2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学(理科)试题Word版含答案

2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i 为虚数单位，则()()122i i -+-=（ ） A ．5i B ．5i - C ．5 D ．-5 2．集合{},,a b c 的子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16

3．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；

③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）

A ．95，94

B ．92，86

C ．99，86

D ．95，91

6．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是

（ ）

A ．{|2,}3

k k Z π

ααπ=-∈ B ．2{|2,}3

k k Z π

ααπ=+

∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-

∈ D ．{|,}3

k k Z π

ααπ=-∈ 7．已知0,0x y >>，且4x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16

8．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）

A ．4立方丈

B ．5立方丈

C ． 6立方丈

D ．12立方丈

9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，6,AB BC ==且四棱锥O ABCD -

的体积为R 等于（ ）

A ．4

B ． D 10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）

A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和

B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和

C ．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和

D ．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线2

2

1x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上任一点，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ） A ．1 B ．2 C ． 4 D ．

12

12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,

]2

x π

∈时，(

)f x =()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2

π

π-

上所有零点之和为（ ） A ．π B ．2π C ． 3π D ．4π 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知角,αβ满足2

2

π

π

αβ-

<-<

，0αβπ<+<，则3αβ-的取值范围是 ．

14．已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||a b c ++= ．

15．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1

(s

i n )c o s s i n c o s 2

b C A A C

-=，

且a =ABC 面积的最大值为 ．

16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ．

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．已知数列{}n a 的前n 项和1

22n n S n +=+-．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设2log 1)n n b a =-（，求证：122334

1

1111

1n n b b b b b b b b +++++

<． 18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列与数学期望． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -的体积为

8

，求二面角D AE C --的余弦值．

20．已知椭圆C 的两个焦点为()()121

,0,1,0F F -，且经过点E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），若11AF F B λ=，且23λ≤<，求直线l 的斜率k 的取值范围．

21．已知函数()x

f x e =，()()ln

g x x a b =++．

（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像在点()0,1处有相同的切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当0b =时，()()0f x g x ->恒成立，求整数a 的最大值；

（Ⅲ）证明：23

ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-[ln(1)ln ]1

n e

n n e +

++-<

-． （二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为(3,

)2

π，若直线l 过点P ，且倾斜角为

6

π

，圆C 以M 圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ?．

23．选修4-5：不等式选讲

设不等式||1||1||2x x +--<的解集为A ． （Ⅰ）求集合A ；

（Ⅱ）若,,a b c A ∈，求证：1||1abc

ab c

->-．

2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. A

2. C

3. D

4. C

5.B

6. D

7. B

8. B

9. A

10. C 11. A

12. D

简答与提示：

8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.

【试题解析】B 由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.

9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.

【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD 的距离 2，矩形ABCD 所在圆的半径为32，从而球的半径

4=R .故选A.

10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前n 项和. 【试题解析】C 由题意可知1594033=++++S ，为求首项为1，公差为4的等 差数列的前1009项

和.故选C.

11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.

【试题解析】A 不妨在双曲线右支上取点P ，延长21

,PF FH ，交于点Q ，由角分线性质可知1||||,=PF PQ 根据双曲线的定义，12||||||2-=PF PF ，从而2||2=QF ，在12?FQF 中，OH 为其中位线，故

||1=OH .故选A.

12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.

【试题解析】D 由题意知()f x 为奇函数，周期为2π，其图象关于(,0)π对称，()g x 的零点可视为

1(),π==

-y f x y x 图象交点的横坐标，由1π=-y x 关于(,0)π对称，从而在3[,3]2

π

π-

上有4个零点关于(,0)π对称，进而所有零点之和为4π. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. (,2)ππ-

14. 2

15. 16.

简答与提示：

13. 【命题意图】本题考查不等式的性质. 【试题解析】由不等式2

2

π

π

αβ-<-<

，0+αβπ<<，则3()2()αβαβαβ-=++-，因此3αβ-取

值范围是(,2)ππ-.

14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.

【试题解析】由题意可知，c b a ,,的夹角为?1201==可得b a +与c 反向， 且1||=+，从而

2=+.

15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】由题意可知

1cos sin 2=b A B ，cos sin sin 2==A B A b a

，得

tan 3

π

==

A A ，由

余弦定理2212=+-b c bc ，由基本不等式12bc ≤，从而

ABC ?

面积的最大值为b c =时取到最大值.

16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.

【试题解析】设圆锥的底面圆半径为(03)<

11

33π==V r 2(09)=<

1

3

=V 2329,3183(6)'=-=-+=--y t t y t t t t ，当06<

为增函数，当69<

从而当6=t

时体积取最大值. 三、解答题

17. (本小题满分12分)

【命题意图】本题考查数列前n 项和与通项的应用，还有裂项求和的应用等.

【试题解析】（1）由1

1222(1)2(2)

n n n

n S n S n n +-?=+-??=+-- ??≥，则21n

n a =+(2)n ≥. 当1n =时，113a S ==，综上21n

n a =+.

（2）由22log (1)log 2n

n n b a n =-==.

12233411111...n n bb b b b b b b +++++1111

...122334(1)n n =++++???+

1111111(1)()()...()223341n n =-+-+-++-+1

111

n =-<+. 得证.

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （2）X 的可能取值为0，20，40，60

2611

(0)15

P X C ==

=

11322662

(20)155C C P X C ====

12232

651

(40)153C C P X C +==== 132631

(60)155

C P X C ====

则X 的分布列为

即100

3

EX =

19. (本小题满分12

分)

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE 在PBD △中，

////PE DE PB OE BO DO

OE ACE PB ACE PB ACE =

?

????

=??

?

????

????

平面平面平面

（2

）24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===

，设菱形ABCD 的边长为a 21

1(2)133P ABCD ABCD

V S

PA -=?=??=，则a 取BC 中点M ，连接AM .

以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立如图所示坐标系.

D，(0,0,0)

A，1

)

2

E，

3

(

2

C

1

(0,)

2

AE=，

3

(

2

AC=，

1

(1,

n=，

2

(1,0,0)

n=

12

12

||

cos

||||1

n n

n n

θ

?

===

?+

即二面角D AE C

--

20. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】(1) 由椭圆定义

12

2||||4

=+=

a EF EF，有2,1,

===

a c b

从而

22

1

43

+=

x y

.

(2) 设直线:(1)(0)

=+>

l y k x k，有22

(1)

1

43

=+

?

?

?

+=

??

y k x

x y，整理得2

2

36

(4)90

+--=

y y

k k

，设1122

(,),(,)

A x y

B x y，有2

121212

2

,()

(1)

λ

λ

λ

-

=-=+

-

y y y y y y，

2

22

(1)414

,2

3434

λ

λ

λλ

-

=+-=

++

k k

，由于23

λ

≤<，所以

11

4

2

23

λ

λ

≤+-<，

2

144

2343

≤<

+k

，解得0

2

<≤

k.

21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】（1）由题意可知，()f x 和()g x 在(0,1)处有相同的切线， 即在(0,1)处(1)(1)f g =且(1)(1)f g ''=， 解得1,1a b ==.

（2）现证明1x e x +≥，设()1x F x e x =--， 令()10x F x e '=-=，即0x =，

因此()(0)0min F x F ==，即()0F x ≥恒成立， 即1x e x +≥， 同理可证ln 1x x -≤.

由题意，当2a ≤时，1x e x +≥且ln(2)1x x ++≤， 即1ln(2)x e x x ++≥≥， 即2a =时，()()0f x g x ->成立.

当3≥a 时，0ln

e x a ≥不恒成立.

因此整数a 的最大值为2.

（3）由ln(2)x e x >+，令1

n x n

-+=， 即11ln(

2)n n

n e

n

-+-+>+，即1

1ln (2)n n n e

n -+-+>+ 由此可知，当1n =时，0ln 2e >， 当2n =时，12(ln3ln2)e ->-， 当3n =时，23(ln4ln3)e ->-， ……

当n n =时，1[ln(1)ln ]-+>+-n n e n n . 综上：

012123...ln2(ln3ln2)(ln4ln3)...[ln(1)ln ]---+++++>+-+-+++-n n

e e e e n n