同济大学高等数学第四版 详解 习题九
194
习题九
1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π
4
t
=
; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).
解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===-
曲线在点π
4
t
=
的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????
当π
4
t =时， ,,222a b c x y z ===
切线方程为
2220a b c
x y z a c
-
--==-.
法平面方程为
0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????
即 22
022
a c ax cz --
+=. （2）联立方程组
2226
x y z x y z ?++=?
++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得
d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x
y z x x
?
+?+?=???
?++=?? 解
得
d d ,,d d y z x z x y
x y z x y z
--==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00
d d 0,1d d M M y z
x x ==-
所以切向量为{1，0，-1}.
故切线方程为
121
101
x y z -+-==- 法平面方程为
1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0
即x -z =0.
(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得
d d 22,21d d y z
y
m z x x
==- 于是
d d 1,d d 2y m z x y x z
==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2m y z ??-????
,故切线方程
为
000
00
,112x x y y z z m y z ---==-
法平面方程为
00000
1()()()02m x x y y z z y z -+
---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2
t
在相应点的切线垂直于平面0x y ++=，并求相应的切
线和法平面方程。
解：1cos ,sin ,2cos
2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}
1cos ,sin ,2cos 2
t
T t t =-,
已知平面的法向量为{1,1,2n =
.
且T ∥n ,
故
2cos
1cos sin 11
t t t
-==解得
π2t =，相应点的坐
标为π1,1,2?- ?
.且
{1,1T =
故切线方程为
π
1
1211x y -
+-==
法平面方程为
π
1102
x y z -
++--= 即
π042x y ??
++-=+ ???
.
3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定
角。
证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为
{sin ,cos ,}T a t a t b =-.
与z 轴同向的单位向量为
{0,0,1}k =
两向量的夹角余弦为
cos θ=
=
为一定值。
故螺旋线的切线与z 轴形成定角。
195
4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解：z x =y , z y =x . 曲面法向量为{}1
,,1n y x =-.
已知平面法向量为{}2
1,2,1n =-. 且1n ∥2n ，故有112
y x
==--
解得x =2,y =-1,此时，z =-2.
即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为
212
121
x y z -++==
--. 切平面方程为
-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0
即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z = x 2+y 2,点M 0(1,2,5); (2)z = arctan y
x
,点M 0(1,1,
π4
); 解：（1）0
2, 4.22y
x
m m m m z z y x ====
故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为
z -5=2(x -1)+4(y -2).
即 2x +4y -z =5. 法线方程为
125
241
x y z ---==
- （
2
）
2
2
2
2
1
1,.22
y
x
m m m m y
x z z x y x y -==-==++ 故曲面在点M 0(1,1,
π
4
)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1
2
(y -1). 法线方程为
π11411122
z x y -
--==--.
6. 证明：曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。
证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,
所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为
y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.
切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为
33000000
1119132727.
3336622
V z x y z a a x y ??=?==?=?????
它为一定值。
7.解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法
向量为
}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--
从而平面∏的方程为：2450x y z ---= 又l 的方向向量为
110(1)11
i j k
s i j a k a ==-++--
由0n s ?=求得5a =-
在
l
上取一点，不妨取
01
x =求得
00(1).53y b z b =-+=+
由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得
2b =-.
8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为
πππ
,,343
αβγ===
的方向导数。 解
：
(1,1,2)(1,1,2)
(1,1,2)cos cos cos u u u u
y l x z αβγ????=++????
22(1,1,2)(1,1,2)ππ
cos cos (2)()(3)
34
xy xz y yz z xy =++---
9. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：
{4,3,12},13.AB AB ==
AB 的方向余弦为
4312
cos ,cos ,cos 131313αβγ===
(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u
yz x u
xz y u
xy z
?==??==??==? 故4312982105.13131313
u l ?=?+
?+?=?
10. 求函数22221x y z a b ??
=-+ ???在点处沿曲线22
221x y a b
+=在这点的内法线方向的方向导数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为
222
2220,x y b x
y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为
196
2.b y a a '
==-
法线斜率为cos a
b ?=
.
于是tan sin ?
?==
∵2222,,z z x y x a y b
??=-=-??
∴
2222z l
a b ??=--= ??
11.研究下列函数的极值： (1) z = x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2) z = e 2x (x +y 2+2y );
(3) z = (6x －x 2)(4y －y 2); (4) z =
(x 2+y 2)2
2
()
e x y -+;
(5) z = xy (a －x －y ),a ≠0.
解：（1）解方程组2
2
360
360
x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6
在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0.
在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点.
在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.
在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)0
2e (1)0x x x
y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??
- ???
.
22224e (21)
4e (1)2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+=
在点1,12??
-
???
处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函
数有极小值e 1,122z ??
=-- ???
.
(3) 解方程组2
2
(62)(4)0
(6)(42)0
x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx =－2(4y -y 2),
Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2) 在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点.
在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点.
在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点.
在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组2
2
()2222
2e
(1)0)0x y x x y x y -+?--=?--=
x 02+y 02
=1， P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0，
故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.
再讨论函数z =u e -u
由
d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u
=得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z
u
>,
由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1
或x 2+y 2<1,均有
2222
()
1()e
e x y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -
1
(5)解方程组(2)0
(2)0x y
z y a x y z x a y x =--=??=--=??
得驻点为
12(0,0),,33a a P P ??
???
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z
的黑塞矩
阵
为
222222y
a x y H a x y x ---??=??---??
于
是
122033(),().023
3a
a a H P H P a a a ??
--
????
==????????-
-???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，
H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且
3
,2733a a a z ??= ???
,
H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且
3
,27
33a a a z ??= ???. 12. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。 解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得
197
484,281281z x z z y x z x y z x ?--?-==?+-?+- 令0,0,z z x y ??==??解得0,2
x y z ==-, 将它们代入原方程，解得16
2,7
x x =-=.
从而得驻点16(2,0),,07??
- ???
.
222
2
2
222(281)(48)4828(281)428,(281)
4(281)8.(281)
z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z
z x z y
y z x ??????+-++--+ ? ????????=
?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-
在点（-2，0）处，44
1,,0,,1515
Z
A B C ==
==B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在
点
16,07?? ???
处
，
82828,,0,,7105105
Z A B C =-=-==-B 2
-AC <0，
函数有极大值8
7
z =-.
13. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。
解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为
=
距离的平方和为
2221
(216)5
z x y x y =+++-
由2
2(216)0
5
4
2(216)0
5
z x x y x z y x y y
??=++-=??????=++-=???
得唯一驻点816,55?? ???,因实际问题存在最小值，故点816,55??
?
??
即为所求。
14. 求旋转抛物面z = x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。 解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平
方为2
(1)3
x y z d +--=
,即求其在条件z = x 2+y 2下的最值。
设F （x ,y ,z ）=
2
22(1)()3
x y z z x y λ+--+-- 解方程组22
2(1)203
2(1)203
2(1)
03x
y
z x y z F x x y z F y x y z F z x y λλλ+--?=-=??
+--?=-=???-+--=
+=??
?=+?
得1
2
x
y z ===
1
6==
15. 抛物面z = x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这
椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则
|OP |2
=x 2+y 2+z 2.
因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z =x 2+y 2， x +y +z =1
设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)
解方程组12121222220220
201
x y
z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??
=++=??=+??++=?
得
1,232
x y z -==
=
由题意知，距离
|OP |有最大值和最小值，且
()
2
2
222
2953
2
3x y z OP =
++=+=.
所以原点到椭
圆的最长距离是
，最短距离是
16. 在第I 卦限内作椭球面
222
2221x y z a b c
++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切
点坐标。
解：令222
222(,,)1x y z F x y z a b c
=++-
∵222222,,,x y z x y z F F F a b c ===
∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为
198
000
000222222()()()0.x y z x x y y z z a b c
-+-+-= 即 000222 1.x x y y z z
a b c ++=
切平面在三个坐标轴上的截距分别为222
000
,,a b c x y z ，因此切平
面与三个坐标面所围的四面体的体积为
222222
000000
166a b c a b c V x y z x y z =???=
即求222
6a b c V xyz
=
在约束条件
222
222
1x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。 设
222222(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??
Φ=+++- ???,
解方程组22
2222
22220,20,20,1.
x
y z x yz a
x xz b x xy c x y z a b c λλλ?
Φ=+=??
?Φ=+=???Φ=+=???++=?
得,,333x y z ===. 故切点为,,333 ???
，此时最小体积为 2223
.6333
a b c V abc a b c ==???
*17. 设空间有n 个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n =,试在
xOy 面上找一点，使此点与这n 个点的距离的平方和最小。 解：设所求点为P （x ,y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为
2222221112222222212122
2
2
22
2
22
2
1
21
21
2()()()()()()2()2()
()()()
n n n n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-++
++++
++++
+++++
解方程组121222()0
22()0x n y
n S nx x x x S ny y y y =-+++=??=-+++=??
得驻点121
2n n x x x x n y y y y n +++?=???+++?=??
又在点1111,n
n i i i i x y n n ==?? ???
∑∑处
S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值.
故在点1111,n
n i i i i x y n n ==?? ???
∑∑处，S 取得最小值.
即所求点为1111,,0n n i i i i x y n n ==??
???
∑∑.
*18.
已知过去几年产量和利润的数据如下：
产量x (3
10件)
40 47 55 70 90 100
利润y (3
10元)
32 34 43 54 72 85
厂的利润。
解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[]
6
2
1
()i i i u y ax b ==-+∑的
最小值，即求解方程组
666
2
111
66
1
1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得
2983440224003
4026320a b a b +=??
+=?
解得 a =0.884, b =-5.894
即 y =0.884x -5.894,
当x =120时，y =100.186(3
10元).
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
(完整版)同济大学___高数上册知识点
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
同济大学高等数学2
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷
本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=.
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点
．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?
2-5高等数学同济大学第六版本
2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
同济大学高等数学期末考试题
《高数》试卷7（上） 一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）. A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是（ ）. A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x （ ）. A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）. A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2（ ）. A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π
9、?=+1 01dx e e x x （ ）. A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题（每小题4分） 1、设函数x xe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ； 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ； 三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ； 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数； 3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分?++1 1x dx ； 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ； 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ； 四、应用题（每小题10分） 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|，则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ，是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续，则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共30分)
(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)
同济版 高等数学 课后习题解析
书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限， 得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去） ，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .