数列--历届高考真题试题
数列--历届高考真题
一、解答题
1．（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}
n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *
++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n C n *=
∈N
证明：12+.n C C C n *++<∈N L 2．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．
3．（2019·天津高考真题（文）） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足2
1,
,
,n n n c b
n ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*
112222n n
a c a c a c n N +++∈L .
4．（2019·全国高考真题（理））
已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；
（2）求{a n }和{b n }的通项公式.
5．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．
（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
6．（2010·山东高考真题（文））（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，
5726a a +=，{}n a 的前项和为n S ．
（1）求n a 及n S ； （2）令
211
n a -，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
7．（2017·全国高考真题（文））已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，且a 1=1，b 1=1，a 2+b 2=4. （1）若a 3+b 3=7，求{b n }的通项公式； （2）若T 3=13，求S 5.
8．（2018·天津高考真题（理））（2018年天津卷理）设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列.已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6.
（I ）求{a n }和{b n }的通项公式；
（II ）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， （i ）求T n ； （ii ）证明∑
(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)
n
k=1=
2n+2n+2
−2(n ∈N ∗).
9．（2018·天津高考真题（文））设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；
（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．
10．（2018·全国高考真题（文））已知数列{a n }满足a 1=1，na n+1=2(n +1)a n ，设b n =
a n n
．
（1）求b 1 ， b 2 ， b 3；
（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； （3）求{a n }的通项公式．
11．（2018·全国高考真题（理））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．
（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值．
12．（2017·上海高考真题）根据预测，某地第n (n ∈N ∗)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），
其中a n ={5n 4+15,1≤n ≤3−10n +470,n ≥4
，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个
月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =−4(n −46)2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
13．（2017·天津高考真题（理））已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0， b 2+b 3=12,b 3=a 4−2a 1,S 11=11b 4. （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N ∗).
14．（2015·重庆高考真题（文））已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=9
2. （1）求{a n }的通项公式
（2）设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }的通项公式b n 及{b n }的前n 项和T n . 15．（2017·山东高考真题（文））已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且
121236,a a a a a +==.
(I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
16．（2017·全国高考真题（文））设数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n −1)a n =2n .
（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{
a n 2n+1
} 的前n 项和．
17．（2017·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。
18．（2015·湖北高考真题（文））设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =， 22b =， q d =， 10100S =．
（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．（2011·辽宁高考真题（理））已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和． 20．（2015·湖南高考真题（文））（本小题满分13分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1,a 2=2，且a n+1=3S n −S n+1+3,(n ∈N ∗)， （Ⅰ）证明：a n+2=3a n ； （Ⅱ）求S n 。
21．（2015·四川高考真题（理））设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1,a 2+1,a 3成等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）记数列{1a n
}前n 项和T n ，求使|T n −1|<1
1000成立的n 的最小值。
22．（2015·四川高考真题（文））（本小题满分12分）设数列{a n }（n ＝1，2，3…）的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列{1
a n
}的前n 项和为T n ，求T n .
23．（2015·湖北高考真题（理））设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1>d 时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 24．（2015·安徽高考真题（文））已知数列{}n a 是递增的等比数列，且
14239,8.a a a a +==
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
25．（2015·广东高考真题（文））（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈Ν∗．已知a 1=1，a 2=32，a 3=5
4，且当n ≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n−1． （1）求a 4的值；
（2）证明：{a n+1−1
2a n }为等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式．
26．（2015·山东高考真题（理））【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .
已知233n
n S =+.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
27．（2015·重庆高考真题（理））（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2
1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈
（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=
∈≥=-证明：010011
223121
k a k k ++
<<+++ 28．（2015·上海高考真题（文））（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知数列与
满足，.
（1）若，且
，求数列
的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即
，求证：数列
的第
项是最
大项；
（3）设130a λ=<，
，求
的取值范围，使得对任意m ，
，
0n a ≠，且
1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 29．（2015·全国高考真题（理））S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0，a n 2
+2a n =4S n +3.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =1
a
n a n+1
,求数列{b n }的前n 项和.
30．（2015·浙江高考真题（文））已知数列{a n }和{b n }满足，a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N ∗),
b 1+12b 2+13b 3+⋯+1
n b n =b n+1−1,n ∈N ∗.
（1）求a n 与b n ；
（2）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
31．（2015·福建高考真题（文））等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
32．（2014·四川高考真题（理））设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ,b n )在函数f(x)=2x 的图象上（n ∈N ∗）.
（1）若a 1=−2，点(a 8,4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）若a 1=1，学科网函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2−1
ln2
，
求数列{a
n b n
}的前n 项和T n .
33．（2014·全国高考真题（理））已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n −1，其中λ为常数． （1）证明：a n+2−a n =λ；
（2）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．
34．（2014·广东高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
21234n n S na n n +=--， *n N ∈，且315S =.
（1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.
35．（2014·山东高考真题（理））已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且
124,,S S S 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()
1
1
41n n n n n
b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 36．（2014·全国高考真题（文））已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程
的根。
（I ）求{a n }的通项公式；
（II ）求数列{a
n
2n }的前n 项和.
37．（2014·江西高考真题（文））
已知数列{}n a 的前n 项和2
32
n n n
S n N *-=∈，.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)证明：对任意1n >，都有m N *∈，使得1n m a a a ，
，成等比数列. 38．（2014·北京高考真题（理））对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记
111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中
{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数.
（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值； （2）记
为，，，
四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的
数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b '，试分别对m a =和m d =两种情况比较
2()T P 和2()T P '的大小；
（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列
使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).
39．（2014·湖南高考真题（文））已知数列的前项和
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和．
40．（2014·天津高考真题（理））已知函数()2
cos sin 34
f x x x x π⎛
⎫
=⋅+
+ ⎪
⎝
⎭，x R ∈．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值．
41．（2014·天津高考真题（理））已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合
{}0,1,2,,1M q =-L ，集合{}112|,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n L L -==+++∈=．
（1）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；
（2）设,s t A ∈，112n n s a a q a q -=+++L ，1
12n n t b b q b q L -=+++，其中
,,1,2,,.i i a b M i n ∈=L 证明：若n n a b <，则s t <．
42．（2014·重庆高考真题（文））（已知
是首项为1，公差为2的等差数列，
表示
的前项和. （1）求及
；
（2）设
是首项为2的等比数列，公比满足
，求
的通
项公式及其前项和
.
43．（2014·浙江高考真题（文））已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= （1）求d 及n S ；
（2）求,m k （*
,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L .
44．（2011·福建高考真题（文））已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a n }的前k 项和S k =﹣35，求k 的值．
45．（2011·天津高考真题（文））已知数列{a n }与{b n }满足b n+1a n +b n a n+1=（﹣2）n +1，b n =
，n ∈N *，且a 1=2．
（1）求a 2，a 3的值
（2）设c n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列
（3）设S n 为{a n }的前n 项和，证明++…++≤n ﹣（n ∈N *）
46．（2011·重庆高考真题（文））（13分）（2011•重庆）设{a n }是公比为正数的等比数列a 1=2，a 3=a 2+4．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．
47．（2011·浙江高考真题（理））已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a （a ∈R ）设数列的前n 项和为S n ，且
，
，
成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式及S n ； （2）记A n =+
+
+…+
，B n =
+
+…+
，当n≥2时，试比较A n 与
B n 的大小．
48．（2013·重庆高考真题（文））设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N +． （1）求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
（2）已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1=a 2，b 3=a 1+a 2+a 3，求T 20． 49．（2013·湖北高考真题（理））已知等比数列{a n }满足：|a 2﹣a 3|=10，a 1a 2a 3=125． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）是否存在正整数m ，使得？若存在，求m 的最小值；若不存
在，说明理由．
50．（2013·江西高考真题（文））正项数列{a n }满足：a n 2﹣（2n ﹣1）a n ﹣2n ＝0． （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b n ()1
1n an =
+，求数列{b n }的前n 项和T
n ．
51．（2013·全国高考真题（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，
55S =-。 （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21211
n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和。
52．（2013·上海高考真题（文））已知函数f （x ）=2﹣|x|，无穷数列{a n }满足a n+1=f （a n ），n ∈N *
（1）若a 1=0，求a 2，a 3，a 4；
（2）若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值
（3）是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1，若不存在，说明理由．
53．（2013·福建高考真题（文））已知等差数列{}n a 的公差d =1，前n 项和为n S . (I)若131,,a a 成等比数列，求1a ；
(II)若5191S a a a >，求的取值范围。 54．（2013·安徽高考真题（理））设函数
，证明：
（Ⅰ）对每个
，存在唯一的2,13n x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，满足
；
（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中
构成的数列
满足
.
55．（2009·山东高考真题（文））
等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上。
（1）求r 的值； （11）当b =2时，记1
()4n n
n b n N a ++=
∈，求数列{}n b 的前项和。
56．（2012·陕西高考真题（理））设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列。
（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列
57．（2012·重庆高考真题（文））已知
{}n a 为等差数列，
且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前项和为，若12,,k k a a S +成等比数列，
求正整数k 的值。
58．（2012·山东高考真题（理））在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m
内的项的个数记为m b ，求数列
{}m b 的前m 项和m S ．
59．（2011·天津高考真题（理）） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：
112
3(1)0,2
n
n n n n n n b a a b a b ++++-++==
，*n N ∈，且122,4a a ==．
（Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*
2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；
（Ⅲ）设*
242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：
4*
17()6n
k k k
S n N a =<∈∑． 60．（2011·江西高考真题（理））已知两个等比数列
，
，满足
.
（1）若=1，求数列的通项公式；
（2）若数列
唯一，求的值.
61．（2011·江苏高考真题）设整数n ≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a,b ∈{1,2,3, ⋯,n},a >b
（1）记A n 为满足a −b =3的点P 的个数，求A n ； （2）记B n 为满足1
3(a −b)是整数的点P 的个数，求B n
62．（2007·北京高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
63．（2007·安徽高考真题（理））(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （d >0），因此，历年所交纳的储务金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （r >0），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1（1＋r ）a －
1，第二
年所交纳的储备金就变为a 2（1＋r ）a －2，……，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T n ＝A n ＋B n ，其中｛A n ｝是一个等比数列，｛B n ｝是一个等差数列. 64．（2010·山东高考真题（文））已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前n 项和为S n ． （Ⅰ）求a n 及S n ；
（Ⅱ）令b n =1
a
n
2−1
（n ∈N +）,求数列{b n }的前n 项和T n ．
65．（2008·江西高考真题（文））等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，
{}n b 为等比数列,11b =，且2264,b S =33960b S =．
(1)求n a 与n b ； (2)求和：
12111
n
S S S +++L ． 66．（2010·天津高考真题（理））（本小题满分14分）
在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足
()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.
（Ⅰ）求22,b a 的值；
（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）设()()()*,1112121N n b b b T n a
a
a
n n ∈-++-+-=Λ.证明3,22
≥ 67．（2009·山东高考真题（理）） 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数 (0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上。 （1）求r 的值； （11）当b =2时，记22(log 1)()n n b a n N + =+∈，证明：对任意的n N +∈ ，不等式 1212111 ·······n n b b b b b b +++> 68．（2009·全国高考真题（理））在数列{}n a 中，111 1 1,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 69．（2008·宁夏高考真题（理））已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ； (2)求{a n }前n 项和S n 的最大值． 70．（2009·湖北高考真题（文））已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55, a 2+a 7＝16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式： （Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝，求数 列{b n }的前n 项和S n 71．（2009·全国高考真题（理）） 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列. （II ）求数列{}n a 的通项公式. 72．（2009·全国高考真题（文）） 已知等差数列{ }中， 求{ }前n 项和 . 73．（2009·重庆高考真题（文））已知1 12211,4,4,,n n n n n n a a a a a a b n N a *+++===+=∈． （Ⅰ）求123,,b b b 的值； （Ⅱ）设1,n n n n c b b S +=为数列{}n c 的前n 项和，求证：17n S n ≥； （Ⅲ）求证：2211 6417 n n n b b --< ⋅． 74．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:11 122 1,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有 1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值． 75．（2019·天津高考真题（理））设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知 1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2, k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列( ){} 221n n a c -的通项公式； （ii ）求 ()2* 1 n i i i a c n =∈∑N . 76．（2018·上海高考真题）给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N ∗，都有|b n −a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”． （1）设{a n }是首项为1，公比为1 2的等比数列，b n =a n +1 +1 ， n ∈N ∗，判断数列{b n } 是否 与{a n }接近，并说明理由； （2）设数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ={x |x =b i ， i =1 ， 2 ， 3 ， 4}，求M 中元素的个数m ； （3）已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2−b 1，b 3−b 2，…，b 201−b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 77．（2017·山东高考真题（理））已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且 123232x x x x +=-=， （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()()()112211,1,2,1n n P x P x P x n ++⋯+，得到折线121n PP P +⋯，求由该折线与直线0y =， 11,n x x x x +==所围成的区域的面积n T . . 78．（2016·天津高考真题（理））已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N ∗，b n 是a n 和a n+1的等比中项. （Ⅰ）设c n =b n+12−b n 2,n ∈N ∗,求证：数列{c n }是等差数列； （Ⅱ）设a 1=d,T n = ∑(−1)k 2n k=1b k 2,n ∈N ∗ ,求证：∑ 1 T k n k=1< 12d 2 . 79．（2016·江苏高考真题）记{}1,2,,100U =L .对数列{}() *n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =L ，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如： {}=1,3,66T 时， 1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时， =30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆L ，求证： 1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证： 2C C D D S S S ⋂+≥. 80．（2016·浙江高考真题（理））设数列{a n }满足|a n −a n+12 |≤1，n ∈Ν∗． （Ⅰ）证明：|a n |≥2n−1(|a 1|−2)，n ∈Ν∗； （Ⅱ）若|a n |≤(3 2)n ，n ∈Ν∗，证明：|a n |≤2，n ∈Ν∗． 81．（2016·上海高考真题（文））对于无穷数列{a n }与{b n }，记A={x |x =a n ，n ∈N ∗}，B={x |x =b n ，n ∈N ∗}，若同时满足条件：①{a n }，{b n }均单调递增；②A ∩B =∅且A ∪B =N ∗，则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. （1）若a n =2n −1，b n =4n −2，判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若a n =2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列，求数列{b n }的前16项的和； （3）若{a n }与{b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列且a 16=36，求{a n }与{b n }的通项公式. 82．（2016·四川高考真题（理））已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=qS n +1，其中q>0，n ∈N ∗. （Ⅰ）若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x 2−y 2 a n 2=1的离心率为e n ，且e 2=5 3，证明：e 1+e 2+⋅⋅⋅+e n > 4n −3n 3n−1 . 83．（2016·四川高考真题（文））已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=qS n +1，其中q ﹥0，n ∈N *. （Ⅰ）若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x 2−y 2 a n 2=1的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+e 22+⋅⋅⋅+e n 2. 84．（2015·山东高考真题（文））已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭ 的前n 项和为 21n n +. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n a n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 85．（2015·江苏高考真题）（本小题满分16分）设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列 （1）证明： 依次成等比数列； （2）是否存在a 1,d ，使得a 1,a 22,a 33,a 44依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在a 1,d 及正整数n,k ，使得依次成等比数列，并说明 理由. 86．（2015·陕西高考真题（理））（本小题满分12分）设f n (x)是等比数列1，x ，x 2，⋅⋅⋅，x n 的各项和，其中x >0，n ∈Ν，n ≥2． （Ⅰ）证明：函数F n (x)=f n (x)−2在(1 2,1)内有且仅有一个零点（记为x n ），且x n =1 2+ 1 2x n n+1； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x)，比较f n (x) 与g n (x)的大小，并加以证明． 87．（2015·湖南高考真题（文））（本小题满分13分）函数f(x)=ae 2cosx(x ∈[0,+∞)，记x n 为f(x)的从小到大的第n(n ∈N ∗)个极值点。 （Ⅰ）证明：数列{f(x n )}是等比数列； （Ⅱ）若对一切n ∈N ∗,x n ≤|f(x )n |恒成立，求a 的取值范围。 88．（2015·天津高考真题（理））已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N ∗,a 1=1,a 2=2，且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列. （Ⅰ）求q 的值和{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n = log 2a 2n a 2n−1 ,n ∈N ∗，求数列{b n }的前n 项和. 89．（2014·江苏高考真题）（满分16分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”. （1）若数列{}n a 的前n 项和为* 2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”. （2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得 n n n a b c =+*()n N ∈成立. 90．（2014·上海高考真题（理））（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{a n }满足1 3a n ≤a n+1≤3a n ,n ∈N ∗,a 1=1. （1）若a 2=2,a 3=x,a 4=9，求x 的取值范围； （2）若{a n }是公比为q 等比数列，S n =a 1+a 2+⋯+a n ，1 3S n ≤S n+1≤3S n ,n ∈N ∗,求q 的取值范围； （3）若a 1,a 2,⋯,a k 成等差数列，且a 1+a 2+⋯+a k =1000，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列a 1,a 2,⋯,a k 的公差. 91．（2014·上海高考真题（文））（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足111 3,*,13 n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是等比数列，且1 1000 m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比； （3）若12100,,,a a a L 成等差数列，求数列12100,,,a a a L 的公差的取值范围. 92．（2014·全国高考真题（理））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫ + ⎨⎬⎩⎭ 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明： 121113 (2) n a a a +++<. 93．（2014·全国高考真题（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =， 2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 1 n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 94．（2014·浙江高考真题（理））已知数列和满足 . 若 为等比数列，且 （1）求 与 ； （2）设。记数列的前项和为. （i ）求； （ii ）求正整数，使得对任意 ，均有 ． 95．（2014·安徽高考真题（文））数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++， n N +∈. （1）证明：数列{ }n a n 是等差数列； （2 ）设3n n b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 96．（2014·重庆高考真题（理） ）设()111,*n a a b n N +== ∈ （1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式； （2）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论. 97．（2014·湖南高考真题（理））已知数列{a n }满足a 1=1,|a n+1−a n |=p n ,n ∈N ∗. (1)若{a n }为递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求P 的值; (2)若p =1 2,且{a 2n−1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式. 98．（2011·湖北高考真题（文））成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （Ⅰ）求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列． 99．（2011·重庆高考真题（理））设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N * ） ． （Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤． 100．（2011·湖北高考真题（理））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=a （a≠0），a n+1=rS n （n ∈N *，r ∈R ，r≠﹣1）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若存在k ∈N *，使得S k+1，S k ，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m≥2，a m+1，a m ，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论． 101．（2012·广东高考真题（理））设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足 ，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列． （1）求a 1的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有 ． 102．（2013·江西高考真题（理））正项数列{an}的前n 项和Sn 满足： ()() 22210n n S n n S n n -+--+= (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)令() 2 2 1 2n n n b n a += +，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有 Tn ＜ 5 64 . 103．（2013·湖北高考真题（理））设n 是正整数，r 为正有理数． （1）求函数f （x ）=（1+x ）r+1﹣（r+1）x ﹣1（x ＞﹣1）的最小值； （2）证明： ； （3）设x ∈R ，记[x]为不小于x 的最小整数，例如 ．令 的值． （参考数据： ． 104．（2013·陕西高考真题（文））设S n 表示数列{}n a 的前n 项和. （1）若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式; （2）若11,0a q =≠, 且对所有正整数n, 有11n n q S q -=-. 判断{}n a 是否为等比数列. 105．（2013·湖北高考真题（文））已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=﹣18． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 106．（2013·北京高考真题（理））已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n . (1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *， 4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值； (2)设d 为非负整数，证明：d n =－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列； (3)证明：若a 1=2，d n =1(n=1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 107．（2011·广东高考真题（理））设0b >，数列{}n a 满足1a b =， ()1 1222 n n n nba a n a n --= ≥+-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对一切正整数n ，1112 n n n b a ++≤+. 108．（2009·广东高考真题（理）） 已知曲线22 :20(1,2,)n C x nx y n -+==⋯．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为 (0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y 。 （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2 ）证明：13521n n n x x x x x y -⋅⋅⋅⋅< 数列高考试题及答案 数列是高考数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的难点之一。 下面将介绍几道典型的数列高考试题及答案，帮助学生们更好地理解 和掌握数列的相关知识。 一、选择题 1. 设数列{an}满足an = 2n，若数列{bn}为数列{an}的前20项之和，则b20 = （）。 A. 400 B. 420 C. 440 D. 460 答案：C 解析：首先利用数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以求得数列{an}的前20项之和为S20 = 420。而题目中要求的是数列{bn}的第 20项，根据题意可知{bn}的第n项为数列{an}的前n项之和，因此b20 = S20 = 420。 2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n^2 - 2n，若数列{bn}满足bn = 2an - 1，则数列{bn}的前5项依次为（）。 A. 17, 44, 83, 134, 197 B. 23, 50, 89, 140, 203 C. 17, 46, 87, 140, 205 D. 23, 44, 87, 142, 209 答案：C 解析：首先计算数列{an}的前5项为a1 = 1, a2 = 10, a3 = 25, a4 = 46, a5 = 73。然后利用数列{bn}的通项公式bn = 2an - 1，可以求得数列{bn}的前5项为b1 = 1, b2 = 19, b3 = 49, b4 = 91, b5 = 145。因此选项C为正确答案。 二、填空题 1. 设数列{an}满足a1 = 2，a2 = 5，an = an-1 + an-2（n ≥ 3），则a4 = （）。 答案：11 解析：根据数列的通项公式an = an-1 + an-2，可以依次计算出数列的前4项为a1 = 2, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 12。因此a4 = 12。 三、解答题 1. 已知数列{an}的通项公式为an = n^3 + n，计算数列{an}的前4项及前n项之和。 答案： 数列{an}的前4项依次为a1 = 2, a2 = 7, a3 = 16, a4 = 29。数列的前 n项和可用数列的通项公式Sn = n(a1 + an)/2计算，代入数列{an}的通 项公式an = n^3 + n，可得到Sn = n(n^3 + n + 2)/2。 综上所述，数列{an}的前4项依次为2, 7, 16, 29，数列的前n项之 和为Sn = n(n^3 + n + 2)/2。 . 历年高考真题汇编 --- 数列（含） 1、( 全国新课标卷理） 等比数列 a n 的各项均为正数，且 2a 1 3a 2 1,a 3 2 9a 2a 6 . (2) 设 b n log 3 a 1 log 3 a 2 ...... log 3 a n , 求数列 1 b n 的前项和 . 解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公比为 q ，由 a 3 2 9a 2a 6 得 a 33 9a 42 所以 q 2 1 。有条件可 1 。 9 知 a>0, 故 q 3 1 。故数列 {a n } 的通项式为 a n = 1 由 2a 1 3a 2 1 得 2a 1 3a 2q 1 ，所以 a 1 。 3 3n （Ⅱ ） b n log 1 a 1 log 1 a 1 ... log 1 a 1 (1 2 ... n) n(n 1) 2 故 1 2 2( 1 1 1 ) b n n(n 1) n n 1 1 ... 1 2((1 1 ) (1 1 ) ... ( 1 1 )) 2n b 1 b 2 b n 2 2 3 n n 1 n 1 所以数列 { 1 } 的前 n 项和为 2n b n n 1 2、（全国新课标卷理） 设数列 a n 满足 a 1 2, a n 1 a n 3 22n 1 （1）求数列 a n 的通项公式； （2）令 b n na n ，求数列的前 n 项和 S n 解（Ⅰ）由已知，当 n ≥ 1 时， a n 1 [( a n 1 a n ) (a n a n 1 ) (a 2 a 1)] a 1 3(2 2n 1 22 n 3 2) 2 22( n 1) 1 。 而 a 1 2, 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n 22 n 1 。 （Ⅱ）由 b n na n n 22 n 1 知 S n 12 223 3 25 n 22 n 1 ① 从而 22 S n 1 23 2 25 3 27 n 22 n 1 ② 数列--历届高考真题 一、解答题 1．（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{} n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b * ++∈+++N 成等比数列. （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2 ）记,n C n *= ∈N 证明：12+.n C C C n *++<∈N L 2．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 3．（2019·天津高考真题（文）） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足2 1, , ,n n n c b n ⎧⎪ =⎨⎪⎩为奇数为偶数求()* 112222n n a c a c a c n N +++∈L . 4．（2019·全国高考真题（理）） 已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 5．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式； （2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 6．（2010·山东高考真题（文））（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =， 5726a a +=，{}n a 的前项和为n S ． 全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案） （10个小型和3个大型，分析型） 一、等差、等比数列的基本运算（8小1大） 1.（2022年第3卷第1卷）已知的算术序列？一前9项的总和是27，A10？8，那么100？（a） 100（b）99（c）98（d）97 【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选c. A.9d？8.一 2．（2021年1卷4）记sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，s6?48，则{an}的公差为 a、一, 【解析】：s6? b、二, c．4 d、八, 48a1a616a4a5a1a824， 2. 作差a8?a6?8?2d?d?4故而选c. ， 3．（2021年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比 数列，则 6.a1？a6？？一前六项之和为（） a．?24 b、 ?。？三 c．3 d、八, 2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则 a3?a1?2d? 2.a1？Da1？5d∵ A1？1.用上述公式代入D2？2d？0，以及∵ D0，然后是d？？二 6?56?5d?1?62???24，故选a.∴s6?6a1?224.（2021年2卷15）等差数列?an?的 前项和为sn，则a3?3，s4?10， sk？1n1k？。 a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以?，解得?， 4?3d?14a1?d?102所以an?n,sn?nn?1?n?121??1，那么，那 么??22snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1?.?21?......21??nn? 1n?1?n?1k?1sk??2??23? 5.（2022年第17卷第2卷）Sn是一个等差序列吗？一A1呢？1，s7？28.注BN？？ 莱根其中呢？十、表示不超过x的最大整数，例如？0.9?? 0 lg99？？1.（I）找到B1、 B11、B101； （ⅱ）求数列?bn?的前1000项和． a4？a1？1，3∴一a1？（n？1）d？n。∴b1？？lga1lg1？？0，b11？？ lga11lg11？？1. 【解析】⑴设?an?的公差为d，s7?7a4?28，∴a4?4，∴d?b101??lga101lg101??2． （2）记录？bn？如果前n项之和为TN，那么T1000？b1？b2b1000？？ lga1lga2lga1000？。 当0≤lgan?1时，n?1，2，，9；当1≤lgan?2时，n?10，11，，99； 当2≤ 阿尔甘？三点钟，n？100，101，， 999；lgan什么时候？三点钟，n？1000． ∴t1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893． 6.（2022年第3卷、第2卷）中国古代数学名著《算术的统一》中有以下问题：“望着高塔的七层，红灯加倍，总共381盏灯。塔尖有多少盏灯？”7层塔楼共悬挂381盏灯，相邻两层下一层的灯数是前一层的两倍，然后塔楼顶层有灯（） a．1盏b．3盏c．5盏d．9盏 全国卷数列高考题汇总附答案完整版 全国卷数列高考题汇总附答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 数列专题 高考真题 2014·I 17. 已知数列{a a}的前a项和为a，a1=1，aa≠0，aaa+1=aaa−1，其中a为常数. Ⅰ）证明：aa+2−aa=a； Ⅱ）是否存在a，使得{aa}为等差数列并说明理由. 2014·II 17. 已知数列{aa}满足a1=1，aa+1=3aa+1. Ⅰ）证明{aa+2}是等比数列，并求{aa}的通项公式； Ⅱ）证明：a1+a3+⋯+aa 2015·II 16.设Sn是数列{aa}的前n项和，且a1=−1， a a+1=SnSn+1，则Sn=__________. 2016·I 3.已知等差数列{aa}前9项的和为27，a10=8，则a100=98. 2016·I 15.设等比数列{aa}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…aa的最大值为__________. 2016·II 17. Sn为等差数列{aa}的前a项和，且a1=1，a7=28记 aa=[aaaaa],其中[a]表示不超过a的最大整数，如[.9]=0，[aa99]=1. I）求a1，a11，a101； II）求数列{aa}的前1 000项和. 2016·III 12. 全国卷历年高考数列真题归类分析(含答 案) 1.（2016年1卷3）已知等差数列{an}前9项的和为27， a10=8，则求a100. 解析：由已知，9a1+36d=27，a1+9d=8，解得a1=-1，d=1，a100=a1+99d=-1+99=98，选C。 2.（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和， 若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为多少？ 解析：S6=48，即a1+a6=16，a4+a5=24，代入公差d的通 项公式an=a1+(n-1)d，得到a8-a6=8=2d，故d=4，选C。 3.（2017年3卷9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列，则{an}前6项的和为多少？ 解析：设公差为d，则a3(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d)，代入 a1=1解得d=-2，故a6=a1+5d=-9，前6项和为S6=6a1+15d=-24，选A。 4.（2017年2卷15）等差数列{an}的前项和为Sn，则 1=∑k=1nSk，求an。 解析：设a1=1，d=2，Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(n+1)，代入an=a1+(n-1)d=2n-1，故1=∑k=1nSk=∑k=1n(k+1)-(k-1)=2n，故n=1/2，代入an=2n-1=-1，选D。 5.（2016年2卷17）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，求b7. 解析：由等差数列前n项和的通项公式Sn=n(2a1+(n-1)d)/2=n(2+(n-1)d)/2，代入a1=1，S7=28，得到d=4， an=1+4(n-1)=4n-3，代入bn=[lga1+2Sn-1]/[lga1+2]，得到 b7=[XXX(2×28-1)]/[lg3]=2，选B。 题目一：求等比数列中的数值 要求：改写成完整的句子，避免使用符号表示 1.求b1，b11，b101； 2.求数列{bn}的前1000项和。 解析： 1.设{an}的公差为d，已知a4-a1=1，3，所以an=a1+(n-1)d=n。所以b1=[lga1]=0，b11=[lga11]=1，b101=[lga101]= 2. 高考求数列真题及解析答案 数学作为高考中最为重要的科目之一，对于考生来说是一道必考题。而在数学中，数列是一个相对较难的章节，常常考察学生对数列的理解和应用能力。本文将为大家提供一些高考中常见的数列真题及解析答案，希望对广大考生有所帮助。 一、等差数列 等差数列是指一个数列中的每个数与它前面的数之差都相等的数列。它是数学中最常见的数列形式之一。下面是一个关于等差数列的高考题： 【例题】已知一个等差数列的首项为 3，公差为 2，前 n 项和为 S_n。若 S_7 = 84，求 n。 解析：我们首先利用等差数列的通项公式 a_n = a_1 + (n - 1)d，其中 a_n 表示第 n 项，a_1 表示首项，d 表示公差。根据题目中给出的信息，我们可以得到等差数列的第 7 项为 3 + (7 - 1) × 2 = 17。根据等差数列的前 n 项和公式 S_n = (n/2)(a_1 + a_n)，我们可以得到 S_7 = (7/2)(3 + 17) = 84。解这个方程可以得到 n = 12。因此，答案为 n = 12。 二、等比数列 等比数列是指一个数列中的每一项与它前面的一项的比值都相等的数列。等比数列在高考中常常被用来考察考生对等比数列的性质和应用的理解。下面是一个关于等比数列的高考题： 【例题】已知一个等比数列的首项为 2，公比为 3/4，前 n 项 和为 S_n。若 S_4 = 56/3，求 n。 解析：我们首先利用等比数列的通项公式a_n = a_1 × r^(n - 1)，其中 a_n 表示第 n 项，a_1 表示首项，r 表示公比。根据题目 中给出的信息，我们可以得到等比数列的第 4 项为2 × (3/4)^(4 - 1) = 27/16。根据等比数列的前 n 项和公式S_n = a_1 × (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以得到S_4 = 2 × (1 - (3/4)^4) / (1 - 3/4) = 56/3。解这个方程可以得到 n = 5。因此，答案为 n = 5。 三、斐波那契数列 斐波那契数列是指一个数列中每一项都等于前两项之和的数列。 斐波那契数列是数学中一个非常有趣的数列，也经常被用来考察考生 的思维和计算能力。下面是一个关于斐波那契数列的高考题： 【例题】已知一个斐波那契数列的前两项分别为 1 和 1，第 n 项为 F_n，若 F_8 = 55，求 n。 解析：我们知道斐波那契数列的通项公式为 F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，其中 F_n 表示第 n 项。根据题目中给出的信息，我们可以 逐步计算出斐波那契数列的前几项：1、1、2、3、5、8、13、21、34，可知第 8 项 F_8 = 55。因此，答案为 n = 8。 总结：数列作为高考数学中的一个重要知识点，对于考生来说是 一个必考题。本文通过等差数列、等比数列和斐波那契数列的例题， 简要介绍了这三种常见数列的应用和解析方法。希望通过这些例题的 解析，能帮助广大考生更好地理解和掌握数列的相关知识，从而在高 考中取得好成绩。 2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+ ⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】 13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ⨯=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=⎧⎨ +=⎩解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） 高考数列真题篇 1. 2014高考北京理第5题设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 2015高考北京,理6设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 A ．若120a a +>,则230a a +> B ．若130a a +<,则120a a +< C ．若120a a <<,则213a a a > D ．若10a <,则()()21230a a a a --> 3. 2016高考浙江理数如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ,1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N , P Q P Q ≠表示点与不重合.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2 {}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2 {}n d 是等差数列 4. 2016年高考四川理数某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30 A2018年 B2019年 C2020年 D2021年 52015高考福建,理8若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6. 2016高考浙江理数设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N,则a 1= ,S 5= . 7、2016高考新课标1卷设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 8、 2015江苏高考,11数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n *N n ∈,则数列}1 { n a 的前10项和为 9、2015高考新课标2,理16设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________． 10、2014,安徽理12数列{}n a 是等差数列,若13 51,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =________ 11、2015高考安徽,理14已知数列{}n a 是递增的等比数列,14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前n 项和等于 . 11、2016高考新课标2理数n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且17=1 28.a S =，记[]=lg n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[][]0.9=0lg99=1，． Ⅰ求111101b b b ，，； Ⅱ求数列{}n b 的前1 000项和． 1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,, ,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++ =_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ， 2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编 专题05数列选填题 一、选择题 1．(2022年全国乙卷理科·第8题)已知等比数列 {}n a 的前3项和为168，2 542a a -=，则6a =( ) A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 【答案】D 解析：设等比数列 {}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾， 所以1q ≠， 则() 311234 25111168142 a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以56 13a a q ==．故选：D ． 【题目栏目】 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第8题 2．(2022年全国乙卷理科·第4题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环 绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ： 11 11b α=+，212 111 b αα=+ +， 3123 1 111b ααα=+ + + ，…，依此类推，其中(1,2,)k k α* ∈=N ．则( ) A ．15b b < B ．38b b < C ．62b b < D ．47b b < 【答案】D 解析：因为()* 1,2,k k α∈=N ， 所以1121 ααα<+，1 1 2 111ααα> +，得到12b b >， 同理 112 23 1 1 1ααααα+ >+ + ，可得23b b <，1 3b b > 又因为 2 234 1 1 ,1 1 αααα> + + 11223 34 1111 1ααααααα+ + <+ + + ， 故24b b <，34b b >； 以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误； 178b b b >>，故B 错误； 26 2 31 1 1 1αααα> + +… ，得2 6b b <，故C 错误； 11237 264 1 1 1 1 1 1αααααααα>+ + + + + +… ，得4 7b b <，故D 正确． 【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第4题 3．(2022新高考全国II 卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的 水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0．1的等差数列，且直线OA 的斜率为0．725，则3k =( ) 高考数学真题汇编 4：数列理试题 本卷编写于2022年2月8日，出题人为令狐学复、欧阳化语、XXX。本卷为2021高考真题分类汇编之数列部分。 一、选择题 1.【2021高考真题理1】在等差数列{an}中，已知a2=1，a4=5，求该数列的前5项和S5. 答案】B。 2.【2021高考真题理7】设Sn为公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，下列命题中错误的选项是： A。假设d<0，那么数列{Sn}有最大项。 B。假设d>0，那么数列{Sn}是递增数列。 C。{Sn}是递增数列，那么d<0. D。假设对任意n∈N，均有Sn>0，那么数列{Sn}是递增数列。 答案】C。 3.【2021高考真题新课标理5】已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5*a6=-8，求a1+a10的值。 答案】D。 4.【2021高考真题理18】设an=2^(n-1)+2^(4-n)，则第100个数是多少？ 答案】D。 5.【2021高考真题理6】在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，求该数列的前11项和S11以及在S1,S2.S100中，正数的个数。 答案】S11=88，正数的个数为58. 6.【2021高考真题理12】设函数f(x)=2x-cosx，{an}是公 差为f(a1),f(a2)。f(a5)的等差数列，已知f(a1)+f(a2)+。 +f(a5)=5π，求[f(a3)]-a1*a5的值。 答案】D，答案为π/2. 7.定义在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$，若对 于任意给定的等比数列$\{a_n\}$，$\{f(a_n)\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为“保等比数列函数”。现有定义在 $(- \infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上的如下函数：① $f(x)=x^2$；② $f(x)=2x$；③ $f(x)=|x|$；④ $f(x)=\ln|x|$。其中是“保等比数列函数”的 $f(x)$ 的序号为 $\textbf{C}$。 8.等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1+a_5=10$，$a_4=7$，则数 列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\textbf{2}$。 9.公比为 $32$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，且$a_3a_{11}=16$，则 $\log_2 a_{16}=\textbf{5}$。 2021高考真题分类汇编：数列 本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。 一、选择题 1.【2021高考真题理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 那么}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 2.【2021高考真题理7】设n S 是公差为d 〔d ≠0〕的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，那么以下命题错误的选项是 A.假设d ＜0，那么数列﹛S n ﹜有最大项 ﹛S n ﹜有最大项，那么d ＜0 ﹛S n ﹜是递增数列，那么对任意* N n ∈，均有0>n S D. 假设对任意* N n ∈，均有0>n S ，那么数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 3.【2021高考真题新课标理5】{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，那么110a a +=〔 〕 ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 4.【2021高考真题理18】设25 sin 1π n n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是〔 〕 A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】D 5.【2021高考真题理6】在等差数列{a n }中，a 4+a 8=16，那么该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B 6.【2021高考真题理12】设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为 8 π 的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，那么=-512 3)]([a a a f 〔 〕 A 、0 B 、2116π C 、218 π D 、21316π 【答案】D 7.【2021高考真题理7】定义在(,0) (0,)-∞+∞上的函数()f x ，假如对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，那么称()f x 为“保等比数列函数〞. 现有定义在(,0) (0,)-∞+∞上的如下函数： ①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 那么其中是“保等比数列函数〞的()f x 的序号为 A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④ 【答案】C 8.【2021高考真题理2】等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,那么数列{a n }的公差为 A.1 B.2 C 【答案】B. 9.【2021高考真题理4】公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，那么162log a =〔 〕 ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【答案】B 10.【2021高考真题全国卷理5】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前 100项和为 第1页（共25页） 2022年全国高考数学真题分类汇编：数列 一．选择题（共4小题） 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n ﹣a n 2（n ∈N *），则（ ） A ．2＜100a 100＜ B ．＜100a 100＜3 C ．3＜100a 100＜ D ．＜100a 100＜4 2．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距 离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5， ＝k 1，＝k 2，＝k 3．已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 3．已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2﹣a 5＝42，则a 6＝（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项判断正确的是（ ） A ．若S 2022＞S 2021，则数列{a n }是递增数列 B ．若T 2022＞T 2021，则数列{a n }是递增数列 C ．若数列{S n }是递增数列，则a 2022≥a 2021 D ．若数列{T n }是递增数列，则a 2022≥a 2021 二．填空题（共2小题） 5．已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，若S 5＝0，则S i （i ＝0，1，2，⋯ ， 高考中的数列大题 1．(2021·新高考Ⅱ卷)记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n >a n 成立的n 的最小值． 2．(2021·全国乙卷，理)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n ＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和． 4．(2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94 ，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 5．(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{a n}的通项公式； (2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100. 6．(2018·浙江)已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1＝1，数列{(b n＋1－b n)a n}的前n项和为2n2＋n. (1)求q的值； (2)求数列{b n}的通项公式． 1．【多选题】(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋a k－1·2k－1＋a k·2k，其中a i∈{0，1}，记w(n)＝a0＋a1＋…＋a k.则() A．w(2n)＝w(n) B．w(2n＋3)＝w(n)＋1 C．w(8n＋5)＝w(4n＋3) D．w(2n－1)＝n 2．(2018·课标全国Ⅰ，理)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12 B．－10 C．10 D．12 3．(2019·课标全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝() A．16 B．8 C．4 D．2 4．(2016·课标全国Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________．5．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n＋1＝3a n－b n＋4，4b n＋1＝3b n－a n－4. (1)求证：{a n＋b n}是等比数列，{a n－b n}是等差数列； (2)求{a n}和{b n}的通项公式． 数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n−1，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：a n+2−a n=λ； （Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1. （Ⅰ）证明{a n+1 2 }是等比数列，并求{a n}的通项公式； （Ⅱ）证明：1 a1+1 a2 +⋯+1 a n <3 2 . (2015·I)（17）（本小题满分12分） S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3， （Ⅰ）求{a n}的通项公式： （Ⅱ）设b n=1 a n a n+1 ,求数列{b n}的前n项和。 (2015·II)（4）等比数列{a n}满足a1=3，=21，则( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84 (2015·II)（16）设是数列的前n 项和，且，，则________． (2016·I)（3）已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100= （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为__________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1 ，S 7=28 记b n =[log a n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg 99]=1. （I ）求b 1，b 11，b 101； （II ）求数列{b n }的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1,a 2,⋯,a k 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0 （I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； （II ）若S n =3132 ，求λ. (2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是0 2，接下来的两项是0 1 2,2，再接 下来的三项是0 1 2 2,2,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a 历年高考真题汇编---数列（含） 1、(2020年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，11 3a =，公比13 q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12 n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =++ +，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)3 1(311n n n a =⨯= -,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 因此,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+-=n n 因此}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 二、(2020全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =因此21 9 q = 。有条件可知a>0,故1 3 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，因此113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++数列高考试题及答案
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