高考数学微专题10答案

微专题10

例题 答案：2.

解法1以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，

则C ????2a ，0，B ()－a ，3a ，用几何方法，可得

O ????1a ，33????2a ＋1a .由AO →＝xAB →＋yAC →，

得

????1a ，33?

???2a ＋1a ＝(－ax ，3ax)＋

????2a y ，0，∴x ＝23＋13·1a 2，y ＝23＋13a 2，则x ＋y ≥43＋

2

3

a 2·1

a

2＝2.当a ＝1时，x ＋y 取

得最小值为2.

解法2因为AB →·AC →＝|AB →||AC →

|cos 120°＝2a·2a ·????

－12＝－2，设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，又AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →

＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝AD →·AB →＝

12

AB →2

＝2a 2，同理， AO →·AC →＝12AC →2＝2a

2.

∴?????AO →·

AB →＝xAB →2＋yAB →·AC →，AO →·AC →＝xAB →·AC →＋yAC →2.

即?

????4a 2

x －2y ＝2a 2

，－2x ＋4y a 2＝2a 2.

解得???x ＝2a 2＋13a 2

，

y ＝a 2

＋2

3.

所以，x ＋y ＝

2a 2＋1

3a 2

＋a 2＋23＝43＋13????a 2＋1a 2≥43

＋

23

a 2·1

a

2＝2.当且仅当a ＝1时，上式

等号成立，此时△ABC 是等腰三角形．

变式联想

变式1

答案：7.

解法1因为O 是三角形外心，M 是BC 边的中点.AO →·AM →＝12AO →·()

AB →＋AC →＝14

AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94＝4，所以AB →

2＝7.即

AB ＝7.

解法2延长AO 交圆O 于D ，连接BD ，DC ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC.AO →·AM →＝12AD →·

12(AB →＋AC →

)＝

14(AD →·AB →＋AD →·AC →)＝14(AB →＋BD →)·AB →＋

14(AC →＋CD →)·AC →＝14AB →2＋14AC →2＝14AB →2＋94

＝4，AB →

2＝7.即AB ＝7. 解法3建系：以BC 为x 轴，OM 为y 轴，建立平面直角坐标系，设B(－a ，0)，C(a ，0)，O(0，b)，A(c ，d)．由题意得

???

a 2＋

b 2＝

c 2＋（

d －b ）2，

（c －a ）2

＋d 2

＝

9，c 2

＋d 2

－db ＝4，

????

?a 2

＝4－bd ，2ac ＝－1，c 2＋d 2＝4＋db.

AB 2＝(a ＋c)2＋d 2＝a 2＋2ac ＋c

2＋d 2＝7，AB ＝7.

变式2

答案：2＋1.

解法1不妨设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，－y )，3b －c ＝(－x ，3－y )，由题意得－x (1－x )－y (3－y )＝1，整理得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即

????x －122＋????y －322

＝2，它表示以???

?12，32为圆心，以2为半径的圆，则|c |表示该圆上的点到原点(0，0)的距离，

从而|c |max ＝2＋????122＋???

?322

＝2＋1.

解法2由解法1得????x －122

＋????y －322

＝2，令

???x ＝1

2＋2cos α，

y ＝3

2＋2sin α，

(α为参数)则 |c |2

＝????12＋2cos α2＋

???

?32＋2sin α2

＝3＋2cos α＋6sin α＝3＋22cos(α－θ)(其中tan θ＝3)，所以|c |max 2＝3＋22，于是|c |max ＝1＋ 2.

串讲激活

串讲1 答案：4.

解法1记AB →，AC →

方向上的单位向量分别为a ，b ，则a 2＝b 2＝1，a ·b ＝12，AB →

＝4a ，

AC →＝6b .从而AD →＝2a ，AE →＝2b ，AF →＝12(AD →＋

AE →)＝a ＋b ，BF →＝AF →－AB →＝b －3a ，DE →＝AE →－AD →＝2b －2a .所以BF →·DE →＝(b －3a )·(2b －2a )＝2b 2＋6a 2－8a ·b ＝2＋6－4＝4.

解法2取CE 的中点G ，连接BG ，设BG 的中点为M ，连接FM ，则BM →＝DE →

，且

FM ⊥BM ，所以BF →·BM →＝BM →

2＝BM 2＝DE 2＝22＝4.

解法3若对坐标法情有独钟，也可以以A 为原点，AB →

方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (3，33)，从而D (2，0)，E (1，3)，F ????32，3

2，

所以BF →＝????－52，32，DE →

＝(－1，3)，所

以BF →·DE →＝52＋32

＝4.

串讲2 答案：214

.

解法1(AB →＋AC →)2＝(AB →－AC →

)2＋4AB →·AC →AB →·AC →＝14(25－CB →

2)≤14(25－22)

＝21

4

. 解法2如图所示，建立直角坐标系，

则A(0，3)，设B(x 1，2)，C(x 2，0)，则AB →＝(x 1，－1)，AC →＝(x 2，－3)，因为|AB →＋AC →

|＝5，所以(x 1＋x 2)2＋(－4)2＝25，即(x 1＋x 2)2

＝9，而AB →·AC →＝x 1x 2＋3≤

????x 1＋x 222＋

3＝94＋3＝21

4

(当且仅当x 1＝x 2时取等号)． 新题在线

答案：14

.

解法1由题意可知，BM ⊥

BN ，∠AMB ＝90°，所以AM ∥BN ，因为AC ＝2，B

为AC 的中点，所以BN ＝BC ＝BA ＝1，设∠NBC ＝∠MAB ＝α，α∈????0，π2，AM →·CN

→

＝AM →·(BN →－BC →)＝AM →·BN →－AM →·BC →＝|AM →

||BN →|－|AM →||BC →|cos α＝|AM →|－|AM →||AB →|cos α＝|AM →|－|AM →|2，令|AM →

|＝t ，0＜t ＜1，AM →·CN →＝t －t 2∈????0，14，所以AM →·CN →的最大值为1

4

.

解法2AM →·CN →＝(BM →－BA →)·(BN →－BC →

)＝－BM →·BC →－BA →·BN →＋BA →·BC →＝BM →·BA →＋cos α－1＝|BM →||BA →|sin α＋cos α－1＝|BM →|2

＋|AM →|－1＝－|AM →|2＋|AM →

|，以下同解法

1.

解法3以点B 为坐标原点，线段AC 所在的直线为x 轴，线段AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．

设∠NBC ＝∠MAB ＝α，

α∈?

???0，π

2，则

M(－sin 2α，sin αcos α)，N(cos α，sin

α)，A(－1，0)，

C(1，0)，AM →·CN →

＝(1－sin 2α，sin αcos α)·(cos α－1，sin α)＝(1－sin 2α)(cos α－1)＋sin 2αcos α＝cos α－1＋sin 2α＝－cos 2

α＋cos α，令cos α＝t ，0＜t ＜1，以下同解法1.

解法4同解法3建系，设直线BN 的斜率为k(k ＞0)，则直线BM 的斜率为－1

k ，则

直线BN 的方程为y ＝kx ，直线BM 的方程

为y ＝－1

k x ，联立???y ＝kx ，x 2＋y 2＝1，

解得

N ?

????

11＋k 2

，k 1＋k 2，联立 ???

y ＝－1

k

x ，

????x ＋122

＋y 2

＝1

4，

解得 M ? ??

??－k

2

k 2＋1，k k 2＋1，因为A(－1，0)，C(1，0)，所以AM →＝???

?1k 2＋1，k k 2＋1，CN →

＝

?

????11＋k 2－1，k 1＋k 2，AM →·CN →

＝1k 2＋1? ????11＋k 2－1＋k k 2＋1·k 1＋k 2＝1

k 2

＋1

? ????

k 2

＋11＋k 2

－1＝11＋k 2

－ 1k 2

＋1，令t ＝1

1＋k 2

，则0＜t ＜1，以下同解法1.