数学建模概述和人口微积分举例

第四章数学建模与建模案例

第一节数学建模概论

一、数学建模的过程

数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些‘规律’建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问题多次循环、不断深化的过程. ”简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程.

数学建模过程概括的说，主要由三部分组成：1、适当的数学语言和方法，对实际问题的内在规律进行研究，分清问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设. 并用数字、图表或者公式、符号表示出来；2、用各种数学和计算机手段求解模型；３、对模型的求解结果进行检验. 这包括：从实际角度出发研究其可行性以及合理性；放宽建模的约束条件，研究其应用的广泛性；波动参数，观察模型的稳定性. 等等.

面对这样一个实际问题，我们首先是对问题进行重述与分析. 数学建模是在已有的已知条件及知识体系基础上的再创造过程. 要解决一个问题，就要了解实际问题的背景知识，明确所解决问题的目的要求，合理收集有关数据，查阅前人的相关工作. 然后来循求解决问题的方法.

1、进行合理假设

实际问题众多因素之间有主次之分. 如果面面俱到，无所不包，模型就会非常复杂，不易求解. 因此可通过合理假设将问题理想化、简单化、清晰化，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，在相对简单的情况下，理清变量之间的关系，以便于进行数学描述. 合理假设包括简化问题假设及对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必须的前提条件. 应注意的是对于一个假设，最重要的是是否符合实际情况.

２、符号的约定

要别人看懂你的论文，对论文中所用到的变量符号要给予说明（此文中略）.

3、建立数学模型

整个数学建模中最关键的部分，是从实际到数学的过程. 分析问题，采用适当的数学方法进行模型设计. 同一个问题所采用解题的数学方法也不是唯一的，因此其数学模型的形式也不是唯一的.

4、模型求解及结果分析

不同的模型要用到不同的数学工具求解. 我们可以编写计算机程序或运用计算机软件对模型进行求解. 数学建模的培训和实际参赛，使大学生运用计算机语言编程和使用数学软件得到一个非常好的实践机会. 对所求结果是否具有实际意义或满足实际要求，要进行细致的分析. 验证结果是切实可行的，并且是最优解.

5、模型的验证

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一个模型的验证包括稳定性和敏感性分析,即一个好的模型，其结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大的变化；统计性检验和误差分析，即模型的求解不会因算法，初值步长的不同而有大的差异；修改假设条件后模型的适用性分析，实际可行性检验等.

6、模型的改进、推广及优缺点分析

在建立数学模型时基于一些特定的条件及忽略一些次要因素以简化问题. 我们在模型的改进中可根据实际情况放宽假设约束，来考虑模型的适应性变动. 另外探讨模型在其他领域的实际问题中是否有使用价值.对模型及其求解从创造性、精确性、适用广度、计算时间特性等方面进行评价，以表明对问题的本质有清醒的认识.

以上是我们对数学建模的过程进行一个粗略的介绍. 建立数学模型来解决实际问题，是各行各业大量需要的. 其过程也是创作科研论文的过程. 大学生们走上工作岗位后，面对的类似问题会有很多. 具备运用和驾驮所学知识对实际问题建模求解的能力，是大学生自我设计的目标之一. 同学们积极选修数学建模课程，关注和参与全国大学生数学建模竞赛，将自己置身于艰苦而又是愉快的科学研究的磨炼之中，从而体会到在追逐一个事物的过程中所获得的乐趣远比事物本身的乐趣大的多.

二、全国大学生数学建模竞赛

大学生数学建模竞赛起源于美国，到目前为止，已经历时13年. 我国大学生数学建模竞赛起步也较早. 1989年，我国就有一些高等院校的大学生参加美国大学生数学建模竞赛. 1994年，全国大学生数学建模竞赛由国家教委与中国工业与应用数学学会共同举办，被国家教委规定为全国大学生四大竞赛之一，每年举行一次. 随着参赛院校和队数的逐年增加，全国大学生数学建模竞赛的影响越来越大，目前已成为全国高校中规模最大的校外科技活动.

当今世界经济发展迅速、新问题、新科技不断涌现，人们每天都面临新的状况. 培养大学生具有洞察力、想象力、创造力，使大学生在走出校门从事实际工作时，善于运用所学的知识及数学的思维方法来分析和解决实际问题，从而取得经济效益和社会效益,这是大学教育改革的目的之一. 大学生数学建模竞赛正日益成为达到这种目的的一个有效的途径，它最开始是由美国举行的国内赛，目的是鼓励大学生运用所学的数学以及其他各方面的知识去参与解决实际问题的全过程，以促进应用型人才的培养. 经历了培训参赛的过程后，大学生们收获了许多书本上学不到的东西. 越来越多的大学生想获得参赛的机会，以充实、锻炼自己的科学研究能力. 从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学建模竞赛，创造机会让大学生们去直接面对多种多样的实际问题，引导他们解放思想闯入那些未知的全新领域. 数学建模竞赛，是一个非常有意义的活动. 很多人都知道，数学是非常重要的. 但是我们没有找到一个合适的方法. 使学生能够认识到数学的重要性. 建模竞赛是一个很好的方法，使得更多的学生，包括他们有关的朋友，能够认识到数学的真正用处. 因为，数学对于学生的培养，不只是数学定理、数学公式，这其实是次要的. 更重要的是培养同学一个正确的思想方法，而且依据自己所学到的知识，能够不断创新，不断地找出新的途径. 这不是在课堂里死啃几个定理就能够解决的. 我们用什么办法才能让更多的人，更多的学生认识到这个事情呢？我觉得，建模竞赛是一个很好的方法.

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1、竞赛的形式：

比赛是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内分工合作，共同完成一份答卷. 每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发给学生，然后由学生自行做题，教师不得参赛. 每次的考题只有两个题，都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科、领域. 每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题. 参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件. 一言以蔽之：可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题. 参赛队的答卷应是，一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要.

2、竞赛的结果：

竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious （一等奖）、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）. 评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰. Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表. 而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状.

3、竞赛的特点

a、广泛性和团队性

全国大学生数学建模竞赛是面向全国大学生的群众性科技活动. 参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）. 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.

数学建模竞赛的题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神. 由于竞赛是由三名大学生组成一队，在三天时间内分工合作，共同完成一篇论文，因而也培养了学生的合作精神. 加之竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，因此，这项活动的开展有利于对学生知识、能力和素质的全面培养，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件.

b、竞赛的开放性和答案的非唯一性

数学建模竞赛是没有严格意义下的赛场，也没有唯一不变的解答，同一个考题，可以有不同的意见，有不同的答案，只要言之有理. 爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉.

同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀. 在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的. 这在纯数学竞赛中是不可思议的. 但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准. 解决实际问题需要

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查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”. 同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准. 论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理. 但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级. 这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：（1）、建立模型：实际问题→数学问题；

（2）、数学解答：数学问题→数学解；

（3）、模型检验：数学解→实际问题的解决.

如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了. 为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型. —般也把它叫做数学模型赛，这也没有什么不对. 但“模型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型的过程. 竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要. 所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷. 虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文. 这充分体现了竞赛对建模过程的重视. 从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些. 何况，它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model. 如果用Model，是名词，是指建立起来的模型. 而Modeling是由动词Model变成的动名词，是指建立模型的过程，因此翻译成建模也更恰当些. （注：关于“模型”与“建模”的区别，这里采用的是北京理工大学叶其孝教授的观点. ）

这种竞赛对参加者来说，是一种综合的训练，在相当程度上模拟了大学生毕业以后的工作环境. 参赛者不要求预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高样的数学课程；更主要的是要靠参赛者自己动脑子，自己查找文献资料，同队成员讨论研究，齐心协力完成答卷. 因此，它对学生的能力培养是多方面的. 叶教授将之归纳为：应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；“双向翻译”（即用数学语言表达实际问题，用普通人能理解的语言表达数学的结果）的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；应变能力（即独立查找文献，消化和应用的能力）；组织、协调、管理特别是及时妥协的能力；交流表达的能力；写作的能力；创造性、想象力、联想力和洞察力. 它还可以培养学生坚强的意志，培养自律、“慎独”的优秀品质，培养正确的数学观.

三、数学建模能力培养

数学模型是联系实际问题与数学的桥梁，是各种应用问题严密化、精确化、科学化的途径，是发现问题，解决问题和探索新真理的工具. 数学模型具有解释、判断、预测等重要功能，它在各个领域的应用会越来越广泛. 其主要原因是：（1）社会生活的各个方面正在日益数量化，人们对各种问题的要求愈来愈精确；

（2）计算机的发展为精确化提供了条件；

（3）很多无法实验或费用很大的实验问题，用数学模型进行研究是一个有效途径.

很多象牛顿一样伟大的科学家都是建立和应用数学模型的大师，他们将各个不同的科学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就. 如力学中的牛顿定律，电磁学中的麦克斯伟方程组，化学中的门捷列夫周期表，生物学中的孟德尔遗传定律等都是经典学科中应用数学模型的光辉范例. 目前在计算机的帮助下数学模型在生态、地质、航空等方面有了更加广泛和深入的应用. 因此，从某种意义上讲，数学建模是培养现代化高科技人才的重要途径.

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数学建模课程可以培养和提高学生下列能力：

（1）洞察能力. 许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者善于从实际工作提供的原形中抓住其数学本质；

（2）数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来，在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；

（3）综合应用分析能力. 用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一些新的知识；

（4）联想能力. 对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的. 这正是数学应用广泛性的体现，这就是培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界；

（5）各种当代科技最新成果的使用能力. 目前主要是计算机和相应的各种软件包，这不仅能够节省时间，得到直观形象的结果，有利与用户深入讨论，而且能够养成自觉应用最新科技成果的良好习惯.

由于数学建模是以解决实际问题和培养学生应用数学的能力为目的的，它的教学内容和方式是多种多样的. 从教材来看，有的强调数学方法，有的强调实际问题，有的强调分析解决问题的过程；从教学方式来看，有的以讲为主，有的以练为主，有的在数学实验室中让学生探索，有的带领学生到企事业中去合作解决真正的实际问题.

尽管数学建模已有了很久的历史，数学建模课程却还是很年轻的一门课程. 在70年代末和80年代初，英国著名的剑桥大学专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，欧美一些发达国家开始把数学建模的内容列入研究生、大学生以至中学生的教学计划中去，并于1983年开始举行两年一度的“数学建模教学和应用国际会议”进行定期交流. 数学建模教学及其各种活动发展异常迅速，成为当代数学教育改革的主要方向之一.

四、数学建模论文的撰写方法

当参加数学建模竞赛时，竞赛论文是评价小组工作的唯一依据. 而竞赛要求在三天时间内完成建模的所有工作，包括论文写作. 因此论文写作的时间是非常紧迫的，在赛前有意识地进行论文写作的训练，是非常必要的. 一方面可增强良好的掌握时间节奏的能力；另一方面也可以熟悉建模论文各部分内容的写作方法.

在写作论文时，建模小组的各成员应齐心协力，既要各司其职，又要通力合作. 要做到这一点，必须将整个建模工作加以分解，理清各部分工作的并行或先后顺序关系以及在整个工作中的地位和作用. 负责各部分工作的成员，应将自己的工作完整地记录下来. 小组内应有一个主笔人，负责对文章的整体把握，其工作包括拟制写作提纲和论文的最后写作. 提纲写出来后，应先在小组内讨论、修改和确定，然后再开始正式写作. 论文写作出来后，小组内其他成员必须参与论文的检查和修改工作，这一方面是因为每个成员可以检查一下自己工作是否被准确地表达出来了；另一方面因为习惯性思维，主笔人一般不容易检查出自己的错误.

数学建模竞赛章程规定，对论文的评价应“以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰性”为主要标准. 所以，在论文中应努力反映出这些特点.

下面，我们简单介绍数学建模论文的主要组成部分及各部分内容的撰写方法：

1. 题目

论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个重要信息. 要求简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分. 既要准确表达论文内容，恰当反映所研究的范

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围和深度，又要尽可能概括、精练.

2. 摘要

摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文既能获得必要的信息. 在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分. 数学建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广. 论文摘要需要概括、简练的语言反映这些内容，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等. 一般科技论文的摘要要求不列举例证，不出现图、表和数学公式，不自我评价，且字数200以内. 前几年，全国大学生数学建模竞赛要求摘要字数应在300字以内. 但从2001年开始，为了提高论文评选效率，要求将论文第一页全用作摘要，对字数已无明确限制. 帮在摘要中也可适当出现反映结果的图、表和数学公式.

3. 问题重述

数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题. 撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握问题的实质，再用较精练的语言叙述问题.

4. 模型假设

建模时，要根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设. 模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假设. 假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中.

5. 分析与建立模型

根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构. 建模时应尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解. 在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致. 为使模型易懂，可借助于适当的图形、表格来描述问题或数据.

6. 模型求解

使用各种数学方法或软件包求解数学模型. 此部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果. 为求解而编写的计算机程序应放在附录部分. 有时需要对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等.

7. 模型检验

把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较、，检验模型的合理性和适用性. 如果结果与实际不符，问题常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模. 这一步对于模型是否真的有用十分关键.

8. 模型推广

将该问题的模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议.

9. 参考文献

在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并将相应的出版物列116

举在考文献中. 需标明出版物名称、页码、著者姓名、出版日期、出版单位等.

参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年.

参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年.

参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）.

10. 附录

附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内容都收集在这里. 包括：计算机程序、比较重要但数据量较大的中间结果等. 为便于阅读，应在源程序中加入足够的注释和说明语句.

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第二节数学建模案例

案例1 人口增长的微分方程模型

一、问题的提出

人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据见表1. 由表1可见，世界人口每增加10亿的时间由100年缩短为十二、三年，人类赖以生存的地球已经携带着它的60亿子民进入了21世纪. 表1 世界人口统计数据

年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿） 5 10 20 30 40 50 60 长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，研究如何预测人口的增长和如何进行人口控制等问题.

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提. 长期以来人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表2给出的近两个世纪的美国人口统计数据，对模型作检验.

表2 美国人口统计数据（单位：百万）

年

1790 180018101820 18301840185018601870 1880 1890 人口

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年

1900 191019201930 19401950196019701980 1990 2000 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7

150.7179.3204.0226.5 251.4 281.4

二、问题的分析与假设及简单模型

最简单的人口增长模型是：

记今年人口为0x ，年后人口为k k x ，年增长率为r ，则

. （1） 0(1),1,2,k k x x r k =+="显然，这个公式的基本假设条件是年增长率保持不变.

r 二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1766-1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型.

（1）模型构成

记时刻的人口为t ()x t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()x t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()x t 视为连续、可微函数. 记初始时

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刻的人口为(0t =)0x ，假设人口增长率为常数，即单位时间内r ()x t 的增量等于乘以r ()x t . 考虑到t t t +Δ时间内人口的增量，显然有

()()()x t t x t rx t +Δ?=Δt .

令取极限，得到0t →+()x t 满足的微分方程

0,(0)dx rx x x dt ==. （2）由方程（2）很容易解出

0()rt x t x e = ，

（3） 0r >时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长. 因此，（3）式称为人口指数增长模型,也称为马尔萨斯人口模型. 由微分学的理论知，当1r <时，

1r e r ≈+这样将以年为单位离散化，由公式（3）就得到了前面所讨论的公式（1），即 t .

0()(1),1,2,t x t x r t =+="由此可见公式（1）只是人口指数增长模型（3）的离散近似形式.

（2）对人口指数增长模型的检验

下面我们应用人口指数增长模型（3）对美国人口的增长进行预测.

首先将模型（3）线性化为

0ln ()ln x t x =+rt .

记

0ln (),ln y x t a x ==，

（4）则（3）线性化为

. （5） y a rt =+根据表2中数据、及（4）和（5）两式，应用第三单元中线性回归分析的理论，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型

. （6） 0.20226.0450t x e =其中x 的单位为百万人，t 的单位为10年.

应用预测模型（6）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算,并与实际人口相 119

比较，结果见表3.

表3

年

1790 18001810 1820 18301840185018601870 1880 1890 实际人口

3.9 5.3 7.2 9.6 12.917.123.231.438.6 50.2 62.9 计算人口

6.0

7.4 9.1 11.1 13.616.6020.3024.9030.5 37.3 45.7 年

1900 19101920 1930 19401950196019701980 1990 2000 实际人口

76.0 92.0106.5 123.2 131.7150.7179.3204.0226.5 251.4 281.4 计算人口 55.9 68.483.7 102.5 125.5

153.6188.0230.1281.7 344.8 422.1 由表3可见，预测模型（6）基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长. 但是进入20世纪后，美国人口的增长明显变慢了，运用预测模型（6）进行预报不合适了.

历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型. 另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果. 显然，这是因为在这些情况下，模型的基本假设――人口增长率是常数――大致成立.

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着. 排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小. 看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设.

三、模型改进：人口阻滞增长模型（Logistic 模型）

分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大. 所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.

（1）模型构成

阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量r r x 的增加而下降. 若将表示为r x 的函数，则它应是减函数，于是方程（2）改写为

()r x 0(),(0)dx r x x x x dt ==. （7）对的一个最简单的假设是，设为()r x ()r x x 的线性减函数，即

. （8） ()(0,0)r x r sx r s =?>>这里称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是r 0x =）的增长率. 为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称为人口容量. 当

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m x x =时人口不再增长，即增长率()0m r x =，代入（8）式得m r s x =

. 于是（8）式化为 ()(1)m x r x r x =?. （9）

（9）式的另一种解释是：增长率与人口尚未实现部分的比例（()r x ()m m x x x ?成正比，比例系数为固有增长率.

r 将（9）式代入方程（7）得 0(1(0)m dx x rx x x dt x =?=. （10）

方程（10）右端因子体现人口自身的增长趋势，因子rx (1)m

x x ?则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用. 显然x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果. 方程（10）称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic 模型.

用分离变量法解方程（10）得 0()1(1)m

m x x t x e x ?=+? . （11）

四、模型检验：对人口阻滞增长模型的检验

下面我们应用人口阻滞增长模型（11）对美国人口的增长进行预测.

由于模型（11）不能线性化，因此不能运用第三单元中的线性回归分析理论进行参数估计，我们不用（11）式，而将方程（10）表示为 ,m

dx dt r r sx s x x =?=. （12）令dx

dt y x

=，则（12）式线性化为 y r sx =?. （13）

由表2可以直接得到x 的数据，而的数据可根据表2中数据运用数值微分的方法算出. 在此基础上，应用第三单元中线性回归分析的理论即可估计出模型（13）中参数和y r m x ，而模型（13）中参数和r m x 的估计值，也是模型（11）中参数和r m x 的估计 121

值.

运用上述方法，并且仅利用表2中1860年至1990年的数据，建立了对美国人口的增长进行预测的数学模型 0.2557392.08861101.5355t x e ?=+. （14）其中x 的单位为百万人，t 的单位为10年.

应用预测模型（14）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，并与实际人口相比较，结果见表4.

表4

年

1770 18001810 1820 18301840185018601870 1880 1890 实际人口

3.9 5.3 7.2 9.6 12.917.123.231.438.6 50.2 62.9 计算人口

3.9 5.0 6.5 8.3 10.713.717.522.328.3 35.8 45.0 年

1900 19101920 1930 19401950196019701980 1990 2000 实际人口

76.0 92.0106.5 123.2 131.7150.7179.3204.0226.5 251.4 281.4 计算人口 56.2 69.785.5 103.9 124.5

147.2171.3196.2221.2 245.3 266.2

四、模型评价

由表4可见，用预测模型（14）对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错.

参考文献

[1] 数学模型（第三版）. 姜启源,谢金星,叶俊. 高等教育出版社. 2003.8，9-15.

122

数学建模-微积分模型

第四章微积分模型今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最优结果。模型假设: （1）每天的需求量为常数r ；（2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ；（3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量为0时，立即补充，补充是瞬时完成的；（4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。模型建立将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用

数学建模与计算机关系研究

数学建模与计算机关系研究【摘要】高等数学与计算机教学具有内在相关性，尤其是在数学建模应用中，根据计算机学科发展来发挥数学建模理论的作用及效果，有助于增强学生对高等数学的理解和应用能力。基于此，本文笔者就从高等数学建模理论与计算机技术的关系研究入手，来阐述建模嵌入在计算机辅助教学中的重要潜力。【关键词】计算机；高等数学；教学改革；数学建模 1.高等数学与计算机学科发展有人说，计算机技术的发展可以省去学习数学的麻烦，即便是很多专业计算机教师也抱有同样的想法。然而，对于计算机应用领域及实践中，计算机技术确实给很多从业者带来了便捷与高效，但计算机技术不等于数学，更不能替代数学。从高等数学教学实践来看，对于我们常见的数学概念，如比率、概率、图像、逻辑、误差、机会，以及程序等知识的认识，很多行业都在进行数字化、数量化转变，对数学知识的应用也日益广泛。从这些应用中，数学理论及知识，尤其是数学基本理论研究就显得更为重要。数学，在数学知识的应用中，更需要从练习中来提升对数学知识及概念的理解，也需要通过练习来提升运算能力。如果对数学概念及方法应用的不过，对数学单调性的知识缺乏深刻的认识，就会影响数学知识在实践应用中出现偏差。计算机技术的出现，尤其是程序化语言的应用，使得数学知识在表达与反映中能够依据不同的应用灵活有效、准确的运算，从而减少了不必要的验证，也提升了数学在各行业中的应用效率。数学软件学科的发展，成为计算机重要的辅助教学的热门领域，也使得计算机技术能够发挥其数学应用能力。在传统的数学教学中，逻辑与直观、抽象与具体始终是研究的矛盾主体，如有些太简单的例子往往无法进行全面的计算；有些复杂的例子又需要更多的计算量。在课堂表现与讲解中，对于理性与感性知识的认知，学生缺乏有效的理解和应用，而强大的计算机运算功能却能够直观的表达和弥补这些缺陷，并依托具体的演示过程中来营造概念间的差异性，帮助学生从中领会知识及方法。在计算机的辅助教学下，教师利用对数学理论课题或应用课题，从鲜活的思维及形象的表达上借助于软件来展现，让学生从失败与成功中得到知识的应用体验，从而将被动的知识学习转变为主动的参与实践，更有助于通过实践来激发学生的创新精神。这种将数学教学思维与逻辑与计算机技术的融合，便于从教学中调整教学目标，依据学生所需知识及专业需求来分配侧重点。数学建模就是从数学学科与计算机学科的融合与实践中帮助学生协作学习，提升自身的能力。 2.信息技术是高等数学应用的产物现代信息技术的发展及应用无处不在，对数学知识的渗透也是日益深入。当前，各行业在多种协作、多种专业融合中，借助于先进的信息技术都可以实现畅通的表达与物化。如天气预报技术、卫星电视技术、网络通讯技术等都需要从数

微积分方法建模2经济增长模型--数学建模案例分析

§2 经济增长模型发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是增加劳动力。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。记 )(t Q —某地区、部门或企业在t 时刻的产量 )(t L —某地区、部门或企业在t 时刻的劳动力 )(t K ?某地区、部门或企业在t 时刻的资金 )(t Z —每个劳动力在t 时刻占有的产量（劳动生产率）一、道格拉斯（Douglas ）生产函数由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量，所以定义 ,)0()()(Q t Q t i Q =)0()()(L t L t i L = ，)0()()(K t K t i K = （1）分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析得到，只能求助统计资料.Douglas 从大量统计数据中发现下面的规律：如果令 )()(ln )(t i t i t K L =ξ，) ()(ln )(t i t i t K Q =ψ （2）则散点),(ψξ在ψξ~平面直角坐标系上的图象大致如下

即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示ξ和ψ的关系为 )10(<<=γγξ ψ （3）上式代入得 )()()(1t i t i t i K L Q γγ-= （4）记)0()0()0(1--=γγK L Q a ，则由（1）、（4），可得 )0,10(),()()(1><<=-a t K t aL t Q γγγ （5）这就是经济学中著名的Douglas 生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。由（5）有 K K L L Q Q )1(γγ-+= （6）（6）表明年相对增长量Q Q 、L L 、K K 之间呈线性关系。且1→γ说明产量增长主要靠劳动力的增长；0→γ说明产量增长主要靠投资的增长。称γ是产量对劳动力的弹性系数。二、劳动生产率增长的条件定义 )()()(t L t Q t Z =—劳动生产率，则L L Q Q Z Z -=，由（6）代入则 ))(1(L L K K Z Z --=γ （7）可见，只要L L K K >，就能保证0>Z Z ，即劳动生产率的提高需要由投资的相对增长大于劳动力的相对增长为前提条件。问题：考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)((t P 设)1)0(=P ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t P 之间满足)(t y )()(t P t Q =。（1）导出)(t y 、)(t Q 、)(t P 的相对增长率之间的关系，并作解释。（2）设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为),(t W 企业的利润简化为产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定成本，企业应雇佣多少工人能使利润最大。

数学模型课后答案

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为

2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

数学模型课后答案

《数学模型》作业答案第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n

第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）

微积分习题讲解与答案

习题8.1 1?指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (3) x 2 y 4y (sin x)y = 0 ⑷^P p= sin 2 r d6 解(1)1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2?验证下列函数是否是所给微分方程的解 /八、亠 sinx (1) xy y = cosx, y = x (2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 ? C" - x 2 (C 为任意常数) (3) y 2y ： y = 0, y 二 Ce x (C 为任意常数) (4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2 x (C 1 ? 为任意常数) (5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy ? y 2 =C (C 为任意常数) (6) (xy -x)y xy 2 yy 1 -2y = 0, y = ln( xy) xcosx — sinx sin x 亠解⑴是，左=x 2 cosx =右 x x (2) 是，左=(4 — X 2 )-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右訥-x 2 (3) 是，左=Ce x -2Ce x Ce x =0 =右 (4) 是，左= G ：e i x C 2 2e 2 x )-(「-g re 4 x C 2 -e 2 x ) i 2(Se 4 x C 2e?0 =右 2x — y (5) 是，左=(x - 2y) 2x - y 二右 2 ⑴ x(y ) -2yy xy = 0 2 (2) x y - xy y = 0

数学建模微积分模型

经济类微积分课后习题答案解析

一.教材和大纲（3--6月）教材往往容易被很多同学忽略，其实教材真的很重要，除非你的基础很好，比如我今年，就只看了一遍陈文灯复习指南，600题都没有做完。就做了些模拟题。然后就上考场。但是同学们必须知道我08年是怎么复习的。我大概在6月份之前把4本教材和教材的课后习题全部都做了。其实我想说，很多同学都说自己看了多少书，做了多少题为什么最后考得还是不好。我希望大家能够做到，不是你做了多少题，但是我们做题不能只做不想，不懂脑。当然做题还是要一定的量，人家政治不也说“量变引起质变”吗。我想说的是，大家如果有资源的话尽量用起来，有那种数学强人的话，尽量让他们给你们答疑。把你们不会的，全部问清楚，这一点真的很重要。我男朋友是数学系的，我可以说即使计算不会都问他，因为说不定他们就能说出怎么样计算更简单，更不容易出错。二。复习指南（7--10月）其实我觉得复习指南的话，用谁的吧，我不细说，因为每个人的情况不一样，而且基础不同吧。但是还是给个建议吧，如果你的基础还可以的话，个人建议用陈文灯的，如果你觉得你的基础一般的话，那还是用李永乐的吧。我的好多学弟学妹们常问我怎么用复习指南。我个人觉得复习指南吧，一般要看2遍吧。第一遍和第二遍，有一定的笔记差距。我看的时候一般是：首先，我想说，同学们请你不要看一个题目是怎么做的，而是要你自己去做，因为咱们已经看过一遍教材了，所以我们看书时，把答案先盖住，然后自己做，做完后看和答案有什么差距，然后调整下自己的思维，希望你在第二次或第三次的时候能会。第一遍：如果这个题基本不怎么会的话，就用红色笔打上大大的问号，以便第二次的时候可以重点看看。如果是计算错误的话，还是用蓝色的笔标记吧。也许很多同学都觉得我方法都对了，计算是小问题。那我告诉你，你错了。像我09年数学考134，就是因为忽略了计算。说实话，一般来说， 130和150的区别也许就是谁细心了，实力差距个人觉得不是很大，所以希望同学们不要忽略计算问题。第二遍：其实做题还是和第一遍一样，盖住答案，多注意下第一遍画红色的部分。蓝色笔的部分，希望大家不要再计算错了。三。600题和模拟题（11--12月）希望大家买的600题是那种答案和题目分开比较远那种，不要前面是题，下面就是答案，这样的书不便于同学们去发现自己的弱点。咱们怎么用这个600题呢，首先，咱们每天规定做30题吧，但是不是连续20天都做题。这里有个建议必须说一下，希望同学们，在做600题的时候，不要再去翻复习指南了。如果你不会，说明这就是你的弱点了，你是不是该好好地补习下这部分呢。比如说，我先做的60题，发现我自己对间断点的类型不是很清楚。咱们不会，没有关系，我用红笔在这页的上面写上，间断点的类型。说明这是你的弱点，然后你自己在第二天再看看，做点别的练习，然后再继续600题。其实是模拟题。我一般都是采取考试的形式来要求自己，我自己对自己的要求比较高，我

微积分课后题答案高等教育出版社

习题六（A ） 1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性（1）0d cos 20=? x x π （2） x x x x d )1(2d )1(22 22 2+=+? ? - （3） 0d 3 1 1 =?-x x （3）x x dx x d 4 21 1 1 ?? == 解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确．（2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确．（4）原式dx x ? -=1 1 2 等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等． 2．不计算积分，比较下列积分值的大小（1）x x d 2 10?与x x d 3 10? （2）x x d 2 3 1?与x x d 3 3 1 ? （2）x x d ln 4 3 ? 与 x x d )(ln 2 4 3 ? （4）x x d sin 2 ? π 与 x x d 2 ? π 解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者．（2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者．（3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2 , 0(π 范围x x

微积分方法建模如何预报人口的增长--数学建模案例分析

§9 如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们常在报刊上看见关于人口增长的预报，而且你可能注意到不同的报刊对同一时间同一国家或地区的人口预报在数字上常有较大的差别，这其实是由于使用了不同的人口模型计算的结果.建立人口模型的意义在于利用模型中的参数及时控制人口的增长. 模型一 Malthus 指数增长模型英国人口学家malthus 根据百余年的人口统计资料，于1787年提出著名的指数增长模型. 假设 1、某国家或地区在时刻t 的人口)(t x 为连续可微函数； 2、人口的增长率r 是常数，或者说，单位时间人口的增长量与当时的人口成正比. 建模记0x 为初始时刻)0(=t 的人口，由假设2，t 到t t ?+时间内的人口增量为 t t rx t x t t x ?=-?+)()()( 易导出下面的微分方程 ?????==0 )0(x x rx dt dx 求解易解出)0()(0>=r e x t x rt 分析模型与19世纪以前欧洲一些地区和国家的人口增长率长期稳定不变的人口统计数据可以很好地吻合，但是与19世纪以后许多国家的人口统计资料却有很大差异.出现这种差异的原因是19世纪以后人口的增长率已不再是常数.比如美国19世纪100年的10年增长率0.266，20世纪80年的10年增长率0.137，而1970至1980年的10年增长率为0.0307. 模型二 Logistic 阻滞增长模型假设 1、同模型一； 2、当人口增加到一定数量后，增长率随着人口的继续增加而逐渐减少，且)(x r 为x 的线性函数sx r x r -=)()0,(>s r ，其中r 相当于0=x 时的增长率，称固有增长率； 3、自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称最大人口容量. 建模当m x x =时增长率应为0，即0)(=m x r ，从而m x r s = ，于是)1()(m x x r x r - =，其中r ，m x 是根据人口统计数据确定的常数.m x 常由经验确定.仿模型一同样得 ?? ???=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m

微积分方法建模--数学建模案例分析13习题二

习题二 1、由实验知，细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量0A 成正比，即0kA V =（0>k 为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？ 2、一盘标有180分钟的录像带，实际上能走5.183分钟。现已走完大半，计数器从0000走到4580，问剩下的带子还能录下一小时的节目吗？ 3、一张正方形椅子，它的四条腿一样长，四脚呈正方形，放在连续变化的地面上时，在任何位置都至少有三只脚同时着地。是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？ 4、微型计算机把数据存储在磁盘上。磁盘使用前由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据“0”或“1 ”，这个基本单元称为bit 。为保障磁盘的分辨率，磁道宽t ρ>，每bit 占用的磁道长b ρ>。为数据检索的便利，格式化时要求所有磁道具有相同的bit 数。现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 和R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大的存储量。 5、有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒，在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？ 6、在离水面高度为)(m h 的岸上，用绳子拉船靠岸。绳子长)(m l ，船位于离岸壁)(m s 处，当收绳速度为)/(0s m v 时，船的速度和加速度怎么变化呢？ 7、肺部压力的增加可以引起咳嗽，而肺部压力的增加伴随着气管半径的缩小，实验证明：当压力压轮

差p 增加，且在?????? a r 2,00范围内，半径r 按照方程ap r r -=0减少，其中0r 为无压力时的管半径，a 为正常数。那末较小半径是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？提示：我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，半径为r ，管长为l ，两端压力差为p ,流体的粘滞度为η 。由物理学知识，单位时间内流过管子的气体的体积为l pr V ηπ84 =。 8、现有一个椭圆柱油罐，其长度为l ，两底面是长轴为，短轴为b 2的椭圆，问当油罐中油面高度为h 时，油量是多少？ 9、某航空公司需增加5架波音747客机.如果购买一架客机需要一次支付5000万美金，客机的使用寿命为15年。如果租用一架客机，每年需要支付600万美金的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为%12，问购买客机与租用客机哪种方案为佳？如果年利率为%6呢？ 10、一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆。通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动。若地球半径R=6400公里，问卫星距地面的高度h 应为多少？计算通信卫星的覆盖面积。 11、一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量y x y x f 2),(=（件）。现有16名技术工人和32名非技术工人，而计划再雇佣1名技术工人，试问如何调整非技术工人的人数，可保证产品量不变？ 12、如果在存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少。 13、在考虑最优价格问题时，设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长。设β为增长率，t q q β+=0。又设单位时间内的销售量为bp a x -=，p 为价格。今将销售期分为T t T T t ≤<≤≤2/2/0和两段，每段的价格固定，记作21,p p 。求21,p p 的最优值使销售期内的总利润最大。如果要求销售期内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值。 14、在B A ,两种物质的溶液中，提取出物质A ，可以采取这样的方法：在B A ,的溶液中加入第三种物质C ，利用C 与B 不互溶，而A 在C 中溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。现有稀水溶液的醋酸，利用苯作为溶剂，进行３次萃取来回收醋酸，共有苯体积m 。每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取出的醋酸最多？ 15、若流入污水的浓度比湖水浓度高,湖水便会受到污染,而当清水注入时,可使湖水净化. 假设:1.蒸发量与降雨量相等,流入与流出平均速度相等,即湖水总量不变;2.湖水不发生化学变化, (12222=+b y a x )

微积分习题讲解与答案

微积分习题讲解与答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021

1?指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (1)心)2-2少 + 和=0 (2) x2y-xy f + y = 0 (3)x2+ 4y n + (sinx)y = 0 (4) —+ P =sin26 de 解⑴1阶非线性 (2)1阶线性 ⑶3阶线性 (4)1阶线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1)xy f + y = cosx,j = ----------- x ⑵(l-x2)y f + xy = 2x,y = 2 + C^l-x2 (C 为任意常数) (3)y n-2y, + y=09y=Ce x (C 为任意常数) (4)y n-(^ + A2)j r += 0,J =+C2e^x (CiQ为任意常数) ⑸(x - 2y)y f = 2x-y9x2-xy + y2=C (C 为任意常数) (6) (xy-x)y H + xy f2 + = = ln(xj) xcosx-sinx sinx 解(1)是, = cosx 二右左二X -- ；---- + X X (2)是，^=(l-x2) t X +x(2 + Cyll-x2 ) = 2x=右y/l-x2 ⑶是‘左=Ce x— 2Ce x +Ce x =0=右(4)是，左二

=右 2x — V ⑸是，左*-2刃口^2一尸右 ,+兀-^ +〉，亠_2亠 (xj-x) (xy-x) xy — x xy- x 二比二'尹+亠厶+(宀2丿)5—)“ (xy-x) (xy-x) (xy-x) 二右 3 ?求下列微分方程的解 (3) (l + y)dx —(1 一 y)dy = 0 (2) | = Jcosxdx,j r = 5111^ + ^ ⑶圧^訂张j%严峡皿即一y + 21nll + y l=x + C ⑷估心侖必解得 ln(l + j 2) = ln(l + x 2) + C^ 4?已知曲线y = f(x)经过原点，并且它在点(X 』)处的切线的斜率等于2，，试求这条曲线的方程。解已知y f = 2x 2 ⑹是,左 ⑴加2； ⑵ 4-0SX ； (be

微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析

第二章微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了. §1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）.已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值. 一、由题设有 .将上述的四个条件代入y 的表达式 ??? ????=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y h d cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x h a 飞机的降落曲线为 )32(230 20x x x x h y --= 二、找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故

dt dx x x x x h dt dy )66(20 20--= 其中dt dx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60 2 20x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为 )12(6)12(6020 202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0 202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 202 6)(max x hu x a = []0,0x x ∈ 设计要求 106202 g x hu ≤，所以g h u x 600?≥ （允许的最小值）例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足： )(117378 .9100060360010005400m x =??≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米.

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++≤≤=+L 而且 21lim 0n n →∞=，2lim 0n n →∞=，所以由夹逼定理，得 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++= ?+? ?L . （2）因为22222240!1231n n n n n < =<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得

微积分模型

第一篇微积分模型在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。与极限和连续等内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。与积分和微元分析内容相关的应用实例有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论等。如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。 1

微积分与数学建模学习知识情况总结

微积分与数学模型（上册）任课教师：陈骑兵小组成员张程1440610405 王子尧1440610402 李昊奇1440610403 梅良玉1440610426 方旭建1440610406 李柏睿1440610428

第1章函数，极限与连续 1.1 函数的基本概念准备知识（掌握集合与区间的相关知识）函数定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于任意x ∈D ，按照某一法则f ，变量y 都有确定的值和它对应，则称f 为定义在D 上的函数，数集D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量。与x 对应的y 的值记做f(x)，称为函数f 在x 处的函数值。D 上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域函数特性： 1：函数的有界性设f(x)在集合X 上有定义，若存在M>=0,使得对任意x 属于X 都有f(x 的绝对值<=M, 则称函数f(x 在)X 上有界；否则，称函数f(x)在X 上无界。 2：函数的单调性 3：函数的奇偶性 4：函数的周期性 5：分段函数 6：复合函数 1.2初等函数常值函数如：y=C,C 为常数；幂函数如：y=x α,α∈R 为常数；指数函数如：y=a x ,a>0且a ≠1；对数函数如：y=a x log ,a>0且a ≠1；三角函数如：y=sinx,y=cosx,y=tanx ；反三角函数如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx ；以及双曲函数 1.3 极限的概念（1) .极限的直观定义：当x 接近于某个常数x 0但不等于x 0时，若f(x)趋向于常数A ，则称A 为f(x)当x 趋向于x 0时的极限。 (2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A ，若对于?ε>0（无论ε多么小），总彐δ>0,使得当0<|x-x 0|<ε,则称A 为f(x)当x 趋于x 0时的极限，记做

微积分方法建模药物在体内的分布与排除数学建模案例分析

§10 药物在体内的分布与排除药物进入机体后，在随血液输送到各器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外.药物在血液中的浓度()mv g μ称血药浓度.血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的治疗效果，浓度太高又可能导致中毒、副作用太强或造成浪费.因此研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，对于新药研制时剂量的确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值. 为了研究目的，将一个机体划分成若干个房室，每个房室是机体的一部分，比如中心室和周边室.在一个房室内药物呈均匀分布，而在不同的房室之间按一定规律进行转移.如果要求的精度不是太高的情况下，可以只考虑一室模型. 模型假设 1.药物进入机体后，全部进入中心室（血液较丰富的心、肺、肾等器官和组织），中心室的容积在给药过程中保持不变. 2.药物从中心室排出体外，与排除的数量相比，药物的吸收可以忽略. 3.药物排除的速率与中心室的血药浓度成正比. 模型构成与求解记()t f 0 给药速率 ()t c 中心室血药浓度 ()t x 中心室药量 V 中心室容积 k 排除速率系数一、求解各种给药方式下血药浓度变化情况上述各量间有关系 ()kx t f x -=? 0 即 ()t f kx x 0=+? 又 ()()t Vc t x = 得方程 ()()() V t f t kc t c 0=+? （1） 1、快速静脉注射设给药量D ,则初始条件()V D c =0，()00=t f （1）的解为 ()t k e V D t c -= （2） 2、恒速静脉注射设持续时间为τ，注射速率为0k ，则有 ()00k t f =，初始条件()00=c ，()τ≤≤t 0 (t c