命题公式主范式的求法及应用
PINGDINGSH AN
UNIVERSITY
毕业论文(设计) 题目: 命题公式主范式的求法及应用
院(系):数学与信息科学学院
专业年级:数学与应用数学05级
姓名:马蓓蓓
学号:051030233
指导教师:屈聪硕士
2009月3日
PINGDINGSH AN
UNIVERSITY
Thesis (design) Subject: The Solution an d Ap plication o f
Prin cipa l Norm For m
co l l eg e:M a t h e ma t i c s a n d I n f o r ma t i o n S c i e n c e
Ma j o r a n d G ra d e:
M a t h e ma t i c s a n d A p p l i e d M a t h ema t i c s,G r a d e2005 Na me:M a B e i-b e i
No.:051030233
Ad v i s o r:M a s t e r Q u-C o n g
March3, 2009
中文摘要
本文介绍了命题公式主范式的基本定义及相关定理，并对其作出相应解释；在此基础上，探讨了命题公式主范式的两种求法--真值表和等值演算并举出相应的例子.最后，具体给出了主范式的七个方面的应用，并联系实际对这些应用加以阐述.
关键词：主范式，真值表，主析取范式，主合取范式
Abstract
T h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e b a s i c d e f i n i t i o n s a n d r e l a t e d t h e o r e m s o f t h e p r i n c i p a l n o r m f o r m,w h i c h a r e e x p l a i n e d i n s o m e a s p e c t.O n t h e b a s e o f t h e s e,i n o r d e r t o s o l o v e t h e p r i n c i p a l n o r m f o r m,w e d i s c u s s t w o m e t h o d s w h i c h i s t r u t h t a b l e a n d e q u i v a l e n t c a l c u l u s,a n d c o m p a n y w i t h e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e i t;f i n a l l y,t h e a p p l i c a t i o n o f t h e p r i n c i p a l n o r m f o r m i s g i v e n i n s e v e n a s p e c t s，w h i c h i s c o m b i n e d w i t h r e a l l i f e,a n d p o i n t o u t t h e a p p l i c a t i o n b y u n i o n a c t u a l e x a m p l e s.
K e y w o r d s:P r i n c i p a l n o r m f o r m,T r u t h t a b l e,P r i n c i p a l d i s j u n c t i v e n o r m f o r m,P r i n c i p a l c o n j u n c t i v e n o r m f o r m
目录
1．基础知识???????????????????????????????????????????????????????????????1 1.1相关基本概念??????????????????????????????????????????????????????1
1.2命题公式主范式重要的相关定理??????????????????????????????????4
2.命题公式主范式的求法???????????????????????????????????????????????5 2．1用真值表求出主析(合)取范式???????????????????????????????????5 2．2利用等值演算法求命题公式主析(合)取范式????????????????????7
3.命题公式主范式在数理逻辑中的重要作用???????????????????????????8 3.1利用主范式可以判断两个命题公式是否等????????????????????????8 3.2主范式提供了最理想的判别命题公式的类型的判别方法????????8 3.3利用主范式可以将一命题公式进行化简??????????????????????????9 3.4利用主范式可求公式的成真赋值与成假赋值?????????????????????9 3.5利用主范式可以写出一个命题公式的真值??????????????????????10 3．6利用主范式可以判断推理过程的准确性?????????????????????????10
3.7可以应用主范式分析和解决实际问题???????????????????????????11
4.附录??????????????????????????????????????????????????????????????????14
5.参考文献??????????????????????????????????????????????????????????????15
6.致谢??????????????????????????????????????????????????????????????????16
平顶山学院本科毕业论文（设计）
逻辑学是研究思维和论证的科学，也就是研究关于人类推理的学问.在20世纪的下半个世纪，伴随着计算机科学技术的迅猛发展，新的逻辑学分支——数理逻辑也发展起来.数理逻辑也称为符号逻辑，是一门运用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的边缘性学科.其内容相当广泛，包括逻辑演算(命题演算与谓词演算)、公理集合论、证明论、递归函数论等，其中逻辑演算是其它各部分的基础.它在逻辑电路、自动控制、人工智能、程序设计、数据库理论以及计算机科学的其它领域有着广泛的应用.
本文主要介绍了命题公式主范式的求法及其应用.首先，给出了主范式的基础定义及相关定理，并对其中定义给出解释，定理做出解释；接着，有前面的基础，探讨出主范式的两种求法——真值表和等值演算，举出例子来加强对这两种方法的理解；最后，总结主范式的应用，系统地给出它的应用的七个方面，列出实例来充分说明，这是本文的主要特色.
1.预备知识
1.1相关基本概念
定义 1.1.1 (1)单个命题变项和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式.
(2)若A 是合式公式，则()A ?也是合式公式.
(3)若A ，B 是合式公式，则()A B ∧,()A B ∨,()A B →,()A B ?也是合式公式.
(4)有限次地应用(1)~(3)形成的符号串是合式公式.
合式公式也称为命题公式或命题形式，简称公式.
设A 为合式公式，B 为A 中的一部分，若B 为合式公式，则称B 为A 的子公式.
为了便于理解，我们对定义 1.1.1作以下说明：
(1)定义引进A 、B 等符号，用它们表示任意的合式，作为元语言符号，而具体的公式，如,,()p p q p q r ∧∧→的作为对象语言符号.
(2)为方便()A ?，()A B ∧等公式单独出现时，外层符号可以省去，写成A ?，A B ∧等.
另外，公式中不影响运算次序的括号也可以省去，如()()p q r ∧→?，可以写成p q r ∧→?.
定义 1.1.2 设12,p p …n p 是出现在公式A 中的全部命题变项，给
命题公式主范式的求法及应用
12,,n p p p ???各指定一个真值，称为对A 的赋值或解释.若指定的一组值使A 为1，则称这组值为A 的成真赋值，若指定的一组值使A 为0，则称这组值为A 的成假赋值.将命题公式在所有赋值下取值情况列成表，称为A 的真值表.
在本文中，对含n 命题变项的公式A 的赋值采用下述方式：
(1)若A 中出现的命题变项为12,,n p p p ???，A 的赋值12αα…n α是指1122,,n n p a p a p a ==???= .
(2)若A 中出现的命题变项(按字母顺序)为,,,p q r …，A 的赋值12n a αα???是指1,,n p a q a ==???，最后的字母赋值n α.其中i α为0或1,1,2i n =???.不难看出，含n (1)n ≥个命题变项的公式共有2n 个不同的赋值.例如，在()p q r ∧?→中，011(0,1,p q r ===为成真赋值，100(1,0,0)p q r ===为成假赋值.
根据公式在各种赋值下的取值情况，可按下述定义将命题公式进行分类.
定义 1.1.3 设A 为任一命题公式，
(1)若A 在它的各种赋值下取值均为真，则称A 是重言式或永真式.
(2)若A 在它的各种赋值下取值均为假，则称A 是矛盾式或永假式.
(3)若A 不是矛盾式，则称A 为可满足式.
从上面的定义我们可以看出：
(1)A 为可满足式，则它的等价定义为：A 至少存在一个成真赋值.
(2)重言式一定是可满足式，但反之不真.若A 为可满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A 是非重言式的可满足式.
定义 1.1.4 设A 、B 是两个命题公式，若A 、B 构成的等价式A B ?为重言式，则称A 与B 是等值的，记作A B ?.
注: 定义中的符号?不是连接符，它用来说明A 与B 是等值的一种记法.因而?是元语言符号，?与?不能混为一谈，同时还要注意它与一般的=的区别.
定义 1.1.5 有已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称为等值演算.(适用于命题逻辑部分的等值式见附录)它是布尔代数和逻辑代数的重要主成部分.在本文中的命题公式等值演算中使用了置换规则，即：设()A Φ是含公式A 的命题公式，()B Φ是用公式B 置换()A Φ中A 的所有出现后得到的命题公式.若B A ?,则()()B A Φ?Φ.这是显然的，因为如果B A ?，那么在任意的真值赋值下B 和A 的真值相同，把它们带入()Φ?得到的结果也相同，从而()()A B Φ?Φ.
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定义 1.1.6 命题变项及其否定统称作文字，仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式；仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式.例如，给定命题变项p ，q ，p ?，q ?，p q ∨，及p q ∨?是简单析取式p ，q ，p ?，q ?， p q ∧及p q ∧?是简单合取式.
定义 1.1.7 由有有限个简单合取式构成的析取式称作析取范式；由有有限个简单析取式构成的合取式称作合取范式.析取范式和合取范式统称为范式.析取范式的一般形式为12A A ∨∨…n A ∨，其中
i A (i =1，2，…s )为简单合取式；合取范式的一般形式为12B B ∧…n B ∧，其中i B (i =1，2，…t )为简单析取式. 从上面的定义可以知道
(p q ∧?)∨(p r ?∧?)∨p 为析取范式，(p q ∨)∧(p q r ∨∨?)∧(p s r ?∨∨?)为合取范式.
一般的，命题公式的析取范式是不唯一的，同样，合取范式也是不唯一的.为了使命题公式的范式唯一，进一步将简单析取式和简单合取式规范化，如下：
定义 1.1.8 在含有n 个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项和它的否定式按下标由小到大或按字典顺序排列，称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).由于每个命题变项在极小项中以原形或它的否定式出现且仅出现一次，因而n 个命题变项共可能产生2n 个不同的极小项.每个极小项有且仅有一个成真赋值.若极小项的成真赋值所对应的二进制等于十进制数i ，就将这个极小项记作i m .类似的n 个命题变项共可能产生2n 个不同的极大项.每个极大项有且仅有一个成假赋值，将其对应的十进制数i 叫做极大项的角标，记作i M .
注: 用二进制表示的方法具体为：用k m 表示极小项，其下标k 是二进制数.当极小项出现第i 个变元时，二进制下标k 左起第i 位为1；当极小项出现第i 个变元否定时，二进制下标k 左起第i 位为0；用十进制表示的方法具体为：将极小项k m 的下标k 改为相应的十进制数.例如
p q ∧,二进制表示为11m ，十进制为3m .同样，用k M 表示极大项，其下标
k 是二进制数.当极大项出现第i 个变元时，二进制下标k 左起第i 位为0；当极小项出现第i 个变元否定时，二进制下标k 左起第i 位为1；例如p q ∨,二进制表示为00M ，十进制为0M .在本文中使用十进制，如
p q r ?∨∨用4M 表示.
定义 1.1.9 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)
命题公式主范式的求法及应用
的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).
注: 主析取范式可能为空，空的主析取范式规定为0；主合取范式可能为空，空的主合取范式规定为 1.主析范式恰由使公式成真所对的极小项组成；主合取范式恰由使公式成假所对的极大项组成.
1.2命题公式主范式重要的相关定理
定理 1.2.1 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式；一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式.
证明 我们可以从下面的解释得到这个定理：
设i A 是含有n 个文字的简单析取式，若i A 中既含有命题变项j p ，又
含有它的否定j p ?，有交换律、排中律和零率可知，i A 为重言式.反之，
若i A 为重言式，则它同时含有某个命题变项及它的否定式.否则，若i A 中不带否定符号的命题变项都取0值，带否定符号的命题变项都取1值，此赋值为i A 的成假赋值，这与i A 为重言式相矛盾.类似的，设i A 是含有n 个文字的简单合取式，若i A 中既含有命题变项j p ，又含有它的
否定j p ?，则i A 为矛盾式.反之，若i A 为矛盾式，则i A 中必同时含有某
个命题变项及它的否定式.
定理 1.2.2 (1)一个析取式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式；
(2)一个合取式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式.
到现在为止，我们研究的命题公式中含有5个联结词{,,,∨?→?}，如何把这样的命题公式化成等值的析取范式和合取范式？
定理(范式存在定理)1.2.3 任意命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式.
证明 首先，可以利用蕴涵等值式与等价等值式
()()A B A B
A B A B A B →??∨?????∨∧∨?? ①消去任何公式中的联结词→和?.
其次，在范式中不出现如下形式：
,(),()A A B A B ???∧?∨ ②对其利用双重否定律和德摩根律，可得
()()A A
A B A B A B A B ??????∧??∨????∨??∧??
③
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再次，在析范式中不出现如下形式：
()A B C ∧∨
在合范式中不出现如下形式：
()A B C ∨∧
利用分配律，可得
()()()()()()A B C A B A C A B C A B A C ∧∨?∧∨∧??∨∧?∨∧∨?
④有上述3步，可将任一公式化成与之等值的析取范式和合取范式.
定理 1.2.4 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的.
证明 这里只证主析取范式的存在性和惟一性.
首先证明存在性.设A 是任一含n 个命题变项的公式.由定理
1.2.3可知,存在与A 等值的析取范式'A ,即'A A ?.若'A 的某个简单合取式i A 中既不含命题变项j p ,也不含它的否定式j p ?,则将i A 展成如下
等值的形式:
()()()i j j i j i j A p p A p A p ∧∨??∧∨∧?
继续这个过程,直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.
若在演算过程中出现重复出现的命题变项以及极小项和矛盾式时,都应“消去”：如用p 代替p p ∧，i m 代替i i m m ∧，0代替矛盾式等.
最后就将A 化成与之等值的主析取范式''A .
下面再证明惟一性.假设命题公式A 等值于两个不同的主析取范式B 和C ，那么必有B C ?.由于B 和C 是不同的主析取范式，不妨设极小项i m 只出现在B 中而不出现在C 中.于是，角标i 的二进制表示为B 的成真赋值，现时为C 的成假赋值，这与B C ?矛盾.
主合取范式的存在惟一性可类似证明.
2．命题公式主范式的求法
在命题逻辑中，对已知命题公式，求它的主析(合)取范式，有前面介绍的主范式的概念和性质，可以得到主范式的两种求法：一是根据定义 1.1.2可以利用真值表，根据主析(合)取范式的性质，求出主析(合)取范式：二是利用等价关系，进行等值演算求出主析(合)取范式.
2．1用真值表求出主析(合)取范式
引理 2.1.1 如果命题公式A 的真值表中有成真赋值，则所有成
命题公式主范式的求法及应用
真赋值对应的极小项的析取式就是命题公式A 的主析取范式；如果命题公式A 的真值表中没有成真赋值，则它的主析取范式为0.
如果命题公式A 的真值表中有成假赋值，则所有成假赋值对应的极大项的合取式就是命题公式A 的主合取范式；如果命题公式A 的真值表中没有成假赋值，则它的主合取范式为 1.
有定义 1.1.2可以看出构造真值表的步骤具体如下：
(1)找出公式中所含的全体命题变项12,p p …n p (若无下标就按字母顺
序排列)列出2n 个赋值，赋值从000???开始，然后按二进制加法依次写出每个赋值，直到111???为止，
(2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次，
(3)对应各个赋值计算出各个层次的真值，直到计算出公式的真值.
如果两个公式A 与B 的真值表对所有赋值最后一列都相同，及最后结果都相同，则称这两个真值表相同，而不考虑构造真值表的中间过程.
例 2.1.1 写出公式()p q q r ?→∧∧的真值表，求出它们成真赋值和成假赋值，及主范式.
解 此公式是含三个命题变项的4层合式公式，它的真值表如1所示.不难看出，该公式的8个赋值全是成假赋值，无成真赋值.
由引理 2.1.1可知：主析取范式为0，主合取范式为12345678M M M M M M M M ∧∧∧∧∧∧∧，
表1 ()p q q r ?→∧∧的真值表
例2．1.2 利用真值表求公式()(())A B C A B C →∧∧???∧?的主析(合)取范式.
解 表2 ()(())A B C A B C →∧∧???∧?
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由引理 2.1.1可知：主析取范式为07m m ∨，主合取范式为
1234568M M M M M M M ∧∧∧∧∧∧.
2．2 利用等值演算法求命题公式主析(合)取范式
虽然用真值表可以判断任何两个命题公式是否等值，但当命题变项较多时，工作量是很大的，利用等价关系，对命题公式等值演算求出主析(合)取范式则显得尤为方便.由定理 1.2.4证明过程可以得到求主析(合)取范式的步骤：
(1)将原命题公式化为析(合)取范式，
(2)除去析(合)取范式中所有永假(真)的析(合)取范式，
(3)将析(合)取式中重复出现的合(析)取项和相同的变元合并，
(4)对合(析)取项补入没有出现的命题变元，再按分配率进行演算，
(5)将极小项按字典顺序排列.
例 2.2.1 利用等值演算求例2中公式()(())A B C A B C →∧∧???∧?的主析(合)取范式.
解 (1)主析取范式
设S ?()(())A B C A B C →∧∧???∧?
(())(())(())A B C A B C B C A ??∨∧∧?→?∧?∧?∧?→?
())(())(())A B C A B C B C A ??∨∧∧∨?∧?∧∨∨?
(()())()A B C A B C A B C ??∧?∧?∨∧∧∧?∨∨
(()())(()())A B C A B C A B C A B C ??∧?∧?∧?∨∨∨∧∧∧?∨∨
()()A B C A B C ??∧?∧?∨∧∧
07m m ?∨
(2)主合取范式
S ?()(())A B C A B C →∧∧???∧?
命题公式主范式的求法及应用
(())(())(())A B C A B C B C A ??∨∧∧∨?∧?∧∨∨?
(())(())(())A B C A B C B C A ??∨∧∧∨?∧?∧∨∨?
()()()()()A B A C A B A C A B C ??∨∧?∨∧∨?∧∨?∧∨?∨
()()
()()()()()()()A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ??∨∨∧?∨∨?∧?∨∨∧?∨?∨∧∨?∨∧∨?∨?∧∨∨?∧∨?∨?∧?∨∨
1234568M M M M M M M ?∧∧∧∧∧∧
3.命题公式主范式在数理逻辑中的重要作用
任一含有n 个命题变项的公式，都存在唯一的一个与之等值的恰仅含n 个命题变项的主范式即主析取范式和主合取范式.由于命题公式主析取范式和主合取范式与该公式的真值表有直接的联系，所以主析(合)取范式的作用和真值表一样，但也有不同之处，以下从几个方面分别介绍其作用：
3.1利用主范式可以判断两个命题公式是否等价
由于任何命题公式的主范式都是唯一的，因而若A B ?,说明A 与B 有相同类型的主范式；反之，若A 与B 有相同类型的主范式，必有A B ?.
例 3.1.1 用主范式证明等价式()()p q r p q r →→?∧→.
证明 ()()
p q r p q r →→?→?∨ ()p q r ?→?∨
p q r ??∨?∨
()()p q r p q r
∧→??∧∨ p q r ??∨?∨
3.2主范式提供了最理想的判别命题公式类型的判别方法
真值表法和等值演算法都能解决命题公式的判别问题，但当命题变项的数目很多时，上述两种方法显得不方便，而主范式提供了最理想的判别法.
设公式A 中含n 个命题变项，容易看出n ：
(1)A 为重言式当且仅当A 的主析取范式包含了个2n 个极小项或其主范式中不含任何极大项.
(2)A 为矛盾式当且仅当A 的主析取范式不含任何极小式或其主合取范式中含2n 个极大项.
(3)A 为可满足式当且仅当A 的主析取范式中至少含有一个极小式.
例 3.2.1 用公式的主析取范式判断下述公式的类型：
(1)()p q p q →∧→ (2) ()p p q ν→
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解 (1) ()()p q p q p q p q
→∧→??∨∧→ (())p q p q ???∨∧∨
(())p q p q ?∧?∨?∨
(()())p p q p q ?∨?∧?∨?∨
(1())q p q ?∧?∨?∨
1p ??∨
1?
则说明该公式(1)是重言式.
(2) ()()p p q p p q ννν→??
()()()()()()p q q p q q p p q ννννν??∧?∧??∧
()()()()()()p q p q p q p q p q p q νννννν????Λ∧?∧?∧∧
()()()()p q p q p q p q ννν??∧??Λ∧?∧
0123m m m m ννν?
由于主析取范式含两个命题变项的全部224=个极小项， 故该公式为重言式.
3.3利用主范式可以将一命题公式进行化简
通过先求出一命题公式的主析取范式，然后根据分配律
()()()A B A B A B B ∧∨∧??∧∨?A ?可知，可用A 置换()()A B A B
∧∨∧?. 例 3.3.1 将命题公式()p p q ∨?∧进行化简.
解 先求出该公式的主析取范式：
()p p q ∨?∧(())()()()()p q q p q p q p q p q ?∧∨?∨?∧?∧∨∧?∨?∧
由A A A ∨?，可以在上列公式中引入另一()p q ∧，得
()()()()p q p q p q p q ∧∨∧?∨∧∨?∧
由上述置换规则得，()p p q ∨?∧p q ?∨
3.4利用主范式可求公式的成真赋值与成假赋值
由于极小项与成真赋值对应，极大项与成假赋值对应，故可以根据命题公式的主范式，求成真赋值和成假赋值.
若公式A 中含n 个命题变项，A 的主析取范式含(02)n s s ≤≤个
极小项，则A 有s 个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余2n s -个赋值都是成假赋值.
例 3.4.1 求命题公式()p q r →?的赋值情况.
解 通过计算可知1347()p q r m m m m →??∨∨∨
命题公式主范式的求法及应用
这里3个命题变项，将主析取范式中各极小项的角标1，3，4，7写成长为3的二进制长.它们分别为001，011，100，111，这个赋值即为该公式的成真赋值.而在析取范式中示出现的极小项0256,,,m m m m 的角标的二进制表示000，010，101，110，为该公式的成假赋值.
3.5利用主范式可以写出一个命题公式的真值表
事实上，A B ?当且仅当A 与B 有相同的真值表，又当且仅当A 与B 有相同的主析取范式(主合取范式).因而，真值表与主析取范式(主合取范式)是描述命题公式的两种等价的不同标准形式，两都可以相互确定，由A 的主析取范式(主合取范式)可以立刻确定A 的真值表，有
3.4确定公式的成真赋值与成假赋值很容易写出公式的真值表.
例 3.5 试由公式A p q r =∧∨的主析取范式，并写出它的真值表. 解 通过计算得13567A m m m m m ?∨∨∨∨
3．6利用主范式可以判断推理过程的准确性
推理是从前提出出发推出结论的思维过程，而前提是已知的命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式.命题公式12,,k A A …,A 推及的推理正确当且仅当12k A A B ∧∧∧→…A 为重言式.
例 3.6.1 判断下面推理是否正确：
(1)若a 能被4整除，则a 能被2整除. a 能被4整除，所以a 能被2整除.
(2)如果我上街，我一定去打新华书店，我没有上街，所以我没有去打新华书店.
解 解上述类型的推理过程，首先应将简单命题符号化，然后分别写出前提、结论.推理的形式结构，接着进行判断.
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(1)设p : a 能被4整除，q : a 能被2整除
前提：,p q p → 结论：q
推理形式结构：()p q p q →∧→
推理是否正确就是判断该公式是否为重言式，有例 3.2.1(1)
可知，
此推理正确，即()p q p q →∧→
(2)设p :我上街，q :我去新华书店
前提：,p q p → 结论：q ?
推理的形式结构：()p q p q →∧?→?
命
题公式()p q p q →∧?→?的主析取范式为：023()p q p q m m m →∧?→??∨∨，有上知该公式不是重言式，故推理不正
确. 3.7可以应用主范式分析和解决实际问题
在实际生活中我们随时都会应用主范式分析和解决问题，如在学校中的课程安排问题：某班下学期有A 、B 、C 、D 、E 五门课，每门课程都按大课(1次大课含2节小课)排课.课程A 每周3次大课，课程B 、C 、D 、E 每周各2节大课，每天教学时段分为4次大课，任一门课程一天只能安排1次大课.每天上课不能少于2次大课，也不多于3次大课.
特定要求是：(1)A 、B 是主干课，不能安排在同一天上；
(2)C 是B 的实验课，如果有课程B ，当天便有课程C ；
(3)D 、E 是同一任课教师，该教师要求这两门不排在同一天；
试给出合理的排课方案.
[分析] 为使问题简化，不考虑周一至周五具体如何排课，只考虑每天可以排哪些课.首先将有关命题符号化，再根据给出的3点要求写出逻辑表达式，并求出其主析取范式，然后再根据“任一门课程一天只能安排1次大课，每天上课不能少于2次大课，也不多于3次大课”的规定，找出符合规定的小项，就得到每天可以以排课的方式，然后现根据各门课程的周课时长设计出排课的方案.
解 设A 、B 、C 、D 、E 分别表示相应的课程可以排课，则A ?、B ?、C ?、D ?、E ?分别表示相应的课程不可以排课，则3点要求可以符号化为:
(1)A 、B 是主干课，不能安排在同一天上：()A B ?∧,
命题公式主范式的求法及应用
(2)C 是B 的实验课，如果有课程B ，当天便有课程C ：()()B C B C ?→?∧→,
(3)D 、E 是同一任课教师，该教师要求这两门不排在同一天：()D E ?∧,
这样，每天可以排课的逻辑表达式为：
()A B ?∧∧()(B C B C ?→?∧→∧()D E ?∧
求出其主析取范式：
()A B ?∧∧()()B C B C ?→?∧→∧()D E ?∧
?)()()()A B B C B C D E ?∨?∧?∨∧∨?∧?∨?（
?…
?()()A B C D E A B C D E ?∧?∧?∧?∧?∨?∧?∧?∧?∧
()()A B C D E A B C D E ∨?∧?∧?∧∧?∨?∧∧∧?∧?
∨()()A B C D E A B C D E ?∧?∧∧?∧∨?∧∧∧∧?
()()A B C D E A B C D E ∨∧?∧?∧?∧?∨∧?∧?∧?∧
()A B C D E ∨∧?∧?∧∧?
其中满足要求的小项有下面5个：
A B C D E
?∧∧∧?∧?，A B C D E ?∧∧∧?∧，A B C D E ?∧∧∧∧?， A B C D E
∧?∧?∧?∧，A B C D E ∧?∧?∧∧?. 因此，每天可以排课的方式一共有5种：(1)B 、C ；(2)B 、C 、E ；
(3)B 、C 、D ；(4)A 、E ；(5)A 、D .
按上面给出的方式在周一至周五的5天内排课有很多种方案. 如果再考虑各门课程的周课时数要求，可行的方案就要少很多.
如果条件允许，还可满足一些其他合理要求.例如，同一门课程尽安 排隔天上课，下面是满足条件的一种排课方案：
星期一：A 、E
星期二：B 、C
星期三：A 、D
星期四：B 、C 、E
星期五：A 、D
显然，此例是个很简单的实际问题.可是，就这么个简单问题却需要我们做大量的工作，但若应用命题公式主范式，则显得轻而易举.
命题公式主范式作为数理逻辑的重要概念，在理论和应用中显得尤为重要.本文实在前人研究的基础上对命题公式主范式的求法及应用做出系统的整理，总结出主范式的两种求法和七个方面的应用.文中对这些方法和应用以结论形式做了论述，力图增加读者对命题公式
平顶山学院本科毕业论文（设计）主范式的了解.
命题公式主范式的求法及应用
附录
(1)双重否定律：A A
???；
(2)幂等律：,
?∨?∧；
A A A A A A
(3)交换律：,
∨?∨∧?∧；
A B B A A B B A
(4)结合律：()(),()()
∨∨?∨∨∧∧?∧∧；
A B C A B C A B C A B C
(5)分配律；()()()
∨∧?∨∧∨，
A B C A B A C
∧∨?∧∨∧；
A B C A B A C
()()()
(6)德·摩根律：(),()
?∨??∧??∧??∨?；
A B A B A B A B
(7)吸收律：(),()
∨∧?∧∨?；
A A
B A A A B A
(8)零律：11,00
∨?∧?；
A A
(9)同一律：0,1
∨?∧?；
A A A A
(10)排中律：1
∨??；
A A
(11)矛盾律：0
∧??；
A A
(12)蕴含律：A B A B
→??∨；
(13)双条件转换律：()()
??→∧→；
A B A B B A
(14)假言易位：A B B A
→??→?；
(15)双条件否定律：A B A B
?????；
(16)归谬律：()()
→∧→???.
A B A B A
平顶山学院本科毕业论文（设计）
参考文献
［1］屈婉玲等编著．离散数学［M］.高等教育出版社.2008.
［2］周忠荣．离散数学及应用［M］.清华大学出版社.2007．
［3］耿素云等编著.离散数学［M］.高等教育出版社.1998.
［4］姜泽渠.离散数学[M].重庆大学出版社.1997.
［5］张忠志.离散数学[M].高等教育出版社.1997.
［6］张建著.逻辑公式的可满足性判定[M].科学出版社.2000.
［7］乔维声.离散数学[M].西安电子科技大学出版社.1997.
［8］邓安生等.离散数学[M].高等教育出版社.2001.
［9］王凡彬.关于主范式的定义.内江师范学院报[J].2004.
［10］张型岱等.主范式的运算性质[J].数学的时间与认识.2004.
［11］储昭辉.主范式在数理逻辑中的重要概念[J].滁州学院报.2006.
［12］郁国瑞.主析取范式求法解析[J].河北能源职业技术学院报.2004.
离散数学自学笔记命题公式及其真值表
离散数学自学笔记命题公式及其真值表 我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。 命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。 定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义： （1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。 （3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。 命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。 例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。 为使公式的表示更为简练，我们作如下约定： （1）公式最外层括号一律可省略。 （2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。 （3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。湖南省自考网：https://www.360docs.net/doc/924685773.html,/整理 例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s））） 设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。
数学教案：运用公式法――完全平方公式
数学教案：运用公式法――完全平方公 式 1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力. 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，运用公式法。 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式. 教学过程设计 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
逻辑判断推理中常用的逻辑公式
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP
SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】不相容选言命题公式：要么p要么q “要么…要么…、不是…就是…、或者…或者…二者必居其一、或者…或者…二者不可兼得” 【一个不相容的选言命题是真的，有且只有一个选言支是真的。当选言支全真或全假时，此命题为假】 假言命题：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题公式：如果p，那么q“如果…就…、有…就有…、倘若…就…、哪里有…哪里有…、一旦…就…、假若…、只要…就…” 【有前件必然有后件。如果有前件却没有后件，这个充分条件假言命题就是假的。因此，对于一个充分条件的假言命题来说，只有当其前件真而后件假时，命题才假。】 必要条件假言命题公式：只有p，才q “没有…就没有…、不…不…、除非…不…、除非…才…” 【没有前件必然没有后件。如果没有前件也有后件，这个必要假言命题为假。对于一个必要条件的假言命题来说，只有当其前件假而后件真时，命题才假。】 充要条件假言命题公式：当且仅当p，才q 【有前件必然有后件，没有前件必然没有后件。充要条件假言命题在前件与后件等值即前件真并且后件真，或者前件假并且后件假时，命题为真，在前件与后件不等值即前真后假，或前假后真时，命题为假】 充分条件与必要条件之间可以相互转化：
2 离散数学-命题公式,真值表
2 命题公式,真值表 (1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支. 数学------??? 符号运算 推理---思维过程:前提 结论 命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化. 例1 (a) 4是偶数. 张林学习优秀. 太阳系以外的星球上有生物. (b) 这朵花真美丽! 现在开会吗? (c) 3 5.x +> 我正在说慌. 特征分析(a) 陈述句,非真即假. (b) 感叹句,疑问句. (c) 悖论. 定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值. 成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0. 例2 (1) 2008年奥运会在北京举行. (2) 22 5.?= (3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦. 用符号表是上述命题,并求真值. 解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T (2) :Q 22 5.?= .F (3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F (2) 3, 35,+ 3(4 1).+- 例3 (1) 今天没有数学考试. (2) 下午,我写信或做练习. (3) 王芳不但用功,而且成绩优秀. (4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.
(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边. 特征分析(a)存在自然语言中的虚词. (b)语句可以分解,细化. 定义2 称下列符号为逻辑联结词 否定 ? 非 P ? 析取 ∨ 或者 P Q ∨ 合取 ∧ 且 P Q ∧ 蕴涵 → 若----,则----- P Q → 等价 ? 当且仅当 P Q ? 逻辑联结词真值的规定 例4 将下列命题符号化. (1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧? (2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨ (3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ? 注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.?∧∨→? 2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧ 只有----,才----; 除非----,才-----; → 3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥) 小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨?∧?∨?∧ 4 ,P Q -----------------------简单命题
离散数学自学笔记命题公式及其真值表
我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。 命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。 定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义： （1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。 （3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。 命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。 例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。 为使公式的表示更为简练，我们作如下约定： （1）公式最外层括号一律可省略。 （2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。 （3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。 例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s））） 设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。 如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p，┐p ，q ，（r∧q∨s）及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q，┐p→q，虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A 的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。 如果公式A含有命题变元p1，p2，…，pn，记为A（p1，…，pn），并把联结词看作真值运算符，那么公式A可以看作是p1，…，pn的真值函数。对任意给定的p1，…，pn 的一种取值状况，称为指派（assignments），用希腊字母a，b等表示，A均有一个确定的真值。当A对取值状况a 为真时，称指派a弄真A，或a是A的成真赋值，记为a （A）= 1；反之称指派a弄假A，或a是A的成假赋值，记为a （A）= 0.对一切可能的指派，
2.3 运用公式法(含答案)-
2.3 运用公式法 一、选择题 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（） A．－a4－b4B、－4a2+b2C、1、21－b2D、9a2－16b2 2．下列各式中，能用公式法分解因式的是（） A．a2+2ab－b2B、－a2+2ab+b2; C．a2+ab+b2D、1 4 a2－ab+b2 3．把169（a－b）2－196(a+b)2分解因式得（） A．－784ab B、－(a+b)(27a+b); C、108ab D、－(27a+b)(a+27b) 4、下列分解因式： ①－a2－b2=(－a+b)(－a－b); ②a4b2－16=(a2b+4)(a2b－4); ③a2－16b2=(a+16b)(a－16b); ④(a－b)2－c2=a2－2ab+b2－c2; ⑤1 9 a2－ 2 3 a+1=( 1 3 a－1)2. 其中正确的有（） A．1个B、2个C、3个C、4个 5、如果25m2+k+81n2是一个完全平方式,那么k的值为( ) A、45mn B、90mn C、±45mn D、±90mn 6、下列多项式中,分解因式的结果是－(x+6)×(x－6)的值为( ) A、x2－36 B、－x2－36 C、－x2+36 D、x2+36 二、填空题： 1.多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式 可以是____________。（填上一个你认为正确的即可） 2.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4=_________; 3、 1 16 a4b2－81c2=( )2－( )2=_____________; 4、分解因式:x3－x=_____________; 5、两个连续奇数的平方差是___________的倍数、 6、请写出一个三项式 ．．．,使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解：你编写的三项式是__________,分解因式的结果是__________________________. 三、计算题： 1.分解因式: (1)(2x－1)2－(x+2)2(2)4m2－12mn+9n2; (3)m3+2m2n+mn2(4)－a2c2－c4+2ac3
主范式的求法及应用
分类号O158 单位代码 11395 密级学号 1204210135 学生毕业论文 题目主范式的求法及应用 作者王定超 院 (系) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 指导教师祁兰 答辩日期 2016年5月21日
榆林学院 毕业论文诚信责任书 本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明. 本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 论文作者签名: 年月日
摘要 主范式即主合取范式与主析取范式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主范式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由范式的不唯一性引出主范式的唯一性，得到求主范式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主范式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题. 关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法
ABSTRACT The method and application of p rincipal normal form ABSTRACT Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development. The method and the application is of great value. In this paper, we make corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness of principal normal form by the introduction of related theorem of principal normal form and definition. We get the methods of principal normal form: truth table method, true value assignment method, and equivalent calculating method, and then give the applications of principal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming true or false, and solve practical problems. Keywords:principal normal form; truth table; true value assignment method; equivalent calculating method
求给定命题公式真值表并根据真值表求公式主范式
“离散数学”实验报告（求给定命题公式地真值表并根据真值表求公式地主范式） 专业网络工程 班级 1202班 学号 12407442 姓名张敏慧 2013.12.14
目录 一.实验目地 3 二.实验内容 (3) 求任意一个命题公式地真值表 (3) 三.实验环境 3 四. 实验原理和实现过程（算法描述）3 1.实验原理 (3) 2.实验流程图 (5) 五.实验代码 6 六. 实验结果14 七. 实验总结19
一.实验目地 本实验课程是网络工程专业学生地一门专业基础课程,通过实验,帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用地离散数学中地概念.性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告.总结实验结果地能力；使学生具备程序设计地思想,能够独立完成简单地算法设计和分析. 熟悉掌握命题逻辑中地真值表.主范式等,进一步能用它们来解 决实际问题. 二.实验内容 求任意一个命题公式地真值表,并根据真值表求主范式 详细说明： 求任意一个命题公式地真值表 本实验要求大家利用C/C＋＋语言,实现任意输入公式地真值表计算.一般我们将公式中地命题变元放在真值表地左边,将公式地结果放在真值表地右边.命题变元可用数值变量表示,合适公式地表示及求真值表转化为逻辑运算结果；可用一维数表示合式公式中所出现地n个命题变元,同时它也是一个二进制加法器地模拟器,每当在这个模拟器中产生一个二进制数时,就相当于给各个命题变元产生了一组真值指派.算法逻辑如下： （1）将二进制加法模拟器赋初值0 （2）计算模拟器中所对应地一组真值指派下合式公式地真值. （3）输出真值表中对应于模拟器所给出地一组真值指派及这组真值指派所对应地一行真值. （4）产生下一个二进制数值,若该数值等于2n-1,则结束,否则转（2）. 三.实验环境；
任意命题公式的真值表
实验报告 实验名称：任意命题公式的真值表 实验目的与要求：通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算，包括联结词、真值表、运算的优先级等，提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力，培养学生的逻辑思维能力和算法设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析，进一步用它们来解决实际问题，帮助学生学习掌握C/C++语言程序设计的基本方法和各种调试手段，使学生具备程序设计的能力。 实验内容提要：求任意一个命题公式的真值表 实验步骤：（一）、关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算 首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。 目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。 以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元：1．非，用“/”表示 2．合取（与），用“*”表示
3．析取（或），用“+”表示 4.蕴含，用“>”表示 5.等值，用“:”表示 （二）、命题公式真值的计算 对于人来说，计算数学表达式时习惯于中缀表达式，例如a*b+c，a*（b+c）等等，而对于计算机来说，计算a*b+c还好，计算a*（b+c）则困难，因为括号的作用改变了运算的顺序，让计算机识别括号而改变计算顺序显得麻烦。经理论和实践研究，用一种称之为后缀表达式（逆波兰式）的公式形式能让计算机更容易计算表达式的真值。例如上面的a*（b+c），其后缀表达式为abc+*，计算时从左边开始寻找运算符，然后按照运算符的运算规则将与其相邻的前面的一个（非运算时为一个）或两个（其它四种运算为两个）操作数运算，运算结果取代原来的运算符和操作数的位置，然后重新从左边开始寻找运算符，开始下一次计算，比如上式，从左边开始寻找运算符，先找到+，则计算b+c，结果用d表示，这时后缀表达式变为ad*，又重新开始从左边开始寻找运算符，找到*，则计算a*d，
利用真值表法求取主析取范式以及主合取范式的实现
#include
逻辑命题公式计算
题号：第一题 题目：电梯模拟 1，需求分析： 计算命题演算公式的真值 所谓命题演算公式是指由逻辑变量(其值为TRUE或FALSE )和逻辑运算符人(AND )、 V( OR)和「( NOT )按一定规则所组成的公式(蕴含之类的运算可以用A、V和「来表示)。公式运算的先后顺序为「、人、V,而括号()可以改变优先次序。已知一个命题演算公式及各变量的值，要求设计一个程序来计算公式的真值。 要求： ( 1)利用二叉树来计算公式的真值。首先利用堆栈将中缀形式的公式变为后缀形式；然后根据后缀形式, 从 叶结点开始构造相应的二叉树；最后按后序遍历该树, 求各子树之值, 即每到达一个结点, 其子树之值已经计算出来, 当到达根结点时, 求得的值就是公式之真值。 ( 2)逻辑变元的标识符不限于单字母,而可以是任意长的字母数字串。 ( 3)根据用户的要求显示表达式的真值表。 2,设计： 2.1 设计思想： <1> ,数据结构设计： (1) 线性堆栈1 的数据结构定义 typedef struct { DataType stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } SeqStack; 用线性堆栈主要是用来存储输入的字符, 它的作用就是将中缀表达式变成后缀表达式。 (2) 线性堆栈2 的数据结构定义 typedef struct { BiTreeNode *stack [MaxStackSize]; int top; /* 当前栈的表长*/ } TreeStack; 这个堆栈和上面的堆栈的唯一不同就是它们存储的数据的类型不同, 此堆栈存储的是树节点,它的作用是将后缀表达式构成一棵二叉树。 （3）树节点数据结构定义typedef struct Node { DataType data; struct Node *leftChild; struct Node *rightChild; }BiTreeNode; <2>算法设计详细思路如下：首先实现将中缀表达式变成后缀表达式：在将中缀表达式变成后缀表达式的
运用公式法
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
利用真值表法求取主析取范式以及主合取范式的实现
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "string.h" #include "math.h" #define N 50 void pd(int b[N],int f); int H1 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int H2 (char T1[N], char T2[N], int T3[N], int y); int main() { int i1,i2,d=1,T3[N],kh=0,jg,j=0,y; int w=0,hequ[N],h=0,x=0,xiqu[N]; char T1[N],T2[N],T10[N],s; hequ[0]=-1; xiqu[0]=-1; printf("#########################################\n"); printf("## 用!表示否定 ##\n"); printf("## 用&表示合取 ##\n"); printf("## 用|表示析取 ##\n"); printf("## 用^表示条件 ##\n"); printf("## 用~表示双条件 ##\n"); printf("#########################################\n\n"); printf("请输入一个合法的命题公式:\n"); gets(T1);
strcpy(T10,T1); for(i1=0;i1 3 计算机自动求解命题公式的主范式 一．需求分析 （1）用户输入一任意命题公式，计算机程序自动输出其主析取范式和主合取范式。（2）求任意一个命题公式的真值表，并根据真值表求主范式。 (3)关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算 首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。 目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。 以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元： 1．非，用“/”表示 P /P 0 1 1 0 2． 合取（与），用“*”表示 P Q P*Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3．析取（或），用“+”表示 P Q P+Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 4.蕴含，用“>”表示 P Q P>Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 5.等值，用“:”表示 P Q P:Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 下面是求取后缀表达式的规则： 1．从中缀表达式左边起逐个字符判断，如果是命题变元，则直接输出；如果是运算符，则将其与当前有效栈顶字符（即非空，可能为运算符或左半括号；如果栈为空，则直接入栈）的优先级比较，如果大于栈顶字符优先级，则直接入栈，如果小于或等于栈顶字符优先级，则弹出栈中字符并输出，直到大于栈顶字符优先级； 2．如果遇到左半括号，则直接入栈，也就是栈外左半括号的优先级最高，入栈以后，其优先级变为最低，也就是不管下一个字符是什么，该左半括号都不出栈，当且仅当遇到与其对应的右半括号时（遇到右半括号前，所有的字符按1中的规则或左半括号的入栈规则入栈或出栈），将栈中该左半括号以上的字符按 公式法教学设计（二） ――完全平方公式 教学设计思想： 利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质. 教学目标 知识与技能： 1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性 2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 过程与方法： 3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法 情感态度价值观： 4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 教学重点和难点 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式分解因式. 关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想” 教学用具 多媒体或小黑板 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2(2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项式是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2. (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以 25x4－10x2+1=(5x－1)2. 1 析取范式与合取范式 这是命题公式的两种特殊的简明形式。一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。我们将学习这种转化方法及其应用。 1. 析取范式 定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。 例1.2 求下列公式的析取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q →∧?∨∧?∧ 方法小结： （1） 将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重 否定词。 （3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。 （4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾 律、零律） 练习1.3 定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。 2. 合取范式 定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。 由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。 例2.2 求下列公式的合取范式。 (1) ()(2) () ()p q p p q p q ?→∨∧∨?∨ 方法小结： （1）将蕴含联结词→与等价联结词?都转化为析取与合取联结词。 （2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。 （3）用分配律将合取联结词移到括号之外。 （4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律） 练习2.3 定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。 3.极小项 为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。 符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。 定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。含n 个变元的极小项称为n元极小项。 例如，等等都是极小项。等等都不是极小项。 提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？ 回答：共有2n个。一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。 例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下： ?∧??∧∧?∧ p q p q p q p q ,,, 极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。 例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。 2 运用公式法-----------平方差公式 民乐二中贾默燃 设计理念 数学公式是数学教学中的重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能，长期以来数学公式的教学正在发生变化，教师不在采用直接给出公式，要求学生记忆并进行大量训练的方式，而是逐渐关注公式的发现、产生及应用的全过程。本节课学生采用独立思考、自主探究、合作交流等多种学习方式，使学习变得有趣、生动、深刻和有效。教师注重关注学生对基础知识的理解，在此基础上，设计必要的训练、继而形成技能。 教学目标 知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义，熟练掌握运用平方差公式分解因式。 能力目标：通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，培养学生的逆向思维和推理能力，让学生进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系， 体会数学之间的整体联系。 情感态度与价值观：通过学习用平方差公式分解因式，在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想 方法，培养学生的学习积极性、主动性、增强学生学习数学的信心。重点与难点 重点：理解平方差公式的意义和特征，灵活运用平方差公式分解因式。 难点：将一些单项式化为平方的形式，在用平方差公式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力。 教学方法 本节课通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣。教学过程始终以“自主探究、合作交流”为主线。多层次、多角度探究公式的产生及运 用的全过程。让不同层次的学生参与到教学活动中，感受成功、建 立自信，并在活动过程中尝到与人合作、交流的乐趣。 教学过程：一：创设情境、引入新课 （1）复习确定多项式各项公因式的方法。 （2）练习：把下列多项式分解因式（用多媒体演示） （1）－7ab－14abx+49aby （2）9×10100－10101 （3）9a2－6ab+3a （学生独立完成、分组交流解题方法） 设计意图：通过丰富问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学语言表达能力，有意识地培养学生分析问题、解决问题的能力。 二：自主探究、合作交流 议一议：（1）如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，能否分解因式？ （2）观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同特征？ 猜一猜：能否将它们分别写成两个因式的乘积？并与同伴交流？ 体会：事实上，把乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2反过来，就得到 a2－b2=（a+b）（a－b） （分小组观察、讨论，并用数学语言阐述）计算机自动求解命题公式的主范式
运用公式法――全平方公式
析取范式与合取范式
运用公式法