2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一

（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 函数f(x)=√1−e x +√x+3的定义域为( )

A. (−3,0]

B. (−3,1]

C. (−∞,−3)∪(−3,0]

D. (−∞,−3)∪(−3,1]

2. “x =2kπ+π

6,k ∈Z ”是“sinx =1

2”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知扇形的弧长为3π

2，圆心角为π

2，则该扇形的面积为( )

A. π

4

B. π

6

C. π

2

D. 9π

4

4. 函数y =log 13

(6−x −x 2)的单调递增区间是( ) A. [−1

2,+∞)

B. [−1

2,2)

C. (−∞,−1

2]

D. (−3,−1

2]

5. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=4|b ⃗ |，且(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )

A. π

6

B. π

3

C. 2π

3

D. 5π

6

6. 已知函数f(x)=lg(4x −1

3x −m)，若对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立，则实

数m 的取值范围为( )

A. [−19

3,+∞)

B. (−∞,−11

4)

C. [−193,−11

4]

D. [−193,−11

4)

7. 已知函数f(x)=ln(x 2−1)+2x +2−x ，则使不等式f(x +1)

值范围是( )

A. (−∞,−1)∪(1,+∞)

B. (1,+∞)

C. (−∞,−1

3)∪(1,+∞)

D. (−∞,−2)∪(1,+∞)

8. 已知不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |在t =t 0处取最小值，当0

5时，θ的取值范围为( )

A. (0,π

3)

B. (π3,π

2)

C. (π2,2π

3)

D. (2π

3,π)

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则

下列说法正确的是( )

A. φ=−2π

3

B. 函数f(x)图象的对称轴为直线x =

kπ2

+7π

12(k ∈Z)

C. 将函数f(x)的图象向左平移π

3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x −π

3)的图象 D. 若f(x)在区间[2π

3,a]上的值域为[−A,√3]，则实数a 的取值范围为[13π12,3π

2]

10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是( )

A. xy 最大值为1

8 B. 4x 2+y 2的最小值为1

2 C. x(x +y)最大值为1

4

D.

x+2y 2xy

最小值为4

11. 在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是( )

A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗

B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0

⃗ C. 若AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√

3AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的最大值为1

8

12. 已知直线y =−x +2分别与函数y =e x 和y =lnx 的图象交于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，

则下列结论正确的是( )

A. x 1+x 2=2

B. e x 1+e x 2>2e

C. x 1lnx 2+x 2lnx 1<0

D. x 1x 2>√e

2

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +1)x m

2−4m+1

的图象不过原点，则实数m 的值

为 ．

14. 设α，β∈(0,π)，cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根，则sinαsinβ= ．

15. 设函数f(x)={2cos π

3

x,x ∈[−6,6]

12|x|

,x ∈(−∞,−6)∪(6,+∞)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+1=

0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．

16. 在平面四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且AB =1，EF =√2，

CD =√3，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 从给出的两个条件①a =1，②a =2，③a =3中选出一个，补充在下面问题中，

并完成解答.已知集合A ={0,a +2}，B ={0,1，a 2}.

(1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的值； (2)已知_____，若集合C 含有两个元素且满足C ⊆(A ∪B)，求集合C ．

18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．

(1)求ω以及函数f(x)的对称中心； (2)已知f(x 0)=115

,x 0∈[π6,π

3]，求cos2x 0的值．

19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =3，D 是BC 的中点，点E 满足

AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC

⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AD 交于点G ．

(1)设AG

⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值； (2)设H 是BE 上一点，且HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．

20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：元)随投资

收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%，即假定奖励方案模拟函数为y =f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x

5恒成立． (1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)=1

15x +10；(Ⅱ)f(x)=2√x −6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

(2)已知函数f(x)=a √x −10(a ≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．

21. 对于集合Ω={θ1,θ2,…,θn }和常数θ0，定义：μ=

cos 2(θ1−θ0)+cos 2(θ2−θ0)+⋯+cos 2(θn −θ0)

n

为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．

(1)若集合Ω={π

3,π

4

}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；

(2)若集合Ω={π

3,2π

3

,π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，

并求这个常数；

(3)若集合Ω={π

4

,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对于任何常数θ0的“余弦方差”

是一个常数，求α，β的值．

22.已知M={x∈R|x≠0且x≠1}，f n(x)(n=1,2，…)是定义在M上的一系列函数，

满足：f1(x)=x，f i+1(x)=f i(x−1

x

)(i∈N+).

(1)求f3(x)，f4(x)的解析式；

(2)若g(x)为定义在M上的函数，且g(x)+g(x−1

x

)=1+x．

①求g(x)的解析式；

②若方程(2x−1−m)(2x(x−1)g(x)+3x2+x+1)+8x2+4x+2=0有且仅

有一个实根，求实数m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】 【分析】

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答】

解：要使原函数有意义，

则{1−e x ≥0x +3>0

，解得−3

2.【答案】A

【解析】 【分析】

本题考查了充分必要条件，考查三角函数问题，属于基础题． 根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】

解：由“x =2kπ+π

6,k ∈Z ”能推出“sinx =1

2”，是充分条件， 由“sinx =1

2”推不出“x =2kπ+π

6,k ∈Z ”，比如x =

5π6

，不是必要条件，

故“x =2kπ+π

6,k ∈Z ”是“sinx =1

2”的充分不必要条件， 故选：A ．

3.【答案】D

【解析】 【分析】

本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．

利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】

解：扇形的圆心角θ=l

r =

3π2

r

=π

2

， 所以r =3，

则扇形的面积S =1

2lr =1

2×3π2

×3=9

4π．

故选：D ．

4.【答案】B

【解析】 【分析】

本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．

先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间． 【解答】

解：要使函数有意义，则6−x −x 2>0，解得−3

2)2+

254

，

则函数t 在(−3,−1

2)上单调递增，在[−1

2,2)上单调递减， 又因函数y =log 1

3

x 在定义域上单调递减， 故由复合函数的单调性知y =log 1

3(6−x −x 2)的单调递增区间是[−12,2)． 故选：B ．

5.【答案】B

【解析】 【分析】

根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，且|b ⃗ |=t ，由向量垂直的性质可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2

=0，由数量积运算性质可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于一般题． 【解答】

解：根据题意，设向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为θ，|b ⃗ |=t ，则|a ⃗ |=4|b ⃗ |=4t ，

若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥b ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2

=4t 2cosθ−2t 2=0， 则有cosθ=1

2，

又由θ∈[0,π]，则θ=π

3， 故选：B ．

6.【答案】D

【解析】 【分析】

利用对数的不等式的解法将不等式转化为0<4x −1

3x −m ≤10，然后利用参变量分离转化为{m <4x −1

3x

m ≥4x

−13x −10，研究函数y =4x

−13x 在[−1,1]上的单调性，求出函数的最值，即可得到m 的取值范围．

本题考查了不等式恒成立问题，涉及了对数不等式的解法、函数单调性的判断与应用，要掌握不等式恒成立问题的常规解法：参变量分离法、数形结合法、最值法，属于较难题． 【解答】

解：对任意的x ∈[−1,1]使得f(x)≤1成立， 即lg(4x −1

3x −m)≤1，可得0<4x −1

3x −m ≤10， 则有{m <4x −1

3x

m ≥4x

−13x −10

， 因为y =4x 在[−1,1]上为增函数，函数y =1

3x 在[−1,1]上为减函数，

所以函数y=4x−1

3x

在[−1,1]上为增函数，

故y min=1

4−3=−11

4

，

y max=4−1

3=11

3

，

所以11

3−10≤m<−11

4

，

则实数m的取值范围为[−19

3,−11

4

)．

故选：D．

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了偶函数的定义及判断，判断函数单调性的方法，增函数的定义，二次函数和对数函数的单调性，以及绝对值不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于中档题．容易看出f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，可设g(x)=2x+2−x，根据函数单调性的定义可判断g(x)在(1,+∞)上是增函数，从而判断出f(x)在(1,+∞)上是增函数，这

样即可由f(x+1)1

|2x|>1

|x+1|<|2x|

，解出x

的范围即可．

【解答】

解：易得f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，设g(x)=2x+2−x，任取1

则g(x1)−g(x2)=2x1+2−x1−(2x2+2−x2)

=2x1−2x2+2x2−2x1 2x1·2x2

=(2x1−2x2)(2x1·2x2−1

2x1·2x2

)，

∵1

∴2x1−2x2<0,2x1·2x2−1>0,2x1·2x2>0,

∴g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)

∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，且y=ln(x2−1)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数，

∴由f(x+1)

∴{|x +1|>1|2x|>1|x +1|<|2x|

, ∴{(x +1)2>1

2x >1或2x <−1(x +1)2<(2x)2，解得x <−2或x >1， ∴x 的取值范围是：(−∞,−2)∪(1,+∞)． 故选：D ．

8.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围．

由平面向量的线性运算得：得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量模的运算得：|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，由二次函数

的性质可得：当t =t 0=1+2cosθ

5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，再求向量夹角的取值范围即可．

【解答】

解：由题意有：不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1)， 得：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =(5+4cosθ)t 2−2(1+2cosθ)t +1，

由二次函数的性质有：当t =t 0=1+2cosθ

5+4cosθ时，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，

即0<1+2cosθ5+4cosθ<1

5， 解得−1

2

2π

3)，

故选：C ．

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的性质，图象的平移变换，属于拔高题．

根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐项判断即可得到结论．

【解答】

解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，

A=2，且3

4T=7π

12

−(−π

6

)=3

4

π，所以T=π，解得ω=2π

T

=2，

又f(7π

12)=2sin(2×7π

12

+φ)=2，所以sin(7π

6

+φ)=1，

即7π

6+φ=π

2

+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ=−2π

3

，故选项A正确；

所以f(x)=2sin(2x−2π

3

).

令2x−2π

3=kπ+π

2

，k∈Z，解得x=kπ

2

+7π

12

，k∈Z，

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ

2+7π

12

(k∈Z)，故选项B正确；

将函数f(x)的图象向左平移π

3个单位长度，得到函数g(x)=2sin(2x+2π

3

−2π

3

)=2sin2x，

故选项C错误；

x∈[2π

3,a]，则2x−2π

3

∈[2π

3

,2a−2π

3

]，

因为f(x)在区间[2π

3,a]上的值域为[−A,√3]，即[−2,√3]，且f(2π

3

)=2sin2π

3

=√3，

所以3π

2≤2a−2π

3

≤7π

3

，解得13π

12

≤a≤3π

2

，

即实数a的取值范围为[13π

12,3π

2

]，故D正确．

故选：ABD．

10.【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用基本不等式求解最值．

【解答】

解：∵x ，y 是正数，且1=2x +y ≥2√2xy ，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =12，x =1

4时取等号，

∴解可得，xy ≤1

8，即xy 的最大值1

8，A 正确；

4x 2+y 2=(2x +y)2−4xy =1−4xy ≥1−4×1

8=1

2，当且仅当2x =y 且2x +y =1即y =1

2，x =1

4时取得最小值1

2，B 正确； 因为2x +y =1， 所以y =1−2x ，

所以x(x +y)=x(1−x)⩽(

x+1−x 2

)2

=14，当且仅当x =1−x 即y =0，

x =1

2时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C 错误； 因为x+2y

2xy =12(1

y +2

x )=12(4x+2y

x

+

2x+y y

)=12(5+

2y x

+

2x

y )≥12(5+4)=9

2

，

当且仅当2y

x =2x

y

且2x +y =1即x =y =1

3时取等号，D 不正确． 故选：AB ．

11.【答案】BCD

【解析】 【分析】

本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．

对选项 A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确．对选项C ，首先根据已知得到AD 为∠BAC 的平分线，即AD ⊥BC ，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确．对选项D ，首先根据A ，P ，D 三点共线，设BP

⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1，再根据已知得到{λ=t μ=1−t 2，从而得到y =λμ=t(1−t 2)=−12(t −12)2+1

8，即可判断选项 D

正确． 【解答】 解：如图所示：

对选项A,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误； 对选项B ，

DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB

⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12

CB

⃗⃗⃗⃗⃗ =−1

2

AB

⃗⃗⃗⃗⃗ −12

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故B 正确；

对选项C,AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示平行于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量， 由平面向量加法可知：AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 的平分线表示的向量，

为为AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+

AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |=

√3AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以AD 为∠BAC 的平分线，

又因为AD 为BC 的中线，所以AD ⊥BC ，如图所示：

BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

||BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的投影向量，故选项 C 正确； 对选项 D ，如图所示：

因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,0≤t ≤1， 又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)

2

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{λ=t μ=

1−t 2

，0≤t ≤1， 令y =λμ=t ×

1−t 2

=−12(t −12)2+1

8，

t =1

2时，λμ取得最大值为1

8.故选项D 正确． 故选：BCD ．

12.【答案】ABC

【解析】 【分析】

先根据题意画出图形，由函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，知函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，y =−x +2也是关于直线y =x 对称，然后由直线y =−x +2与函数y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)也关于直线y =x 对称，得出x 2=y 1，再根据A(x 1,y 1)在y =−x +2上，后面再结合基本不等式、函数的零点存在定理等逐一判断即可．

本小题主要考查函数对称性的应用、反函数、函数零点存在定理等知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于拔高题． 【解答】

解：画出图形，如图，由于函数y =lnx 和函数y =e x 是互为反函数，

故函数y =lnx 及函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称， 因为直线y =−x +2也关于直线y =x 对称，

从而直线y =−x +2与函数=y =lnx 及函数y =e x 的图象的交点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 也关于直线y =x 对称，∴x 2=y 1，x 1=y 2，

又A(x 1,y 1)在y =−x +2上，即有x 1+y 1=2，故x 1+x 2=2，故选项A 正确； e x 1+e x 2>2√e x 1⋅e x 2=2√e x 1+x 2=2e ，故B 正确；

将y =−x +2与y =e x 联立可得−x +2=e x ，即e x +x −2=0， 设f(x)=e x +x −2，则函数f(x)为单调递增函数，

因为f(0)=1+0−2=−1<0，f(1

2)=e 1

2+1

2−2=e 1

2−3

2

>0，

故函数f(x)的零点在(0,12)上，即0

2

x 1lnx 2+x 2lnx 1=x 1lnx 2−x 2ln 1

x 1

将y=−x+2与y=lnx联立可得−x+2=lnx，即2−x−lnx=0，

记g(x)=2−x−lnx，则g(1)=1>0，g(√e)=2−√e−1

2=3

2

−√e<0，

则1

易知函数y=xlnx在(1,√e)上单调递增，

故x1x2=x2lnx2<√eln√e=√e

2

，故选项D错误．

故选：ABC．

13.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义，熟练掌握幂函数的定义，性质是解题的关键．

根据幂函数的定义求出m的值，验证函数图象是否过原点即可．

【解答】

解：由题意得：m2−3m+1=1，

解得：m=0或m=3，

m=0时，f(x)=x，过原点，

m=3时，f(x)=1

x2

，不过原点，

故m=3，

故答案为：3．

14.【答案】√7

6

【解析】

【分析】

本题主要考查利用同角三角函数基本关系化简，结合根与系数之间的关系，利用转化法进行求解是解决本题的关键，是中档题．

根据根与系数之间的关系，得到cosαcosβ，cosα+cosβ的值，然后利用同角的三角函数关系进行转化求解即可．

【解答】

解：∵cosα，cosβ是方程6x 2−3x −2=0的两根， ∴cosαcosβ=

−26

=−13

，cosα+cosβ=−

−36

=1

2

， (sinαsinβ)2=sin 2αsin 2β =(1−cos 2α)(1−cos 2β) =1−cos 2α−cos 2β+cos 2αcos 2β =(1+cosαcosβ)2−(cosα+cosβ)2

=(1−1

3

)2−1

4

=4

9

−1

4

=

736

，

∵α，β∈(0,π)，∴sinαsinβ>0， 则sinαsinβ=√7

6，

故答案为：√7

6

．

15.【答案】(−∞,−5

2)∪{5

2}

【解析】 【分析】

作出函数f(x)的图象，设f(x)=t ，设关于t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，则方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，利用二次方程根的分别列出关于实数a 的不等式组，解之即可． 本题考查了函数零点与方程根的关系，属于中档题． 【解答】

解：作出函数f(x)的简图如图，

令f(x)=t ，要使方程[f(x)]2+af(x)+1=0(a ∈R)有且仅有6个不同的实根， 则方程t 2+at +1=0有两个不同的实数根t 1，t 2，t 1⋅t 2=1，

且由图可知方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根，或0个根和6个根，或3个根与3个根，

当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有2个根和4个根时，t 1=−2，t 2=−1

2，此时a =5

2；

当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有6个根和0个根时，t 1∈(0,1

2)，t 2∈(2,+∞)，

设g(t)=t 2+at +1，则有{g(0)=1>0

g(1

2)=5

4+1

2a <0g(2)=5+2a <0

，解得a <−5

2；

当方程f(x)=t 1与f(x)=t 2有3个根和3个根时，t 1=t 2=2，不满足t 1⋅t 2=1，故不可能，

所以实数a 的取值范围是(−∞,−5

2)∪{5

2}. 故答案为：(−∞,−5

2)∪{5

2}.

16.【答案】13

【解析】 【分析】

本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．

画出图形，结合图形，先求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再利用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 【解答】 解：如图所示，

设AB ∩DC =O ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗

2

，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF

⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2

，

两式相加得EF

⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2

； ∵AB =1，EF =√2，CD =√3，平方得2=1+3+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4；

∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2； 又∵AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15， 即(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=15； ∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∴AC

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =15+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15−2 =13． 故答案为：13．

17.【答案】解：(1)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，

所以A ⫋B ，

当a +2=1时，即a =−1时，不满足互异性，不符合题意； 当a +2=a 2时，即a =−1或a =2时，可知a =2符合题意； 所以a =2； (2)若选①：

则B ={0,1，1}，不满足互异性，不符合题意； 若选②：

A ={0,4}，

B ={0,1，4}，所以A ∪B ={0,1，4}， 所以

C ={0,1}，C ={0,4}，C ={1,4}； 若选③：

A ={0,5}，

B ={0,1，9}， 所以A ∪B ={0,1，5，9}，

所以C ={0,1}，C ={0,5}，C ={0,9}，C ={1,5}，C ={1,9}，C ={5,9}．

【解析】本题考查了充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A⫋B，分情况求解即可；

(2)分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．

18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2√3sinωxcosωx+2cos2ωx=√3sin2ωx+cos2ωx+1 =2sin(2ωx+π

6

)+1(ω>0)的最小正周期为π，

∴2π

2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(2x+π

6

)+1．

令2x+π

6=kπ，k∈Z.求得x=kπ

2

−π

12

，k∈Z．

可得f(x)的对称中心为(kπ

2−π

12

,1)，k∈Z．

(2)∵f(x0)=2sin(2x0+π

6)+1=11

5

,x0∈[π

6

,π

3

]，

∴sin(2x0+π

6)=3

5

，

结合2x0+π

6∈[π

2

,5π

6

]，可得cos(2x0+π

6

)=−√1−sin2(2x0+π

6

)=−4

5

，

∴cos2x0=cos[(2x0+π

6

)−

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=−4

5×√3

2

+3

5

×1

2

=3−4√3

10

．

【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称中心，得出结论．

(2)先由题意求出sin(2x0+π

6)的值，可得cos(2x0+π

6

)的值，再利用两角差的余弦公式，

求得cos2x0=cos[(2x0+π

6)−π

6

]的值．

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和对称中心，两角和差的三角公式，属于中档题．

19.

【答案】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(0,2)，C(3,0)． (1)由AE

⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得E(2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)．

由D 是BC 的中点，得D(3

2,1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32

,1)． 设G(x,y)，则AG

⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)． 因为A 、G 、D 三点共线， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ //AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x =3

2y ，① 因为B 、G 、E 三点共线，

所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ //BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即2(y −2)=−2x ，② 联立①②解得点G 的坐标为(65,4

5)，

所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗

=(65,4

5)． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗

=4

5AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以实数λ的值为4

5． (2)设H(t,−t +2)，

则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,−2+t)，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,t)，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−t,t −2)． 因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−t)2+t(t −2)=−t(3−t)+(t −2)2， 解得t =4

5，

所以H 的坐标为(45,6

5)，