江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期
期中数学试卷（强化班）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）
①y＝x﹣（x﹣3）；
②；
③；
④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b∈R，则
C．若a＞b＞0且c＞0，则
D．若a＜b，则ac2＜bc2
4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6
5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．函数的递减区间是（）
A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）
C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）
7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）
C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列叙述中正确的是（）
A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0
B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件
C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）
A．0B．1C．D．﹣1
11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）
A．B．的最大值为
C．a+2b的最大值为2D．
12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）
A．函数f（x）的值域为[0，+∞）
B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4
C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减
D．f（2021）＝54
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分
13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．
15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为．
16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”
两个条件中选一个条件填入横线后作答）
18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．
19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．
（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．
（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
21．已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的值域；
（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；
（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．
22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；
（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；
（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期
期中数学试卷（强化班）
【参考答案】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}
【分析】利用不等式的解法化简集合A，求出∁R B，可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A
【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，∁R B＝{x|x≥1}
则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A＝{x|1≤x＜2}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）
①y＝x﹣（x﹣3）；
②；
③；
④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据函数的定义即可判断．
【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，
在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义及其构成要素，准确理解函数的概念，是解题的关键．
3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）
A．若a＞b＞0，则
B．若a，b∈R，则
C．若a＞b＞0且c＞0，则
D．若a＜b，则ac2＜bc2
【分析】直接利用不等式的性质判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，所以，故A正确；
对于B：根据基本不等式，，故B正确；
对于C：若a＞b＞0且c＞0，则，故C正确；
对于D：当c＝0时，不等式不成立．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6
【分析】首先求得实数a的取值范围，然后结合选项确定满足题意的条件即可．
【解答】解：由于函数在区间[1，2]上单调递减，
故函数在区间上的最大值为，
从而，
据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为a≥6．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用，恒成立问题的处理方法，充分不必要条件的判定等知识，属于基础题．
5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】由函数解析式易知x＜0时，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：当x＜0时，，故排除选项BD；
又，故排除选项A．
故选：C．
【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．
6．函数的递减区间是（）
A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）
C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）
【分析】分x≥0和x＜0两种情况，利用复合函数单调性的判断法则求解即可．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝，
由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，
又t＝﹣x2+1的单调递减区间为（0，+∞），且y＝为单调递增函数，
所以f（x）的单调递减区间为（0，1）；
当x＜0时，f（x）＝，
因为t＝（x+1）2的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），且y＝为单调递增函数，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．
综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，1）和（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复合函数单调性的判断，含有绝对值函数的应用，二次函数以及幂函数单调性的应用，属于中档题．
7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】依题意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有两个整数解，分析可知，只能是3和4，再列式求
解即可．
【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，
由题意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，
B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是3和4，
令f（x）＝x2﹣3ax+4，则，解得＜a≤，
∴a的取值范围是（，]．
故选：C．
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）
C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）
【分析】由已知结合函数的奇偶性可求g（x），由函数的单调性定义分析可得
＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x
在（1，2）上单调递增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，
又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，
若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，变形可得
＞0，
令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，
所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，
若a＝0，则h（x）＝4x+2在（1，2）上单调递增，满足题意；
若a≠0，则h（x）＝ax2+4x+2是对称轴为x＝﹣的二次函数，
若h（x）在（1，2）上单调递增，只需或，
解得a＞0或﹣1≤a＜0，
综上，a≥﹣1．即a的取值范围为[﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出g（x）的解析式．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列叙述中正确的是（）
A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0
B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件
C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a＞1”是“”的充分不必要条件
【分析】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．
【解答】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔ac＞b2≥0，故A正确；
对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，
故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，
故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，
故选：AD．
【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题．
10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）
A．0B．1C．D．﹣1
【分析】根据新定义对a的值分类讨论，当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，然后讨论集合A，B的公共元素，进而可以求解．
【解答】解：当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，
当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，
所以当A，B集合有公共元素﹣＝﹣1时，解得a＝2，
当A，B集合的公共元素为时，解得a＝，
故选：ACD．
【点评】本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，涉及到集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）
A．B．的最大值为
C．a+2b的最大值为2D．
【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误；将a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判断C的正误；利用乘“1”法可判断D的正误．
【解答】解：对于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（
当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），故A错误；
对于B，1＝a+b2≥2b⇒b≤（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），即的最大值为，故B正确；
对于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，
∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，
∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C错误；
对于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9
（当且仅当＝，即2a＝b2，即a＝，b＝时取等号），故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）
A．函数f（x）的值域为[0，+∞）
B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4
C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减
D．f（2021）＝54
【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．
【解答】解：当1≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，当2＜x≤4时，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，
以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，
可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上单调递减，且在[2m，2m+1]上，当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，
函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；
当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4，B正确；
函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；
因为2021∈（3×29，211]，所以l经过点（2048，0）与（1536，1024），设直线：y＝kx+b，从而得到，
解得：y＝﹣2x+4096，所以当x＝2021时，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分
13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝x ﹣．
【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，转化可得所求解析式．
【解答】解：函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＞0时，，
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），
所以x＜0时，f（x）＝x﹣．
故答案为：x﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1
≥0；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．
【分析】命题的否定，存在改为任意．
【解答】解：命题P的否定为∀x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．
因为命题P为真，分离参量得λ＞2x0+，其中，
故答案为：．
【点评】本题考查了存在量词和全称量词的转换，也考查了存在性问题含参不等式的求解，考查基本功，难度不大．
15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．
【分析】根据函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，可得函数值正负的分布情况，等价于或，从而可得出答案．
【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，
则函数y＝f（x+1）关于y轴对称，
又函数y＝f（x）是由函数y＝f（x+1）向右平移1个单位得到的，
所以函数y＝f（x）关于x＝1对称，
因为函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，
则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且f（﹣3）＝0，
所以当1≤x＜5时，f（x）＞0，当x＞5时，f（x）＜0，
当﹣3＜x＜1时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，
由，得或，
所以或，
解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，
即不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为6．【分析】根据，利用基本不等式
即可得出答案，注意同时取等号．
【解答】解：因为a+b＝2，
所以
＝＝．
当且仅当，即a＝0，b＝2时取等号，
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”
两个条件中选一个条件填入横线后作答）
【分析】（1）a＝1时，求出集合B，由此能求出（∁R A）∩∁R B）；
（2）选①可得，由此能求出实数a的取值范围；
选②可得，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤0或x≥5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，
∴（∁R A）∩∁R B）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；
（2）若选①充分，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴，解得a≥2，
故a的取值范围为{a|a≥2}；
若选②必要，
∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
∴，解得0≤a＜，
故a的取值范围为{a|0≤a＜}．
【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．
【分析】（1）设f（x）的解析式，得到关于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；
（2）通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，
由f（0）＝2，则c＝2，
又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，
则a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，
则4ax+4a+2b＝2x+4，
则，解得：，
故f（x）＝x2+x+2；
（2）由f（x）＝x2+x+2，对称轴是x＝﹣1，
①m+1≤﹣1即m≤﹣2时，f（x）在[m，m+1]递减，
f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，
②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1时，f（x）在[m，﹣1）递减，在（﹣1，m+1]递增，
故f（x）min＝f（﹣1）＝；
③m≥﹣1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；
综上：f（x）min＝．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义可求a的值；
（2）根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是增函数；
（3）根据函数的奇偶性和单调性可得关于x的不等式，根据判断式的符号可求实数的取值范围．
【解答】（1）解：因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．
（2）证明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2
＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，
因为x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等价于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），
因为f（x）为奇函数，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）对任意的t∈R恒成立，
因为f（x）在R上是增函数，所以kt2+kt＜﹣kt+1对任意的t∈R恒成立，
即kt2+2kt﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，
若k＝0，则不等式﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，故符合；
若k≠0，则，解得﹣1＜k＜0，
综上，﹣1＜k≤0，
即实数k的取值范围（﹣1，0]．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．
（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．
（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
【分析】（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2，化简即可得到结果．
（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．
【解答】解：（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，
∴S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2＝38 000+4 000x2+，
即S＝38 000+4 000x2+（0＜x＜10）．
（2）S＝38 000+4 000x2+≥38 000+2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000（元）．
故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．21．已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求f（x）的值域；
（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如
果不能，则给出理由；
（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；
（2）对a分类讨论，根据x∈（1，2]段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；
（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成
立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，
则x∈（0，1）时，f（x）∈[1，3]；当x∈（1，2]时，f（x）∈[，1），
则f（x）的值域为[，3]，
（2）若函数y＝f（x）在定义域上单调，
当a＞0时，因在x∈（1，2]上函数单减，则y＝f（x）单调递减，
则满足，解得a≥1，
当a＝0时，函数无单调性，不符合题意，
当a＜0时，因在x∈（1，2]上函数单增，则y＝f（x）单调递增，
则满足，解得a≤﹣2，
综上所述，若使函数y＝f（x）为定义域上的单调函数，实数a的范围为（﹣∞，2]∪[1，+∞），
（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，即f（x）＝，化简得恒成立，
当x∈[0，1]时，由＝＝3﹣x+﹣6，
令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，
由对勾函数单调性知，函数h（t）在t＝2时，取最大值h（2）＝﹣，则a，当x∈（1，2]时，满足，即a≥﹣2，
综上所述，f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为[﹣．+∞）．
【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．
22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．
（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；
（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；
（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．
【分析】（1）当a＝1，b＝−2时，结合已知可得f（x）＝x2−x−3＝x，解方程可求；
（2）当a＝1，b＝﹣2时，转化为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，进行分离，结合二次函数的性质可求．
（3）方程f（x）＝mx恒有两个不等实根，即Δ＞0，即对于任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，转化为，令
，再分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝−2时，f（x）＝x2−x−3，令f（x）＝x，
可得x2−x−3＝x，即x2−2x−3＝0，解得x＝3 或x＝−1，
当a＝1，b＝−2 时，关于参数1的不动点为﹣1和3；
（2）由已知得为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，
即x2+（3−m）x+1＝0在x∈（0，2]上有两个不同解，
令g（x）＝x2+（3−m）x+1，所以，
解得，
所以m的范围是（5，]．
（3）由题意知，函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，
所以方程f（x）＝mx，
即ax2+（b+1−m）x+b−1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，
则Δ＝（b+1−m）2−4a（b−1）＞0，
即，对任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，
即，即，
令
，
根据二次函数性质，令，
则b−1＝|m−2|，
解得：b＝|m−2|+1，
①当|m−2|+1≤2，即1≤m≤3 时，函数h（b）在[2，5]单调递增，
则，
解得：m＜1或m＞5，
综上：m≤−2或m≥6，
②当2＜|m−2|+1＜5，即m≤−2 或m≥6时，
函数h（b）在[2，5]单调递减，则
解得：m＜1或m＞5，
综上：m≤−2或m≥6
③2＜|m−2|+1＜5，即m∈（−2，1）∪（3，6）时，函数h（b）在[2，5]先减后增，
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解 4 函数的基本性质 一、典型例型解题思维（名师点拨） 知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性 知识点2 二次函数区间求最值 知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练 一、典型例型解题思维（名师点拨） 知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性 例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x =+. （1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】 （1）函数()f x 为奇函数； （2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x =+， 则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，
又4 4()()()f x x x f x x x -=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数. （2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有121212 44()()()()f x f x x x x x -=+ -+ 121244 ()( )x x x x =-+-121212 (4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴, 12 1212 (4)0x x x x x x -∴ -<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数. 名师点评：对于函数()(0)a f x x a x =+>主要性质如下： ①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数； ③单调性：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 在 上单调递减；在)+∞的单调增； ④值域与最值：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 值域为)+∞ ，当x = 小值
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数 学试卷 一、选择题（共8小题）. 1．i是虚数，复数＝（） A．﹣1+3i B．C．1+3i D． 2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（） A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线． A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝1 4．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D． 5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（） A．2﹣i B．﹣4C．2D．4 6．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（） A．B．C．D． 7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（） A．B．C．3D． 8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（） A．B．复数z的共轭复数为2﹣i C．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i 10．下列说法中正确的为（）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为30° 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin B B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（） A．△ABC是等边三角形 B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最大值为+3 D．四边形ABCD面积最小值为﹣3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知i为虚数单位，则的虚部是． 14．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的外接圆半径长为．15．如图，正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为．
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一平行班上学期期末数学试题(含答案解析)
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一平行班上学期期 末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合{}1M x x =>-，集合{}21N x x =-<<，则M N =（ ） A ．()2,1-- B ．()1,1- C ．()1,-+∞ D ．()2,-+∞ 2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于 A ． 35 B ．35 C ．45 D ．45 - 3．sin17cos13sin 73cos77︒︒︒︒+=（ ）．A B ． 12 C ． D ．12 - 4．设实数x 满足1x >-，则函数4 1 y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．若 21sin 2712sin α α +=-，则tan α=（ ） A ．43- B ．34 - C ．34 D ．43 6．已知函数()()47,2,2x a x x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩ 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 （ ） A ．()0,1 B ．(]1,3 C ．()1,4 D ．[)3,4 7．四个函数：①sin y x x =；①cos y x x =；①cos y x x =；①2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①①①① B ．①①①① C ．①①①① D ．①①①① 8．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成
江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期 期中数学试卷（强化班） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（） A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（） ①y＝x﹣（x﹣3）； ②； ③； ④． A．4个B．3个C．2个D．1个 3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（） A．若a＞b＞0，则 B．若a，b∈R，则 C．若a＞b＞0且c＞0，则 D．若a＜b，则ac2＜bc2 4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6 5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）
A．B． C．D． 6．函数的递减区间是（） A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1） C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞） 7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（） A．B．C．D． 8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列叙述中正确的是（） A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0 B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件 C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“a＞1”是“”的充分不必要条件 10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解. 【详解】因为，是平面内一组基底，且， 由平面向量基本定理可得：， 所以，所以D不正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题。 2. 已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是( ) A．ln3 B．ln8 C. ln3 D．－3ln2 参考答案： C 3. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?，则M∪N=（） A．M B．N C．I D．?参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】图表型． 【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（?I M）=?，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项． 【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?的集合． 由图可得： M∪N=M． 故选A． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单． 4. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（）[ 来源:学科网ZXXK] ①与平行．②与是异面直线． ③与成角．④与垂直． A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④ 参考答案： B 略
江苏省天一中学2021-2022学年高一物理期中复习(一)数学试题 Word版缺答案
高三物理期中复习二——相互作用 一、学问总结 二、典型例题 1．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态．则( ) A．水平面对C的支持力等于B、C的总重力 B．B肯定受到C的摩擦力 C．C肯定受到水平面的摩擦力 D．若将细绳剪断，物体B开头沿斜面对下滑动，则水平面对C的摩擦力可能为零 2．如图所示，用一轻绳将光滑小球P系于竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，P、Q均处于静止状态，现有一铅笔紧贴墙壁从O点开头缓慢下移，则在铅笔缓慢下移的过程中( ) A．细绳的拉力渐渐变小 B．Q受到墙壁的弹力渐渐变大 C．Q受到墙壁的摩擦力渐渐变大 D．Q将从墙壁和小球之间滑落 3．(多选)如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开头时OB绳水平．现保持O点位置不变，转变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为F OA、F OB，则下列说法正确的是( ) A．F OA始终减小 B．F OA始终增大 C．F OB始终减小 D．F OB先减小后增大4．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图9所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为( ) A. 3 3 mg B ．mg C. 3 2 mg D. 1 2 mg 5．如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( ) A．拉力F增大B．拉力F减小 C．角θ不变D．角θ减小 6．如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图．一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处，起吊重物前，重物处于静止状态．起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢地移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最终把重物卸在某一个位置．则关于轻绳上的拉力大小变化状况，下列说法正确的是( ) A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变 B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小 C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大 D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变 7．如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上．现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧．则平衡时两球的可能位置是下列选项中的( )
江苏省天一中学数学竞赛班材料2024年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练
为了提高学生的数学竞赛水平，江苏省天一中学特设立了数学竞赛班。在这个班级中，学生们将接受专门的数学竞赛辅导和培训，以更好地参加 各类数学竞赛。 2024年，全国高中数学联赛江苏赛区进行了一场预赛模拟训练，为 学生们提供了宝贵的实战经验。下面是对这次模拟训练的详细描述。 这次预赛模拟训练分为两个部分，第一部分是选择题，第二部分是解 答题。 第一部分选择题共有30道题目，每道题目4分，满分120分。这部 分的题目主要考察了学生对数学基础知识的理解和应用能力。题目涵盖了 代数、几何、数论、概率和统计等不同的数学领域。学生们需要根据题目 的要求，仔细分析并选择正确的答案。 第二部分解答题共有5道大题，每道题目20分，满分100分。这部 分的题目要求学生进行深入的思考和分析，并给出详细的解题过程和解答。题目涵盖了数列、立体几何、函数与方程、概率论等多个数学领域。学生 们需要应用所学的知识和方法，独立解决问题，并写出清晰、准确的解答。 此次模拟训练的目的是帮助学生们熟悉竞赛题型和要求，提高他们的 解题能力和答题速度。通过这次训练，学生们能够了解自己在数学竞赛中 的强项和不足，并在老师的指导下进行进一步的学习和提高。 该模拟训练的结果也被用于评选数学竞赛班的入学资格和确定学生的 数学竞赛水平。只有在这次模拟训练中表现优异的学生才有机会进入数学 竞赛班，接受更高水平的数学教育和培训。 江苏省天一中学的数学竞赛班致力于培养学生的数学思维、创造力和 解决问题的能力。通过系统的数学竞赛培训，学生们能够更好地掌握数学
知识和方法，提高他们的分析思考能力和解题能力。这对于学生们提高数学成绩、参加各类数学竞赛以及进入理工类高校都有很大的帮助。 在数学竞赛班的学习过程中，学生们将不断接触到各类数学问题和挑战。通过解决这些问题，他们能够提升自己的数学水平，并培养对数学的兴趣和热爱。同时，数学竞赛班也会组织学生们参加各类数学竞赛，锻炼他们的竞赛技巧和应变能力。 总之，江苏省天一中学的数学竞赛班为学生们提供了一个很好的学习和竞赛平台。通过专业的数学竞赛辅导和培训，学生们能够充分发挥自己的潜力，提高数学竞赛成绩，为自己的未来奠定良好的数学基础。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题 【名师综述】 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________. 【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题 【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____ 类型二 几何体的外接球或者内切球问题 典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)上学期期末数学试题(无答案)
江苏省天一中学2010-2021学年秋学期期末考试 高一数学（强化班） 命题人：蒋星伟审阅人：陈俊蜂 注意事项及答题要求： 1．本次考试时间为120分钟，满分为150分． 2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号用黑色笔写在答题纸上密封线内﹒的相应位置． 3．答题时请用黑色笔在答题纸上作答．．．．．．． ，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的．） 1．函数() f x =的定义域为（ ） A ．(]3,0- B ．(] 3,1- C ．() (],33,0-∞-- D ．() (],33,1-∞-- 2．设x ∈R ，则“2,6 x k k π π=+∈Z ”是“1 sin 2 x = ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必娶条件 3．已知某扇形的孤长为 32π，圆心角为2 π ，则该扇形的面积为（ ） A ． 4 π B ．93π C ．6 π D ． 2 π 4函数()213 ()log 6f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫ - +∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,2 ⎛⎤-∞- ⎥⎝ ⎦ C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1,22⎡⎫ - ⎪⎢⎣⎭ 5．已知非零向量a ，b 满足4a b =，且() 2a b b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 6．已知函数1()lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝ ⎭ ，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 第十章 概率 章末测试(提升)(学生版)
第十章 概率 章末测试(提升) 一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·甘肃·张掖市第二中学)一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．35 D ．45 2．(2021·福建三明·高一期末)袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 411 231 324 412 112 443 213 144 331 123 114 142 111 344 312 334 223 122 113 133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为( ) A ．1 10 B ． 320 C ．15 D ．14 3．(2021·云南昆明·高一期末)已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中()12n Ω=，()6n A =， ()4n B =，()8n A B =，那么下列事件概率错误的是( ) A ．1()6 P AB = B ．2()3 P A B = C ．1()6 P AB = D ．2()3 P AB = 4．(2021·湖南·长沙一中高一月考)下列说法正确的个数有( ) (1)掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M =“出现偶数点”，N =“出现3点或 6 点”.则 M 和 N 相互独立； (2)袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 13 ； (3)甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98； (4)柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 4 5 ；
2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高一强化班上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高一强化班上学期期 末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{} 12B x R x =∈-<，则A B =（ ） A ．()0,3 B ．()1,3- C ．()0,4 D ．(),3-∞ 【答案】A 【解析】解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算． 【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键． 2．“1n =”是“幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条 件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不 必要 【答案】A 【分析】由幂函数()() 22 333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得22331 30n n n n ⎧-+=⎨-<⎩ ， 由充分、必要条件的定义分析即得解 【详解】由题意，当1n =时，()2 f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立； 若幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数， 则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n = 故必要性不成立 因此“1n =”是“幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必 要条件 故选：A 3．已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝ ⎭，则sin 12πα⎛ ⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A B C ．D ． 【答案】C
2022届江苏省无锡市天一中学高考数学四模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线1y kx =+与抛物线C ：2 4x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94 - B ．274 - C ．3227 - D ．6427 - 2．已知集合{ }{} 2 |1,|31x A x x B x ==<，则( )R A B =（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x C ．{|10}x x -< D ．{|1}x x - 3．已知椭圆22 2 2 :19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ） A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在的基础上加上（ ） A ． B ． C ． D ． 5．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一(下)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学 试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，复数z =2+i 2−i ，则复数z 的模为（ ） A ．2 B ．√5 C ．1 D ．√2 2．已知向量a → ，b → 的夹角为30°，|a → |=2，|b → |=√3，则|2a → +b → |=（ ） A ．√3 B ．3 C ．√31 D ．12 3．如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ） A ．4√2 B ．2√2 C ．√2 D ． √22 4．已知不重合的直线m ，n ，l 和平面α，下列命题中真命题是（ ） A ．如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面 B ．如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 C ．如果m ⊂α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n D ．如果l 上有两个不同的点到α的距离相等，则l ∥α 5．在△ABC 中，B =π 4，BC 边上的高等于13 BC ，则cos A 等于（ ） A ．3√1010 B ． √10 10 C ．−√10 10 D ．−3√10 10 6．已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M ＝1，N 为B 1C 1上一点，且MN ∥平面ABD ，则NB 1的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 2 D ．1 2
2023年新高考数学一轮复习1-2 全称量词与存在量词、充要条件(真题测试)解析版
专题1.1集合（真题测试） 一、单选题 1．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】 由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立； 所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 比如()2 13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝ ⎭， 但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是
“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以 成立，此时a b ≠， ∴不是a b =的充分条件， 当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴ 成立， ∴ 是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 4．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B
第2讲：充分条件与必要条件
第2讲 充分条件与必要条件 思维导图 新课标要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 知识梳理 “若p ，则q ”为真命题 “若p ，则q ”为假命题 推出关系 p ⇒q p ⇏q 条件关系 p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件 p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .
名师导学 知识点1 充分、必要、充要条件的判断（重点） 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q”以及“若q ，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn ，可得p1⇒pn ；充要条件也有传递性． 【例1-1】（2022·浙江浙江·高一期中）已知命题p ：“11x x -=-”，命题q ：“1x =”．则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【例1-2】（2022·上海金山·高一期末）若A 、B 均为集合，则“A B ”是“A B A =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【变式训练1-1】（2022·湖南邵阳·高一期末）“1a =”是“||1a =”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】（2021·湖南·金海学校高一期中）“2x ＝”是“240x ﹣＝”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3】(多选)（2022·湖南·高一课时练习）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的有（ ） A ．若x ，y 是偶数，则x ＋y 是偶数 B ．若a ＜2，则方程x 2－2x ＋a ＝0有实根 C ．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D ．若ab ＝0，则a ＝0 【变式训练1-4】（2022·湖南·高一课时练习）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空： （1）“10a ->”是“1a >”的______； （2）“0a >，0b >”是“1a b +>”的______； （3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的______； （4）设a ，b ，c 都是实数，“0a b c ++=”是“1x =是方程20ax bx c ++=的一个根”的______．
第03讲 基本不等式(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第03讲基本不等式 (精讲+精练） 目录 第一部分：思维导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：课前自我评估测试 第四部分：典型例题剖析 高频考点一：利用基本不等式求最值 ①凑配法 ②“1”的代入法 ③二次与二次（一次）商式（换元法） ④条件等式求最值 高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数 第五部分：高考真题感悟 第六部分：第03讲基本不等式（精练）
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果0a >，0b >2 a b +≤ ，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数； 2 a b +叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2 ( )2 a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值； ②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24 S ； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()11 23x x a a a x a x a x a + =-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2 112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫ -=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭； ②拆：例：()224444 2244822223 x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----； ③除：例：()222 1011x x x x x =≤>++ ； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11 a b +的最小值. 解析： 1111()()24b a a b a b a b a b +=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.
江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)含解析
江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R M）∩N=．2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y=． 3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=．5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m=． 6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=． 7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是． 8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为． 9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为． 10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=． 11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实 数a的取值范围是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， •=4，•=﹣1，则•的值是．
13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x ﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为． 二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2； （Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间； （Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值． 16．（14分）已知△ABC中． （1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形； （2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值． 17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C． （1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值； （2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．