高等数学(下册)练习答案
练习三十一答案
1、 五，三；
2、)3,2,1(),3,2,1(),32,1(-------.
3、(0,
2
1
,0); 4、29523++; 5、 2
-
二、C,C,A,B
三、1.设所求的点为M(0, b, c)，依题意：CM BM AM ==
即 222222)2()2()40()2()1()30(++++-=-+-+-c b c b 22222)1()5()2()1()30(-+-=-+-+-c b c b
解得：b =1,c =-2; 故所求的点为M(0, 1, -2)
2．如右图所示：
)51
(11D D +-=+=
同理：)5
1
(a c A D i +-=
（i=1,2,3,4） C D D D D B 4
321
四、证：如图所示：
AC AB AF EA EF 2
1
21+-=+=
BC AB AC 2
1
)(21=-= A
于是：→
→
BC EF ||，且→
→
=BC EF 2
1 F E
C B
练习三十二答案
一、
1．
3
,4
3,3
2π
γπβπα=
=
=
； 2. 3Pr =
a j u ； 3. A （-2，3，0）
4. )6,7,6(11
1
-±; 5. →j 7
二、 C, B, D
三、1．因为c 在a 与b 的角平分线上，所以)(b a e e c +=λ
???
?
?-=??????--+-=214,215,211)32,32,31()76,73,72(λλ
由423=c 因此
42345)1(21
222=++-λ
解得63±=λ 所以)12,15,3(-=c 或)12,15,3(--=c 2．设终点坐标为B (x , y , z ) 则 )7,1,2(-+-=→
z y x AB
向量 →
AB 的方向余弦为 34
7
cos ,341cos ,342cos -=
+=-=
z y x γβα 而向量 →a 的方向余弦为 17
12
cos ,179cos ,178cos 111-===γβα
由题意：17
12
347,179341,178342-=
-=+=-z y x 解得：x=18, y=17, z=-17 故终点坐标为 B(18, 17, -17) 3．设向量与 x, y, 轴的夹角为 α，则与 z 轴夹角为 α2 由 12cos cos cos 222=++ααα 即 0)1cos 2(cos 222=-αα 所以有 0cos =α 或 2
1cos ±=α（负值舍去）
于是 2
π
α=
或 4
π
α=
故向量的方向角为： πγπ
βα==
=,2
或 2
,4
π
γπ
βα=
=
=
从而向量的方向角为： )1,0,0()cos ,2
cos ,2(cos -=ππ
π
或 )0,2
2,22()2cos ,4cos
,4
(cos
=ππ
π
4.如图，在 AMO ? 中，AM OA ⊥，
1Pr ==∴→
→OA OM j OA
作 OM AN ⊥ 则 2=AM ，3=OM
由于 2
OA OM ON =? 从而 3
1=
ON
O
N
A
M
故 3
1cos Pr =
∠=∴→
→→
AOM OA OA j
OM
练习三十三答案
一、
1、29
； 2、1,4-==μλ；
3、 -13；
4、（2，-3，0）；
5、14
3arccos 二、1．由定比分点，及 )2,2
1,23(D
)1,3,2(),0,21,25(-=-=→→BC BD Θ
2
13=?∴→→BC BD
而 142
1
,262
1
==→
→
BC BD 于是 1419cos =∠DBC
故 14
19arccos
=∠DBC 2．解：→
→→→
→→→
→
→
→
?+=+?+=+?+b a b b a a b a b a 25302)()(2
2
Θ
又 24=+→
→
b a 于是 5762530=?+→→b a 故 462=?→
→b a
224842)()(2
2
==?-+=
-?-=-→
→→→→
→
→
→
→
→
b a b a b a b a b a
3．解：)27()4(),
57()3(→
→→→→
→
→
→
-⊥--⊥+b a b a b a b a Θ
015167)57()3(2
2
=-?+=-?+∴→→
→→→
→
→
→
b b a a b a b a （1）
08307)27()4(2
2
=+?-=-?-→→
→→→
→
→
→
b b a a b a b a （2）
由 （1），（2）及 )3(22
Λ→→
→=?b b a
（3）代入（1）及 →
→
=b a
由 2
1
2
1)cos(2
2
==
?=
→→
→
→→
→→
∧→b
b b
a b a b a 故 3)(π=→∧→b a
三
1，证
2
2
22
2)cos(22→→
∧→→
→→→→
→→→→
+?+=+?+=+b b a b a a b b a a b a Θ
22
2
)(2→
→
→→
→
→+=+?+≤b a b b a a
→
→
→
→
+≤+∴b a b a
2，证：如图AB 为圆的直径，在圆上任取一点C,
)
()()
()(→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
-?+=+?+=?AO OC AO OC OC BO OC AO BC AC
02
2
=-=→
→
AO OC
从而 →→
⊥BC AC ,故直径所对的圆周角是直角。
练习三十四答案
一、
1，449； 2，)4,4,6(1721
--±； 3，32
22； 4，16；5，)(),1,21(R k k k k ∈-+
二、
1、设 →→b a , 是平行四边形两相邻向量，则 ?????=-=+→→→→→→d
b a c
b a
从而 →→→→→-=+=n m d c a 2)(21 ，→
→→→→-=-=n m d c b 3)(2
1
故平行四边形的面积为：
→
→
→
→
→
→
→
→
?=-?-=?=n m n m n m b a s 5)3()2(
56sin
5=?=→
→
π
n m
2、)3,2,6(4
31201=-=k
j i b ρρρρ
Θ
76),cos(=??=???==∴b
b a b a b a a b a a a prj b ρρρρρρρρρρρρρ
3、（1）、{21，42，21} （2）、280 （3）、{115，242，137}
4、θθθ2sin 4
1sin cos 212
a a a S BAD ρρρΘ=?=
? θθ2cos 212a d ds ρ=∴ 令0=θd ds 及4
πθ= 又02
4
2
2<-==a d s d ρΘ
π
θθ
当4
π
θ=
时BAD S ?Θ为最大
练习三十五答案
一. 1 . 2)(2
2
2
=+-z y x ； 2. 2
2
)1()1()14-+-=-y x z （
3. 平面1-=y 上的一个圆
4. ???
?
???=≤≤=+=020sin 3cos 31z y x πθθ
θ
5. ??
?==+0
2
22z y x
二. B B C D A
三. 1. 设动点为),,
(z y x ,则
21)4()3()2(2
222
22=
-+-+-++z y x z y x 即3
2938234222=+++++z y x z y x
也就是9116
)34()1()32(222=+++++Z y x
此曲面是以)34,1,32(---为球心，半径为293
2
的球面。
2. 在xoy 面上为：???=--=+0122z y x y x 在xoz 面上为：?
??=--+=0)1(2
2y z x x z
在yoz 面上为：?
??=--+=0)1(2
2x z y y z
3. 绕ox 轴:122222=++
c z y a x ; 绕oz 轴:122222=++c
z a y x 4.设所求球面方程2222)()()(r c z b y a x =-+-+-,依题知c=0,且有
??
?
??=+-+-=+--+-=-+-+-222222222
222)3()2()2()1()3()1()4()2()1(r b a r b a r b a 解之得26,1,22==-=r b a 所求球面方程为26)1()2(222=+-++z y x
练习三十六答案
一、1、00=-x x 2、 0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x
3、1
4、3
1,32,32
- 5、 043=--+z y x 二、 1、C ； 2、A ； 3、B ； 4、C ； 5、A.
三、1 解：Θ )9,1,1(= ∴ 平面法向量为)1,9,0()9,1,1()0,0,1(-=?=
故所求的平面方程为：0)2()0(9=++--z y 即029=--z y
2.解方程组?????=-++=++-=--+03013,022z y x z y x z y x 得??
?
??===111z y x
故所 求的平面方程为0)1(2)1()1(=-+-+-z y x
即042=-++z y x
3 解：在平面上任取一点),,(z y x M ，则)2,1,(0--=z y x M 由
题意，三向量210,,n n M 共面，从而所求的平面方程为：
01
1
12121=---z y x 即01=-+-z y x
4解：设所求的平面的法向量为：),,(C B A =，已知平面)1,1,1(1=n
Θ )2,0,1(21--=M M ，且M M ⊥21 ∴)1(02Λ=--C A
又Θ所求的平面垂直于已知平面 ∴)2(0Λ=++C B A
由)2(),1(得：C B C A =-=,2，于是所求的平面方程为：02=--z y x
练习三十七答案
一、1.p
z n y m x
== 2.
nA
mB c
z mC pA b y pB nC a x --=--=-- 3.
27
22 4 )3,2,1( 5
p
z z n y y m x x 0
00+=+=+
二、B D A C D
三
1 解: 设所求的直线方向向量为
Θ点)0,3,1(1-M 在直线2
31z
y x =
-=+上,其方向向量为=1S )2,1,1( 又)1,3,0(1-=M ∴ 由题意则有
)3,1,7(3111--=-=?⊥j M M S S
4,1)(3,S 2-=⊥
从而)25,16,13(3114)(//112=---=??M S S
于是取)25,16,13(=及所求直线方程为:
25
1
16131-=
=+z y x 2. 解:过点)1,1,1(-A 与直线???==+-001x z y 垂直的平面方程为:
0=+z y ,它与直线交点为)2
1
,21,0(-B
Θ
)2
1
,21,1(-=又Θ所求平面垂直于xoy 面.
∴
所求平面法向量)0,1,21
(2
10=-
=?=j BA k n
从而所求的平面方程为012=++y x 3.已知平面的截距式方程为 13
124=+-+z y x 三角形在oz oy ox ,,轴上的顶点坐标依次),03,0(),0,12,0(),0,0,4(C B A -由C 向AB 边引的垂线记为CD,则
→
→→+=AB CA CD λ}3,12),1(4{---=λλ 由0=?→
→
AB CD 得
00)12(12)4()1(4=--?--?-λλ 解之得10
1=
λ 故}3,5
6
,518{--=→
CD ,因此所求垂线方程为
33
5605180--=
--=-z y x 即5
3
26--=-=z y x
阶段自测题（七）空间解析几何与向量代数 答案
一．1
3
4
3π
π
π，
， 2. 33222±=++z y x ; 3. 1222=-+z y x
4. 02=-++z y x
5. 05147=++y x 二． A B D C C 三．
1、 解： 设过交线的平面束方程为0)4(5=+-+++z x z y x λ 即，)1,5,1(,
04)1(5)1(λλλλλ-+==+-+++z y x
由于已知平面法向量)8,4,1(1--=n
，由4
cos
=
π
得
2
273
2
2λλ+-= 解之得4
3
-=
λ代入平面束方程得 012720=-++z y x .
2、 解。 设过点M 的直线方程为，
p
z n y m x 1+== ),,(p n m S =由于所求的直线在已知平面上，从而n S ⊥，故有 022=-+p n m （1） 将已知直线化为对称式： 0
2
111-=
-=+z y x ， )0,1,1(1-=S 由两直线夹角公式得：
2
122
2
2
=
++-p
n m n
m
于是 2
2
p n m -=? （2）
令2=p ，由（1），（2） 得 ???=-=21n m 或???-==12
n m
故所求方程的直线方程为：
2121+==-z y x 或2
112+=-=z y x 3、直线与z 轴的交点为),0,0,0(可见旋转曲面过坐标原点，z 轴上任一点M 在绕直线的旋转中，→
OM 与直线的夹角始终不变。
z 轴的方向向量),1,0,0(=k 直线的方向向量),3,0,1(=s k 与s 的夹角余弦
2
3
cos =
?=
s k s k θ 在旋转曲面上任取一点)0,0,0(),,,(---=→
z y x OM z y x M
23
cos =
=?→→
θs
OM s OM 即 2
32
3222=
?+++z y x z x 整理后得
0323222=-+z y x
四. 解：已知直线的参数方程式为t z t y t x +=+=+=2,31,41代入已知平面
方程，得交点
)15
11,1542,1561(--P 过P 垂直于已知平面的直线方程为
5
15112154211561-=+=+z y x 由反射定理，入射角等于反射角，即
,254152254119165123142
22p
n m p
n m ++?++++=++?++?+?+?
其中},,{p n m s =为反射方向的方向向量， 即 )1()
(225)52(262222p n m p n m ++=++
又}1,3,4{},5,2,1{21==n n 的向量积为入射线与反射线所在平面的法向量，即
}5,19,13{}5,2,1{}1,3,4{12-=?=?=n n n
n 应与反射线垂直，故
0=??⊥s n s n 即 )2(0
51913=+-p n m
由(2) )1319(51
m n p -=代入（1）式，得
;
0444481111),194494386(9)47(9262
2
222=+-+-=-?n mn m m mn n m n
;111
2185481111244411144814812n n m ?±=???-±=
n n m 11114811122961=?=
（舍去） ;311126662n n m =?= ,45
20)1319(51n n
m n p -=-=-=
故所反射线方程为
4
15111154231561--=+=+z y x . 练习三十八答案
一、1、4
2
2
4
22y y x x +- 2、2
22)1()
1(y y x +-
3、y y x 2)(2+-
4、}0,0,|),{(2≥≥≥y x y x y x
5、}|),,{(22y x z z y x +=
二、1、解：（1）1、222
222
()x y r x r y r ?+>?-+≥?
∴定义域为{}222222(,),()x y x y r x r y r +>-+≥
（2）022>+y x 且
12
2≤+y x z ? 022>+y x 且
222y x z +≤
∴定义域为{}
22222,0),,(y x z y x z y x +≤>+
2、解：x xy xy y x xy y x y x f 2)()(),,(++=-+
3、解：令v y x u y x =-=+,， 即)(2
1
),(21v u y v u x -=+= 则
)(21]2[41)(21)(21)(21),(222222
uv u uv v u v u v u v u v u v u f -=-++-=??
?
???-+-+=
故)(2
1),(2
xy x y x f -=
4、解：若0a ≠，由初等函数的连续性，
0sin(2)
lim
x y a
xy y →→=0)02sin(lim 0=??→→a a a y x 当0a =时，sin 22xy xy ≤，所以
sin 22xy
x y
≤， 因为00
lim 20x y x →→=，所以00
sin 2lim
0x y xy
y →→=
三、解：当)0,0(),(→y x 沿曲线2kx y =趋于（0，0）时
则 2
42440
02420
01lim lim k k
x
k x kx y x y x y x y x +=+=+→→→→ 其值随着k 的不同而改变，故此极限不存在。
练习三十九答案
一、（1）因0
00
sin()
lim (,)lim
1(0,0)x x y y xy f x y f xy →→→→===所以f 在（0，0）处连续。
（2）0
0(,0)(0,0)11
(0,0)lim lim 0x x x f x f f x
x ?→?→?--===??， 0
0(0,)(0,0)11(0,0)lim
lim 0y y y f y f f y y
?→?→?--===??。 二、1、
)2sin()2cos(y x e y x ye x
z
xy xy +-+=?? )2sin(2)2cos(y x e y x xe y
z
xy xy +-+=?? 2、
x x y x
xy y y x z 1)ln(ln +?=??
11)ln(--+=??x x y xy xy y
z
3、
2222
)()()()(11y x y y x y x y x y
x y x x z +-=-+--?-++=??
2222
)()()()(11y x x
y x y x y x y
x y x y z +=-++-?-++=?? 4、
2111
)(---==??z z z y zx y y x z x u
121)()(----=-=??z z z y zx y
x
y x z y u
y
x y x z u z ln )(=?? 三、 1、
y y x
y y x y yx y x y x z +=+=??ln 1ln
x y
x
x y x x y xy y x x y z -=-+=??ln )(ln 2 x y
y x y y x
z ==??)1(22
y x
y x x y x y
z -=-=??)(2
22 y
x y x x y y y x y x z ln 1)(ln 22=+-+=??? y
x
y x y x y x x y z ln 1)1(ln 2=-+=??? 2、2
22211
)1(1)
1(11x xy y xy
y x x
z +=
-+?-++=
??
2
2211
)1())((1)
1(11y xy x y x xy xy
y x y
z +=--+--?-++=??
2222)1(2x x
x z +-
=?? 2
222)
1(2y y
y z +-=??
022=???=???x
y z
y x z 四、解：xyz
yze x
u =?? , xyz e yz x u 222)(=??,xyz e yz x u 333
)(=??
xyz e z xy yz y
x u
)2(3222
3+=??? xyz e xyz z y
x u
)(22+=??? xyz e z y x xyz z
y x u
)31(2223++=????
五、证：
)2sin(t x t
z
-=?? )2cos(22t x t
z
--=??
)2sin(2t x x
z
--=??
)2cos(22t x t x z
-=??? ∴02222=???+??t x z
t
z 练习四十答案
一、1、B 2、C 3、C 4、A 5、A 二、1、
2
2
1y
x x
u
+=??
22221y
x y
y x x y u +?
++=?? )(12
2
2
2
y
x x ydy dx y
x du +++
+=
2、
y e y x y e x
z
x x sin )sin (cos ++=??
)cos sin (y x y e y
z
x +-=??
e x
z y x =??==0
1
e y
z y x =??==0
1
∴)(0
1dy dx e dz
y x +===
3、2
22
2222222)()()(2)(y x y y x y x x xy y x y x z -+-=-?--=?? 222
2222222)()()()2()(y x x y x y x y xy y x x y z -+=--?--=??
951
2-=??==y x x
z ，
9
101
2=
??==y x y
z ∴36
103.091001.09503
.0,101.0,2=?+?-==?==?=y y x x dz
4、1
1
2ln z z z
z x zx x x x du dx dy dz y y y y y y --??
????=-+ ?
?
?????
??
三、令22),(y x y x f z +==,02.0,03.0,3,400=?-=?==y x y x
由y f x f y x f y y x x f y x ??+??+≈?+?+),(),(0000得
)02.0()03.0(34)02.3()97.3(3
4
2
2
3
42
2
2222====++-++
+≈+y x y x y
x y y
x x
=4.988
练习四十一答案
一、
x
x
e x e x dx dy y x y y x x dx dz 2222222)(222--=
?---=
二、
)
23(sec )2143()43()23(sec 22222t t t t
t dt
dy dt dx x y x t dt dz -+--=-+?-+=
三、
2
22
222)2()29)(2(1v )2(v 2)2()3)(2(221v 2x y y x y x u u y z x y y x y x v u u x z ++--=?--?=??++-=?-?=??
四、（1）
))2ln(1()2())2ln(1()2(22)2)(2(2)2ln()2(22122y x y x y
z
y x y x y x y x y x y x x
z
y x y x y x y x +++=??+++=?+++?++=??++-++ （2）、令22,,u x y u xy =-=则 22(,)(,),f x y xy f u v -=
于是
22322
2(,)2z f f
xyf x y xy x y x y x u u
???=-++???。 同理可得
222223(,)2z f f x f x y xy x y x y y u u
???=--+??? 五、
)
(4)(22)(2)(2)(22222222222
222y x f x y x f x y x f x y x f x
z
y x f x x z
+''++'=?+''++'=??+'=?? 六、
"+"+'+'=+"
+'+'+'=??'+=?'+=??12
1122112111212112)''(f xye yf x f e xf f e xf xy xf e f x f xy
z xyf f y xf f x z y y y y
七、2
2222
2222v u u y x y u z u z y x x y v z y x x y u z +-=
+=??+??∴++=??+-=??νΘ
八、
2
222)()()()(212322321)1(y u x u t u s u y u
t u t u y
u x u s u ??+??=??+??∴??+
???-=????+???=??Θ
2
2222222222222222222412343432341)2(t
u s u y u x u y u y x u x u t u y u y x u x u s u ??+??=??+??∴??+???-??=????+
???+??=??
练习四十二 答案
一、解：设)ln(22),,(xyz xyz xz z y x F +-=
则
z
xy x z F y xz y F x yz z x F 1
22,12,122+-=??+-=??+-=??，故
y
z xy xyz z xyz z
xy x y
xz y
z x
z z
xy x x yz z x
z +-+--
=+
-+
--=??-=+
-+
--
=??222221221
21221
22
二、解：由方程0132=--xz y z 知，当1,0,1-===z y x 时
由于3
1
,
320
12=??-=??==y x x z
xz y z x z ， x z z y x u ??+=??)3cos(3 3cos )30cos(30
10
1
=???
-=??∴
====y x y x x
z x
u
三、解：xy
z xz
y y z xy z yz x x z 3333,33332222---=??---=??
当1,0,1-===z y x 时，于是
)
(1
,
10
1
10
1dy dx dz y
z x
z
y x y x y x +-=∴-=??-=??======
四、解：求偏导得 2222()()2z z x z
xf z xyf z z x x
??'+=+???， 2222()()2z z y z
xf z xyf z z y y
??'+=+??? 解得 222
22()2()2,2[1()]2[1()]z yf z x z xf z y x z xyf z y z xyf z ?-?-==''?-?-， 故 2222
2()2()22[1()]z z xyf z x xyf z y x y x y z xyf z ??-+-+='??- 22222
2()[1()]
x y z x y z xyf z ++--='-
21()
z
xyf z =
'-
五、设y xz z z y x F +-=2),,(3，则
x z z
F
y F z x F 23,1,22-=??=??-=??
x
z z y z x z z x z 232,23222-=??-=??
3
22222
2
)23(16)23()
26(2)23(2x z xz x z x z z z x z x z x z
--=--??--????
=??∴
3
222222)23(46)23(62)23(2x z x z x z y
z z y x z y z y
x z
-+=
-???
?--????
=
??? 六、解：
xy
e xz
y z xy e yz x z z z -=??-=??,
3
222222)()()())((xy e z
y x e xyz ze xy e x y
z
e yz xy e y z y
z y x z
z z z z z z ---=
--??--??+=???
七、证：''-
=??''-'-=??2
12
21,2F
xF y z F F yF x z
Θ
∴
x
yxF xF xyF F y z y x z x
2)
2(11212='
-'-''
-=??-?? 八、令z y x z y x F -+=22),,(
2032),,(222-++=z y x z y x G
x F x 2=, y F y 2=, 1-=z F ;x G x 2=, y G y 4=,z G z 6=; y yz z y G F J 412)
,()
,(+=??=
xz x x z G F 122)
,()
,(--=??
xy xy xy y x G F 448)
,()
,(=-=??
∴
yz y xz x y yz xz x dx dy 626412122++-=+--= 1
34124+=+=z x y yz xy dx dz
练习四十三答案
一、1、2； 2、x =0； 3、-3，-1，3； 4、02=+-z y x ； 5、4
π
二、1、解：设切点为（)1(3,,0020-t t t ），则曲线在该点
的切线向量为{}3,1,20t ，切线方程为
3)
1(3120002
0--=
-=-t z t y t t x 把)3,2,3(代入上述方程得 03402
0=+-t t ，解得t 0=1或3 ∴L 的方程为
31121z y x =-=-或3
6
1369-=
-=-z y x 2、、解：22022z dz
dy e z y x dx dx
dz dy x y dx dx ?++=????=-??
1,
,dy dz T dx dx ??
=????
u v 即{}1,1,4T =-u v
切线方程：
11114
x y z
--==-，法平面方程 40x y z -+= 3、z
F F x F z x y z z y x F z y x 1
1,1,1,ln ),,(+=-=-=--=
2)1,1,1(,1)1,1,1(,1)1,1,1(=-=-=z y x F F F ，所以，曲面在（1，1，1）点处的切平面方程为：
0)1(2)1()1(=-+----y y x 即
x+y -2z =0 法线方程为
2
11111-=--=--z y x 4、解：设222(,,)21F x y z x y z ==++-，则椭球面任一点处的法向量为{}2,4,2x y z ，
又平面的法向量为{}1,1,2-，由题意知{}{}2,4,21,1,2x y z //-，故有
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学试卷 含答案 下册
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v - 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 高等数学下册试题库及答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α， 因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 河北工程大学高等数学同步练习 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1. 求定义域 (1){(x,y ) 1 xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}. 2.求极限 (1)00 1)2x y →→+=; (2)0 ; (3)22 2 2200 2sin 2lim 0()xy x y x y x y e →→+=+; (4)20 sin cos lim .2x y xy xy x xy →→=. 3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 (1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222 2222 01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y ,极限为0，不存在 ; (3)2222222211 00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时， 22 2 2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0 lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续. 第二节 偏导数 1. 求下列函数的偏导数 (1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2 2() 1()x y x y --+-. 2. 6 π. 3.11(11x y =+-==. 4. 1 2 2222 2222222222 2222222222 2222 1 ln() ln(), 2 12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y - =+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+ 5. 22 2202 01 0sin , lim (,)0(0,0),1sin 00lim 1 0sin 0 0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x f y y y →→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续. （0，0），不存在， . 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin高等数学上复旦第三版 课后习题答案
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