数学建模之随机过程

数学建模实验报告

——随机过程

机自75班

07011132

张超

电梯问题

1.题目：

有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层，设每个乘客在任何一层楼走出电梯的概率都相等，试建立一个概率模型，求直到电梯中乘客全部下完时电梯需要停的次数的数学期望。

2.思路分析：

把这r个人作为一个r维列向量R[n]，其中R（i）可取2~n中任意值，当这样一个列向量建立后，在这个列向量里面不同元素的个数就是电梯要停的次数。如10个人上楼，当目标向量为R[10]=（2，2，2，3，3，4，4，5，5，6）时，向量内包含元素（2，3，4，5，6）共5个，则电梯要停5次。

3.编程思想：

建立一个r维随机的列向量，每个随机值在2到n之间取，然后统计这个列向量不同元素种类的个数，从而得出电梯要停的次数。进行大量实验K[N]（次数N=10000），令每次的记数为k(i),则电梯所停次数的数学期望为[k(1)+k(2)+k(3)+……+k(10000)]/10000。

程序如下：

function m=dianti(xx,yy)

s=0;

for i=1:10000

x=ceil((yy-1)*rand(xx,1));

z=0;

for j=2:xx

for k=1:j-1

if x(j)==x(k)

z=z+1;

break

end

end

end

y=xx-z;

s=s+y;

end

s/10000

4.结果分析：

假设楼有10层，则进入电梯的人数不同时，电梯所停次数的数学期望分别为：

r=1, dianti(1,10)= 1

r=2, dianti(2,10)= 1.8904

r=3, dianti(3,10)= 2.6797

r=4, dianti(4,10)= 3.3768

……

r=10, dianti(10,10)= 6.2387

……

r=1000, dianti(1000,10)= 9

……

可以看出当有10个人，10层楼时，电梯停的次数的期望约为6.2；人数越多，停靠的次数期望越大；当人数趋近于无穷（r=1000）时，dianti(1000,10)=9，即电梯须停靠9次。符合实际情况。

4.参考文献：

周义仓、赫孝良《数学建模实验》，西安:西安交通大学出版社。