小波相干性分析
综 述
小波相干分析及其应用
摘 要：将小波变换与相干分析相结合构成的小波相干分析，探测Fourier 相干无法探测的特征信息，小波相干分析不仅能提供傅立叶分析类似的谱图，还能捕捉信号之间短时相互作用，因此小波相干分析在临床上的应用越来越广泛。本文主要介绍小波相干分析方法以及在生活中的应用。
关键词：小波分析；相干分析；小波相干；脑电信号；肌电信号
1 引言
随着科技的进步，信号处理在我们的生活中的作用越来越明显。在临床方面，脑电信号和肌电信号的分析，不仅有助于医师诊断病人的身体状况，而且还可以帮助医师进行康复工作。但因为生理信号是一种非常复杂的信号，信号本身非常微弱，稳定性较差，随机性很强，因而传统的Fourier 相干在分析这些信号时存在一定的局限性[1-2]。小波分析方法对非平稳信号的特殊处理能力，使其在脑电和肌电信号的分析和处理中显示出极大的优越性。因此与相干分析相结合构成小波相干分析，既能够获取待分析信号的幅值和相位信息，又能够衡量相干性随时间的变化规律[3-4] 。
2 相干分析
对于两个复随机信号x 和y ，相干性系数定义为功率谱密度(power-spectrum density ，PSD) 和互谱密度(cross-spectrum density ，CSD ) 的函数，计算公式如下:
(1)
公式(1) 中,P xx (f)和P yy (f)分别表示信号x 和信号y 的PSD,P xy (f)表示信号x 和y 之间的CSD ，PSD 是频率f 的实函数，而CSD 是f 的复函数。Coh xy 表示信号x 和信号y 在频率f 处的相干性系数，式中0≤Coh xy ≤1，且Coh xy =0，x 和y 不相干;Coh xy =1，x 和y 完全相干。
相干性系数反映的是两信号之间的同步性相似性，或两信号的变化规律是否
具有线性关系，该理论在地球物理雷达通信等方面都有着重要的应用，近年来也越来越多地应用于医学信号，如EEG 和EMG 。
当公式( 1) 中的信号x 和y 分别为EEG 中两个通道信号时，即可实现EEG 信号的相干性分析，按照经典的频谱分析方法，设计步骤如下：
(1) 对记录到的EEG 时域信号进行傅立叶变换( FFT) ,得到F(x)和F(y) ；
)()()(Coh 2
xy 2f Pyy f Pxx f Pxy ?=
(2) F(x)与F(y)的乘积作为CSD,F(x) F(y)分别与其共轭相乘作为PSD ；
(3) 用CSD 除以两信号的PSD 进行归一化处理，如公式(1) 所示，得到Coh xy; 归一化处理是为了使相干性系数与两信号的震荡幅度相独立，从而保证相干性分析在动态功率谱变化中的有效性。
3 小波变换
一般认为，实际信号中不同频率成分的分量具有不同的时变特性，通常，慢变信号具有较低频率成分的频谱，变化激烈的信号具有较高频率成分的频谱。小波变换是由法国科学家莫莱特（Morlet ）在1980年分析地震信号时提出的，在小波变换中，Morlet 引入了多尺度分析的概念，可以由粗及细地逐步观察信号。 小波母函数的定义如下：
)()(21ab a b t a t -=-ψψ （2）
其中，a, b ∈R, a≠0, 分别是尺度参数和时间参数，母函数可以为实函数或者复函数。小波变换的实质是将信号与一个在时域和频域上均具有局域化性质的平移伸缩小波权函数进行卷积，从而将信号分解成位于不同时间和频率上的各个成分。小波变换的定义如下：
()()()()b a S dt a b t t S a b a ,21,,S W ψψψ=??
? ??-=*-? （3） 式中*表示复共轭，(S,ψab )即表示小波系数[5]。小波变换克服了短时傅立叶变换窗函数固定尺度的缺陷，高频处采用短时窗以提高时间分辨率，低频处采用长时窗以提高频率分辨率。在小波分解中，随着分解尺度的增加，小波逐渐向低频方向聚焦。Morlet 小波由于具有良好的时域与频域局部化特性，因此在信号的时频分析应用中经常被采用。复Morlet 小波是高斯窗口的复正弦函数，其表达式如下：
()()()22
f 2δττπτψ---??=u u f j e e f u ， （4）
复Morlet 小波变换的定义如下：
()du u u x f f )(),(W ,x *?=τψτ （5）
小波分析不仅具有完美的数学内涵，而且具有重要的应用价值，特别适用于
信号的瞬态分析、图像边沿检测、图像去噪处理、模式识别、数据压缩、分形信号分析等方面。Akey [6]、Blinowska [7]、Meste [8]等人利用小波相干的时间—尺度能量分布分析方法对心血管音、脑电、晚电位等生物医学信号进行分析，所得尺
度谱的分辨率比一般谱图的分辨率要高。在晚电位分析方面，目前仪器中采用的手段多是累加平均，人们希望能发展逐拍的动态检测，但是由于噪声(主要是肌电)干扰，小幅度的肌电与之很难区分。为了研究小波分析对心室晚电位动态分析的有效性，Tuteur [9]人为地在某一心拍的QRS 波后期加以持续时间约0.1s 的仿真晚电位。分析结果表明，在a=16的尺度下晚电位被明显突出。钟伯成等人[10]以自发的脑电信号为对象，利用小波变换对其瞬态信号进行定位和提取。实验结果表明，基于小波变换的脑电信号瞬态检测法能方便而有效地完成瞬态波形的检测与参数提取。
小波变换突出局部特征的能力使它成为检测瞬态突变及图像边沿的有力手
段.传统上常用的检测手段是匹配滤波和傅里叶变换，但前者需要有关于待检测信号的先验知识，后者则主要对长期持续周期性信号有效。只有小波变换适于检测低能量的短时瞬变信号，而且不需要很多先验知识。
4 小波相干
小波相干（wavelet coherence ）来源于傅立叶相干，其定义如下[11-13]：
()()()()()f t SW f t SW f SW YY XX XY ,,,t t,f
Co W 22= （6）
其中 ()()()τττδδd f W f W f Y t t X ,,,t SW 22XY *+-?=
（7） SWxx(t,f)和SW YY (t,f)也可按照上式计算。δ是随所关注频率而改变的，其取值照
下式,：
f n cy =
δ （8） 此式体现小波相干的根本思想，即对于较高的频率使用较窄的积分窗。这里n cy 为[]22,t δδ--t ，时间段内的周期个数，一般来说，对于短时间序列，n cy 取比较小的数值，如5或者6，而对于长的时间序列，n cy 取较大数值[11,13]。
5 小波相干的应用
5.1脑电信号处理
大脑内部通过各种信息传递来完成整体的任务，各导联信号之间的相干性大
小即可体现脑区之间的联系强度，并给予我们大量神经中枢内部的交互信[15]。脑电的相干分析由来已久，从 20 世纪六、七十年代的初步尝试到 90 年代的普遍承认和迅猛发展，相干分析已经成为研究脑神经的重要方法[14,15]
研究显示，长距离脑区信息交互主要依靠振荡频率在30～80 Hz 的gamma 节律，它被认为是中枢神经系统交流的普遍编码，其中40 Hz 的节律近年来得到越来越多的关注，如Tiitinen等报道其与选择性注意有关，尤其在顶叶和额叶最为突出[16-18]。选择计算40 Hz 左右各导联与前额之间的相关性，此相关值可表征各脑区与前额的信息交流程度。
吴捷，张宁，杨卓，张涛[19]等人尝试将小波相干方法应用于事件相关电位实验的脑电信号分析中。实验分为三组：听觉任务、震动任务1和震动任务2。对12个受试者的实验数据进行40 Hz 左右的小波相干分析，计算了前额脑区与其他各脑区之间的相干性，发现震动任务的小波相干值大于听觉任务并有显著差异，且在不同的任务中，各脑区的小波相干值有其明显不同的分布特征，且随时间呈有规律的变化。分析体现了小波相干在短时脑电信号处理上的优势。
5.2肌电方面的应用
表面肌电信号(surface electromyography signal，sEMG)是从肌肉表面通过电极引导、记录下来的神经肌肉系统活动时的一维时间序列信号，其变化与参与活动的运动单位数量、运动单位活动模式和代谢状态等因素有关，能够实时、准确地和在非损伤状态下反映肌肉活动状态和功能状态[20]。时域方法最早应用于肌电信号分析，易提取、方法简单；频域方法提取的特征值较稳定，使得频域方法成为肌电信号处理技术的主流；以小波变换为代表的时-频分析方法因结合了时域、频域两方法的特性，在肌电信号分析方面颇有潜力。
王乐军，黄勇，龚铭新[21]等人通过对10位健康男性青年志愿者为研究对象，记录受试者以50%MVC负荷强度静态屈肘运动诱发肌肉疲劳过程中主动肌肱二头肌与拮抗肌肱三头肌的sEMG ，为考查疲劳因素对相干性分析结果的影响作用，对记录的sEMG按运动持续时间平均分为两段，分别对两段sEMG进行相小波干性分析处理。结果如下：在疲劳负荷实验过程中，肱二头肌与肱三头肌MF指标随运动持续时间表现出显著性的单调递减变化趋势。从相干性分析结果看，在beta频段和gamma频段内，运动后半段肱二头肌与肱三头肌sEMG相干函数值要明显小于运动前半段，而tremor频段内无显著性差异。
5.3其他方面的应用
曲国庆,苏晓庆[22]等人将小波相干分析应用于山东GPS地壳运动网络,分析了两列基准站信号在南北向、东西向和垂直向上各频率成分的共同变化。结果表明季节周期成分和半年周期成分相干较强,月周期成分相干相对较弱,说明月周期成分影响因素复杂而且不规则。不同基准站的各周期成分在同一方向上的相干情况,也表现出一定的规律性。
6 小结
小波相干是分析两列信号相互依赖关系,尤其是探测相干瞬时变化的有效方法。通过获取信号的幅值和相位信息,便于研究相干性随时间变化的特征,探测Fourier相干无法探测的特征信息。
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[19] 吴捷, 张宁, 杨卓, 张涛.小波相干分析及其在听觉与震动刺激事件相关诱发脑电处理中的应用.生物物理学报.2007,23(6):483-486.
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小波分析
小波分析 湍流实验数据的子波分析： 用子波分析研究湍流边界层的多尺度相干结构 一、 原理 1、 局部平均的结构函数 基于湍流局部平均概念粗粒化的速度结构函数： ],[],[)()(),(b a b x a b b x x u x u b a u -∈+∈-=δ （3-1-1） )(x u 表示在中心分别为2a b -和2 a b +，尺度为a 的两个相邻湍流结构中流体相对运动速度的局部平均，a 为湍流结构的空间尺度，b 为两个相邻湍流结构的接触点的空间位置。 2、 子波变换在湍流多尺度结构研究中的意义 连续Harr 子波变换为： ])()([1)()(1)()()(),(),(,,dt t u dt t u a dt a b t H t u a dt t H t u t H t u b a W b a b b b a b a b a H ?-?=?-=?>==<++-∞ +∞-+∞ ∞- （3-1-6） （3-1-6）式的物理意义是在时间段],[b b a t +-∈内热线探针测量到的流体的平均速度与在时间段],[b a b t +∈内热线探针测量到的流体的平均速度的差。 湍流中不同尺度流动结构的多尺度特征与子波变换的多分辨概念是一致的，可以用子波变换的多分辨分析理论研究湍流结构的多尺度特征，可以用（3-1-6）式定义一定尺度a 和一定位置b 下的局部平均的湍流速度结构函数。 3、 用子波分析检测湍流中多尺度相干结构的方法 采用了两种不同的检测准则来提取湍流中的相干结构,分别如下所述： 检测准则一：该检测准则的提出，主要基于尽可能完全、彻底地提取出湍流中全部相干结构的思想，其中瞬时平坦因子),(b a FF 的值以3做为判断界限。本方法主导思想比较简单，直观印象简单明了，即只要在单一尺度a 下点b 的瞬时平坦因子),(b a FF 值大于3就视其为该尺度下的一个相干结构。其检测过程为：分尺度计算各点b 的瞬时平坦因子),(b a FF ，如果),(b a FF 大于3，则认为检测到该尺度下的一个相干结构；如果),(b a FF 不大于3，则不视其为一个相干结构。 检测准则二：为了在所有的尺度中系统地选择事件，我们采取一种后验的选择门限值的
小波去噪三种方法
小波去噪常用方法 目前，小波去噪的方法大概可以分为三大类：第一类方法是利用小波变换模极大值原理去噪，即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第二类方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号；第三类是小波阈值去噪方法，该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。基于这一思想，在众多小波系数中，把绝对值较小的系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或收缩，得到估计小波系数，然后利用估计小波系数直接进行信号重构，即可达到去噪的目的。 1：小波变换模极大值去噪方法 信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势。小波变换模极大值去噪方法，实质上就是利用小波变换模极大值所携带的信息，具体地说就是信号小波系数的模极大值的位置和幅值来完成对信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不一样，其模极大值的传播特性也不一样这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。 算法的基本思想是，根据信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的模极大值，然后用剩余的小波变换模极大值重构原信号。小波变换模极大值去噪方法，具有很好的理论基础，对噪声的依赖性较小，无需知道噪声的方差，非常适合于低信噪比的信号去噪。这种去噪方法的缺点是，计算速度慢，小波分解尺度的选择是难点，小尺度下，信号受噪声影响较大，大尺度下，会使信号丢失某些重要的局部奇异性。 2：小波系数相关性去噪方法 信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性表明，信号的小波变换在各尺度相应位置上的小波系数之间有很强的相关性，而且在边缘处有很强的相关
小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
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§9-6 激光的相干性 一、间相干性与空间相干性 在第一章里已讲过了光的干涉，光源的相干性是一个很重要的问题，所谓相干性，也就是指空间任意两点光振动之间相互关联的程度， Q P 1 P 2 （图9－26） 在图9-26中，如果1P 和2P 两点处的光振动之间的位相差是恒定的，那么当1P 和2P 处的光振动向前传播并在Q 点相遇时，这两个振动之间的位相差当然也是恒定的，于是在Q 点将得到稳定的干涉条纹，这时，我们就称1P 和2P 处的光振动为完全在联的，也就是完全相干光，如果1P ，2P 处的光振动之间的位相差是完全任意的，并随时间作无规则的变化，那么在Q 点相遇时，根本不能给出干涉条纹，这时我们称1P ，2P 处的光振动是完全没有关联的，也就是完全非相干光。 由于原子的发光不是无限制地持续的，每一次发光，有一定的寿命，因此它总是有一个平均发光时间间隔，从干涉的角度来讨论问题时，可以很明显地看到，只有在同一光源同一个发光时间间隔内发出的光，经过不同的光程后再在某点相遇时，才能给出干涉图样，所以我们把原子的平均发光时间间隔叫做相干时间，在这里，把这一个相干时间记为H t ?，如果光的速度为c 则H c t ?表示在相干时间内光经过的路程，我们称它为相干长度，记之为H ι?，于是有 H ι?=H c t ? 在迈克耳孙干涉仪中，如图1-19所示，引起干涉的两束光为11a b 和22a b ，这两束光的 光程差即为平面反射镜1M 和'2M 之间的空气薄层的厚度，现在令这厚度为ι?，只有当 H t ι??时，11a b 和22a b 这两束光已经不是发光原子同一次发光中发出的了，它们之间已无恒定的位相差，因而干涉条纹非常模糊，ι?比H t ?大得愈多，干涉条纹愈模糊，甚至完全不能见到，这时11a b 和22a b 是完全不相干光，在这个例子中，我们可以看到，虽然在处理
时间相干性
光波的时间相干性 摘要：该文介绍光的时间相干性的原理，并作了定量分析，得出了相干时间及相干波列长度与干涉条纹清晰度关系的结论。 关键词：相干时间相干长度 从一无限小的点光源发出无限长光波列,用光学方法将其分为两束,再实现同一波列的相遇叠加,得到稳定的干涉条纹,这样的光源称为相干光源。我们知道，任何光源发射的光波只有在有限的空间范围内并且在一定的时间范围内才可以看作是稳定的。即光源向外发射的是有限长的波列，而波列的长度是由原子发光的持续时间和传播速度确定的。 我们以杨氏干涉实验为例讨论，如图所示。光源S发射一列波，被杨 b' a" b a S S' S" P P' a' r r r' r"
氏干涉装置分为两列波a'、a "，这两列波沿不同的路径r'、r "传播后，又重新相遇。由于这两列波是从同一列光波分割出来，他们具有完全相同的频率和一定的相位关系，因此可以发生干涉，并可以观察到干涉条纹。若两路的光程差太大，致使S'、S "到达考察点P 的光程差大于波列的长度，使得当波列a "刚到达P 点时，波列a'已经过去了，两列波不能相遇，当然无法发生干涉。而另一发光时刻发出的波列b 经S'分割后的波列b'和a "相遇并叠加。但由于a 和b 无固定的相位关系，因此在观察点无法发生干涉。故干涉的必要条件是两列波在相遇点的光程差应小于波列的长度。 我们知道，λ λλλδ?≈?+=2 max )(j 式中考虑到当λλ? ，该式表明， 光源的单色性决定产生干涉条纹的最大光程差，通常将max δ称为相干长度。 再由上述讨论可知，波列的长度至少应等于最大光程差，由上式 得波列的长度L 为λ λδ?==2 max L ，此式表明，波列的长度与光源的谱 线宽度成反比，即光源的谱线宽度λ?就小，波列长度就长。下表是几种光源的相干长度。 发光物质 )(o A λ )(o A λ? L （m) a N 5893 ~0.1 ~3.4*210- g H 5460.73 ~0.1 ~3*210- r K 6057 ~0.0047 ~1.0 e e N H -激光 6328 ~610- ~4*410
小波相干性分析
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小波的几个术语及常见的小波基介绍说课材料
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小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
光源的时间相干性和空间相干性对干涉、衍射的影响
109-光源的时间相干性和空间相干性对干涉、衍射现象的影响 摘要：光波作为一种概率波，其波动性已早已为我们所熟知，并且基于其波动特性的干涉和衍射现象已用于科学研究和生产实践的各个领域。因此，提高光波的相干性对充分利用干涉和衍射现象具有重要意义。光波的相干性与光源的性质有着密切的联系，因此搞清楚光源的时间相干性和空间相干性具有重要意义。 关键词：时间相干性；谱线宽度；空间相干性 正文： 光源的时间相干性体现为其单色性，即所发射光子频率的离散程度。其具体数值指标为谱线宽度，其值越小说明发射光子频率的离散程度越小，光源的单色性越好，其时间相干性越好。普通单色光源的谱线宽度的数量级为千分之几纳米到几纳米，而激光的谱线宽度只有nm,甚至更小，因此，激光的相干性要远远优于普通单色光源。也正是基于激光的强相干性，光学全息技术、非线性光学、激光制冷技术、原子捕陷等近代物理技术才获得了快速的发展。并且，多光子吸收等在普通单色光源下不可能发现的现象也在激光出现后被发现，极大地促进了人们对原子更为精系结构及能级跃迁机理的认识。 光源的空间相干性体现为光源的大小对相干性的影响。由于从普通光源的不同部位发出的光是不相干，因此光源的大小必然影响到其相干性。其具体临界数量关系式为：bd=R λ,其中λ为单色光的波长，R 为光源 与衍射孔的距离，b 为光源的宽度， d 为衍射孔的距离。当d,R, λ固定 时，光源的宽度b 必须小于R λ/d, 才可以在衍射屏上观察到干涉条 纹。同样，当b,R,λ固定时，d 必须 小于R λ/b,称该值为相干间隔，以 此来衡量光源的空间相干性。由于激光光源各处发出的光都是想干的，所以激光光源的光场相干间隔的限制，这也是激光具有强相干性的原因之一。迈克尔逊侧性干涉仪巧妙地利用了空间相干性原理来测得恒星的角直径，便是利用空间相干性的典型例子。 在光栅光谱仪的实验中，减小光入射缝的宽度实际上是相当于减小了b ，从而提高了光源的空间相干性，故得到原子光谱的谱线更加精细，体现在电脑图谱上就是突起变得更加尖锐。 参考文献 [1].张三慧.大学物理:第四册.北京:清华大学出版社,2000. [2].张三慧.大学物理:第五册.北京:清华大学出版社 ,2000.
小波和多尺度简介
在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。 在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。 最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。 从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。 从基函数的形成来讲，在图像表示方面体现为多尺度几何分析，无论是曲波(curvelets)、带波(bandlets)，还是仿形波(coutourlets)，都要求基函数应具备下述特点：(i)多分辨率分析，(ii)时频定位能力，(iii)全角度分析(方向性)，(iv)各向异性的尺度变换。这些新的冗余函数系统的不断涌现，使信号稀疏表示的方法更加成为研究的热点。 超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年代。1993年Mallat和Zhang首次提出了应用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(marching pursuit, MP)算法。在这篇文献中，作者用自然语言表述浅显的类比，说明超完备冗余字典对信号表示的必要性，同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所固有的特性，以实现MP算法的自适应分解。 新思想的提出引起人们极大的关注，但由于算法所涉及的计算量十分繁重，因而早期研究的焦点集中在如何实现算法的快速计算，降低算法的复杂度，以及选择何种类型原子构造合适的字典两方面。这期间，许多音视频信号处理方面的实验都对MP算法作出了有利的支持，尤其在甚低码率视频编码方面，MP算法更显示出极大的优越性. 1999年Donoho等人又另辟蹊径，提出了基追踪(basis pursuit, BP)算法，并从实验的角度举证了MP,MOF,和BOB算法各自的优劣。稍后，又在2001年发表的另一篇重要文章中，给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件，并提出了字典的互不相干性的概念。 注：摘自《基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解》
五种常用小波基含MATLAB实现
1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。 （1）Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。 Haar 函数的 定义如下：其他 1212 1 001-1(t)≤≤≤≤?????=ψt t Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； (t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波 族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j
Haar 小波的时域和频域波形图 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 t haar 时域 x 10 5 1 2 3 4 5 6 75 f haar 频域 i=20; wav = 'haar'; [phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')
完整版小波变换去噪基础知识整理
小波变换的概念 1.这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为小波(Wavelet)频“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低()函数率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号变换的频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。困难问题，成为继Fourier变换以来在具体用哪种，为什么？?2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种: 或者小波族)的方法有几种定义小波(的滤波器——来和为长度为1小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)2N缩放滤波器:定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。SymletDaubechies和高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如。小波 。来定义也称为父小波)(即母小波)和缩放函数(缩放函数:小波由时域中的小波函数 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 。小波g。例如对于有Meyer紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器 。例如墨西哥帽小波。小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小 波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常 常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值小波分析是目前数学中一个迅速发展的新领网域，它同时具有理论深刻
(完整版)小波变换去噪基础知识整理
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数(即母小波)和缩放函数(也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。
小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波的几个术语及常见 的小波基介绍 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
光的时间相干性
目录 中文摘要 Abstract 引言 (1) 1.光的相干 (1) 1.1干涉条纹的对比度 (1) 1.2 空间相干性 (1) 1.3 时间相干性 (2) 2.迈克尔孙干涉仪 (5) 2.1迈克尔孙干涉仪装置 (5) 2.2迈克尔孙干涉仪原理 (5) 3.应用 (5) 3.1用迈克尔逊干涉仪测量汞相干长度 (7) 3.1.1实验方法 (8) 3．1.2数据记录 (8) 3.1.3 实验结果 (9) 3.2用迈克尔逊干涉仪测量钠相干长度 (9) 3.2.1 实验数据结果 (9) 致谢 (10) 参考文献 (10)
引言 虽然光学是物理学中最古老的一门基础学科，但是在当前科学研究中依然活跃，具有很强的生命力和研究价值。从十七世纪开始，人们发现彩色的干涉条纹并开始对其进行观察研究，一直以来以光的直线传播观念为基础的光的本性理论动摇了，从此开始进入了光的波动理论的萌芽期。十九世纪初，波动光学初步形成，产生了很多一系列的干涉方面的理论，光源的时间相干性概念也就是此刻被提出并引入了干涉理论当中去的。 光源的时间相干性是掌握光的干涉和衍射现象的一个很重要的方面，它用相干长度和相干时间来表示。光源时间相干性主要是与干涉现象中条纹的清晰度有着很大的关联，知道了它们之间内在的影响关系之后，就可以很容易的，通过改变某些条件来得到清晰的对比度较好的条纹，从而便于我们观察，加深认识，也更容易对波动光学理论的基础进行理解跟掌握。在当今，社会生活中的很多方面都与光的时间相干性有着紧密的联系，在光的时间相干性的基础上运用光的干涉进行精度的评估，如长度的精密测量，及检验工件表面的差异等。 1.光的相干 1.1干涉条纹的对比度 为了描述两波交叠区域内的干涉条纹的清晰程度，引入对比的概念。干涉条纹对比定义为 min max min max I I I I V +-= (1.1) 式(1.1)中max I ，min I 分别为条纹光强的极大值和极小值。当max I =0时， 1=V ，此时条纹的反差最大，对比度最大，干涉条纹最清晰；当max min I I ≈时，0≈V ， 此时条纹模糊，对比度为0，甚至不可辨认，看不到干涉条纹。一般的， V 总是在1~0之间。 关于干涉条纹的对比度，影响因素有很多，主要因素有产生干涉的两束光的光强比、光源的大小以及光源单色性的好坏等，本论文就是主要研究每个因素所产生的影响进行讨论。 1.2光源的相干极限宽度 空间相干性 在讨论杨氏双缝干涉实验时，假设光源S 宽度很小，可以看作是线光源。实验表明，随着光源宽度增大，干涉条纹的对比度将下降，当光源宽度达到某一个值时，对比度为零，此时干涉条纹消失。为什么会出现这种现 ？这是因为任何一个有一定宽度的光源S ，都可以看成有更细的光线光源组成的。由于光源上不同部位发出的光彼此不相干（激光光源除外），所以每个线光源各自都在屏上产生一组干涉条纹。这些干涉条纹彼此错开，产生非相干叠加，结果是屏上的条纹变得模糊不清以至消失，条纹的对比度下降为零。 定义干涉条纹的对比度下降为零时，光源的宽度0b 称为光源相干的极限宽度。光源相干的极限宽度0b 可如下求出，如图1.1 ，射光源到双缝屏G 的距离为B ，光源发
小波功率谱相关译文
译文 THE CONTINUOUS WA VELET TRANSFORM The continuous wavelet transform was developed as an alternative approach to the short time Fourier transform to overcome the resolution problem. The wavelet analysis is done in a similar way to the STFT analysis, in the sense that the signal is multiplied with a function, {\it the wavelet}, similar to the window function in the STFT, and the transform is computed separately for different segments of the time-domain signal. However, there are two main differences between the STFT and the CWT: 1. The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and therefore single peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequencies are not computed. 2. The width of the window is changed as the transform is computed for every single spectral component, which is probably the most significant characteristic of the wavelet transform. The continuous wavelet transform is defined as follows Equation 3.1 As seen in the above equation , the transformed signal is a function of two variables, tau and s , the translation and scale parameters, respectively. psi(t) is the transforming function, and it is called the mother wavelet . The term mother wavelet gets its name due to two important properties of the wavelet analysis as explained below: The term wavelet means a small wave . The smallness refers to the condition that this (window) function is of finite length ( compactly supported). The wave refers to the condition that this function is oscillatory . The term mother implies that the functions with different region of support that are used in the transformation process are derived from one main function, or the mother wavelet. In other words, the mother wavelet is a prototype for generating the other window functions. The term translation is used in the same sense as it was used in the STFT; it is related to the location of the window, as the window is shifted through the signal. This term, obviously, corresponds to time information in the transform domain. However, we do not have a frequency parameter, as we had before for the STFT. Instead, we have scale parameter which is defined as $1/frequency$. The term frequency is reserved for the STFT. Scale is described in more detail in the next section.
基于小波的浙江省NDVI与自然—人文因子多尺度空间关联分析
地理研究GEOGRAPHICAL RESEARCH 第34卷第3期 2015年3月V ol.34,No.3March,2015 基于小波的浙江省NDVI 与自然—人文因子 多尺度空间关联分析 徐芝英1,2，胡云锋1，甄霖1，庄大方1 （1.中国科学院地理科学与资源研究所，北京100101；2.中国科学院大学，北京100049） 摘要：对地表植被的空间分布格局及其与自然、人文因子间的关系开展综合的、多尺度的定量 分析，这是全球气候变化背景下土地利用与覆被研究中的一项重要内容。以地处亚热带湿润 季风区的浙江省为研究区，设置了东西向（样线A ）和北南向（样线B ）两条样线，并应用小波分 析方法对研究区NDVI 、高程、坡度和土地利用强度等因子的尺度特征以及这些因子间的多尺 度相关关系进行了分析。结果表明：①研究区内，NDVI 、高程、坡度及土地利用强度的空间分 布格局存在四个尺度域； ②上述因子在样线A 及样线B 上的空间分布分别存在两个主要特征尺度，其中东西向（样线A ）上的特征尺度为40km 和80km ，北南向（样线B ）上主要的特征尺度 为30km 和50km ；③在较大尺度域（8km 以上），土地利用强度是影响NDVI 空间分布的最主 要因素，而在小尺度域（0~8km ），坡度和高程因子成为影响NDVI 分布的主要因子。研究还认 为，小波分析方法为识别地理要素空间分布的特征尺度、量测要素间任意尺度、任意位置上的 相干关系，提供了方便的工具。 关键词：陆地植被；环境因子；尺度特征；多尺度相关；小波分析 DOI:10.11821/dlyj201503014 1引言 作为联系土壤圈和大气圈间的桥梁，陆地植被生态系统一直是地理学、生态学、大气科学等学科研究的重点对象之一。在全球气候变化背景下，陆地植被生态系统的空间分布、动态演替及其与相关自然、人文驱动因子间的关系受到研究人员的广泛关注。对表征地表植被生长因子与相关影响因子间关系的研究已经由传统的静态、单一尺度、仅关联单一要素的分析，逐步发展到动态、多尺度、综合自然—人文多要素的分析阶段。 大量研究已经表明，气候、地形、土地利用、土壤性状、动物及微生物活动等环境因子可对地表植被的空间格局及动态演变产生影响。Nicholson 等[1-3]研究发现，气温和降水与植被生长存在显著相关，且降水量对于地表植被的影响存在阈值；冯建孟等[4,5]分析了地形因子对于塑造山区植被的空间格局具有重要作用；Pearson 等[6]认为土地利用因子在精细尺度上主导了植被类型的空间分布。总的来看，由于缺乏合适的分析工具，这些研究虽然能够囊括多种自然—人文因子来开展综合性分析，但研究尺度相对单一，多数收稿日期：2014-07-03;修订日期：2014-11-08 基金项目：国家重点基础研究发展计划项目（973计划）（2010CB950904）；国家自然科学基金项目（40971223）；中 国科学院方向性项目（KZCX2-EW-306） 作者简介：徐芝英（1987-），女，浙江江山人，硕士，主要从事地理空间分析研究。 E-mail:xuzyhappy11@https://www.360docs.net/doc/7c8595682.html, 通讯作者：胡云锋（1974-），男，江西赣州人，博士，副研究员，主要从事资源环境遥感与地理信息技术应用研 究。E-mail:huyf@https://www.360docs.net/doc/7c8595682.html, 567-577页
毕设综述
综述 脑电信号的小波相干分析 摘要：将小波想干分析方法应用于实验中的脑电信号分析中。分别测取5名20-22岁正常人右手屈指/伸指运动中的16导联脑电信号；对多通道脑电信号进行预处理，剔除异常信号；选取参考导联，计算各导联与参考导联之间脑电信号的小波相干系数；计算40Hz节律不同导联脑电信号的小波相干系数，探讨不同脑区信息交流程度。本文主要介绍了小波相干分析的原理方法，以及它在生物医学信号中的应用，包括对脑电信号的处理，并对它未来的发展做了一些展望。 关键词：脑电信号，小波相干 1 引言 随着认知神经科学的兴起，脑电和脑成像的研究方法为探索语言理解的脑机制提供了较为直接的方法。在脑电研究中包括多种分析方法[1]，可以从时域和频域两种分析方法的角度进行划分，其中事件相关电位（Event Related Potential, ERP）是对EEG信号在时域上进行叠加平均，而EEG时频分析和EEG相干分析则将EEG信号从时域转换到频域进行分析。其中，EEG时频分析研究的是局部脑区的大脑共振，即单个电极点上各频段的能量变化；EEG相干分析则对大脑不同区域之间的大脑共振情况进行了研究，即不同电极点之间每个频段内部相位的共同变化情况。ERP作为一种目前比较成熟的分析方法在20 世纪60 年代就产生了，但是EEG相干分析直到20 世纪末才被广泛接受，21 世纪以来才涌现出大量相关研究。EEG相干分析能够测查个体认知加工过程中EEG信号各个频率波段的活动以及不同脑区之间的共同活动。 本文主要介绍在脑电基础上发展出的EEG 小波相干分析方法，其原理及其在语言理解研究中的应用，它相对于其他研究方法的优点以及尚未解决的问题，最后对这一方法在语言理解研究中的进一步应用进行了展望。 2.方法 2.1 相干分析 对于两个复随机信号x和y，相干性系数定义为功率谱密度(power-spectrum density，PSD) 和互谱密度(cross-spectrum density，CSD ) 的函数，计算公式如下: (1) 公式(1) 中,P xx(f)和P yy(f)分别表示信号x和信号y的PSD,P xy(f)表示信号x和y 之间的CSD，PSD是频率f的实函数，而CSD是f的复函数。Coh xy表示信号x