秦九韶算法求多项式
1.秦九韶算法求多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式
f（x）=8x7+5x6+0•x5+3•x4+0•x3+0•x2+2x+1
=（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1
v0=8，v1=8×2+5=21
v2=21×2+0=42，v3=42×2+3=87
v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348
v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397．
∴当x=2时，多项式的值为1397．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式
f（x）=8x7+5x6+0•x5+3•x4+0•x3+0•x2+2x+1
=（（（（（（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1
v0=8，v1=8×2+5=21
v2=21×2+0=42，v3=42×2+3=87
v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348
v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397．
∴当x=2时，多项式的值为1397．
1.3算法案例-秦九韶算法教学设计
1.3算法案例(二)__秦九韶算法 一、内容及其解析 本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题. 二、教学目标及其解析 目标定位 知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质. 过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久. 目标解析 1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法. 三、问题诊断分析 在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性. 四、教学支持条件分析的一般模式 在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学. 五、教学过程设计 问题一 什么事了解秦九韶算法？ 小问题1 怎样求多项式1)(2 345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？ (设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)
结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算. 小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的求值问题？ 要求多项式的值，我们可以把它改写成： 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++ . 首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+. 例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值. 小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值. 课堂小结(提问方式) 秦九韶算法计算多项式的值及程序设计 上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=??=+=? . 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现. 计算多项式ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法1：因为ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2：ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×（5４＋5３＋5２＋5＋１）＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１）＋１）＋１ =5×（5×（5×（5２＋5 ＋１）＋１）＋１）＋１ =5×（5×（5×（5 ×（5 ＋１）＋１）＋１）＋１）＋１
秦九韶算法教案
秦九韶算法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第7课时秦九韶算法 班级姓名 学习目标 1、掌握秦九韶算法的步骤，原理 2、秦九韶算法的运用 ※学习重点、难点： 重点：秦九韶算法求多项式的值 难点：秦九韶算法的运用 学习过程 一、知识链接 复习：分别用辗转相除法和更相减损术求288与123的最大公约数． （预习教材P37~ P38，找出疑惑之处） 二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示） 探究1：已知多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1 问题(1)：求f(1) 问题(2)：若求f(39)，再代入运算出现什么情况？ 问题(3)：当x的值较大时，有没有更好的方法求函数值呢？ 探究2：利用秦九韶算法多项式f(x)＝x5＋x4+x3－x2+x+1当x＝2时的值
知识归纳： (1)秦九韶算法的步骤： (2)秦九韶算法的原理是? ???? v 0＝a n ， v k ＝v k －1x ＋a n －k ， 三、合作探究 ※ 知识检测 1.用秦九韶算法求多项式f (x )＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝2时的值． ※ 能力达标 2. 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1当x ＝0.4时的值时，需要做乘法和加法分别是多少次？
小结： ※拓展提高 3.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时，求v3的值 四、课堂小结 1．秦九韶算法的步骤，原理 2．秦九韶算法的运用 达标练习 1.利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值
秦九韶算法公式详解
秦九韶算法公式详解 秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。 一、算法原理 秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为： $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式： $b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$ 求出$b_{n-1}$，再利用递推公式： $c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$ 求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。 二、算法流程 1.输入多项式的系数和x的值； 2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}； 3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止； 4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。 三、算法应用 秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多
项式积分等多个领域。其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。 1.多项式插值 多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。具体来说，对于n个点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。根据拉格朗日插值公式，我们可以得到： $f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$ 其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为： $l_{i}(x)=prod_{j=1,j eq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$ 这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。具体来说，我们可以将拉格朗日基函数表示为： $l_{i}(x)=frac{1}{prod_{j=1,j eq i}^{n}(x_{i}-x_{j})}timesprod_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_{j})$ 然后，我们可以将每个基函数的系数提取出来，再利用秦九韶算法求出多项式的值。 2.多项式拟合 多项式拟合是指通过已知的n个点，构造一个m次多项式，使得
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种用于高中数学中多项式运算的快速计算方法。它可以通过减少乘法和加法的次数，从而提高计算效率。该算法主要用于多项式的乘法和求值操作。 首先，我们来看多项式的表示形式。一个n次多项式可以表示为： P(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀ 其中，a₀, a₁, ..., aₙ是多项式的系数，x是变量。多项式中，次数最高项的系数aₙ不为零。 接下来，我们将详细介绍秦九韶算法的两个主要操作：多项式的乘法和多项式的求值。 1. 多项式的乘法： 假设有两个多项式： A(x) = aₙxᵐ + aₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + a₁x + a₀ B(x) = bₙxⁿ+ bₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + b₁x + b₀ 其中，A(x)的次数为m，B(x)的次数为n。 秦九韶算法的乘法操作可以通过如下步骤进行： -创建一个长度为(m+n+1)的结果数组result，初始值为0。 -对于A(x)中的每一项ai和B(x)中的每一项bj，计算乘积并将结果累加到result中对应的指数位置上。即：result[i+j] += ai * bj。 -最后得到的result数组即为乘积多项式的系数。 例如，假设有两个多项式： A(x) = 2x²+ 3x + 1 B(x) = 4x + 2 我们可以按照上述步骤进行计算： -创建结果数组result，长度为(2+1)+(1+1)=5，初始值为[0, 0, 0, 0, 0]。 -对于A(x)中的每一项和B(x)中的每一项，进行乘法和累加操作： result[0] += 2 * 4 = 8 result[1] += 2 * 2 + 3 * 4 = 16 result[2] += 3 * 2 = 6 result[3] = 0 result[4] = 0 -得到结果多项式的系数为[8, 16, 6, 0, 0]，即8x⁴+ 16x³+ 6x²。 这样，通过秦九韶算法，我们可以用较少的乘法和加法操作得到多项式的乘积。 2. 多项式的求值： 秦九韶算法也可以用于高效地计算多项式在给定值x₀处的取值。
秦九韶算法
秦九韶算法 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法。 基本介绍 中国古代伟大的数学家、中世纪的数学泰斗---秦九韶的算法理论之一。 秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了 计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算 法。 在西方被称作霍纳算法，是以英国数学家霍纳命名的。 基本简介 秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一 带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，即随父迁徙，也认为是普州安岳（今 四川安岳县）人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。（安岳县于1998年9月正式开工建设秦九韶纪念馆，2000年12月竣工落成。）
基本算法 把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式： f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0] =(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a [0] =((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0] =...... =(......((a[n]x+a[ n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0]. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值， 即v[1]=a[n]x+a[n-1]然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即v[2]=v[1]x+a[n-2] v[3]=v[2]x+a[n-3] ...... v[n]=v[n-1]x+a[0]这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。（注：中括号里的数表示下标）上述方法称为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法 应用示例 效率信息 对于一个n次的多项式函数，用常规方法（用重复乘法计算幂，再把各项相加）计算出结果最多需要n次加法和[n*(n+1)]/2次乘法。若用x迭代的方法计算幂则需要n次加法和2n+1次乘法。如果计算中的数值数据是以字节方式储存的，那么常规方法约需要x占用的字节的2n倍空间。 而使用秦九韶算法时，至多只需作n次加法和n次乘法，最多需要x占用的字节的n倍空间。 基本意义
第2课时案例2秦九韶算法
第2课时案例2 秦九韶算法 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例 例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=5； v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2;
秦九韶算法计算多项式
秦九韶算法计算多项式 秦九韶算法，又称快速傅里叶变换算法（FFT），是一种高效的多项式乘法算法。它通过将多项式表示转化为点值表示，利用快速傅里叶变换的思想，在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式乘法运算，极大地提高了计算效率。 我们来看一下多项式的表示方式。一个次数为n-1的多项式可以表示为： P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an-1x^n-1 其中，a0、a1、a2...an-1为多项式的系数。在秦九韶算法中，我们将多项式表示为点值形式，即将多项式在n个特定点上的取值表示出来。这n个特定点通常是2的幂次方，这样可以方便地进行快速傅里叶变换。 接下来，我们来介绍秦九韶算法的具体步骤。假设我们要计算两个多项式P(x)和Q(x)的乘积R(x)，首先需要将这两个多项式转化为点值形式。我们选择2n个点来表示多项式，这些点的取值可以是多项式在单位根上的取值。 然后，利用快速傅里叶变换的思想，将两个多项式的点值表示进行快速傅里叶变换（FFT）得到P(x)和Q(x)的系数表示，即P(x)和Q(x)的系数矩阵。
接下来，将P(x)和Q(x)的系数矩阵逐位相乘，得到R(x)的系数矩阵。然后，将R(x)的系数矩阵进行逆快速傅里叶变换（IFFT），得到R(x)的点值表示。最后，将R(x)的点值表示转化为系数表示，即得到多项式R(x)的系数。 通过秦九韶算法，我们可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式的乘法运算。相比传统的多项式乘法算法，秦九韶算法的计算效率更高，尤其对于大规模的多项式乘法运算，优势更为明显。 除了多项式乘法，秦九韶算法还可以应用于其他领域，如信号处理、图像处理等。在信号处理中，快速傅里叶变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便地进行频谱分析；在图像处理中，快速傅里叶变换可以将图像转化为频域表示，从而实现图像的滤波、增强等操作。 秦九韶算法是一种高效的多项式乘法算法，通过将多项式表示转化为点值表示，利用快速傅里叶变换的思想，在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式乘法运算。它在计算效率上具有明显的优势，被广泛应用于多项式乘法、信号处理、图像处理等领域。希望通过本文的介绍，读者能够对秦九韶算法有更深入的了解。
算法案例---秦九韶算法
§1.3算法案例---秦九韶算法 高二数学组 梅 杰 一.教学目标 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 2.能利用秦九韶算法进行一些多项式的计算，能用循环结构表示算法步骤。 二．教学重难点 1.理解秦九韶算法体现的思想； 2.用循环结构表示算法步骤。 三.教学过程 （一）创设情景，揭示课题 问题1 ：请同学们设计一个算法，计算8.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值。 学生可能会提出两种做法： 做法一：把5代入多项式的每一项，计算每一项的值，然后相加； 做法二：先计算x 的幂，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x 2,然后 依次计算x 2.x,( x 2.x).x,( ( x 2.x).x).x 的值，再各项相加。 结合学生的做法，进行比较点评： ①有哪些优点？哪些不足？ ②计算次数各是多少？有哪些计算种类？ [做法一有15次乘法运算，5次加法运算；做法二有9次乘法运算，5次加法运算] 对于计算机来说，做一次乘法运算所用时间要比做一次加法要长的多，所以算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数 问题2 ：上述问题1还有没有更有效的算法呢？ 老师引导学生从因式分解的角度，将多项式变形为： 8.0)7.1)6.2)5.3)24(((()(-+-++=x x x x x x f 思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？ 思考：让学生回顾整个计算过程，用此种方法一共进行了多少次乘法、加法运算？ 点评：一共进行了5次乘法，5次加法运算，相比较前两种做法，此做法更快、更方便，而且在计算过程中，只与多项式的系数有关。 这种算法就是“秦九韶算法”，在此可以介绍下秦九韶生平。【见附页】 （二）研探新知 问题1：怎样用秦九韶算法求一般的多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 当 x=x 0时的值？
axb公式
axb公式 AXB公式是一种较为常用的求解代数题目的简便方法。在代数运算中，特别是在解方程方面，AXB公式是一个非常有用的工具，可以大大地简化我们对方程解的计算。下面我们就来详细介绍一下AXＢ公式的概念和应用。 一、AXB公式的概念 AXB公式也称“秦九韶算法”，是中国古代算盘计算、方程求解的重要方法之一。这个公式是由数学家秦九韶在《数书九章》中首次提出的，它的含义是将一个多项式分解成若干个一次式的乘积，从而使得求解方程的任务变得更加简单。通常来说，一次方程的解可以轻松地求出，所以，把高次方程化为一次方程的形式，就能够更有效地求解方程的根。所以说，AXB公式就是用来将高次多项式分解为一次多项式的乘积。 二、AXB公式的应用 AXB公式一般用来解决一元n次方程或二元n次方程。下面分别介绍这两种方程的使用方法： 1、一元n次方程的应用 一元n次方程指的是形如ax^n+bx^(n-1)+cx^(n- 2)+...+c的方程，其中n为正整数，x为未知数，a,b,c为
系数。假设我们要求解这样一个一元n次方程，可以参考以下的步骤： 第1步：将该一元n次方程写成AX^2+Bx+C的形式； 第2步：计算出系数A,B，C； 第3步：据AXB公式(X1-X2)表示法，求解该一元n次方程的解。 例如，我们要解决方程2x^3-3x^2+5x-2=0，具体的做法如下： 第1步：将方程写成AX^3+BX^2+CX+D的形式。对于上面的方程，A=2，B=-3，C=5，D=-2。 第2步：根据AXB公式，将方程变成(X-X1)(X-X2)(X-X3)=0的形式。这里的X1,X2,X3称为方程的“根”。 第3步：将得到的方程用祖关“求根公式”（即： X1=-b±√(b²-4́ac)/2a）求出X1,X2,X3的值，然后代入方程解就可以解决该一元n次方程。 2、二元n次方程的应用 二元n次方程与一元n次方程类似，不过其未知数有两个，表示的是ax^n+by^n+cx^(n-1)+dy^(n-1)+ez^(n-1)+f....=0的方程。解决二元n次方程的AXB公式与解决一元n次方程的方法类似，采取以下的步骤： 第1步：将该二元n次方程写成aX^2+bXc+dc^2+e=0的形式；
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法 §75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法 1.步骤 2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4. 其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语 句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能 看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商 互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大 连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3. 两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减 法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1. 直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺 由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越 大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、
山东省北镇中学高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3
山东省北镇中学高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必 修3 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
秦九韶算法
秦九韶算法 简介 秦九韶算法是一种用于高效计算多项式值的算法，由中国古代数学家秦九韶于 公元1247年提出。该算法通过将多项式展开成一系列乘法和加法运算的组合，从 而避免了重复计算的问题，提高了计算效率。秦九韶算法在多项式计算中具有广泛的应用，例如在图像处理、信号处理和计算机图形学等领域。 算法原理 假设有一个n次多项式： 秦九韶算法通过不断更新“累计值”来计算多项式的值，具体步骤如下： 1.将多项式的最高次幂的系数记为an。 2.令result等于an。 3.依次从高次幂到低次幂遍历多项式，将每次遍历的乘积与result相 加，更新result的值。 4.返回result作为多项式的值。 用公式表示上述算法，可以写成如下形式： result = an for i in range(n-1, -1, -1): result = result * x + ai 示例 为了更好地理解秦九韶算法的应用，我们通过一个具体的示例演示其计算过程。 假设有一个5次多项式：P(x) = 2x^5 + 3x^4 + 5x^3 - x^2 + 2x - 1，现在我们要计算当x = 2时的多项式值。 根据秦九韶算法的原理，我们可以按照以下步骤进行计算： 1.对于此多项式，最高次幂的系数是2，所以将result初始化为2。 2.从高次幂到低次幂遍历多项式： –当i = 4时，result = (2 * 2) + 3，此时result的值为7。 –当i = 3时，result = (7 * 2) + 5，此时result的值为19。 –当i = 2时，result = (19 * 2) - 1，此时result的值为37。
用秦九韶算法计算多项式的值c语言
用秦九韶算法计算多项式的值c语言多项式是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。在计算机科学中，多项式的计算也是一个常见的问题。本文将介绍一种高效的算法——秦九韶算法，用它来计算多项式的值。 一、秦九韶算法的原理 秦九韶算法是一种快速计算多项式值的算法。它的基本思想是将多项式的系数和变量分离，然后通过递推的方式计算多项式的值。具体来说，假设多项式为： f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 我们可以将其表示为： f(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... + x(an-1 + anx)...)) 这样，我们就可以通过递推的方式计算多项式的值。具体来说，我们可以从最高次项开始，依次计算每一项的值，然后将其累加起来。这样，我们就可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值。 二、用c语言实现秦九韶算法 下面，我们将用c语言来实现秦九韶算法。具体来说，我们可以定义
一个数组来存储多项式的系数，然后通过循环来计算多项式的值。代码如下： ```c #include
2021高中数学-秦九韶算法(精选试题)
高中数学-秦九韶算法 1、用秦九韶算法求多项式fx=2x7+x6-3x5+2x4+4x3-8x2-5x+6的值时，V4=V3x+__________. 2、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an. 如果在一种算法中，计算x0k(k=2，3，4，⋅⋅⋅，n)的值需要k-1次乘法，计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pnx0的值共需要______次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法：P0x0=a0，Pk+1x=xPkx+ak+1(k=0，1，2，⋅⋅⋅，n-1).利用该算法，计算P3x0的值共需要6次运算，计算Pnx0的值共需要_______次运算. 3、用``秦九韶算法’’计算多项式fx=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，当x=2时的值的过程中，要经过_____________次乘法运算和________次加法运算.
4、(1)用辗转相除法求282与470的最大公约数. (2)用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值. 5、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时，v3的值为（） A.27 B.86 C.262 D.78 6、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值_______. 7、用秦九韶算法计算fx=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的
值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（） A.6，6 B.5，6 C.6，5 D.6，12 8、用秦九韶算法计算函数fx=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值. 9、用秦九韶算法求多项式fx=3x5+x2-x+2，当x=-2时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（） A.4，2 B.5，3 C.5，2 D.6，2 10、用秦九韶算法求多项式fx=x6-5x5+6x4+x2-3x+2，当x=3时的值.
秦九韶算法-高中数学知识点讲解(含答案)
秦九韶算法（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共 2 小题） 1．（2014•海淀区校级模拟）用秦九韶算法计算多项式 ( ) 1 5 10 10 5 在 时的值时， v 的 f x x x x x x x 2 2 3 4 5 3 值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2013•朝阳区校级模拟）将八进制数135 化为二进制数为 ( ) (8) A ．1110101 B ．1010101 C ．1111001 D ．1011101 二．填空题（共 3 小题） 3．（2010 春•崇文区期末）下面是用秦九韶方法求多项式 ( ) 1 2 3 4 5 在 的值的算法： f x x x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 a 5 5 u 0 a 5 5 ； a 4 4 u u x a 1 4 5 4 1； a 3 3 u u x a 2 1 3 1 3 4 ； a 2 2 ； a 1 1 u u x a 4 3 1 2 1 3； a 1 u u x a 5 4 0 3 1 2 ； f ( 1) ． 4．（2017 秋•海淀区校级期末）把 89 化为五进制数为 ． 5．（2015 春•丰台区期中）将 101 101 化为十进制数，结果为 ． (2)
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秦九韶算法（北京习题集）（教师版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共2 小题） 1．（2014•海淀区校级模拟）用秦九韶算法计算多项式( ) 1 5 10 10 5 在时的值时，v 的 f x x x x x x x 2 2 3 4 5 3 值为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】所给的多项式写成关于x 的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值． 【解答】解：f(x) 1 5x 10x 10x 5x x 2 3 4 5 (x 5x 10x 10x 5)x 1 4 3 2 [(x3 5x2 10x 10)x 5]x 1 {{[(x 5)x 10]x 10}x 5}x 1 x 2 V [(x 5)x 10]x 10 [(4 (2) 3) (2) 4] (2) 2 2 在时的值时，的值为 3 故选：B ． 【点评】本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以． 2．（2013•朝阳区校级模拟）将八进制数135 化为二进制数为 ( ) (8) A．1110101 B．1010101 C．1111001 D．1011101 【分析】进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将 8 进制数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为二进制数，选出正确选项 【解答】解：135 58 38 18 93 0 1 2 (8) 由下图知，化为二进制数是1011101 (2) 故选：D ．
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答) 秦九韶与k进制练习题 一．选择题（共16小题） 1．把77化成四进制数的末位数字为（） A．4 B．3 C．2 D．1 2．用秦九韶算法求多项式f（x）=x+2x+x3x1，当x=2时的值，则v3=（） A．4 B．9 C．15 D．29 3．把67化为二进制数为（） A．__ B．__-__ C．__-__ D．__-__ 4．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当 x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（） A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5 5．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x+4x2x+5x7x2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（） A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，6 6．把27化为二进制数为（） A．1011（2）B．__（2） __-__C．__（2）432D．__（2）7．用秦九韶算法计算多项式f （x）=5x+4x+3x2__1在x=4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分
别是（） A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，5 8．二进制数__-__（2）对应的十进制数是（） A．401 B．385 C．201 D．258 9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟． A．13 B．14 C．15 D．23 10．用秦九韶算法在计算f（x）=2x+3x2x+4x6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（） A．4，3 B．6，4 C．4，4 D．3，4 11．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x3x+2x在x=1时的值，v2的结果是（） A．4 B．1 C．5 D．6 12．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、__（2）中最大的数是（） A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．__（2）__ 13．十进制数89化为二进制的数为（） A．__-__（2）B．__-__（2）C．__-__（2）D．__-__（2） 14．烧水泡茶需要洗刷茶具（5min）、刷水壶（2min）、烧水 （8min）、泡茶（2min）等个步骤、从下列选项中选最好的一种算法
秦九韶算法K进制练习题含详细解答
. . .. 九韶与k进制练习题 一．选择题（共16小题） 1．把77化成四进制数的末位数字为（） A．4 B．3 C．2 D．1 2．用九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2﹣3x﹣1，当x=2时的值，则v3=（） A．4 B．9 C．15 D．29 3．把67化为二进制数为（） A．110000 B．1011110 C．1100001 D．1000011 4．用九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5 5．使用九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5﹣2x4+5x3﹣7x2﹣2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，6 6．把27化为二进制数为（） A．1011（2）B．11011（2）C．10110（2）D．10111（2） 7．用九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3﹣2x2﹣x﹣1在x=﹣4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是 （） A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，5 8．二进制数11001001（2）对应的十进制数是（） A．401 B．385 C．201 D．258 9．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小 明要将面条煮好，最少要用（）分钟． A．13 B．14 C．15 D．23 10．用九韶算法在计算f（x）=2x4+3x3﹣2x2+4x﹣6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（）