反比例函数经典例题

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如x

k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数.x k

y =还可以写成kx

y =1

-

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1。 ⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法:描点法

① 列表(应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序) ③ 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线,x

k

y =

（k 为常数,0≠k ）中自变量0≠x ,函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =

(0≠k )中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表:

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求

出k ）

6．“反比例关系"与“反比例函数"：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x

k

y =

中的两个变量必成反比例关系. 7. 反比例函数的应用

二、例题

【例1】如果函数2

22-+=k k kx

y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x

k y =，（0≠k )即kx y =1

-（0≠k ）又在第

二，四象限内，则0

⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩

⎪⎨⎧<=

-=0211k k k 或

1-=∴k

1-=∴k 时函数2

22

-+=k k

kx y 为x

y 1-=

【例2】在反比例函数x

y 1

-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ )

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法. 解法一：由题意得111x y -

=,221x y -=，3

31x y -= 3210x x x >>> ,213y y y >>∴所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x

y 1-=的图像

描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法

213321321321,1,1,2

1

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令

【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（22

1

，）,那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】

⎩⎨⎧==⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩

⎪

⎨⎧=+==+=∴2

21111121,12221

1y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为

()11--∴，另一个点为

【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m

y =

在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.

图

解:因为直线m x y +=与双曲线x

m

y =过点A ，设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A

A A A x m

y m x y =

+=,.所以A A y x m =。 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2

1

212

1==•=∆.而已知2=∆AOB S 。 所以4=m .

三、练习题

1。反比例函数x

y 2

-=的图像位于（ ）

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限

C ．第二、三象限

D ．第二、四象限

o

y x

y x

o

y x

o

y x

o

A B C D

2.若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数

D 、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm 2

，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为( )

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P （ kPa ) 是气体体积V （ m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气

球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A 、不小于54m 3

B 、小于54m 3

C 、不小于45m 3

D 、小于45

m 3

作x 轴的垂线,垂足5．如图 ，A 、C 是函数x

y 1

=

的图象上的任意两点，过A 为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D,记Rt ΔAOB 的面积

为S 1，Rt ΔCOD 的面

积为S 2则 （ )

A ． S 1 ＞S 2

B ． S 1 〈S 2

C ． S 1=S 2

D ． S 1与S 2的大小关系不能确定 6．关于x 的一次函数y=—2x+m 和反比例函数y=

1

n x

+的图象都经过点A （-2，1）。 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式;（2)两函数图象的另一个交点B 的坐标；

（3）△AOB 的面积．

7。 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝错误!的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1)，点B 的坐标为（错误!，m ）．

(1）求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．

O

y

x

A

B

C

D

O

C

A

B

8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3),那么将满池水排空所需的时间t（h)将如何变化？

(3)写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

(5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数

m

y

x

的图象交于A

（-2，1)、B(1，n)两点.

（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式;（2)求△AOB的面积。

四、课后作业

1．对与反比例函数x

y 2

=

，下列说法不正确的是（ ） A ．点(1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限 C ．当0>x 时,的增大而增大随x y D ．当0

2.已知反比例函数()0k y k x

=≠的图象经过点（1，-2)，则这个函数的图象一定经过（ ） A 、（2，1） B 、（2，—1） C 、(2，4） D 、（-1，—2） 3．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x

k y 2

=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 。 1k +2k =0

B. 1k ·2k <0

C 。 1k ·2k 〉0

D 。1k =2k

4. 反比例函数y ＝k x

的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________．

5. 点P （2m －3，1)在反比例函数y ＝错误!的图象上，则m ＝__________．

6。 已知反比例函数的图象经过点（m ，2)和(－2，3）则m 的值为__________． 7. 已知反比例函数x

m

y 21-=

的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ,当210x x <<时,有21y y <，则m 的取值范围是？

8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝—2时y ＝7，求：

（1）求y 和x 之间的函数关系式； （2)当x=8时，求y 的值； （3）y ＝-2时，x 的值。

9. 已知3=b ，且反比例函数x

b

y +=

1的图象在每个象限内,y 随x 的增大而增大，如果点()3,a 在