5.2-离散型随机变量

5.2 离散型随机变量

一、离散型随机变量的分布列

随机变量依其取值的不同情形而分为两大类。一类是离散型随机变量，另一类是非离散型随机变量。本节讨论离散型随机变量，下节将讨论连续型随机变量。

定义1 如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。

例如，第2.1节引例1中定义的随机变量X可能取的值为0和1。引例2中定义的随机变量X可能取的值为0，1，2，…。又如若用Z表示一个日光灯管的寿命，则它可能取的值充满一个区间

，是无穷不可列的，因而它是一个非散型的随机变量。

对于一个离散型随机变量X，我们关心两个问题：X的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率。

定义2 设离散型随机变量X的所有可能取值为且X取这些值的概率依次为

即

（2.3）

则称（2.3）式为离散型随机变量X的分布列或概率分布。

离散随机变量的分布列也可写成表格形式：

… …

X

… …

根据概率的性质，易知分布列具有如下性质：

（1）；

（2）。

例1 独立地重复抛一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，求抛掷次数X的分布列。解：事件{X=R}表示前R-1抛掷都是反面向上，而第R次抛掷是正面向上，故

。

于是X的分布列为

例2 抛掷一枚匀称的骰子，出现的点数为随机变量X。

（1）求X的分布列；

（2）求出现的点数不小于3＂的概率；

（3）求“出现的点数不小于2又不超过4”的概率。

解：（1）。

（2）

（3）

由上例可见，若知道了离散型随机变量的分布列，就可以求出它在各个范围内取值的概率。因此，分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。

如果知道了离型随机变量X的分布列，那么，就可能求出X的分布函数。

例3 设随机变量X的分布列为

0 1 2

X

0.3 0.5 0.2

试求X的分布函数。

解：当时，；

当时，；

当时，

当时，

因此

一般地，若已知X的分布列为

则其分布函数为

离散型随机变量X的分布函数是一个分段函数，其图形为阶梯形，其分界点即为X的取值点。设X的取值点为则X的分布列为

例4 设离散型随机变量X的分布函数为

求X的分布列。

解：的分界点为，即X的取值为-1，1，2。

于是，X的分布列为

-1 1 2 X

Pk

二、几种常见的离散型分布

1、两点分布

定义3 若随机变量X的取值为0，1两个值，分布列为

则称X服从两点分布（或0-1分布），记作X~B（P）。

为书写简便，常用q表示1-P，以后在离散型分布中出现q，即表示1=1-P，不再另作说明。

一般在随机试验中虽然结果可以很多，但如只关注具有某种性质的结果，则可将样本空间重新划分为：A与非A，而A出现时，定义X=1；出现时，定义X=0，此时X的分布即为两点分布。

例如，在一批产品中分次品，合格品和优质品，从中随机抽取一件，我们只关心抽到的是否是次品，则可设：当抽到的是次品时，X=1；其他情况，X=0。此时，X就服从两点分布。

2、二项分布

（1）n重佰努利（Bernouli）试验

定义4 如果一个试验有两个可能结果A与，称这个试验为一个佰努利试验。

例如，抛一枚硬币观察出现正反面的试验，射击一次观察是否命中目标的试验，某种产品检查质量是否合格的试验，等等。

定义4’ 若将一个佰努利试验重复进行n次，且每次试验结果互不影响（即各次试验是独立的），则称为n重佰努利试验，或称为佰努利概型。

注意：在n重佰努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，若记，，则事件A拾好发生k次的概率为

或记为。

事实上，根据独立性，在n次试验中，事件A在某指定的k次试验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为。而事件A可能发生在n次试验中的任何k次，所以n次试验中A发生k次，应有种不同情况，这些结果又是互不相容的，根据概率的加法公式，所求的概率为。

例5 对某种药物的疗效进行研究，设这种药物对某种疾病的有效率为P=0.8，现有10名患此种疾病的病人同时服用此药，求其中至少有6名病人服药有效的概率。

解：这是佰努利试验。N=10，P=0.8，设A={至少有6名患者服药有效}，则

（2）二项分布

定义5 若随机变量X的分布列为

，

其中，，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。

从前面的讨论可知，二项分布的实际背景就是n重佰努利试验：若在单次试验中，事件A发生的概率是，则在n次独立重复试验中A发生的次数X就服从二项分布。

显然，当n=1时，二项分布即为两点分布。

容易验证，二项分布满足分布列的两条性质：

（1）

（2）

例6 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴种6粒，求其出苗种子数的分布列。

解：对6粒种子出苗粒数的观察，可看作6重贝努利试验。以X表示出苗的种子数，则X服从n=6，P=0.67的二项分布，所以其分布列为

，。

如果用表格形式表示其分布列，则有

X 0 1 2 3 4 5 6 Pk 0.0013 0.0157 0.0799 0.2162 0.3292 0.2673 0.0904

3、泊以（Poisson）分布

定义6 若随变量X的分布列为

其中为正常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作X~P()。

泊松分布是常用的离散分布之一，现实生活中有很多随机变量都可直接用泊松分布描述，其差别表现在参数取值不同。例如：

（1）在一定时间内，超级市场排队等候付款的顾客人数；

（2）在一定时间内，某操作系统发生故障的次数；

（3）在一段时间内，电话交换台接到的呼唤次数；

（4）500页的一本书中错别字的个数；

（5）一定的液体中微生物的个数。

这些随机变量服从或近似服从泊松分布。

它们都与计数过程相关联，并且计数是是在一特定的单位内进行的。

例7 电话交换台每分钟接到的呼唤次数X为随机变量，设X~P(3)，求在一分钟内呼唤次数不超过1的概率。

解：因X~P(3)，故

查泊松分布表（附表1）得

P{X=0}=0.0049787，P{X=1}=0.149361

故所求概率为：

注意：可以证明，当n很大，p很小时，有如下近似公式：

（其中）。

在实际计算中，当，时，就可用上述近似公式。

例8 设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一内年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率。

解：设X为1000个投保人中在未来一年内死亡的人数，对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次佰努利试验，1000人就是做1000重佰努利试验，因此X~B（1000，0.005），而这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率为

（事实上，）

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）