抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1

3.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有

)

()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2

+<-ax f x f ax f

解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则

)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2

1

2

1

),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则01

2

>-x x 0)()()(1

212<-=-+∴x x f x f x f

),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(2

1x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=?-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2

-+<-+f ax f x f ax f

进一步可得)2()2(2

-<-ax f x ax f

而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，

222

->-∴ax x ax

.

0)1)(2(>--∴x ax

∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且

当0

|{<<∈x a x x 当20<

}12

|{<>

∈x a

x x x 或

当a>2时，}12

|{><∈x a x x x 或

4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)

⑴证明：f (x )在(－1，1)

⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝

2

12n

n x x +，求f (x n );

⑶求证2

52)(1)(1)(12

1

++-

>+++n n x f x f x f n

(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0

令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数

(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (

2

12n

n x x +)

＝f (n

n

n n

x

x x

x ?++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )