第一讲 集合与命题及其关系
高考复习资料
第一讲 集合与命题及其关系
知识回顾 一、集合
Ⅰ、集合具有确定性、互异性、无序性三个特征
Ⅱ、空集是一种特殊集合，不含元素，是任何一个非空集合的真子集。 Ⅲ、集合常用的表示方法有：列举法，描述法，图示法。
Ⅳ、若一个集合中有n 个元素，则该集合的子集有__________个，真子集有__________个。 Ⅴ、常见的数集：自然数集_____；正整数集_____；整数集______；有理数集______；实数集______；复数集______； 二、命题
Ⅰ、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题。判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。 Ⅱ、四种命题的形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；（交换原命题的条件和结论）
否命题：若┐p 则┐q （同时否定原命题的条件和结论）；
逆否命题：若┐q 则┐p （交换原命题的条件和结论，并且同时否定）。
Ⅲ、四种命题的关系：互逆、互否命题之间的真假没有必然联系；互为逆否命题则同真同假。 Ⅳ、充分、必要、充要条件
1)、如果命题“若p 则q ”为真，记为____________________，“若p 则q ”为假，记为____________________。 2)、如果已知p q ?，则p 是q 的_______________________，q 是p 的_________________________________。 3)、如果既有p q ?,又有q p ?，则p 是q 的____________________，记为____________________________。 4)、如果p q ?且q p ?，则p 是q 的___________________________________。 Ⅴ、反证法的一般步骤： 1）、假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 2）、从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； 3）、由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题结论成立。 Ⅵ、四种命题之间的关系：
典型例题
例题1、若集合{}A x y c c R =+=∈，{}222,0B x y r r R r =+=∈>，则集合A B 的子集个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、1或2或4
例题2、若集合{}(,),A x y x y c c R =+=∈，{}
222(,),,0B x y x y r r R r =+=∈>，则集合A B 的子集个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、1或2或4
例题3、已知集合{}0,2M =，{}
224,,N y x y x M =+=∈则M 与N 的关系是 （ ） A 、M N = B 、N M ≠
? C 、M N ≠
? D 、M N ?
例题4、已知全集,I R =集合{}
2,M x x x R =<∈，{}P x x a =>，I M C P ≠
?，则a 的取值范围是____________。
专题一第一讲
例题5、已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：①s 是q 的什么条件？②r 是q 的什么条件？③p 是q 的什么条件？
巩固训练题
一、选择题
1、已知集合{}
,P x y x R y R ==∈∈，{}
224,,Q y x y x R y R =+=∈∈，则P Q = （ ）
A 、{}2,1-
B 、{}
(- C 、? D 、Q
2、若A 、B 、C 是三个集合，则“A B C B = ”是“A C =”的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
3、设命题p ：函数2lg(2)y x x c =+-的定义域为R ，命题q ：函数2lg(2)y x x c =+-的值域为R ，若命题p 、q 有且仅有一个正确，则c 的取值范围为 （ ） A 、? B 、(,1)-∞- C 、[1,)-+∞ D 、R
4、设原命题：若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ） A 、原命题是真命题，逆命题为假命题 B 、原命题是假命题，逆命题为真命题 C 、原命题与逆命题均为真命题 D 、原命题与逆命题均为假命题
5、设32()log (f x x x =+，则对任意实数a ，b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
6、如果命题p 是命题q 的必要条件，命题r 是命题q 的充分条件，则r 是p 的 （ ） A 、既不充分也不必要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、充要条件
7、2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件是 （ ） A 、1a ≤ B 、1a < C 、01a <≤ D 、01a <≤或0a < 8、若,a b R ∈，则a b >与
11
a b
<同时成立的充分不必要条件是 （ ） A 、0a b >> B 、0a b >>或0b a >> C 、0b a >> D 、,a b >且0b <
9、设集合{}25A x x =<≤，{}B x x a =<，若A B ?，则a 的取值范围是 （ ） A 、5a < B 、5a ≤ C 、5a ≥ D 、5a >
10、已知直线a ，b ，c ，平面,αβ，则直线a ，b 为异面直线的一个充分条件是 （ ） A 、,a c b c ⊥⊥ B 、,//,//a b αβαβ⊥ C 、,,a b αβαβ⊥⊥⊥ D 、,,//a b b αβαβ=⊥ 11、设集合{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<，若A B ≠? ，则a 的取值范围是 （ ） A 、2a < B 、2a >- C 、1a >- D 、12a -<≤
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12、条件p ：x x =，条件q ：2x x ≥-，则p 是q 的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 二、解答题
13、已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题q ：方程244(2)10x m x +++=无实数根，若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围。
14、已知集合{}
2680A x x x =-+<，{}()(3)0B x x a x a =--<；（1）若A B ≠
?，求a 的取值范围；（2）若A B =? ，
求a 的取值范围；（3）若{}34A B x x =<< ，求a 的取值范围。
15、设集合{}{}
2(,)21,,,(,)2,,A x y x y x y R B x y a x y a x y R =+=∈=+=∈，若A B =? ，求a 的值。
集合与命题专题-历年上海高考真题
2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{} 23x x B =≤≤，则U A B= e ． 15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 2014年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2 b },则a+b= 。 15.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 2013年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 2012年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理） 2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
2011年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理） 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤ ，则U C A = . 2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 14.以集合U={}a b c d ，，，的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a 、b 都要选出;（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B B A ??或，那么共有 种不同的选法。 15．“()24x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的 [答]（ ） （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 1． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ?=， 则实数a 的取值范围是______________________ . 15.”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012 =++ax x 有虚根”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
第一讲：集合与命题(教师版)
总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60% 左右。 2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料， 对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。 3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。 4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。 高频考点一览： 一、 试题特点分析： 1. 突出对思维能力的考查。 【2014年北约】已知()01,2,...,i x i n >=1 1.n i i x ==∏求证：)) 1 1.n n i i x =≥ ∏ 【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值n n n i n H G = ≤= ?? ∑ ≤n i n ≤? ?∑n i ≤∑n i ??≤∑
1n n i i n n ?? ≤+= ∑∑， 即) 1 + ≤)) 1 n n i i x ≤∏ 法二：由 1 1. n i i x = = ∏ 及要证的结论分析，由柯西不等式得))2 1 1 i i x x ? ≥ ? ? ， 从而可设1 i i y x =，且 11 1 1. n n i i i i y x == == ∏∏从而本题也即证)) 1 1. n n i i y = ≥ ∏ 从而))2 1 1 n n i i i x x ? +≥ ? ? ∏ ，即))21 n n i i i x y≥ ∏， 假设原式不成立，即)) 1 1 , n n i i x = < ∏则)) 1 1. n n i i y = < ∏ 从而))21 n n i i i x y< ∏，矛盾.得证. 2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。 【2014年北约】10、已知实系数二次函数() f x与()()() , g x f x g x =和()() 30 f x g x +=有两重根，() f x有两相异实根，求证：() g x没有实根. 【解析】设()2, f x ax bx c =++()2, g x dx ex f =++ 则由()() f x g x =，可得 ()()()()()() 2 20,40. a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=?=----= 由()() 30 f x g x +=可得 ()()()()()() 2 2 3330,34330. a d x b e x c f b e a d c f +++++=?=+-++= 化简得22 3124, b e a c df +=+即() 22 434 e d f ac b -=-又240. b ac -> 240. e df ∴-<() g x ∴没有实根. 二、应试和准备策略 1.注意知识点的全面
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a 集合与命题的常见错误归纳分析