秦九韶算法公式及结论
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在西方被称作霍纳算法。秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
计算方法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
把一个n次多项式
改写成如下形式：
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1=an*x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
1.3算法案例-秦九韶算法教学设计
1.3算法案例(二)__秦九韶算法 一、内容及其解析 本节的教学内容是算法案例中的秦九韶算法，它是求一元多项式的值的一种方法.在初中，学生已经学习了多项式的有关知识，那里是把多项式看作代数式.因此在本段内容的教学之前，应当先向学生说明，这里是函数的观点考察多项式，因此，求自变量取某个实数时的函数值问题，即求多项式的值就是一个常规问题. 二、教学目标及其解析 目标定位 知识与技能:了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质. 过程与方法:模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.情感态度与价值观目标:通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久. 目标解析 1 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法. 三、问题诊断分析 在本节主要存在的问题是学生不能对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解，所以教师要强调当多项式的次数增大时，此种方法的先进性就体现出来了，所以教师要找到规律，让学生体会此种解法的先进性. 四、教学支持条件分析的一般模式 在本节课的教学中准备使用多媒体辅助教学. 五、教学过程设计 问题一 什么事了解秦九韶算法？ 小问题1 怎样求多项式1)(2 345+++++=x x x x x x f 当x=5时的值呢？ (设计意图：通过具体的例子引入秦九韶算法.)
结论：第一种一共用了10次乘法运算，5次加法运算.而第二种一共用了5次乘法运算，5次加法运算. 小问题2 用秦九韶算法求n 次多项式0111...)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--当0x x =（0x 是任意实数）时的值，需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 小问题 3 如何用秦九韶算法完成一般多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的求值问题？ 要求多项式的值，我们可以把它改写成： 11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++ . 首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+. 例题1 （课本第38页例2）(设计意图：从实例到一般，先总结实例进而引申到一般) 变式巩固 用秦九韶算法求多项式1432)(2367+-+-=x x x x x f 当x=2时的函数值. 小问题4 你是怎么理解秦九韶算法的？ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值. 课堂小结(提问方式) 秦九韶算法计算多项式的值及程序设计 上述的整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n k k n k v a v v x a k n --=??=+=? . 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现. 计算多项式ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值 算法1：因为ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2：ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×（5４＋5３＋5２＋5＋１）＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１）＋１）＋１ =5×（5×（5×（5２＋5 ＋１）＋１）＋１）＋１ =5×（5×（5×（5 ×（5 ＋１）＋１）＋１）＋１）＋１
秦九韶算法公式详解
秦九韶算法公式详解 秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。 一、算法原理 秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为： $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式： $b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$ 求出$b_{n-1}$，再利用递推公式： $c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$ 求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。 二、算法流程 1.输入多项式的系数和x的值； 2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}； 3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止； 4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。 三、算法应用 秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多
项式积分等多个领域。其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。 1.多项式插值 多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。具体来说，对于n个点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。根据拉格朗日插值公式，我们可以得到： $f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$ 其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为： $l_{i}(x)=prod_{j=1,j eq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$ 这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。具体来说，我们可以将拉格朗日基函数表示为： $l_{i}(x)=frac{1}{prod_{j=1,j eq i}^{n}(x_{i}-x_{j})}timesprod_{j=1,j eq i}^{n}(x-x_{j})$ 然后，我们可以将每个基函数的系数提取出来，再利用秦九韶算法求出多项式的值。 2.多项式拟合 多项式拟合是指通过已知的n个点，构造一个m次多项式，使得
第2课时案例2秦九韶算法
第2课时案例2 秦九韶算法 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例 例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=5； v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2;
《算法案例(第2课时)》教学设计
1.3 算法案例第2课时（李雪） 一、教学目标 1．核心素养 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力． 2．学习目标 通过对变形前后的多项式进行计算，进而理解秦九韶算法的数学原理及其意义；3．学习重点 掌握秦九韶算法的数学原理及其计算过程，理解它的实质 4．学习难点 深刻理解秦九韶算法的对多项式计算的意义 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1 阅读教材P37－P39，你可以熟练的求解多项式吗？理解秦九韶算法的原理吗？任务2 用不同方法计算多项式，感知二者有什么不同？ 2．预习自测 1. 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶提出的一种用于计算________的值的方法． 【解析】：多项式考查秦九韶算法的定义. 2．秦九韶算法与直接计算多项式的值相比有什么优越性？ 【解析】：秦九韶算法在计算多项式的值时，减少了乘法的运算次数，提高了运算效率． （二）课堂设计 1．知识回顾 （1）对于一元n次多项式的计算 （2）本课的秦九韶算法对于求解多项式有什么意义？ 2．问题探究
问题探究 什么是秦九韶算法？ ●活动一 回顾旧知 在初中，我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.当5=x 时， f (x )x x x x x =+++++=+++++=+++++=543254321555551 312562512525513906 根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算. 这是一个这是一个相对复杂的运算过程，有没有简便的方法呢？ ●活动二 尝试探索 我们不妨把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.显然少了6次乘法运算. 我们就可以发现，在变形之后再进行计算减少了乘法的运算次数，提高了运算效率 ●活动三 拓广总结 将上述求多项式的方法推广至一般，以上计算多项式的方法就是秦九韶算法. 秦九韶计算多项式的方法：把一个一元n 次多项式改写成如下形式 1210 123120 1322110 12211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=-------------- 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即n n a x a v -+11＝，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 =n n n n v v v x a , v x a , v v x a .---+++12323102… ＝＝， 这样，求n 次多项式f (x )的值就转化为求n 个一次多项式的值．
秦九韶算法
《秦九韶算法》教学设计 福建省厦门外国语学校黄宁昌 一、教学内容概述 本节课内容是《普通高中新课程标准实验教科书·数学》人教版必修三第一章第三节第二课时的内容，是在学生学习了算法的概念、程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句等内容的基础上学习的，旨在让学生进一步理解算法思想、熟练程序框图的画法、练习三种逻辑结构、熟悉程序语言的编写。是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。 本节课的教学重点和难点 重点：秦九韶算法的特点及其程序设计（理解秦九韶算法的思想。） 难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计（用循环结构表示算法步骤。） 二、学习目标分析 1.知识与技能目标： 了解秦九韶算法的计算过程，秦九韶算法的特点、程序框图和程序语言。并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 2.过程与方法目标： 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。先从特殊的多项式求值方法体现降幂可以简化计算，然后给出两种一般
的求多项式的值的方法，引导学生探究这两种方法需要的次数，然后引导学生与秦九韶方法比较发现秦九韶方法的优越性，进而引出“秦九韶算法”的概念，然后引导学生探究出蕴含在其中的算法思想，让学生编写算法，画程序框图，写程序语言，并在计算机上验算。在教学过程中教师指导，学生探究，讲练结合。 3.情感,态度和价值观目标 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久，同时让学生体验民族数学成就感和荣誉感，培养学生分工合作意识，提高学习数学的热情。 三、学习者特征分析 （1）本节课的授课对象本校高一年普通班学生，学生在逻辑思维、动手推理、分工合作、学习态度等方面存在较大差异，因此在教学过程中要注意分散内容难点、注意激发学生的积极性。 （2）现在的学生计算能力较差，习惯于借助计算器计算，对于算法语言的教学还是比较有兴趣。 四、教学策略与方法分析 1.教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。通过从特殊到一般的数学思想，让学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。 2.教学手段：通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。 五、教学过程
算法案例---秦九韶算法
§1.3算法案例---秦九韶算法 高二数学组 梅 杰 一.教学目标 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 2.能利用秦九韶算法进行一些多项式的计算，能用循环结构表示算法步骤。 二．教学重难点 1.理解秦九韶算法体现的思想； 2.用循环结构表示算法步骤。 三.教学过程 （一）创设情景，揭示课题 问题1 ：请同学们设计一个算法，计算8.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值。 学生可能会提出两种做法： 做法一：把5代入多项式的每一项，计算每一项的值，然后相加； 做法二：先计算x 的幂，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x 2,然后 依次计算x 2.x,( x 2.x).x,( ( x 2.x).x).x 的值，再各项相加。 结合学生的做法，进行比较点评： ①有哪些优点？哪些不足？ ②计算次数各是多少？有哪些计算种类？ [做法一有15次乘法运算，5次加法运算；做法二有9次乘法运算，5次加法运算] 对于计算机来说，做一次乘法运算所用时间要比做一次加法要长的多，所以算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数 问题2 ：上述问题1还有没有更有效的算法呢？ 老师引导学生从因式分解的角度，将多项式变形为： 8.0)7.1)6.2)5.3)24(((()(-+-++=x x x x x x f 思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？ 思考：让学生回顾整个计算过程，用此种方法一共进行了多少次乘法、加法运算？ 点评：一共进行了5次乘法，5次加法运算，相比较前两种做法，此做法更快、更方便，而且在计算过程中，只与多项式的系数有关。 这种算法就是“秦九韶算法”，在此可以介绍下秦九韶生平。【见附页】 （二）研探新知 问题1：怎样用秦九韶算法求一般的多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 当 x=x 0时的值？
福建省永安第十二中学高中数学人教B版必修三：1.3.2秦九韶算法 (教案)
《秦九韶算法》教案 永安十二中 罗上尧 2016.11.25（星期五） 课题 秦九韶算法 课型 新授课 授课班级 高二（ ）班 教学目标 知识与技能目标： 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质. 2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序． 过程与方法目标：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. 情感、态度、价值观目标：通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久. 重点：秦九韶算法的特点，对秦九韶算法的先进性理解. 教学资源： PPT 难点：秦九韶算法思想的理解及用循环结构表示算法步骤. 教学互动内容 设计意图 一、创设情景，揭示课题 1.秦九韶人物简介 2.问题是数学的心脏，带着问题思考数学的智慧 二、新课探究 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1：怎样求多项式1)(2 345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值呢？ 算法1：将5=x 代入1)(2 3 4 5 +++++=x x x x x x f 计算得(5)3906f =，并统计所做的计算的种类及计算次数。（共需要10次乘法运算，5次加法运算） 算法2：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即 先计算2 x ，然后依次计算2x x ⋅，2 ()x x x ⋅⋅，2 (())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上 述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长 了解数学史及中国古代数学对世界数学的贡献，激发学生的爱国主义 情怀. 通过学生的操作认识算法1的算法种类和计算次数. 帮助学生建立改进算法，提高计算效率的意识.
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法 §75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法 1.步骤 2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4. 其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语 句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能 看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商 互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大 连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3. 两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减 法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1. 直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺 由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越 大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、
对秦九韶算法教学的几点思考
对秦九韶算法教学的几点思考 为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.根据新课标中算法的内容和要求，结合学生已有的认知结构和学习能力，本文就秦九韶算法的教学中如何既体现新课程、新理念、新课标，又注意结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣提出几点思考，供交流学习. 数学是一门思维的学科，而逻辑思维能力是数学学科能力的核心，是数学的“灵魂”.在新的课程标准中，对《算法初步》加以要求和考查，是提高学生思维素质和能力的又一重要途径.但是，多数教师都没有算法的教学经验，该内容具有很大的挑战性. 我们学校使用人教A 版教材，《算法初步》一章内容的教学已经结束.还存在两个突出的问题：一是教师不注重挖掘教材中隐含的数学思想方法，对数学逻辑思维在教材中的层次性缺乏深度的思考和认识，缺乏教学的整体规划和安排.二是只注重数学思想方法结论的解析和证明，忽视了对数学思想方法的抽象、概括或探索推理的心智活动过程.其结果就是学生没有体会到对问题的探究从而形成认知的过程，更未形成建立和发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力.“知其然而不知其所以然”，不能够举一反三，欠缺站在巨人的肩头去研究、分析新的问题的能力.这无疑与数学新课标的目的是相去甚远的. 以下以秦九韶算法的教学，谈谈自己的几点思考 从一道已学过的习题出发在求解过程中引概念，并且把算法思想方法渗透在高中数学课程及其有关内容中，鼓励学生运用算法解决有关问题. 以下是教材（人教版高中《数学》必修3，第39页“秦九韶算法”中的内容 怎样求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当x=5时的值呢？ 一个自然的做法是把5代入多项式()f x ，计算各项的值，然后把它们加起来，这时一共做了1234+++=10次乘法运算、5次加法运算. 1 逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路 对数学概念的认识，既要呈现知识，又要使学生体会人类认识数学经历的一切，因此很多时候教材中只能看到漂亮的结论和严格的证明。由此产生的认识困难问题必须通过教师的教学加以解决.这就需要教师首先了解清楚所教的内容的发生发展过程，在教学过程中，有意识有目的的设置一些情境，从具体事例和事实中帮助学生发现、抽象、概括；并能加强自身的综合素养，这就需要教师采用数学探究性课堂教学. 思考1 对计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长的多，所以能否找到其他的做法，减少乘法的运算次数，从而提高运算效率？ 教师引导学生分析、推理：另外一种做法是先计算2x 的值，然后依次计算2x x *，2(*)*x x x ，2((*)*)*x x x x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 思考2 我们知道，这是只对求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当x=5时的值而 言的，那么再举一例如下：求多项式543223245y x x x x x =+++++当x=2时的值？ 教师引导学生解答：利用思考1总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.所以解决办法如下：
高一数学高中数学人教B版旧试题答案及解析
高一数学高中数学人教B版旧试题答案及解析 1.用秦九韶算法求多项式f（x）=7x5+12x4－5x3－6x2+3x－5在 x=7时的值. 【答案】144468 【解析】由已知。 ，，， ， 即多项式f（x）=7x5+12x4－5x3－6x2+3x－5在 x=7时的值是144468。 【考点】本题主要考查运用秦九韶算法求多项式的值。 点评：秦九韶算法求多项式的值是中国古代数学的辉煌成就，理清思路，细心计算。 2.下列程序运行后，a，b，c的值各等于什么？ （1）a="3" b=－5 c="8" a="b" b="c" PRINT a，b，c END （2）a=3 b=－5 c=8 a=b b=c c=a PRINT a，b，c END 【答案】根据赋值语句知道，最终（1）a=－5，b=8，c=8；（2）a=－5，b=8，c=－5. 【解析】（1）a=－5，b=8，c=8；（2）a=－5，b=8，c=－5. 【考点】本题主要考查程序语言中的赋值语句。 点评：赋值运算符右侧的值由表达式生成，而表达式则由文本、常数、变量、属性、数组元素、其他表达式或函数调用的任意组合所构成。 3.指出下列语句的错误，并改正： （1）A=B=50 （2）x=1，y=2，z=3 （3）INPUT “How old are you” x （4）INPUT ，x （5）PRINT A+B=；C （6）PRINT Good-bye! 【答案】见解析 【解析】（1）变量不能够连续赋值.可以改为 A=50 B=A （2）一个赋值语句只能给一个变量赋值.可以改为 x=1 y=2 z=3 （3）INPUT语句“提示内容”后面有个分号（；）改为INPUT “How old are you?”；x （4）INPUT语句可以省略“提示内容”部分，此时分号（；）也省略，也不能有其他符号.改为INPUT x （5）PRINT语句“提示内容”部分要加引号（“”）.改为PRINT “A+B=”；C （6）PRINT语句可以没有表达式部分，但提示内容必须加引号（“”）.改为 PRINT “Good-bye！”
数值分析总复习提纲
数值分析总复习提纲 数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。 一、误差分析与算法分析 误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算 截断误差根据泰勒余项进行计算。 基本的问题是(1)1 ()(01)(1)! n n f x x n θε θ++<<<+，已知ε求n 。 例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。 解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知 211(01)2!!(1)! n x x n x x e e x x n n θθ+=+++++<<+ 当x=1时，1111(01)2!!(1)! e e n n θ θ=+++++ <<+ 故3 (1)(1)!(1)!n e R n n θ=< ++。 当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。此时， e≈2.718 285。 2、绝对误差、相对误差及误差限计算 绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。 基本的计算公式是： ①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx ② *()()()ln r e x e x dx e x d x x x x == == ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,)) ((,))(,) f x x f x x f x x εδ=
小学奥数裂项公式汇总
小学奥数裂项公式汇总 1. 一元二次方程： 一元二次方程是来自于“二次”，即指二次多项式的方程，此方程只有 一个未知变量，解决的时候通常是找出它的两个实数根。一般的一元 二次方程的形式如下：ax2+bx+c=0，其中a、b、c都是实数，而且a不等于0，x表示未知变量，a、b、c用来确定任意的一个一元二次方程。 此方程的解可以用裂项公式来求，公式由 x=(-b±√（b2-4ac）)/2a 两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则此一元二 次方程有两个不同的实数根，若判别式等于0，则有两个重根，若判别式小于0，则没有有理数根。 2. 二次不等式： 二次不等式是以“二次”为特征的不等式，是指一个二次多项式在单一 或双边限制范围内的取值，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 。其中a、b、c都是实数，a不等于0，x表示未知变量。此不等式的解 可以用裂项公式来求，公式由 -b-√（b2-4ac）/2a 点，若判别式小于0，则此不等式没有有理数根，是一个无解事件。 3. 一元三次方程： 一元三次方程的形式为：ax3+bx2+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数， a不等于0，x为未知变量。这是一个由三次多项式形成的方程，解法 有三种：秦九韶算法、降次法和Vieta公式，其中秦九韶算法是求根最 经典的方法；而Vieta公式是起到检验求根方法的作用，也可以求出根 等信息；降次法是尝试将方程按次数降低，从而将一元三次方程分解 成一元二次方程，乘以常数所形成的一个等式组，这样就可以使用上 面的一元二次方程的裂项公式来求解。 4. 平方： 平方是指某个数字被提取，且其乘方为2的结果数，常用三角形表示。其求根可以用裂项公式来求，公式由 x=±√b 两个解式组成，此实数根依然是以b为参数，且包含正数解和负数解，而结果有可能是实数根也有可能是复数根，要从b的正负来判断其结 果是什么样。 . p ◆ 高一数学必修 3 公式总结以及例题 §1 算法初步 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个 n 次多项式，只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下： a x n + a n n -1 x n -1 + ... + a = ((((a x + a 1 n n -1 )x + a )x + ... )x + a )x + a n -2 2 1 例题： 3x 6 + 4 x 5 + 5x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 + 8x + 1 , 当 x = 0.4 时, 需要做几次加法和乘法 运算 ? 答案： 6 ， 6 即 : (((((3x + 4)x + 5)x + 6)x + 7)x + 8)x + 1 ❖ 理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法， 其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明 书是空调使用的算法… () 1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码） 2. 算法的特征： ①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去 ②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可 以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在 一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度 3. 算法含有两大要素： ①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等② 控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构 ♦ 流程图：（ ）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构 的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。 注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇 到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流 程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书 写方法了。 3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起， 一起终结到结束框。 ⌧ 算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构 A A A Y N N p p B A B Y N Y 高二数学学考必考知识点概括整理 许多同学在观察数学的时候，就感觉力不从心，成果滑落到低谷，渐渐的厌倦，甚至提到数学就会感觉到头疼，从而会使自己生疏了物理!所以我们要乐观的转变对数学的（学习态度）和（学习（方法）），让自己尽可能的适应。以下是我给大家整理的（高二数学）学考必考学问点概括，盼望大家能够喜爱! 高二数学学考必考学问点概括1 直线、平面、简洁几何体： 1、学会三视图的分析： 2、斜二测画法应留意的地方： (1)在已知图形中取相互垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴ox、oy、使∠xoy=45°(或135°); (2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半. (3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图肯定不是90度. 3、表(侧)面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S 底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S 底h： ⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧= ⑷球体：①表面积：S=;②体积：V= 4、位置关系的证明(主要方法)：留意立体几何证明的书写 (1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。 (2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。 (3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。核心是线面垂直： 垂直平面内的两条相交直线 5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形; ⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角 高二数学学考必考学问点概括2 1.辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法. 2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，连续上 面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数. 3.更相减损术是一种求两数公约数的方法.其基本过程是：对于 给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，连续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的公约数. 4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法. 方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到 求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 数学学业水平考高中知识点总结 数学学业水平考高中知识点总结 总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，他能够提升我们的书面表达能力，让我们抽出时间写写总结吧。总结怎么写才不会流于形式呢？以下是小编精心整理的数学学业水平考高中知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。 数学学业水平考高中知识点总结1 1.一些基本概念： (1)向量：既有大小，又有方向的量. (2)数量：只有大小，没有方向的量. (3)有向线段的三要素：起点、方向、长度. (4)零向量：长度为0的向量. (5)单位向量：长度等于1个单位的向量. (6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量. ※零向量与任一向量平行. (7)相等向量：长度相等且方向相同的向量. 2.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点：共起点 数学学业水平考高中知识点总结2 1.辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法. 2.所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数. 3.更相减损术是一种求两数公约数的方法.其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这 个数就是所求的公约数. 4.秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法. 5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序. 6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满进一”，就是k进制，进制的基数是k. 7.将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果. 8.将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法.即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数. 1.重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理,会求两个数的公约数;理解秦九韶算法原理，会求一元多项式的值;会对一组数据按照一定的规则进行排序;理解进位制，能进行各种进位制之间的转化. 2.难点：秦九韶算法求一元多项式的值及各种进位制之间的转化. 3.重难点：理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理、排序方法、进位制之间的转化方法. 数学学业水平考高中知识点总结3 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数.高中数学必修三总结及经典例题解析(全)
高二数学学考必考知识点概括整理
方差概念及计算公式
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