【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染， 问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有 多少人受到感染？ 《一元二次方程的应用》教学设计 一、教材的地位和作用 本节是一元二次方程应用的继续和发展，由于能用一元一次方程解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需要用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法来解的，所以本节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。关于列方程解应用题的教学，教材的安排是多次反复，逐步递进，注重数量关系的分析，淡化题型套路，注重分析问题和解决问题能力的培养，增强数学应用意识，在下学期的代数方程一章中，还会出现列方程解应用题的内容。 二、教学目标 学会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题 教学重点、难点 正确寻找实际问题中的等量关系列出方程 三、教学方法与教学手段 启发引导，合作探究 四、教学过程 （一）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙足够长），用120米长的铁栅栏围一个所占面积为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三 （1）长方形的面积是1152平方米； （2）长方形的面积是1800平方米； （3）长方形的面积是2000平方米。 拓展1：如果两面靠墙（两墙互相垂直），铁栅栏总长度120米不变， 仓库面积为2400平方米，如何围？ 拓展2：如果两面靠墙（两墙夹角为?135），铁栅栏总长度120米不变， 仓库面积为2400平方米，如何围？ （二）有一块长方形的铁片，先把他的四角各截去一个边长为5厘米的正方形，然后折起来，做成一个没盖的盒子。已知铁片的长是宽的2倍，做成的盒子的容积为1500立方厘米，求铁片的长和宽。 (三)如图，ABC △中，90B ∠=?，AB=6厘米，BC=8厘米，点P 从点A 开始，在AB 边上以1厘米/秒的速度向B 移动，点Q 从点B 开始，在BC 边上以2厘米/秒的速度向点C 移动.如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，经几秒钟，使PBQ △的面积等于28cm ？ 拓展：如果把BC 边的长度改为7cm ，对本题的结果有何影响？ （四）本课小结 列方程解应用题的一般步骤： 1、审题：分析相关的量 2、设元：把相关的量符号化，设定一个量为X ，并用含X 的代数式表示相关的量 3、列方程：把量的关系等式化 4、解方程 5、 检验并作答 （五）布置作业 1、请欣赏一道借用苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》的头两句改编而成的方程应用题， 6cm 一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。 2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数． 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增 加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 三、平均变化率问题增长率 （1）原产量+增产量=实际产量． （2）单位时间增产量=原产量×增长率． （3）实际产量=原产量×（1+增长率）． 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高． 9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度． 五、围篱笆问题 10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么? v1.0 可编辑可修改 1初三数学 第 1页 (共4页) 初三数学 第 2页 (共4页) 一元二次方程的应用（6） 班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面 Ⅰ卷 错题重现（20分） 1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元 某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯 Ⅱ卷 当堂检测（80分） 一、选择题（每题3分，共15分） 1.【王沛青】配方法解方程2 420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2 (2)2x -= B ．2 (2)2x += C ．2 (2)2x -=- D ．2 (2)6x -= 2.【马雪爱】一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动（ ） A 851 B 851516 D 651 3.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（ ） A 17 B 26 C 30 D 13 4．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（ ） A 20％ B 27％ C 28％ D 32％ 5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x = ） A 123,1x x == B 123,1x x ==- C 123x x ==121x x ==- 二、填空题（每空3分，共15分） 6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。 7.【杨阳】当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =-+-x x m m 是一元二次方程； 8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x ，根据题意列出的方程是 ． 9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 人． 21.1 一元二次方程 【教学目标】 知识与技能 1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容； 3.了解一元二次方程根的意义和用法。 过程与方法 1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法——类比法； 2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识； 3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。 情感、态度与价值观 1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。 2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】 重点：一元二次方程的概念和一般形式。 难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。 【教法与学法导航】 ?教学方法 激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法 ?学习方法： 动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法 【教学准备】 ?教师准备： PPT课件（开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容），每个学生一份长10cm,宽5cm的矩形纸各一张。 ?学生准备： 刻度尺剪刀 【教学过程】 一、问题探索—导入新知 （一）利用多媒体展示问题1和问题2： （师：请同学们思考大屏幕上这两个问题） 问题1.如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？一元二次方程学案几何图形应用题
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