高中数学第七章直线和圆的方程--线性规划与圆的方程

一、线性规划 1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）王新敞

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）王新敞

2. 目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =a x +b y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数王新敞

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就

是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),,(1100y x B y x A (一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解王新敞

3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所

表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解

),(),,(1100y x B y x A ;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值王新敞

二、曲线的方程和方程的曲线

4．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程

0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）王新敞

(2)以这个

方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）王新敞

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程

的曲线王新敞

定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方

程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法王新敞

5．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程王新敞

)（3）用坐标表示条件P （M ），

列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞

(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞

) 三、圆的方程

6．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞

B(-52,52

)C(3,-3)

A(3,8)

x=3

x+y=0x-y+5=0

6

3x

y

x y

(98,17

8

)

3x+5y=05x+3y-15=0

x-y+1=0

C B

A O 3

x-5y-3=0

-1-115

7. 圆的标准方程 ：2

22)()(r b y a x =-+-.两个基本要素：圆心),(b a C ，半径为r ，若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是2

22r y x =+王新敞

8．圆的一般方程：只有当042

2>-+F E D 时，02

2=++++F Ey Dx y x 表示的曲线才是圆，把

形如02

2

=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞

（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-

2D ，-2E ）为圆心,

F E D 42

1

22-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -

=，2

E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E

）;

（3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞

王新敞

例1画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.

解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0, ∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：

例2 画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.

解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:

例3求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件??

?

??≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区

域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（8

17

,89）的

直线所对应的t 最大.所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.z m ax =3×89+5×8

17

=14 王新敞

例4 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程王新敞

解：设点),(y x M 是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点M 属于集合P ={M ｜｜MA ｜-｜MB ｜

=2}王新敞

即 y y x --+2

2)2(=2王新敞

整理得 2

22)2()2(+=-+y y x , ∴28

1x y =

王新敞

因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0，虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知

3x-4y-7=0

r

M

C(1,3)x

O

y

曲线，所以曲线的方程应是：2

8

1x y =

(x ≠0) 王新敞

例5 已知△ABC ，)2,0(),0,2(--B A ，第三个顶点C 在曲线132

-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程

王新敞

解：设△ABC 的重心为G ),(y x ，顶点C 的坐标为),(11y x ，由重心坐标公式得

320,30211y y x x +-=++-=

??

?+=+=∴2

32311y y x x 代入132

11-=x y 得31)23(322-+=+x y 31292++=∴x x y ，即为所求轨迹方程王新敞

在这个问题中，动点C 与点G 之间有关

系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，而后代入C 的坐标所

满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法王新敞

例6 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程王新敞

解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程王新敞

因为圆C 和直线

0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离王新敞

根据点到直线的距离公式，得

5

16)

4(3|73413|2

2

=

-+-?-?=

r 王新敞

因此，所求的圆的方程是 25256)3()1(2

2=-+-y x 王新敞

例7求过三点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标王新敞

解：设所求的圆的方程为：02

2=++++F Ey Dx y x ，∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，

即??

?

??=+++=+++=02024020

F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞

∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x 王新敞

542

122=-+=

F E D r ；32,42-=-=-F

D 王新敞

得圆心坐标为（4，-3）.

或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(2

2=++-y x ,从而求出圆的半径

5=r ，圆心坐标为(4,-3) 王新敞

例8 求圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和0342

2=--+y y x 的交点的圆的方程王新敞

解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为)1(0)34(342222

-≠=--++--+λλy y x x y x

则其圆心坐标为)12,12(

λ

λλ++王新敞

∵所求圆的圆心在直线04=--y x 上， ∴3

1,041212-==-+-+λλλλ王新敞

∴所求圆的方程为032622=-+-+y x y x 王新敞