欧拉公式
欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。
中文名
欧拉公式
外文名
Eulers formula
应用
数学
发现人
欧拉
目录
1简介
2分式
3复变函数
4平面几何
5拓扑学
?空间中的欧拉公式
?平面上的欧拉公式
6初等数论
7物理学
1简介
（Euler公式）
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。[1]
2分式
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c[2]
3复变函数
，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。
的证明：
因为
…
在
的展开式中把x换成±ix.
所以
将公式里的x换成-x，得到：
，然后采用两式相加减的方法得到：
，
.这两个也叫做欧拉公式。将
中的x取作π就得到：
.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e[1] ，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。 [2]
4平面几何
设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有
（1）式称为欧拉公式.
为了证明（1）式，我们现将它改成
（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么
因此，设AI交⊙O于M，则
因此，只需证明
或写成比例式
为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边；另一个以长
2R、MI为边。前一个不难找，图3.21中的△IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。△MBL就满足要求。
容易证明
因此（5）式成立，从而（1）式成立。
因为
，所以由欧拉公式得出一个副产品，即
5拓扑学
事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分：
空间中的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么
X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用：
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
平面上的欧拉公式
其中V是图形P的顶点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。
在非简单多面体中，欧位公式的形式为：
其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。
证明
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形
的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时
F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即
成立，于是欧拉公式：
得证。[2]
6初等数论
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是
，其中众
都是素数，而且两两不等。则有
利用容斥原理可以证明它。[1]
7物理学
众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。[1]
数学公式
A-F
?半角公式?倍角公式?蔡勒公式?差立方
?差平方?乘法公式?导数公式?到角公式
?德摩根公式?定比分点公式?二倍角公式?二阶微分方程
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
G-L
?高斯公式?格林第二公式?格林第一公式?格林公式
?海伦公式?和差化积?和差平方?和立方
?和平方?弧长公式?弧长计算公式?换底公式
?夹角公式?角平分线长公式?柯西-阿达马公式?柯西积分公式
?拉普拉斯展开?立方和差?两点间距离公式?两角和公式
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
M-R
?默比乌斯反演公式?牛顿-寇次公式?欧拉-笛卡尔公式?欧拉公式
?抛物线标准方程?平方差公式?平移公式?婆罗摩笈多公式
?球的表面积公式?全概率公式?全期望公式?全微分方程
以上公式按中文名拼音首字母顺序排列
S-Z
?塞尔伯格迹公式?三倍角公式?三角不等式?三角函数差角公式?三角函数公式?三角函数和角公式?三角函数周期公式?扇形面积公式
?扇形面积公式?斯科伦范式?斯特灵公式?斯托克斯公式?素数公式?泰勒公式?通项公式?外尔特征标公式?完全平方公式?斜棱柱侧面积公式?斜棱柱体积?斜率公式
?一阶微分方程?诱导公式?圆的标准方程?圆的一般方程?圆台侧面积公式?圆柱侧面积公式?圆锥侧面积公式?圆锥体体积公式?正棱台侧面积公式?正棱锥侧面积公式?直棱柱侧面积公式?重心坐标公式?柱体体积公式?锥体体积公式
《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
假如我是欧拉…… ——多面体欧拉定理的发现 一、教学目的 1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。 2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、让学生再次体验几何体的美； 5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。 二、教学重点 1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。 三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。 四、教学过程
t
教案设计说明 本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。 本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。 在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数公式及其证明 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1m o d n。 证明：(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1mo d n,a*x2m o dn,...,a*xφ(n)m od n}，则Z n=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i m o d n≠a*x j m o d n（消去律）。
(2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)m o d n ≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))m o d n ≡(a*x1m o d n)*(a*x2m o d n)*...*(a*xφ(n)m o d n)m o d n ≡x1*x2*...*xφ(n)m o d n 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注：消去律：如果g c d(c,p)=1，则a c≡b c m o d p?a≡b m o d p。 费马定理：若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1m o d p。证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ******************************************************************** ********* 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个
同济大学钢结构演示实验H型柱
H型截面轴心受压构件试验 1、试验目的 （1）认识和了解H型截面轴心受压钢构件的整体稳定实验方法，包括试件设计、实验装置设计、测点布置、加载方式、试验结果整理与分析等。 （2）观察记录H型截面轴心受压柱的失稳过程和失稳模式，进而加深对其整体稳定概念的理解。 （3）将柱子理论承载力和实测承载力进行比较，加深对H型截面轴心受压构件整体稳定系数及其计算公式的理解。 （4）利用理论知识，实测出实验对应的H型钢轴心受压的稳定系数。 2、实验原理 根据钢结构基本原理可知，轴心受压钢构件的主要破坏形式是整体失稳破坏。 轴心受压构件在轴心压力较小时处于稳定平衡状态，随着轴心压力的增加，轴心受压构件会由稳定平衡状态逐步过渡到随遇平衡状态，这时如有微小干扰力使其偏离平衡位置，则在干扰力除去后，将停留在新的位置而不能回复到原先的平衡位置。当轴心压力超过临界压力后，构件就不能维持平衡而失稳破坏。实际轴心压杆与理想轴心压杆有很大区别。实际轴心压杆都带有多种初始缺陷，如杆件的初弯曲、初扭曲、荷载作用的初偏心、制作引起的残余应力，材性的不均匀等等。这些初始缺陷使轴心压杆在受力一开始就会出现弯曲变形，压杆的失稳属于极值型失稳。
2.1 弹性微分方程 钢结构受压杆件一般都是开口薄壁杆件。根据开口薄壁理论，具有初始缺陷的轴心压杆的弹性微分方程为 ()0 00x EI v v Nv Nx θ''''-+-= (1) ()0 00y EI u u Nu Ny θ''''-++= (2) ()()20 t 00000EI GI Nx v Ny u r N R ωθθθθθθ''''----++-= (3) y,v x,u 图1 H 型截面受压柱 根据以上的式子，我们可以看出，双轴对称截面轴心压杆在弹性阶段工作时，三个微分方程是互相独立的，可以分别单独研究。 在弹塑性阶段，当研究第一个式子时，只要截面上的残余应力对称于y 轴，同时又有00u =和00θ=，则该式将始终与其他两式无关，可以单独研究。这样，压杆将只发生y 方向的位移，整体失稳呈弯曲变形状态，成为弯曲失稳。同样，第二个式子也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的方向不同而已。对于第三个式子，如果残余应力对称于x 轴和y 轴分布，同时假定，u 0=0，v 0=0，则此时压杆只发生绕z 轴的转动，失稳时杆件呈扭转变形状态，称为扭转失稳。 故存在三种失稳情形，即绕x 轴弯曲或绕y 轴弯曲或绕杆轴的扭转失稳。三
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合： 定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质： 对于素数p，φ(p)=p-1。 对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。 证明： (1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}， 则Zn=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。 (2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn
≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn ≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn ≡x1*x2*...*xφ(n)modn 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注： 消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodp?a≡bmodp。 费马定理： 若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。 证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ****************************************************** *********************** 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个 所以φ(n)=p k-1-(p k-1-1)=p k-p k-1。 (2)p*q的欧拉函数 假设p,q是两个互质的正整数，则p*q的欧拉函数为 φ(p*q)=φ(p)*φ(q)，gcd(p,q)=1。 证明： 令n=p*q，gcd(p,q)=1
高数实践课题目
高等数学（2）实践课题目 一．理论问题 1.变量替换在不等式证明中的应用 2.高数中常见的不等式及应用 3.多重积分的方法总结 4.空间解析几何中的各种距离及夹角 （点、线、面间的各种距离（6种），夹角（3种）证明及举例） 5..微积分学中的各种关系 （一、二、三元函数有界、极限、连续、导数、积分间的各种关系证明或举例）6.积分学中各种对称性问题 （一、二、三元函数各种对称性定义、证明及举例） 7.函数极值及最值问题及应用 （一、二、三元函数极值及最值问题证明及举实例） 8.变量代换在微分方程中的应用 9.常微分方程在函数项级数求和中的应用 10.关于非线性微分方程问题的求解 11.利用级数求极限 12.如何确定立体和曲面在坐标面上的投影 13.等值线及其应用。 14.数项级数敛散性判别法。（总结） 15.最小二乘法的理论思想及应用。 16.巧用对称性求二、三重积分、曲线、曲面积分 17.变量代换方法在微积分中的体现 18.数形结合在解题中的应用 19.数学化归方法——数学解题的一般方法 20.反证法（原理、逻辑基础、应用举例） 21.反例法（含义、作用、构造方法） 22.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨 23.多元复合函数微分之难点及其注意的问题 24.重积分计算方法探讨 25.总结第二类曲面积分的若干种求法（4种以上） 26.幂级数求和函数法（7种以上） 27.一元函数微积分与多元函数微积分的对比（定义，极限，连续，微分） 28.空间解析几何的产生与数形结合的思想 29.泰勒公式及其应用 30.《几何画板》与高等数学 31.函数幂级数的展开和应用 32.函数项级数的收敛判别法的推广和应用 33.用高等数学知识解初等数学问题 34.中学数学和高等数学衔接问题研究 35.极限方法总结 36.凸函数性质及在证明不等式中的应用 37.高数中辅助函数的构造与应用 38.如何判断非正常积分的敛散性
欧拉公式推导
欧拉公式推导： 图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力N 作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩M 和剪力V ，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为1y ，由剪力产生的横向变形为2y ，总变形21y y y +=。 y 图4.3 两端铰支的轴心压杆临界状态 设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限p f ，即p f ≤σ（对理想材料取y p f f =）。由材料力学可得： EI M dz y d -=2 12 由剪力V 产生的轴线转角为： dz dM GA V GA dz dy ?=?==ββγ2 式中 A 、I ——杆件截面面积、惯性矩； E 、G ——材料的弹性模量、剪切模量； β—— 与截面形状有关的系数。 因为 222 22dz M d GA dz y d ?=β 所以 2222122222d y d y d y M d M dz dz dz EI GA dz β=+=-+? 由 y N M ?=得： 2222dz y d GA N y EI N dz y d ?+?-=β
01=?+??? ??-''y EI N GA N y β 令 ??? ??-=GA N EI N k β12 得常系数线性二阶齐次方程 20y k y ''+= 其通解为：sin cos y A kz B kz =+ 由边界条件：;0,0==y z 0=B ，kz A y sin =。再由0,==y l z 得： 0sin =kl A 上式成立的条件是0=A 或0sin =kl ，其中0=A 表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由0sin =kl ，得πn kl =（=n 1，2，3…），取最小值=n 1，得π=kl ，即 2 221N k N l EI GA πβ==??- ??? 由此式解出N ，即为中性平衡的临界力cr N 12222222211Ι11γππβππ?+?=?+?=l ΕΙl ΕGA l ΕΙl ΕΙ N cr （4.6） 临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力cr σ 12 22211γλπλπσ?+?==ΕΑΕA N cr cr （4.7） 式中 1γ——单位剪力时杆件的轴线转角，)/(1GA βγ=； l ——两端铰支杆得长度； λ——杆件的长细比，i l /=λ； i ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，A I i /=。 如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为： 22cr E πσλ = （4.8）
欧拉函数
欧拉函数 百科名片 在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)= 4，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 简介 φ函数的值 φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似。 证明 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知， 若 n= ∏p^(α（下标p）) p|n 则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p) p|n p|n 例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24 与欧拉定理、费马小定理的关系 对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有 a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理 当m是质数p时，此式则为： a^(p-1)≡1(mod m) 即费马小定理。 欧拉函数的编程实现 利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。 欧拉函数和它本身不同质因数的关系：欧拉函数ψ（Ｎ）＝Ｎ｛∏ｐ｜Ｎ｝（１－１/ｐ）。（Ｐ是数Ｎ的质因数） 如：
欧拉公式的证明(整理)Word版
欧拉公式的证明 著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有: a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2
欧拉公式的应用
欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)
一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．
欧拉函数公式及其证明
欧拉函数公式及其证明 Prepared on 22 November 2020
欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。 完全余数集合： 定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。 有关性质： 对于素数p，φ(p)=p-1。 对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。 这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。 证明： (1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}， 则Zn=S。 ①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。 ②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。 (2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn
≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn ≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn ≡x1*x2*...*xφ(n)modn 对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。 注： 消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodpa≡bmodp。 费马定理： 若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。 证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。 ****************************************************** *********************** 补充：欧拉函数公式 (1)p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k， φ(n)=p k-p k-1 证明： 小于p k的正整数个数为p k-1个，其中 和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个
欧拉公式的证明和应用
数学文化课程报告 欧拉公式的证明与应用 一.序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3 极限法 --------------------------------------3 指数函数定义法-------------------------------4 分离变量积分法-------------------------------4 复数幂级数展开法-----------------------------4 变上限积分法---------------------------------5 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用 求高阶导数-----------------------------------7 积分计算------------------------------------8 高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 求函数级数展开式----------------------------9 三角级数求和函数----------------------------10 傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11 一．序言
欧拉公式教案黎宁
研究性课题：多面体欧拉定理的发现授课教师：北京市陈经纶中学黎宁 授课地点：北京市陈经纶中学多功能厅 授课班级：北京市陈经纶中学高二（5）班 授课时间：2005年4月6日
研究性课题：多面体欧拉定理的发现 北京市陈经纶中学黎宁 教学活动目标： 1．了解欧拉公式的发现过程，掌握欧拉公式的证明方法和公式内容。2．初步了解数学概念和结论的产生过程，提高发现、提出、解决数学问题的能力；发展学生的创新意识和创新能力；进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，协作交流能力。 3．以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情；建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神；体验数学的简洁美。 教学活动的重点：欧拉公式的发现和证明 教学活动的难点： 1．欧拉公式的发现过程 2．拓扑变换的想象和欧拉公式的证明 3．学生探究的主动性 教学活动的方法： 完全开放式、自主探究式 教学活动手段： 多媒体、实物投影 教学活动过程： 一．课前准备 1．布置指导： 教师布置课题，简要介绍科学的研究方法，全班分成8个小组（各选一名组长，各确定一名主讲人），课题内容有4个问题，各小组可以从中任选一个或多个进行研究，具体任务有： （1）欧拉生平及欧拉主要研究成果（数学方面）。 （2）模型制作：五种正多面体的模型。 （3）证明公式：自主证明欧拉公式或查找关于欧拉公式的证明，其中两个小组研究课本上提供的两种证明方法，另外两个小组寻找其他证明方法）。（4）资料搜索及研究相关问题：可以上网或通过图书馆等方式搜索有关的内容、资料，研究以下问题： 分子中，正五边形和①欧拉定理在研究化学分子结构中的应用（一个C 60 正六边形各有多少个？） ②为什么只有五种正多面体？ ③有没有棱数为 7的简单多面体？ 2．讲解本次活动的评价标准： ①小组成员是否全员参加； ②学生自主探究、合作学习的能力； ③课堂展示的水平、课堂交流与研讨的程度； ④学生的创新意识。 具体评价表：
课程名称材料力学Ⅱ
课程名称：材料力学Ⅱ 课程编码：7009701 课程学分：5学分 课程学时：80学时 适用专业：土木工程、城市地下空间工程 《材料力学Ⅱ》 MECHANICS OF MATERIALS 教学大纲 1.课程性质与任务 材料力学是土木工程等专业的必修课。它是一门理论性较强的技术基础课，是力学课的基础课，并在许多工程技术领域中有着广泛的应用。通过材料力学部分的学习，培养学生掌握杆件的力学理论计算和方法。它既为后继课程提供理论和基本方法，又在工程设计中起着重要的作用，它为构件的计算提供了简便实用的方法，既保证了杆件在各种情况下能够正常地工作，又能合理地使用材料。使学生初步学会运用理论力学的理论和方法分析、解决一些简单的工程实际问题。 2．课程教学基本内容及要求 第一章绪论及基本概念 材料力学发展概述，理解材料力学的研究对象、任务和基本方法，可变形固体的性质及基本假设。掌握材料力学主要研究对象(杆件)的几何特征。杆件变形基本形式。 第二章轴向拉伸和压缩 掌握轴向拉（压）的概念、内力·截面法·轴力及轴力图，理解应力·拉(压)杆内的应力。应力概念、应变概念、单轴应力状态。理解圣维南原理。掌握拉(压)杆的变形。胡克定律。了解拉(压)杆内的应变能。掌握材料在拉伸和压缩时的力学性能。了解强度条件．安全因数。许用应力及其应用。了解应力集中、静强度可靠性设计概念。 第三章扭转 了解薄壁圆筒的扭转，掌握传动轴的外力偶矩．扭矩及扭矩图。理解薄壁圆筒的应力。掌握等直圆杆扭转时的应力，强度条件，等直圆杆扭转时的变形·刚度条件。等直圆杆扭转时的应变能，理解杆件在扭转时的力学性能。了解等直非圆杆自由扭转时的应力和变形，开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形。 第四章弯曲内力 了解对称弯曲的概念及梁的计算简图。掌握梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图，了解平面刚架和曲杆的内力图，掌握梁横截面上的正应力·梁的正应力强度
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
欧拉公式的证明 着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起 方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍：??? 设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是 e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+...... 把 e^(iy) 展开，就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.... 所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。 再请看这2个积分 ∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 ∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式 设a t θ ?R,ρ?R+,a^(it)?z有:
常用数论公式
数论公式 费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数) 卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2) 另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 该递推关系的解为： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n 递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1) 特征数字 int main() { int i,j; memset(ans,0,sizeof(ans)); ans[0] = 1; for (i=2;i<=500;i++) { for (j=i;j<=500;j++) {
ans[j] += ans[j-i]; ans[j]%= M; } } scanf("%d",&T); while (T--) { scanf("%d",&n); printf("%d\n",ans[n]); } } 1 0 1 1 2 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137 以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6 1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3 1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)! 2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2 1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/
用 MATLAB 程序生动地演示欧拉公式
下面的MA TLAB 程序生动地演示欧拉公式 Exp(t) = cos(t) + j sin(t) % Henry-104 % 本程序演示欧拉公式 % Jan.25th,2012 % h_fig1 = figure; set(h_fig1, 'unit', 'normalized', 'position', [0.1, 0.1, 0.9, 0.9]); set(h_fig1, 'defaultuicontrolunits', 'normalized'); h_text1 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'text', 'Position', [0.71, 0.73, 0.25, 0.05],... % 创建文本框 'String', '▲是cos 曲线的起点', 'ForegroundColor', 'r', 'FontName', '黑体',... 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'Bold', 'BackgroundColor', [1, 1, 1]); h_text2 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'text', 'Position', [0.71, 0.78, 0.25, 0.05],... % 创建文本框 'String', 'Δ是sin 和exp 曲线的起点', 'ForegroundColor', 'r', 'FontName', '黑体',... 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'Bold', 'BackgroundColor', [1, 1, 1]); h_pushbutton1 = uicontrol(h_fig1, 'Style', 'PushButton', 'Position', [0.82, 0.12, 0.07, 0.06],... 'string', '退出', 'BackgroundColor', [0.8 0.9 0.8], 'ForegroundColor', 'r', 'FontSize', 14, 'FontWeight', 'Bold',... 'callback', 'delete(h_fig1),') h_axes0 = axes('Box', 'on', 'Position', [0.15, 0.18, 0.56, 0.68], 'FontSize', 8) set(gcf,'color','w'); w = 0.1*pi t = 0:40; % 在前进方向绕了2 圈 % a = -ones(1,length(t)); plot3(cos(w*t),t,sin(w*t),'b', 'LineWidth', 2); grid on; hold on; hc = plot3(cos(w*t),t,a,'k--'); hold on; set(hc, 'Color', 'r', 'LineWidth', 2); a=-a;
数论中的一些公式【整理】
数论中的一些公式【整理】 以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6 1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3 1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)! 2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2 1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/ (2*4*6*...*(2n+2)) 1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2)) 1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2... 2^n >= n^2 , n=4, 5,... 2^n >= 2n + 1, n=3,4,... r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0
复数欧拉公式的证明和应用
复数欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]， π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比” 。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 2.1幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 2.2复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 2.3类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造x i x x f e ix sin cos )(+= ， 0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f ,使得x i x e ix sin cos += 2.4分离变量积分法 假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分得