空间中的垂直问题练习题(答案)

空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题

1．给出下列三个命题：

①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”；

②“直线a 垂直于直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”； ③“直线a 垂直平面β” 的必要非充分条件是“直线a 垂直于平面β内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 ③

2．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且PA ⊥平面A BCD 则在△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 、△PAC 及△PBD 中，为直角三角形有______5___个．

3．在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 BM PC ⊥ 时，平面MBD ⊥平面PCD ．

4．已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ?的垂心，且SA 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B 在侧面SAC 上的射影是SAC ?的垂心；②三棱锥ABC S -是一个正三棱锥；③三棱锥ABC S -的体积有最大值；④三棱锥ABC S -的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ .

5．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有___（2）______．

6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB ．CD 同时相交的两条直线AC ．BD 一定是异面直线②同时与

两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 ① ． 7．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是

5

70

2 ． 8．正四面体

ABCD

的棱长为

1，棱

AB αα]2

1

,42[

l l l βα??AC ,60120棱锥D ABCE -的底面是矩形，DE ⊥面ABCE ，3,1, 2.DE EC BC G =

==为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥面

GBC ，则

DQ QC ＝ 3

2

. 11．已知边长为23的正ABC ?，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE ?折

起至A DE '?，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记2

ADE S A H ?='的面积

，则S 的取

值范围为 ． 【答案】3(

,)3

+∞【解析】设A 到DE 的距离为x ，则DE 与BC 间距离为3x -，ADE ∴?的面积为2

33x ()

2

2

2

369A H x x x '=--=- 2339232x S x x ??∴=?> ?

-?? S ∴的取值范围为3

(,)3

+∞． 12．三棱锥ABC P -中，?=∠=∠=∠90CPA BPC APB ，点M 在△ABC 内，且

=∠MPA ?=∠60MPB ，则MPC ∠的度数是___?45______．

13.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且

a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最

大值是 。【答案】

13

2

22--c a c 14．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ??，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，

6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB

?的面积的最大值是 12 . 二、解答题

15． 如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且

2AB AE =．

（1）求证：//AB 平面CDE ；

（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；

证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ?平面CDE ，

CD ?平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ． （2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ?平面， 所以AE CD ⊥， 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，

α β

P A B

D C

A

B

C

D

E

A

B

C C 1 B 1

A 1

F D

E

M

且AE AD A =AE AD ADE ?、平面， 所以CD ADE ⊥平面， 又CD ABCD ?平面， 所以ABCD ADE ⊥平面平面．

16.如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．

求证：（1）平面BDM ⊥平面ECA （2）平面DEA ⊥平面ECA

17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，

PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．

(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P ABCD -的体积．

(1) 证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，

45AB =，所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =，

BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，

又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．

(2) 解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因此

PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD △是边长为4的等边三角形．因此3

4232

PO =

?=．在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边上的高为

85

45

=， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为254585

2425

S +=

?=． 18.如图１，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠ABC =600

，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．

(1)求证：AE ⊥BD ；

(2)求证：平面PEF ⊥平面

AECD ；

(3)判断DE 能否垂直于平

面ABC 并说明理由．

证明：(1)连接BD ，取AE 中点M ，连接,BM DM ．

在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，60ABC ?∠=，E 是BC 的中点，

ABE ∴?与ADE ?都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥

,,BM DM M BM DM =?平面BDM ，AE ∴⊥平面BDM ．

BD ?平面BDM ，AE BD ∴⊥．

(2)连接CM 交EF 于点N ，连接PN

ME ∥FC ，且ME ＝FC ，∴四边形MECF 是平行四边形。∴N 是线段CM 的中点。

∵P 是线段BC 的中点，PN ∴∥BM BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．

(3)DE 与平面ABC 不垂直．

假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥．∵⊥BM 平面AECD ．BM DE ∴⊥．

AB BM M =，,AB BM ?平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ．

DE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾DE ∴与平面ABC 不垂直．

19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知

1,3,2AB AC AA BC CF ====.

(1)求证:1C E ∥平面ADF;

(2)若点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF 分析：（1）要证明ADF E C 平面//1,可通过线线平行和面面平行两

条路来证明线面平行. Ⅰ.要在平面ADF 中找到与E C 1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过E C 1的平面与平面ADF 的交线OF ,这里注意O 为ABC ?的重心，（

1

2

=OE CO ）,再利用比例关系证明OF E C //1从而证明结论. A

B

C

M

P

D

A

B

C

D

E

图1

B

D F

P

图2

A B C C 1

B 1

A 1

F D

E O M

Ⅱ.取BD 中点M ,可通过证明面ADF ME C 平面//1,证明ADF E C 平面//1

解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ．

因为CE ，AD 为△ABC 中线， 所以O 为△ABC 的重心，12

3

CF CO CC CE ==．

从而

OF ?1C E ?ADF 1//C E ADF CAM ⊥ADF 111ABC A B C -1B B ⊥?⊥D BC AD BC ⊥⊥?⊥Rt CBM

?Rt FCD ?⊥⊥ADF ?CAM ⊥ADF CAM ⊥ADF PAD ABCD AB AD ⊥//AB CD

2AD DC ==,4AB =AB PD ⊥C PAB PD M //AM PBC PAD ABCD PAD ABCD AD AB PAD AB PD AB ABCD PD PAD AB AD ⊥??=⊥????⊥???????⊥?面面面面面面面C PAB P ABC

V V --=11

33PAB ABC h S PE S ???=?3h =D PA PD M //AM PBC 在平面PDC 内过点M 作//MN DC 交PC 于N ,连接BN ,

则////AMNB PBC NB AM PBC AM NB AM PBC =?

?

?????

面面面面 又//////MN CD MN AB CD AB ????， 所以平面AMNB 是平行四

边形 ，所以MN AB = ，这与MN CD AB <<矛盾，所以假设不成立，

即在线段PD 上不存在一点M ，使得//AM 平面PBC .

21.如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1

AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A

AC A =，

∴DB ⊥平面11A ACC ，而1

AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则2

21

32AO a =，2

234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194

A M a =．∵222

11A O MO A M +=，

∴1

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

22.如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．

因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，

AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ，∴AD

⊥BC ．

∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定

性质线面垂直???→←???

判定

性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 23.如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面

SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面

垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

24.如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF

DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．

∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE

AB B =，

∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD

BE E =，

∴ AH ⊥平面BCD ．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 25如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥

PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．

N P

C B A D

H M

证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ?平面PBC ， ∴平面APC ⊥平面PBC ．

∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．

∵AE ?平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

26.如图, 在空间四边形SABC 中, SA 平面ABC , ABC = 90, AN SB 于N , AM SC 于M 。求证: ①AN BC; ②SC 平面ANM

分析:①要证AN BC , 转证, BC 平面SAB 。

②要证SC 平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC

AM , SC AN 。要证

SC AN , 转证AN 平面SBC , 就可以了。

证明:

①∵SA 平面ABC ∴SA BC 又∵BC AB , 且AB SA = A ∴BC 平面SAB ∵AN ?平面SAB ∴AN BC

②∵AN BC , AN SB , 且SB BC = B ∴AN 平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN SC

又∵AM SC , 且AM AN = A ∴SC 平面ANM

27.在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．

（1）求证：AB ⊥BC ；

（1）【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ， 又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ， ∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．

28.如图9—41，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．

（1）求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD （1）【解】PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，

∴PD ⊥CD ，故∠PDA 为平面ABCD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △PAD 中，PA=AD ， ∴∠PDA=45°

（2）【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN

21CD

AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥

MN ．

∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN ?平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ． 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围． 29.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．

（1）求证：平面MNF ⊥平面ENF ．（2）求二面角M —EF —N 的平面角的正切值．

（1）【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴?=∠=∠45MNC ENB 11 ∴?=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面?∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ?平面MNF ，

∴平面MNF ⊥平面ENF ．

（2）【解】过N 作NH ⊥EF 于H ，连结MH ．∵MN ⊥平面ENF ，NH 为MH 在平面ENF 内的射影，

∴由三垂线定理得MH ⊥EF ，∴∠MHN 是二面角M —EF —N 的平面角．在Rt

△MNH 中，求得MN=22a ，NH=33

a ，

∴tan ∠MHN=26=

NH

MN ，即二面角M —EF —N 的平面角的正切值为26

．

30.，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．

（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离． （1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，

又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，

∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ?面PAD ∴CD ⊥AF ，

又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF 21

CD

又AE

21

CD ，

∴GF

AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ?平面PEC ，

∴平面PEC ⊥平面PCD ．

（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC

∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，

而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴

PC PF

CD FH =，设AD=2，∴PF=2，

PC=32482

2

=+=+CD PD ，

∴FH=3623

22=

?∴A 到平面PEC 的距离为36．

31．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． （1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；

又PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ?平面PBC ， ∴平面PAC ⊥平面PBC ．

（2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．

32．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的

一点，BD ＝21

a ，EC ＝a ．

（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′； （2）求截面△ADE 的面积．

（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，

∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′

∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′． 设MN 交AE 于P ，

∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a ．

又DB ＝21

a ，∴PN ＝BD ．

∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．

∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ?平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′． （2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23

a ，

AE ＝2a ．

∴S △ADE ＝21

×AE ×PD

＝21

×246232a

a a =?．