低维带参非线性狄拉克方程
低维带参非线性狄拉克方程
本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。
关键词：非线性；狄拉克；F-展开法
Abstract
In this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory describes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one–dimensional nonlinear Dirac equation.by using the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parameter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality.
Key word:Nonlinear; Dirac; F-expansion;
目录
Abstract ......................................................................................... I I 第一章绪论 .. (1)
1.1 量子力学的起源与发展 (1)
1.1.1 克莱因-高登方程 (1)
1.1.2 狄拉克方程的提出 (2)
1.2 非线性量子力学 (3)
1.2.1 近代非线性量子力学的概述 (4)
1.2.2 非线性方程一般解法 (5)
第二章非线性狄拉克方程的F-展开法求解过程 (1)
2.1 Thirring 模型与F展开法的概述 (1)
2.1.1 Thirring模型定义 (1)
2.1.2 F-展开法一般求解过程 (2)
2.2非线性狄拉克方程形式 (3)
2.2.1 非线性狄拉克方程求解概述 (4)
2.2.2 简化与讨论 (6)
结论 (8)
参考文献 (9)
第一章绪论
1.1 量子力学的起源与发展
20世纪初期，从普朗克成功的解决黑体辐射中的紫外灾难[1]问题引出的微观粒子能量量子化概念到波尔为解释原子的光谱线系而提出的原子结构的量子论，虽然使当时物理学中光电效应、固体在低温下的比热等重大疑难问题的解决。但该理论始终未能表现出电磁场的粒子性，同时该理论也不能兼容光子，更不能描述光子的湮灭和产生。因此，此时所创立的量子理论依旧是不完善的。这些理论上的瑕疵极大的促进了当时理论物理的蓬勃发展，而量子力学就是在解决这些问题中逐步建立起来的，其中量子力学的最基本理论假设为以下五条。
(1)微观体系的状态由波函数描述，并且该波函数可以归一化。
(2)描述体系含时演变的波函数满足薛定谔方程的约束。
(3)经典的力学量由相应的量子线性算符表示。
(4)量子力学中的力学量算符之间有确定的对易关系，即量子条件；坐标算符与动量算符中的在直角坐标系下的分量的对易关系称为基本量子条件；
(5)全同多粒子体系的中交换任意一对粒子描述体系的波函数对于具有一定的对称性：玻色子系统的波函数是交换对称的，费米子系统的波函数是交换反对称的。
根据以上假设，经过严格的数学推导和实验验证逐步建立起了近代量子力学的基本框架，到目前为止量子力学中的理论预言尚未被证明是错误的。量子力学的创立与相对论并列为20世纪最伟大的物理学成就。
1.1.1 克莱因-高登方程
在作为量子力学的基石的5个理论假设中，第四个假设导出的含时演变的薛定谔方程与狭义相对论的要求明显不兼容。量子力学中的哈密顿算符是由经典物理体系中非相对论力学的运动方程一阶低能近似得到的。这便导致了非相对论性下的薛定谔方程在高能领域中，无法对由粒子的产生与湮灭导致的粒子数不完全守恒的体系给出正确地描述。为了解决非相对论性矛盾，1926年，克莱因(O.Klein)和高登
(W.Gordon)仿照单粒子的薛定谔方程，利用相对性原理得到了第一个相对论性波动方程错误！未找到引用源。即Klein-Gordon方程。但K-G方程自身依然具有许多问题。
(1)ψ*ψ*不是正定的，无法解释为粒子的位置概率；
(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难，因为在量子力学理论中存在自发跃迁，因而这个方程的所有定态解将不断自发跃迁到错误！未找到引用源。的能级。
(3)同时方程是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要起始时刻的错误！未找到引用源。外还需要错误！未找到引用源。作为初始条件；
(4)由K-G方程计算氢原子能级所得到的结果与实验符合得不好；
(5)这一方程除错误！未找到引用源。的自由形式之外，无法纳入量子力学的已有体系之中。
然而又不能简单地否定这个方程，因为
(1)这一方程的非相对论极限正是薛定谔方程；
(2)由克莱因-高登得出的空间概率密度错误！未找到引用源。与非相对论薛定谔方程得出的结果十分相似.[2]
上述分析表明，克莱因-高登方程既然是符合相对论的要求，上述的问题很可能不是有K-G方程导致的，而是由错误的波函数引起的。
1.1.2 狄拉克方程的提出
狄拉克认真的分析了上述的情况，他试图通过寻找相对论运动方程的另一个形式，该方程为时间的一阶方程，同时作为该方程解的波函数依旧满足克莱因高登方程。
于是狄拉克设想自由电子的运动方程满足下列形式的相对论方程：
错误！未找到引用源。(1.1) 其中错误！未找到引用源。为算符性质与泡利算符类似。在狄拉克方程提出不久之后，泡利用这个方程成功解出了氢原子的能级，并且得到的结果与当时的实验
物理得到结果吻合的非常好。由此便可以证明狄拉克方程至少对于自旋电子系统是适用的。并且方程中的待定常数错误！未找到引用源。在其作用的希尔伯特空间中是与电子的自旋有关的。
1.2 非线性量子力学
狄拉克提出的自由电子的运动方程与薛定谔方程一样同为线性方程。线性量子力学体系下，微观粒子是以波包来运动得，并且随着时间变化以高斯波的形式在整个空间逐渐的发散出去。同时计算表明这种发散的趋势无法在外场错误！未找到引用源。的约束下终止。这就表明外场势的状态对描述粒子运动状态的波函数无关，对于微观粒子的一些力学性质无法直接影响。这也就是说在量子力学体系中不存在一种已知力场可以从根本上阻止粒子的弥散运动。随着时间的演变粒子最终会从一个局域性波包变成一个分布于整个空间的高斯波。对于仅能以波的形式运动而无法局域化的微观粒子与实际生活中的粒子概念完全无法协调，这便成立该理论一个无法克服的理论缺陷。这便导致了微观粒子的色散性与分布概率表示等特点的出现。上述问题主要是由描述体系能量的哈密顿算符和运动状态的动量算符与粒子的本身运动状态无关和理论自身为线性理论导致的。以两个观点与经典的物理学观念格格不入。一般来说处在不同状态的粒子，所具有的能量不会相同，这是因为粒子的能量与粒子所处的状态决定了粒子所具有的能量。这也进一步说明描述系统能量的哈密顿算符是与波函数有密切的关系的。如果引入了这种相互作用，粒子的特性便得到了改变，粒子随着时间演变而导致的弥散便可以阻止，从而使粒子能被局域化。另外，通常来说粒子的不同状态叠加后不在描述系统的原有状态。这也就是说线性叠加原理和线性薛定谔方程应该改变，使得理论更加的符合实际。非线性关系普遍的存在于各个系统中，特别是在多粒子体系中非线性关系更是普遍存在。
1.2.1 近代非线性量子力学的概述
在提到非线性量子力学时就不得不提及德布罗意所做的贡献。在20世纪20年代德布罗意就在其著作中提出把一个体系的错误！未找到引用源。波函数认为是物
理空间中真实存的场。他通过把错误！未找到引用源。设想成是描述场与粒子之间一种本质的耦合。并由此来解释电子的衍射和干涉现象。之后他在J.de Physique 上发表的“波动力学与辐射的原子结构”一文中提到双重解理论。他认为量子力学方程允许存在一类具有统计意义并且可以归一化的连续解错误！未找到引用源。，并假设其仅仅具有统计意义，由此可以排除其描述物理波动。另一类具有奇点与定域的意义的错误！未找到引用源。波，粒子的其他具体特性可以同过该波函数推出。通过扩展单色平面波公式广，同时利用引导公式来规定粒子波的传播规律，由此表示它在波中的运动。这也就意味着在波中运动的粒子一种力的约束，该力的性质可以从“量子势”中导出，此势与普朗克常数平方成正比。若该粒子的波函数为平面波形式，那么它所具有的量子势为零。1950年左右，德布罗意完善了“双重解理论”。但满足波函数错误！未找到引用源。的具体非线性方程形式并未给出。此外，该理论在描述单粒子的基态和多粒子体系时遇到了严重的困难。由于缺少实验的支持，该理论只有少数人的支持，并且一直未得到发展。但是由该理论所提及的“量子势”概念却引起了很多人的关注。1952年玻姆提出定域隐函数理论并且提出把错误！未找到引用源。作为量子势的具体表达式，其中R是可归一化波函数错误！未找到引用源。的振幅。玻姆在粒子的运动方程中引入量子势，并认为具有超距作用的量子势将使量子测量过程受到干扰。1966年玻姆-波布提出的隐函数理论中，并且他们在薛定谔方程中再次加进量子势和非线性作用，并试图通过客体、隐函数和环境之间的关系来研究这个非线性项所满足方程的具体形式，依此来研究量子势与非线性项所引起的粒子性质的改变情况，使得微观粒子变化可测的。然而，该理论最终未能得到理想的结果。
虽然很多的工作没能从根本上改变量子力学存在的问题，但却给我们指明了解决问题的方向和更加深刻理解理论存在的问题。(1)量子力学并非是最终的理论，它也需要改进和发展，在以后的一段时间中发展始终是量子力学的主题。(2)改进量子力学的目的是为了使微观粒子局域化，使之成为具有波粒二象性的物理粒子。(3)量子力学改进的方向就是建立非线性量子力学，把非线性相互作用加进薛定谔方程，使粒子性质改变。然而，引入非线性相互作用是否就是的非线性作用或量子势，依旧是值得研究的。这就是说，对于微观粒子体系，如何正确的引入非线性相互作用形式是值得深入和广泛研究的。
非线性理论主要起源于孤子理论，自从1834年英国工程师罗素第一次观察到孤波开始，一直到1965年扎布斯基(N.J.Zabusky)和克鲁斯卡(M.D.Kruskal)解出了KdV方程的数值解时发现孤波相互作用后能保持各自波速不变的粒子性质并将其称之为孤子，自此之后孤子和孤波的概念才广泛的应用于物理学的各个领域。目前从等离子体、流体力学、凝聚态物理、光学、基本粒子物理乃至天体物理，都发现了孤子存在的实验事实或者物理机制。
1.2.2 非线性方程一般解法
实际上在自然界中，非线性现象才是最普遍的，非线性才是自然界的本质，描述一个现象的物理规律在一定近似下大多可以建立数学模型。研究非线性物理中的孤波现象，就必须求解描述物理学各领域相应规律的非线性方程，包括非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等。
如今非线性物理的研究，特别是孤子理论的研究，使得很多非线性方程可以精确求解了。这些方程主要有burgers方程、非线性Klein-Gordon方程、KdV(korteweg-de Vries)方程、Boussinesq方程、mKdV方程、BDO(Benjamin-davis-ono)方程、KdV-burgers-Kuramoto方程、非线性薛定谔(NLS)方程、非线性狄拉克(NLD)方程、Fisher方程等。[3]
求解非线性方程的方法有分多种。例如试探函数法[4]、Darboux/B?cklund变换法[5]、tanh函数法[6]、Hirota双线性算子法[7]、Backlund变换法[8]、jacobi椭圆函数法[9]与F展开法[10-12]等。近年来随着椭圆函数和一些非线性演化方程之间的关系的研究，展开法特别是错误！未找到引用源。-展开法[13]和F-展开法，引起了广泛的关注，并且这些方法在寻找行波解时是行之有效的。行波在在描述众多的复杂物理现象中取得了很大的成功，特别是在对自旋场中Thirring模型下的耦合多组分非线性狄拉克方程的求解是行之有效的。并且由于旋量场中的Thirring模型
符合有非线性狄拉克方程描述的以为相对论费米理论所得到的精确解而且与量子场论中的Sina-Gordon模型很类似，这些特殊的性质引起了众多研究者的兴趣。
第二章非线性狄拉克方程的F-展开法求解过程
2.1 Thirring模型与F展开法的概述
本文正是在此研究背景下，利用F展开法对Thirring模型中的一维带参非线性狄拉克方程精确求解。
2.1.1 Thirring模型定义
Thirring模型是完全可解且协变的(1+1)维二分量狄拉克旋量的量子场论[14]。我们把Thirring拉格朗日量表示成如下形式：
我们称上式为Sommerfield拉格朗日量对于Thirring拉格朗日量的更一般的形式为
由Charles Sommerfield与20世纪60年代得出。在错误！未找到引用源。中通常存在着二分量狄拉克旋量错误！未找到引用源。、自旋为1的场错误！未找到引用源。和一个完全反对称张量场错误！未找到引用源。。在拉格朗日量中我们默认给出了经典流形的定为错误！未找到引用源。。
该模型是一个描述狄拉克费米子与局部相互作用的特殊的(1+1)维模型。事实上由于仅存在4个独立的场并且考虑泡利原理时，我们得到所有的四次方局部作用是等价的，并且在高能作用下局部相互作用会消失。(其中包含有导数的相互作用，例如错误！未找到引用源。，并未考虑在相互作用形式中，因为它们都是非重正化的)。
Thirring模型的关联函数验证了Osterwalder-Schrader公理[15]。所以理论上有理由把它作为量子场论。并且无质量情况下Thirring模型在已知n个点场的相关公式已知情况下是精确可解的。
2.1.2 F-展开法一般求解过程
提出F展开法最初是为了概括jacobi椭圆函数展开法，即用满足雅可比椭圆方程(辅助常微分方程)的抽象函数F代替具体的雅可比椭圆函数，从而大大简化了计算，想要得到雅可比椭圆函数展开法的结果时只需要查询函数F与雅可比椭圆方程系数之间的关系表即可。准确地说, 非线性数学物理方程的解一般都可以表示成关于F的多项式形式, 其中F的最高次数由非线性数学物理方程中占支配地位的最高阶导数项和最强的非线性项的齐次平衡来求出, 同时F满足辅助常微分方程。已有文献中辅助常微分方程的部分解已明确给出, 但这并不表明只有这些已有结果, 若能得到辅助常微分方程新的有意义的解, 根据F展开法, 就可求得诸如，非线性波动方程，K-D(Konopelchenko-Dubrovsky)方程等多种非线性数学物理方程相对应的新的精确解；此外F展开法中选用的辅助常微分方程还可选取其它著名常微分方程如：tanh方程、log-方程与指数方程或者也可以选用一些可积耦合的非线性演化方程，已选用的方程有Riccati方程、Riccati方程组投影与一般方程等。
F展开法用于求解具有以下形式的偏微分方程
错误！未找到引用源。(2-1)
其中H及其各阶偏导数都是由错误！未找到引用源。组成的多项式。F展开法
的基本思想是用多项式错误！未找到引用源。表示未知函数，错误！未找到引用源。定义为错误！未找到引用源。；
错误！未找到引用源。(2-2)
其中错误！未找到引用源。是常数。在等式(2-2)的两端乘上错误！未找到引用源。，化简得错误！未找到引用源。的表达式：
错误！未找到引用源。(2-3) 我们把未知函数错误！未找到引用源。表示成如下形式
错误！未找到引用源。(2-4) 将方程(2-4)带入原非线性偏微分方程(1)中利用式(2-2)和(2-3)通过权衡最高导
数项和非线性项来确定m.而(1)式中的H则可以表示为多项式错误！未找到引用源。加上多项式错误！未找到引用源。。设错误！未找到引用源。的所有项的系数为零可以求解方程(2-1)。这将产生一组关于错误！未找到引用源。的超定代数方程，如果这组代数方程能被最终求解，那么在式(2-4)中的未知函数错误！未找到引用源。则可以被精确求解。
2.2非线性狄拉克方程形式
我们考虑如下形式的非线性狄拉克方程[16-17]
错误！未找到引用源。(2-5)
错误！未找到引用源。(2-6) 其中参数化非线性项为
错误！未找到引用源。(2-7) 当错误！未找到引用源。对应于Thirring方程下的情况。将式(2-7)带入方程(2-5)和(2-6)中得到
错误！未找到引用源。(2-8)
错误！未找到引用源。(2-9) 用归一化坐标和函数让上述方程的系数为1，简单的推导可得错误！未找到引用源。，得到
错误！未找到引用源。(2-10) 方程(2-10)具有以下的一般解
错误！未找到引用源。(2-11)
其中p，q为常数。我们在接下来的步骤中对式(2-8)，(2-9)，与(2-11)进行配凑。
2.2.1 非线性狄拉克方程求解概述
应用F-展开法之前，我们回顾下(2-8)，(2-9)，(2-11)中提出的问题并且假设有如下形式的行波解
错误！未找到引用源。(2-12) 其中错误！未找到引用源。，k为常数。将(12)式带入(8)(9)得到虚数部分为
错误！未找到引用源。(2-13) 实数部分：
错误！未找到引用源。(2-14) 让方程组(2-13)与(2-14)分别相等，很容易得到
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。(2-15) 将式(2-15)带入(2-13)与(2-14)得到
错误！未找到引用源。(2-16)
错误！未找到引用源。(2-17) 其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。如果我们定义
错误！未找到引用源。(2-18) 联立方程(2-16)与(2-17)消除错误！未找到引用源。我们得到关于错误！未找到引用源。的方程
(2-19) 现在我们仿照式(2-4)把F展开法应用到错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。可以表示成错误！未找到引用源。的多项式其中错误！未找到引用源。已在(3)中定义过。不难看出，通过平衡式(2-19)中的非线性项和最高导数项，我们得到错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。之间存在线性关系。所以我们能把错误！未找到引用源。表示成错误！未找到引用源。的三阶多项式，错误！未找到引用源。表示成错误！未找到引用源。的二阶多项式。错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。仿照上述方法表示成错误！未找到
引用源。的多项式。将式(2-19)改写成错误！未找到引用源。的多项式我们可以得到
错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。取非零值时
错误！未找到引用源。(2-20) 错误！未找到引用源。当错误！未找到引用源。，
错误！未找到引用源。(2-21) 其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。为待定系数
2.2.2 简化与讨论
我们逐一的来考虑上述两种情况
情况错误！未找到引用源。：将(2-20)带入(19)我们得到一个三项多形式，令每项前面的系数为0我们可以得到如下代数式
解得
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。
其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。。(2-22) 由(22)与(20)联立可以得到错误！未找到引用源。的精确解
其中错误！未找到引用源。是任意常数，联立(12)(18)(23)(16)我们得到
错误！未找到引用源。(2-24) 其中错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。。
情况错误！未找到引用源。：与情况错误！未找到引用源。类似我们得到
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。
与情况(i)中令错误！未找到引用源。特殊情况一样，所以关于错误！未找到引用源。的公式仅适用于(2-23)式中的第一种情况。其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。由(24)式可得。
结论
在上一节，我们得到了系数的解析表达式和相位错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。，特别是当错误！未找到引用源。我们可以得到
错误！未找到引用源。(25) 其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为
归一化常数。当错误！未找到引用源。时该模型就变成了传统的Thirring系统，其中(25)式有以前计算出的结果符合[18].
因此，在本文中，通过参数化非线性狄拉克模型，同时抓住系统的主要非线性特征亮孤子型解，我们证明了最终的解的形式，而且它对幂指数中出现的非线性参
数具有很强的依赖性，这也就表明F-展开法在求一大类广义非线性狄拉克模型精确解中具有很强的实用性。
参考文献
[1] 庞小峰. 非线性量子力学. 电子工业出版社，2009:9-14
[2] 哈兴林. 高登量子力学. 高等教育出版社，2001:207-211
[3] 吴国将. Jacobi椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用. 安徽大学硕士学位
论文. 2007年:2-4
[4] 冯庆江，李岩，杨利垚. 用试探函数法求Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解. 长春大学学报，2010,20(6):27-28
[5] Matveev, V. A., and M. A. Salle. 1991. Darboux Transformation and Solitons. Springer.
[6] Malfliet, M., and W. Hereman. 1996. “The tanh method: I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations,” Phys. Scr., 54(6):563.
[7] Hirota, R.. 2004. The direct method in soliton theory. Cambridge University Press, Cambridge.
[8] 李沿光. Backlund变换理论发展简述及其新方法. 力学进展，1991，04
[9] 王晓丽，张鸿庆. Jacobi椭圆函数展开法及其应用. 烟台大学学报，2003,16(02)：94-97
[10] Abdou, M. A.. 2007. “The extended F-expansion method and its application for a class of nonlinear evolution equations,” Chaos, So litons and Fractals, 31(1):95-104. [11] Zhou, Y., M. L. Wang, and Y. M. Wang. 2003. “Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients,” Phys. Lett. A, 308(1):31-36.
[12] Mohammad Ali Bashir,and Lama Abdulaziz Alhakim.. “New F Expansion Method and Its Applications to Modified”KdV Equation. Journal of Mathematics
Research.2013,5,4:83-96
[13] Wang, M. L., X. Z. Li, and J. L. Zhang. 2008. “The (G'/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics,” Phys. Lett. A, 372(4):417-423.
[14] Konstantin Kravtsov, Darren Rand, and Paul R. Prucnal. “Quantum theory of Thirring solitons”Phys. Rev.A 76,013812(2007):1-11
[15] P. Menotti,and A. Pelissetto . “General proof of Osterwalder-Schrader positivity for the Wilson action” Communications in Mathematical Physics. 1987,113(3):369-373 [16] Huh, H.. 2013. “Global Solutions to Gross–Neveu Equation,” Lett. Math. Phys., 103:927–931
[17] Kravtsov, K., D. Rand, and P. R. Prucnal1. 2007. “Quantum theory of Thirring solitons,” Phys. Rev. A, 76:013812.
[18] Kuznetsov E. A., and A. V. Mikhailov. 1977. “On the complete integrability of the two-dimensional classical Thirring model,” Theor. Math. Phys., 30:193.
基于狄拉克方程的边缘态理论与应用
基于狄拉克方程的边缘态理论与应用 在量子霍尔效应的启示下，科学家们曾预言自然界中可能存在一种新的无自发对称破缺的物质状态。近年来发现的拓扑绝缘体恰好验证 了该项理论。拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域的热点问题，这类材料 的典型特征是体内元激发存在能隙，但在边界上具有受能隙保护的无能 隙边缘激发。我们基于狄拉克方程的边缘态解，从理论上讨论了边缘态 形成的主要原因，即体系哈密顿量在时间反演对称下保持不变，导致体 系具有两支在禁带内交叉形成狄拉克锥的稳定结构。为了更加深刻的理 解边缘态的概念，我们还利用Bernevig-Hughes-Zhang模型，从细节上 研究了由连续模型到附加边缘效应的过程。此外，我们简单介绍了第一 个从实验上实现的拓扑绝缘材料HgTe/CdTe量子阱。 关键词拓扑绝缘体; 量子霍尔效应; 狄拉克方程 第一章绪论 在经典物理学中，人们常常根据朗道对称破缺理论对物质进行分类，大多数物质的简单相态或相变，都可以从对称性破缺的观点来了解。但近年来，凝聚态物理中发现的一种新的物理态——整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应——颠覆了这项理论。为了弄清楚它们的结构，人们把拓扑这个近代数学中的重要概念引进到了凝聚态物理中，拓扑绝缘体正是基于这项理论而发展起来的。 传统材料按照其导电特性可分为：导体，半导体，绝缘体三种。导体在费米能级附近存在一定密度的电子态，当加上足够小的电压时，电荷元就能够被激发，系统中就会出现电流（如图1a）。半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中，电荷激发成为自由电子需要克服一个有限大小的能隙，需要很大能量，因而一般不易导电（如图1b）。拓扑材料则是一种十分特殊的绝缘体，理论上讲，这种材料内部是典型的绝缘体结构，但在它的表面，
狄拉克方程
1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。利用这个方程还可以讨论高速运动电子的许多性质，这些结果都与实验符合得很好。这些成就促使人们相信狄拉克方程是一个正确地描写电子运动的相对论性量子力学方程。 既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。 针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。这个理论认为由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。按照这个理论，如果把一个电子从某一个负能状态激发到一个正能状态上去，需要从外界输入至少两倍于电子静止能量的能量。这表现为可以看到一个正能状态的电子和一个负能状态的空穴。这个正能状态的电子带电荷-e，所具有的能量相当于或大于一个电子的静止能量。按照电荷守恒定律和能量守恒定律的要求，这个负能状态的空穴应该表现为一个带电荷为+e的粒子，这个粒子所具有的能量应当相当于或大于一个电子的静止能量。这个粒子的运动行为是一个带正电荷的“电子”，即正电子。狄拉克的理论预言了正电子的存在。 1932年美国物理学家安德森（Carl David Anderson）在宇宙线实验中观察到高能光子穿过重原子核附近时，可以转化为一个电子和一个质量与电子相同但带有的是单位正电荷的粒子，从而发现了正电子，狄拉克对正电子的这个预言得到了实验的证实。正电子的发现表明对于电子来说，正负电荷还是具有对称性的。狄拉克的空穴理论给出了反粒子的概念，正电子是电子的反粒
石墨烯电子的能带和狄拉克方程(三)
石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日） 北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ） 伍 勇 引言 有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。 根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下 ))k (E E () (k d )E (N -=?δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220 =-??=?∞ 对于电子和空穴 : vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱m q E 22 2 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==??=(21 22 ， 2 πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。
))()((K Re )()() t /()(D εεε εεπεε-+-+=3116314332 30<<ε 函数)x (K 是第一类椭圆积分。下面是在软件Mathematica 我输入的指令。 Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}] 可以对照文献[1]提供的DOS 图： 在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E E ln )E (N --∝δ 对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。 参考文献： [1] M. Katsnelson, GRAPHENE Carbon in Two Dimensions,2012 0.40.2 ε ) (D ε
石墨烯电子的能带和狄拉克方程
石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日） （为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考） 作者： 北京东之星应用物理研究所 伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师） 1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢 晶格原胞与基矢图?1 布里渊区与倒格子基图?2 图1中 )0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42 A 是。 由正格子基矢（12 2(30,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ 由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，' K 的坐标是：
下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K (' K )点 2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量 ∑∑> <+ +++-+=j i j i i i i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε 上式还可表为矩阵形式： ??? ? ?????? ??--=??? ? ?????? ??--+??? ? ??∑∑∑> <+ +><++++ j j j i ij pz ij pz i i j j j i i i i i i i i pz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε 模型不考虑电子自旋，
狄拉克与相对论量子力学
狄拉克与相对论量子力学 物理与工程V o1.17No.62007 狄拉克与相对论量子力学 王长荣桂金莲 (浙江科技学院理学院,浙江杭州31OO23) (广东技术师范学院基础部,广东广州510075) (收稿日期:2007—03—19) 摘要以2O世纪2O年代物理学发展所遇到的困难为科学背景,从3个方面阐述了狄拉克相 对论量子力学形成的过程及其深刻的物理内涵;作为完全相对论量子理论中的一种单 粒子理论,狄拉克方程的建立又进一步推动了量子电动力学和量子场论等新理论的建 立与发展. 关键词狄拉克;相对论量子力学;科学含义DIRACANDRELATIVEQUANTUMMECHANICS WangChangrongGuiJinlian (ZheiiangUniversityofScienceandTechnology.Hangzhou,Zheiiang,310023) (GuangdongPolytechnicNormalUniversity.Guangzhou,Guangdong,510075) AbstractThepaperexpatiatedonthebirthprocessofDirac'Srelativequantummechanics andrevealedtheinherentphysicalmeaningfromthreeaspects,basingonthedifficultiesofthe developmentofphysicsin1920s.Asamonparticletheoryofthecompleterelativequantum mechanics,Dirac'Sequationboostedtheestablishmentanddevelopmentofquantumelectro — dynamicsandquantumfieldtheory. KeyWordsDirac;relativequantummechanics;scientificmeaning 1科学背景
低维带参非线性狄拉克方程
低维带参非线性狄拉克方程 本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。 关键词：非线性；狄拉克；F-展开法
Abstract In this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory describes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one–dimensional nonlinear Dirac equation.by using the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parameter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality. Key word:Nonlinear; Dirac; F-expansion;
狄拉克方程
R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} 其中G 为牛顿万有引力常数 这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。 该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。 加入宇宙学常数后的场方程为： 式右边应该是光速的4次方，即：c^4 狄拉克方程式 理论物理中，相对于薛定谔方程式之于非相对论量子力学，狄拉克方程式是相对论量子力学的一项描述自旋-?粒子的波函数方程式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛仑兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正子(positron)而证实。 狄拉克方程式的形式如下： ， 其中是自旋-?粒子的质量，与t分别是空间和时间的座标。 狄拉克的最初推导 狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛仑兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-高登方程那样存在缺乏物理意义的负值。考虑薛定谔方程 薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。 其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛仑兹协变的。因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满 足洛仑兹协变性。如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量
狄拉克方程
狄拉克方程 1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。 从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。 1概念 自然单位制下的狄拉克方程 为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。 但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。 2应用
既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。 同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。 3空穴理论 针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。 这个理论认为由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。按照这个理论，如果把一个电子从某一个负
狄拉克方程的非相对论近似
狄拉克方程的非相对论近似 作者：小虾米 当薛定谔方程的波函数Ψs 与狄拉克方程的波函数大分量Ψ的关系式取为： 2 22(1)8s p m c ??=+ (1) 时，准确到(1/c)2级的非相对论近似解为： ()()2432331,,288p p H V p p V m m c m c σσ??=-+-???????? (2) 但(2)式存在一些问题：1：方程准到了(1/c)2级，但缺少1/c 级的项。而且这种缺失是不可避免的，因为(1)式中便直接略去了1/c 级的项，所以后续的计算中 不可能出现1/c 级的项；2：取势场为2 Ze V r -=,即库仑势时，若直接求解狄拉克方程，可得Z 的临界值为137C Z =,但(2)式中没有相关的近似项，使得137C Z =,时，基态不存在。 由以上两个问题可见把(1)式作为Ψs 和Ψ的关系式尚有些不足，而要解决上述问题，必须重新选定Ψs 和Ψ的关系式，其中最简单的关系式就是线性关系式： s a b ??χ=+ (3) 因为Ψs 满足归一化条件： 1s s dx ??+=? (4) 所以将(3)式代入(4)式可得： 22()()||||1a b a b dx a b ab ba dx ?χ?χ??χχ?χ??*+*+++*+*+++=+++=?? (5) 另一方面χ和Ψ是狄拉克方程的波函数，所以必定满足： 1dx χχ??+++=? (6) 令(5)式的前两项等于(6)式，即：|a|2=|b|2=1,则要求 0ab ba dx ?χχ?*+*++=? (7) 我们知道非相对论近似时： 2'2c p mc E V σχ??=+-(8)；2'2c p mc E V σχ?++?=-+- (9) 准确到(1/c)2级有： 2p mc σχ?++?=-(10)；2p mc σχ??= (11)
结构动力学第二章结构运动方程的建立
第2章 结构运动方程的建立 结构动力分析的目的,是求出动荷载作用下结构的动位移和动内力,并研究它们随时间的响应历程。在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，计算结果就足够精确了。通常情况下，独立的几何参数取的是位移，为了求出各种动力响应，应先列出结构动力位移方程，描述结构动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。运动方程的解，提供了位移过程，从而可求出其他各种所需的结构动力响应。 运动方程的建立，是结构动力学的核心问题，只有运动方程建立正确，整个求解过程才可能正确。建立振动体系的运动方程有多种方法,一般常用的方法有直接平衡法（达朗贝尔原理）、虚位移原理（拉格朗日法）、变分原理（哈密尔顿原理）3种，但不管采用何种方法建立运动方程,其结果都是一致的，本章将综述建立方程的原理和基本概念。 §2.1达朗贝尔(d’Alembert)原理 根据牛顿第二定律：任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力()F t ，力()F t 包括恢复力()R t 、阻尼力()D t 、外力()P t ，即： ()()d F t my t dt =???? （2.1） 当质量m 不随时间变化时，上式变成： 即： ()0F t my -= （2.2） 式()0F t my -=（2.2）表示，作用在质量m 上的力()F t ，与加速度方向相反的惯性力my -平衡。换句话说，如果我们把my -加到原来受力的质量上，则动力问题就可作为静力平衡问题来处理，这就是达朗贝尔原理。 按达朗贝尔原理，如果我们将惯性力my -沿自由度方向加到质量上，则动力问题可按静力问题来处理，当然在振动问题中，尚需考虑阻尼的存在。 按达朗贝尔原理建立质点系运动方程的一般步骤为： 1.确定体系振动分析的自由度的数目，建立计算模型； 2.建立坐标系，给出各自由度的位移参数； 3.按达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力； 4.通过分析质量平衡条件或考虑变形协调条件，建立体系运动方程。 利用达朗贝尔原理建立体系运动方程的具体方法又分为刚度法和柔度法两种： 取每个质量为隔离体，分析质量所受的全部外力，既有动力荷载()P t 、惯性力my -和阻尼力()D t ，还有体系变形所产生的阻止质量沿自由度方向运动的恢复力()R t 。建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程，即可得到体系的运动方程。
狄拉克与狄拉克方程
狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥