离散型随机变量公式
离散型随机变量公式
1.离散型随机变量分布列的性质：
(1)P i ≥0,(i =1,2,3,4,⋯,n)
(2) P 1+P 2+⋯+P n =1
2.离散型随机变量Z 服从参数为N,M, n 的超几何分布，则P (Z =m )=
C M m C N−M n−m C N n
(0≤m ≤l ),l 为 n 和M 中较小的一个.
3.条件概率公式：
P (B|A )=P (AB )P (A )
,P(A)>0
4.如果事件A 1,A 2,⋯,A n 互相独立，那么n 这个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩⋯∩A n )=P(A 1)∙P(A 1)∙⋯∙P(A n )
5.如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率：
P n (k )=C n k p k (1−p )n−k (k =0,1,2,⋯,n)
6.离散型随机变量X 的均值或数学期望： E (X)= x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n （p 1+p 2+⋯+p n =1）
特别地：
(1)若X 服从两点分布，则E(X)= p
(2)若X~B(n ，p)，则E(X)=np
(3)E (aX +b )=aE (X )+b
7.离散型随机变量X 的方差：
D (X )=[x 1−E(Z)]2p 1+[x 2−E(Z)]2p 2+⋯+[x n −E(Z)]2p n
特别地：
(1) 若X 服从两点分布，则D(X)= p(1−p)
(2) 若X~B(n ，p)，则D(X)=np(1−p)
(3) D (aX +b )=a 2D (X )
8．正态变量概率密度曲线的函数表达式：
f (x )=√2πσ−(x−μ)2
2σ2,x ∈R
其中μ，σ是参数，且σ>0，−∞<μ<+∞，式中μ和σ分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ,σ2).
当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态分布，记作N =(0,1). 标准正态分布的函数表达式为f (x )=√2π−x 22,x ∈R
离散型随机变量的均值
离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：离散型随机变量X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X 为离散型随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋ B ． 随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是 一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值． 2．两点分布、二项分布的均值 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p (p 为成功概率)． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( ) (3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( 答案：(1)× (2)× (3)√ 若X ～B ? ?? ??4，12，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12 答案：B 随机变量X 的分布列为
X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X 的均值是( ) A ．2 B ．2.1 C ．2.3 D ．随m 的变化而变化 答案：B 设X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 16 16 13 13 ，Y ＝2X ＋5，则E 答案：323 探究点1 求离散型随机变量的均值 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E (ξ1)－E (ξ2)＝________元． 【解析】 赌金的分布列为 ξ1 1 2 3 4 5 P 15 15 15 15 15 所以E (ξ1)＝5(1＋2＋3＋4＋5)＝3. 奖金的分布列为 ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 P 4C 25＝25 3C 25＝3 10 2C 25＝15 1C 25＝1 10 所以E (ξ2)＝1.4×? ????5 ×1＋10×2＋5×3＋10×4＝2.8.
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式 1.离散型随机变量分布列的性质： (1)P i ≥0,(i =1,2,3,4,⋯,n) (2) P 1+P 2+⋯+P n =1 2.离散型随机变量Z 服从参数为N,M, n 的超几何分布，则P (Z =m )= C M m C N−M n−m C N n (0≤m ≤l ),l 为 n 和M 中较小的一个. 3.条件概率公式： P (B|A )=P (AB )P (A ) ,P(A)>0 4.如果事件A 1,A 2,⋯,A n 互相独立，那么n 这个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩⋯∩A n )=P(A 1)∙P(A 1)∙⋯∙P(A n ) 5.如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率： P n (k )=C n k p k (1−p )n−k (k =0,1,2,⋯,n) 6.离散型随机变量X 的均值或数学期望： E (X)= x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n （p 1+p 2+⋯+p n =1） 特别地： (1)若X 服从两点分布，则E(X)= p (2)若X~B(n ，p)，则E(X)=np (3)E (aX +b )=aE (X )+b 7.离散型随机变量X 的方差： D (X )=[x 1−E(Z)]2p 1+[x 2−E(Z)]2p 2+⋯+[x n −E(Z)]2p n 特别地： (1) 若X 服从两点分布，则D(X)= p(1−p) (2) 若X~B(n ，p)，则D(X)=np(1−p) (3) D (aX +b )=a 2D (X ) 8．正态变量概率密度曲线的函数表达式： f (x )=√2πσ−(x−μ)2 2σ2,x ∈R 其中μ，σ是参数，且σ>0，−∞<μ<+∞，式中μ和σ分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ,σ2). 当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态分布，记作N =(0,1). 标准正态分布的函数表达式为f (x )=√2π−x 22,x ∈R
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式 可以用二项分布来描述。二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。 3，二项分布的概率分布： 设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为 1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概 率为 P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)! 4，二项分布的性质： 1）二项分布是离散型概率分布； 2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。 1.二项分布：
在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A 恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作 X~B(n,p)。其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。 2.离散型随机变量的均值： 如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量 X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概 率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。 3.均值的性质： 如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y 也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。 4.常用分布的均值： 1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。 2) 二项分布：E(X)=np。 3) 超几何分布：E(X)=nM/N。 5.离散型随机变量的方差： 离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均 值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的 标准差。方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有 偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。 6.方差的性质：
离散性随机变量的概念
离散性随机变量的概念 知识归纳 1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 为随机变量X 的分布列． X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 3．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中0
0，称P (B |A ) ＝P (AB ) P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． (1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．
分布的均值及变差推导公式
分布的均值及变差推导公式 分布的均值及变差是概率论和统计学中重要的概念，用于描述随机变量的特征。本文将从理论角度推导出分布的均值及变差的公式，并探讨其在实际问题中的应用。 我们来介绍一下分布的均值。在概率论中，均值是一个随机变量的集中趋势的度量，它用来表示随机变量的平均值。对于离散型随机变量，其均值的计算公式为每个取值乘以其对应的概率的和。设随机变量X的取值为x1,x2,...,xn，对应的概率为p1,p2,...,pn，那么X的均值μ的计算公式为： μ = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn 对于连续型随机变量，均值的计算稍有不同。假设X的概率密度函数为f(x)，那么X的均值μ的计算公式为： μ = ∫(xf(x))dx 上述公式中的积分表示对整个取值范围进行求和的操作。通过计算均值，我们可以了解随机变量的平均水平，以及其分布的中心位置。接下来，我们来介绍一下分布的变差。变差是用来度量随机变量的离散程度的指标。对于离散型随机变量，其变差的计算公式为每个取值与均值之差的平方乘以其对应的概率的和。设随机变量X的取值为x1,x2,...,xn，对应的概率为p1,p2,...,pn，均值为μ，那么X的变差σ^2的计算公式为：
σ^2 = (x1-μ)^2*p1 + (x2-μ)^2*p2 + ... + (xn-μ)^2*pn 对于连续型随机变量，变差的计算公式也稍有不同。假设X的概率密度函数为f(x)，均值为μ，那么X的变差σ^2的计算公式为： σ^2 = ∫((x-μ)^2*f(x))dx 上述公式中的积分表示对整个取值范围进行求和的操作。通过计算变差，我们可以了解随机变量的离散程度，以及其分布的分散程度。分布的均值及变差在实际问题中有着广泛的应用。以正态分布为例，其均值和变差分别决定了分布的中心位置和分散程度。在金融领域中，均值和变差被广泛应用于风险度量和投资组合优化等问题中。在生物学领域中，均值和变差被用来描述生物体的特性，如体重和身高的分布。在工程领域中，均值和变差被用来分析数据的稳定性和可靠性。 总结起来，分布的均值及变差是用来描述随机变量的特征的重要指标。通过计算均值和变差，我们可以了解随机变量的集中趋势和离散程度。这些指标在概率论和统计学中有着广泛的应用，帮助我们理解和分析实际问题。通过深入研究分布的均值及变差，我们可以更好地应用概率论和统计学的知识，解决实际问题，为科学研究和决策提供支持。
离散型随机变量方差公式
离散型随机变量方差公式 离散型随机变量方差公式是描述型数据变异范围的重要统计工具，它可以帮助我们更全面地了解型数据的样本分布范围、变异情况及其影响因素。本文首先对离散型随机变量方差公式的定义和表达方式进行概述，并以实际案例说明其使用方法与效果；其次，探讨了该统计工具在实际应用中可能出现的误差及解决方案；最后，总结了该方差公式的使用优缺点，为后续研究和实践提供参考。 一、离散型随机变量方差公式的定义及表达方式 离散型随机变量方差公式指的是用来确定离散型随机变量的变异程度的数学方法，通常用σ或S表示，也叫方差。它是描述离散型随机变量的数据分布的重要统计参数，通过计算其变异程度，可以分析出离散型随机变量数据样本的总体分布范围、变异方差及其影响因素。其数学表达式如下： σ =（Xi－X）/n X为样本均值，Xi为每个样本，n为样本量。 二、离散型随机变量方差公式的使用方法及实际效果 离散型随机变量方差公式在实际中广泛用于分析实际案例，如对某种投资品种的投资收益情况分析、对考生教育背景及考试成绩分析等。比如，假设一个样本由500名考生组成，我们可以计算出本组考生的教育背景、毕业年份及考试成绩等离散型随机变量之间的变异情况，进而分析出该组考生的特征及影响考试结果的因素。 三、离散型随机变量方差公式的误差分析及解决方案
在使用离散型随机变量方差公式进行实际分析时，可能会出现一些误差，主要表现为计算结果不准确、模型过度简化等问题。一般来说，这些误差可以通过建立多元回归模型及加入stemplot、histplot 等工具等方式来进行解决。 四、离散型随机变量方差公式的优缺点 离散型随机变量方差公式具有以下优点：1、计算方法简单，能够准确反映数据变异程度；2、能够直接代入Kruskal-Wallis检验及Variance Ratios检验等多元分析模型，拓展统计检验效果；3、能够有效排查离散型随机变量的空间分布情况；4、能够更全面地分析出变异的原因及影响因素，使我们能够更好地掌握变量的趋势与变化规律，从而从更大角度把握变量的变化规律。 然而，离散型随机变量方差公式也有若干缺点：1、计算结果可能会存在误差，要解决这个问题需要掌握足够的统计学知识；2、实际案例中，有时也可能出现分组错误的情况，需要谨慎使用；3、由于采用的算法复杂，因此数据分析的速度可能会变慢，实际分析时需要注意控制分析速度。 总结而言，离散型随机变量方差公式是一种重要的统计工具，具有描述性数据变异范围的强大功能，并可广泛应用于实际案例中，但在实际使用过程中也需要注意各种误差，以及速度分析等问题。
离散型随机变量的期望计算
离散型随机变量的期望计算离散型随机变量的期望是概率论中重要的概念之一，它用来描述随机变量的平均值。在本文中，我们将详细介绍离散型随机变量的期望计算方法及相关概念。 一、离散型随机变量的定义 离散型随机变量是指取有限或可数个数值的随机变量。其概率分布以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来表示。设X 为一个离散型随机变量，其取值集合为{x1,x2,...,xn}，相应的概率为{p1,p2,...,pn}，则其概率质量函数可以表示为： P(X=x1) = p1 P(X=x2) = p2 ... P(X=xn) = pn 二、离散型随机变量的期望计算 离散型随机变量的期望计算公式为： E(X) = ∑(xi * pi) 其中，xi为随机变量X的取值，pi为相应的概率。 以一个简单的例子来说明期望的计算过程。假设一批产品中有A、B、C三种类型，其数量分别为10、20、30个，出厂时的价值分别为100、200、300元。我们可以定义随机变量X代表产品的类型，随机
变量Y代表产品的价值。根据数据，我们可以得到离散型随机变量X 和Y的概率质量函数如下： X的概率质量函数为： P(X=A) = 10 / 60 = 1/6 P(X=B) = 20 / 60 = 1/3 P(X=C) = 30 / 60 = 1/2 Y的概率质量函数为： P(Y=100) = 10 / 60 = 1/6 P(Y=200) = 20 / 60 = 1/3 P(Y=300) = 30 / 60 = 1/2 根据期望计算公式，我们可以计算出X和Y的期望： E(X) = (A * 1/6) + (B * 1/3) + (C * 1/2) = (10 * 1/6) + (20 * 1/3) + (30 * 1/2) = (10/6) + (20/3) + (30/2) = 5/3 + 20/3 + 15 = 20/3 + 20 + 15 = 40/3 + 15 = 55/3 ≈ 18.33
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X ，Y,，，…表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值x i（i=1，2,…）的概率为，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i≥0，i＝1,2,...；（2）P1+P2+ (1) 5.求离散型随机变量的概率分布的步骤： (1）确定随机变量的所有可能的值x i (2)求出各取值的概率p（=x i ）=p i （3)画出表格 6。两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X件次品数，则事件｛X=k｝发生的概率为,其中，且．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如
果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ，（k＝0，1,2，…，n，）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: ξ0 1 …k …n P …… 称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ～B（n，p)，其中n,p为参数。9．离散型随机变量的均值或数学期望： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若服从两点分布，则p． （2)若ξ~B(n，p)，则np． （3），c为常数 （4）ξ～N（，），则 （5) 11．方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…,，…，且取这些值的概率分别是，，…，,…,那么, ＝＋＋…＋＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望． 12。标准差：的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差， 13.方差的性质： （1）若服从两点分布，则p(1-p）． （2）若ξ~B（n,p），则np（1-p)． （3），c为常数 (4）ξ～N（，),则 (5）
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机 变量 概述: 在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。 一、离散型随机变量的期望和方差公式: 离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下： 1. 期望公式: 期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为： E(X) = ∑[x * P(X = x)] 其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。 2. 方差公式: 方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。方差的计算公式为： Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]
其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。 二、连续型随机变量的期望和方差公式: 连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下： 1. 期望公式: 连续型随机变量的期望的计算公式为： E(X) = ∫[x * f(x)] dx 其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。 2. 方差公式: 连续型随机变量的方差的计算公式为： Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx 其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。 总结: 本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。这些公式在概率论
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式 离散型随机变量是概率论中的重要概念，它描述了一些具有离散取值的随机现象。在统计学和概率论中，我们经常需要对离散型随机变量进行描述、分析和计算。本文将介绍离散型随机变量的定义、概率质量函数、期望和方差等基本概念和计算公式。 一、离散型随机变量的定义 离散型随机变量是指取值有限或可数无限个的随机变量。简单来说，它的取值只能是一些特定的数值，而不能是连续的数值。比如，抛掷一个骰子得到的点数、抽取一张扑克牌得到的牌面等都是离散型随机变量。 二、概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF） 概率质量函数是用来描述离散型随机变量的概率分布的函数。对于离散型随机变量X，其概率质量函数P(x)定义为X取值为x的概率，即P(X=x)。 概率质量函数有以下几个性质： 1. P(x) ≥ 0，对任意x成立。 2. ∑P(x) = 1，对所有可能的x求和等于1。 三、期望（Expectation）和方差（Variance） 期望和方差是描述随机变量分布特征的重要统计量。
期望是随机变量取值的平均值，用E(X)表示。对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为： E(X) = ∑xP(x) 方差是随机变量取值与其期望的偏差的平方的平均值，用Var(X)表示。对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为： Var(X) = ∑(x-E(X))^2 * P(x) 四、计算示例 为了更好地理解离散型随机变量的概念和计算公式，下面以一个具体的例子进行说明。 假设有一个离散型随机变量X表示抛掷一个骰子的点数，其取值为1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等，即P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6。 我们可以计算出X的概率质量函数P(x)： P(1)=1/6，P(2)=1/6，P(3)=1/6，P(4)=1/6，P(5)=1/6，P(6)=1/6 接下来，我们可以计算出X的期望E(X)： E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5 我们可以计算出X的方差Var(X)：
高三数学离散型随机变量的期望值和方差
高三数学离散型随机变量的期望值和方 差 离散型随机变量的期望值和方差 一、基本知识概要： 1、期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn... 则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且 Eη=aEξ+b。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP 2、方差、标准差定义： Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。 Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与 波动、集中与离散的程度。 且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。 若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首 先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别 是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速 度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是（ ） A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个 红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的 数学期望是。 解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内 容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题
离散型随机变量的均值与方差
第六节离散型随机变量的均值与方差 一．考点梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的概率分布为 (1)均值 称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．(2)方差 称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均，其中为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝； (2)D(aX＋b)＝ (a、b为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝ (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝ 4. 随机变量均值、方差的求法 若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为： (1)先求出X的分布列． (2)求E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n. (3)利用公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2 ＋…＋[x n－E(X)]2p n，求方差D(X)． 若随机变量X服从两点分布或二项分布，则直接利用均值方差公式可求． 二．自我检测 1．已知X的概率分布 设Y＝2X＋3，则E(Y) 2．某射手射击所得环数X的概率分布如下： 已知X的数学期望E(X) 3.设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则n，p的值分别为________．
4.随机变量X 的概率分布列由下表给出： 该随机变量X 三．例题分析 考向一 离散型随机变量的均值与方差的求法 【例1】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布表及数学期望E (X )、方差D (X )． 【训练1】 (2013·南京模拟)某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12 . (1)若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X 的概率分布和数学期望、方差； (2)假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？
第九章第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差 [学生用书 P203]) 1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表 称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )； ②∑n i ＝ 1 p i ＝1． 2．离散型随机变量X 的均值与方差 3.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a ，b 为常数)． (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)． 1．辨明三个易误点 (1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
(2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确． (3)均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态． 2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A ．X ＝4 B ．X ＝5 C ．X ＝6 D ．X ≤5 C [解析] 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X ＝6. 2.教材习题改编 设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( ) A.1 B ．12 C.14 D ．18 D [解析] 由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝1 8 . 3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1 5(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( ) A ．5 B ．8
离散型随机变量的均值、方差和正态分布
10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 [知识梳理] 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 (1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值 E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ， b 为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 4．正态曲线
(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝ 1 2π·σe － (x －μ)22σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ和σ(σ>0)为参数， 称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正 态分布的标准差)． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 5．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a