中考数学专题训练一元二次方程系数与根的关系(含解析)
2019中考数学专题训练-一元二次方程系数与根的关系（含解析）
一、单选题
1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）
A. -2
B.2
C.3
D.1
2.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）
A.﹣2
B.2
C.4
D.﹣3
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）
A. -7
B. -3
C.7
D.3
4.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）
A.3
B. -3
C.2
D. -2
5.下列方程中：①x2-2x-1=0，①2x2-7x+2=0，①x2-x+1=0两根互为倒数有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）
A.6
B.8
C.10
D.12
7.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()
A.－1
B.－2
C.1
D.2
8.方程x2+2x-4=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（）
A.2
B.－2
C.
D.－
9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）
A.5
B.7
C.8
D.
10
10.如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（）
A. -8
B.8
C. -16
D.16
11.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）
A. B. C.
D.
二、填空题
12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.
13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1*x2=________．
14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1?x2+x1+x2的值为________．
15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是________．
16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．
17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2，则代数式x1+x2﹣x1x2=________．
18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．
三、计算题
19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程
的两个根都大1，求的值.
20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求
（1）a2+b2
（2）a2﹣b2的值．
四、解答题
21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．
22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．请根据该材料解题：已知x1，x2是方程
x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】①一元二次方程的两根分别是、，①==3．故选C．
2.【答案】A
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，
解得：x1=﹣2．
即方程的另一个根是﹣2．
故选：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．
3.【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】①x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，
①m+n=5，mn=2，
则m+n-mn=5-2=3．
故选D
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
4.【答案】A
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，
①（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，
①x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，
①﹣m+2﹣1+1=﹣1，
①m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且①≥0，即，则a=c，①只有①是正确的，①没有实数根．
故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且①≥0，可得出答案。
6.【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】解答: ①一元二次方程-2x-3=0的两根是x1、x2，①x1+ x2=2，x1?x2=-3，
① =（x1+ x2）2-2 x1?x2=22-2×（-3）=10．
故选C．
分析: 根据根与系数的关系得到x1+ x2=2，x1?x2=-3，再变形得到（x1+ x2）2-2 x1?x2然后利用代入计算即可
7.【答案】B
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】x1·x2＝＝＝－2.
【分析】由根与系数的关系可得，===-2.
8.【答案】B
【考点】根与系数的关系
【解析】
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】根据题意得x1+x2=-=-2．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根时，x1+x2=?，x1x2=．
9.【答案】D
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，则a+b=7，ab=12，
所以矩形的对角线长= = = =5，
所以矩形的对角线之和为10．
故选D．
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股
定理得到矩形的对角线长= ，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5，则根据矩形的性质得到矩形的对角线之和为10．
10.【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意，ab=﹣4，
所以原式=a2?ab﹣2a?ab
=﹣4a2﹣2a?（﹣4）
=﹣4a2+8a，
①a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，
①a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，
①原式=﹣4（2a+4）+8a
=﹣8a﹣16+8a
=﹣16．
故选C．
【分析】先根据根与系数的关系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2?ab﹣2a?ab，利用整体代入的方法可化简得到原式=﹣4a2+8a，接着根据一元二次方程解的定义得到a2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．
11.【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得．
故选C．
二、填空题
12.【答案】4
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】①x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，
①x1+x2=
考点: 根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
13.【答案】
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：在x2+x﹣1=0中，
a=1，b=1，c=﹣1，
①b2﹣4ac=5＞0，
所以x1= ，x2= 或x1= ，x2= ．
①x1*x2= * = ．
【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x1*x2的值则可．
14.【答案】﹣
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1?x2=﹣2，
所以x1?x2+x1+x2=﹣2+=﹣．
故答案为﹣．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1?x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．
15.【答案】1
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：①a，b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
①由韦达定理，得
a+b=﹣2，ab=﹣1，
①=1．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得a+b、ab的值，然后将其代入所求的代数式并求值．
16.【答案】x2﹣5x+6=0
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得到两根之和为2+3=5，两根之积为2×3=6，则所求方程为x2﹣5x+6=0．
故答案为：x2﹣5x+6=0．
【分析】由方程的根为3和2，得到两根之和为5，两根之积为6，写成方程即可．
17.【答案】2
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：①方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2，①x1+x2=3，x1x2=1，①原式=3﹣1=2．
故答案为：2．
【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2与x1x2的值，代入代数式进行计算即可．
18.【答案】x2﹣4x+3=0
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：①1+3=4，1×3=3，①以1和3为根的一元二次方程可为x2﹣4x+3=0．故答案为x2﹣4x+3=0．
【分析】先计算出1与3的和、积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．三、计算题
19.【答案】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤ ，则方程的两根为，由题意得
，
两式相加得，
即，
所以或
解得或
又因为所以
；或者，
故，或29.
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】利用根与系数关系，设出一个方程的根，表示出另一方程的根，根据根与系数关系，列出等量关系，求出两根，进而a + b + c = ? 3 ，或29.
20.【答案】（1）解：①方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，①a+b=6，ab=4．
a2+b2=（a+b）2﹣2ab=62﹣2×4=28．
（2）解：a2﹣b2=（a+b）2﹣4ab=62﹣4×4=20
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系找出a+b=6，ab=4．（1）将a2+b2变成只含a+b和ab 的代数式，代入数据即可得出结论；（2）将a2﹣b2变成只含a+b和ab的代数式，代入数据即可得出结论．
四、解答题
21.【答案】解：将x=1代入方程x2+x+a﹣1=0得1+1+a﹣1=0，解得a=﹣1，方程为x2+x ﹣2=0，
解得x1=﹣2，x2=1．
所以另一个根为﹣2．
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】将x=1代入方程x2+x+a﹣1=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．
22.【答案】解：①x1+x2=﹣，x1?x2=，x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，
①x1+x2=﹣6，x1?x2=3，
①+==﹣2，
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣18．
【考点】根与系数的关系
【解析】【分析】利用材料中的根与系数的关系求出x1+x2=﹣6，x1?x2=3，再代入化简后的式子即可求解．
解实系数一元二次方程
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.
一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．
评卷人· 得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围；
人教数学一元二次方程的专项培优练习题及详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0
解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．解下列方程： （1）x 2﹣3x=1． （2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-= = ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】 试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可； 试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴ ． ∴12313313,22 x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或， ∴12223,223y y =-+=-- 3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？ 【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】
一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)
一元二次方程的应用专项练习60题（有答案） 1．某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？ 2．4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～20XX年》．某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，并计划20XX年提高到7260万元．若从到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增，求到20XX年的平均增长率． 3．某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等， （1）该电器每台进价、定价各是多少元？ （2）按（1）的定价该商场一年可销售这种电器1000台．经市场调查：每降低一元一年可多卖该种电器出10台．如果商场想在一年中使该种电器获利32670元，那么商场应按几折销售？ 4． 5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用是每车380元，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元．若设问这批货物有x车． （1）用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费； （2）求x的值． 5．有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
初三数学培优——一元二次方程应用题
一元二次方程应用题 数字问题 1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。 增长（降低）率问题 1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程． 2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每 年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元． 3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A． 128 ) % 1( 1682= +a B．128 ) % 1( 1682= -a C． 128 ) % 2 1( 168= -a D．128 ) % 1( 1682= -a 4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是． 5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为____________ ． 6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强 了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.
初中数学《一元二次方程》专题练习题含答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 下列方程中，一定是一元二次方程的是( ) A．3x2＋－1＝0 B．5x2－6y－3＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．3x2－2x－1＝0 试题2: 若关于x的方程(a－2)x2－2ax＋a＋2＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A．2 B．－2 C．0 D．不等于2的任意实数 试题3: 将一元二次方程3x2＝－2x＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____． 试题4: 将一元二次方程y(2y－3)＝(y＋2)(y－2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 试题5: 下表是某同学求代数式x2＋x的值的情况，根据表格可知方程x2＋x＝2的解是( ) x …－3 －2 －1 0 1 2 … x2＋x … 6 2 0 0 2 6 … A. x＝－2 B．x＝1 C．x＝－2和x＝1 D．x＝－1和x＝0 试题6:
已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝______． 试题7: 若关于x的一元二次方程ax2－bx－2018＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝______． 试题8: 今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( ) A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600 C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝1600 试题9: 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( ) A .x(x－1)＝45 B. x(x＋1)＝45 C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45 试题10: 如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________． 试题11: 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．x(x－1)＝x2＋2x 试题12:
一元二次方程专题能力培优含答案
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领
一元二次方程(根与系数关系)
一元二次方程（根与系数关系专题测试） 一、单选题（共10题；共30分） 1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 4.是方程的两根， 的值是（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（） A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）. A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b，且则的值为（） A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题（共6题；共18分） 11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣， x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________． 12.一元二次方程的两根为，则________
一元二次方程培优题(易错题和难题)
一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =， （1）求a 的值及方程的另一个解 （2）如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列 问题： （1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 （2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。 （3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元. （1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？ （2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了 1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了 2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23 a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】 （1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解； （2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】 （1）设销售A 品牌的建材x 件. 根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件. （2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得 ()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ??????-?+++?-=?+?+ ? ? ??????? ， 令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10 y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
一元二次方程根与系数之间的关系
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。
2019届中考数学专题复习一元二次方程专题训练含答案
3 一元二次方程 A 级 基础题 1．一元二次方程 x2－3x ＝0 的根是( ) A ．x1＝0，x2＝－3 B ．x1＝1，x2＝3 C ．x1＝1，x2＝－3 D ．x1＝0，x2＝3 2．(2017 浙江舟山)用配方法解方程 x2＋2x －1＝0 时，配方结果正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝2 B ．(x ＋1)2＝2 C ．(x ＋2)2＝3 D ．(x ＋1)2＝3 3．(2017 年江苏南京改编)解方程(x －5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( ) A ．配方法 B ．直接开平方法 C ．因式分解法 D ．公式法 4．(2018 年湖南娄底)关于 x 的一元二次方程 x2－(k ＋3)x ＋k ＝0 的根的情况是( ) A ．有两不相等实数根 B ．有两相等实数根 C ．无实数根 D ．不能确定 5．(2018 年湖南湘潭)若一元二次方程 x2－2x ＋m ＝0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是( ) A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜1 6．如图 214，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2 m ，另一边减少了 3 m ，剩余一块 面积为 20 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) 图 214 A ．7 m B ．8 m C ．9 m D ．10 m 7．(2018 年吉林)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x －m ＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为________． 8．一元二次方程 x2－2x ＝0 的解是____________． 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋mx －8＝0 的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为____________． 10．已知关于 x 的方程 x2＋2x ＋a －2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根． 11．(2018 年沈阳)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降， 月份的生产成 本是 361 万元．假设该公司 2.3.4 月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率；
数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)
13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得
一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，
一元二次方程提高培优题
一元二次方程提高题 一、选择题 1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根，则- 的值为( ) a - 1 a - a A .-严 B . 1 C . - 1 D . 1 7 2. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( ) A.x=1 B.x=0 C.x=1 和x=2 D.x=-1 和x=2 3 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) 2 2 A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289 C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =289 4.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之 前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客 20万人次，五月份共接待游客50万人次?小曾想知道景区每月游客的平均 增长率x的值，应该用下列哪一个方程来求出？( ) 2 2 2 A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5?某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一 张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070 C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070 x 6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A . m<- 4 B . m>- 4 C . m< 4 D . m> 4 7.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b，则b - a b 的值是【】 A. 7 B . —7 C . 11 D . —11 &已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0，下列说法正确的是 A. 当k 0时，方程无解 B. 当k 1时，方程有一个实数解 C. 当k 1时，方程有两个相等的实数解 D. 当k 0时，方程总有两个不相等的实数解 9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，那么M的值是( ) A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4 二、填空题 10 .已知方程x2+ ( 1 - _上；)x -」.=0的两个根X1和X2，贝U X/+X22= ______ 2 1 1 11.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根，^ U —+—=___________. m n 2 2 12 .若将方程x 6x 7，化为x m 16，则m = __________________ . 13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0，则x2+ y2的值是___________ ? 14 .某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平 均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为_________ . 15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根，则k 的取值范围是________ ? 三、计算题 2 16 .解方程：(x+3) - x (x+3) =0 . 按要求解方程：