误差理论与数据处理_笔记
第一章误差的基本概念
1.各类误差：
误差的定义=测得值-真值
绝对误差=测得值-真值
真值
实际值：满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。
修正值：而消除系统误差用代数法加到测量结果上的值。真值≈测量值+修正值（修正值与误差值互为相反数）——修正值本身也有误差，修正后只能得到较测得值更为准确的结果。相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值
i.e. 对于不同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低；但对于不同的被测量以及
不同的物理量，采用相对误差来评定其精度。
引用误差：指一种简化和使用方便的仪器仪表示值的相对误差。引用误差=示值误差/测量范围上限；（示值误差=示值-实际值）
2.误差来源
测量装置误差：标准量具，仪器，附件（仪器的附件及附属工具）-引起的误差
环境误差：由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量装置和被测量本身的
变化所造成的误差。（温度，湿度，气压，振动，电磁场等）
方法误差：由于测量方法不完善引起的误差
人员误差
3.误差分类
1）系统误差：同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。（Eg:标准量值的不准确，仪器刻度的不准确引起的误差）
?已定系统误差：指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。
?未定系统误差：未定，但常可估计出误差范围。
2）随机误差：同一测量条件下，多次测量同一值时，绝对值和符号随机变化。（仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起示值不稳定）
3）粗大误差：超出规定条件下预期的误差，或称寄生误差。（误差值较大，明显歪曲测量结果，如读错数，仪器缺陷等）
i.e. 三类误差在一定条件下可以互相转化；掌握误差转化的特点，可将系统误差转化为随
机误差，用数据统计处理方法减小误差的影响；或将随机误差转化为系统误差，用修正方
法减小其影响。例子P5
4. 精度（反映测量结果与真值接近程度的量；误差小，则精度高）
1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度
2）精密度：~随机误差~
3）精确度：系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度（或极限误差）来表示
精度在数量上有时可用相对误差表示（P5）;对具体的测量，精确度高，则精密度与准确度都高，反之不成立。（打靶的例子P5）
5. 误差来源、分类和精度评定的系统图 P6
6. 有效数字与数据运算
记录测量结果的数据位数或进行数据运算时的取值多少，皆应以测量所能达到的精度为依据。（不能低于，也不能高于） 注意： ? 小数点的位置决定不了精度，它仅与所采用的单位有关；
? 测量结果的精度与所采用测量方法及仪器有关，在记录或数据运算时，所取得数据位数，其精度不能超过测量所能达到的精度，也不能低于测量精度； ? 在求解方程组时，若系数为近似值，其取值多少对方程组的解有很大影响。 1）
有效数字
有效数字与n 位有效位数
若近似数的右边带有若干个零的数字，常用科学计数法10n a ?，其中该近似数的有效位数取决于a 的含有几个有效数字。
测量结果应保留位数的原则：其最末一位数字是不可靠的，而其前一位数字应是可靠的（测量结果中，最末一位有效数字取到哪一位，是由测量精度来决定的，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的；测量误差一般取1~2位有效数字---测量结果=有效数位
±测量精度---千分尺的结果：()20.530.01l mm =±，其中小数点第二位数字不可靠）
在较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位有效数字作为参考。
15.2140.042±表示可靠数字是倒数第三位，不可靠数字是倒数第二位，末位为参考数字
2）
数字舍入规则
对位数很多的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字应予舍去，而保留的有效数字最末一位数字应按下列舍入规则进行凑整：
若舍去部分的数值，采用四舍五入规则，但等于5时，若末位为偶数时末位不变，为奇数时末位加1。（该法避免了见5就入的四舍五入法产生的系统误差）
舍入误差：由数字舍入引起的误差，按上述规则进行数字舍入，其舍入误差皆不超过保留数字最末位的半个单位。 3）
数据运算规则
在近似运算中，为保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后刻多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字
a) 在近似数加减运算中，以小数位最少的数为准，其余数多取1位小数，最后结果的小
数位数应与小数位数最少的数相同：【参照小数位最少的数】
2643.0+987.7+4.187+0.23542643.0+987.7+4.19+0.24=3635.133635.1≈≈
b) 在近似数乘除运算中，以有效位数最少的数为准，其余各数据要比有效位数最少的数
多取一位小数，最后结果应与有效位数最少的数相同：【参照有效位数最少的数】
15.13 4.12=62.335662.3?≈--乘数的均为3位有效数字+1位参考数字
c) 其他运算的运算规则
第二章 误差的基本性质和处理
第一节 随机误差 1. 随机误差
产生原因：是由很多暂时未能掌握或不变掌握的微小因素构成
测量装置方面：零部件配合的不稳定性、变形、表面油膜不均匀、摩擦等
环境方面：温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光强变化、灰尘及电磁场变化 人员方面：瞄准、读数的不稳定 2. 正态分布
测量列中只包含随机误差时（不包含系统误差和粗大误差），误差服从正太分布 特点：误差的对称性、单峰性、有界性、抵偿性
平均误差
或然误差
3. 算术平均值（数学上称最大或然值）
（a ）当测量次数无限增大时，算术平均值最接近真值。
残差：
，
简便法计算算术平均值：任选一个接近所有测得值的数o l 作为参考值，i i o l l l ?=-，
o o x l x =+? (b)
算术平均值的计算校核：<原理>
若按（a ）式计算x ，常遇到小数位较多或除不尽的情况，必须按测量的有效数字，按
数据舍入规则，对x 进行截取与凑整，故实际的x 可能为经过凑整的非准确数，存在舍入误差，即
，而
从而，用残差代数和校核算术平均值及其残余误差，规则为：P13 ①残差代数和应符合 ②残差代数和绝对值应符合 4. 测量的标准差
1）测量列中单次测量的标准差
，数据越集中，σ越小
Bessel 公式：用于由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。
评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差ρ和平均误差θ:
45θσ=, 23
ρσ=
2）测量列算术平均值的标准差
算术平均值的不可靠性：指在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，由于随机误差的存在，各个测量列的x 不相同，他们围绕真值有一定的分散。
x σ是表征同一被测量的各个独立测量列x 分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性
的评定标准。
∴要提高测量精度，应该用适当精度的仪器，选用适当的测量次数（一般10n ≤）。 评定算术平均值的精度标准，也可用或然误差R 和平均误差T （也可用残余误差v 表示上
述公式）
3）标准差的其他计算方法 Peters 公式
极差法（当要求简便迅速算出标准差时使用） 若等精度多次测量测得值i x 均服从正态分布， 极差
；其期望
，
故可得σ的 无偏估计值，若仍以σ表示，有n
n
w d σ=，n d 查表。 最大误差法
当知道真值时，能够算出随机误差i δ，取其中max
i δ，当各个独立测量值服从正态
分布时，有max
i
n
K δσ=
当真值未知时，应按最大残余误差max
i
v 计算，max
'i
n
v K
σ=，n K ，'n K 查表获取。
最大误差法简单、迅速方便，用途广泛。
注：在代价较高的试验中，常只进行一次实验，Bessel 公式失效，用最大误差法。 Bessel 公式的精度最高。 5. 测量的极限误差
测量的极限误差是极端误差，测量结果的误差不超过该极端误差的概率为P ，并使差值（1-P ）可予忽略。 1）
单次测量的极限误差
，其中置信系数t δσ
=
一般测量中，测量次数很少超过几十次，故认为绝对值大于3σ的误差时不可能出现的，常把这个误差称为单次测量的极限误差lim
x δ
，即lim 3x δσ=±，t=3时，99.73%P =.
一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示lim x t δσ=±，故若已知测量的标准差σ，选定置信系数t ，则可求得单次测量的极限误差。 2）
算术平均值的极限误差
单个测量列的算术平均值误差o x x L δ=-；
多个测量列的算术平均值误差i x δ为正太分布式，也可得测量列算术平均值的极限误差
lim x x t δσ=±（常取3t =）；一般地，lim a x x t δσ=±
6） 不等精度测量 P24 7) 随机误差的其他分布P29
第二节 系统误差
前述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。实际中，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，从而随机误差处理方法才有意义。 1. 系统误差产生的原因 测量装置方面 环境方面
测量方法方面 测量人员方面
2. 系统误差的特征
指在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变化。系统误差是服从某一确定规律变化的误差。
1）不变的系统误差
在整个测量过程中，误差符号和大小不变的系统误差。（Line-a ） 2）线性变化的系统误差（Line-b ） 3)周期性变化的系统误差
4）复杂规律变化的系统误差
3. 系统误差的发现 P36
实验对比法：适于发现不变的系统误差
残余误差观察法：适于发现有规律变化的系统误差
残余误差校核法：发现线性系统误差；发现周期性系统误差
不同公式计算标准差比较法
计算数据比较法
秩和检验法
t检验法
4．系统误差的减小和消除
1）从产生误差根源上消除系统误差:如装置、人员规范操作、环境适宜等
2）用修正方法消除系统误差：预先将测量器具的系统误差鉴定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即得不含系统误差的测量结果。
关键：确定修正值或修正函数，由于修正值本身也有一定误差，故不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差应该按照随机误差进行处理。
3）不变系统误差消除法 P44
代替法、抵消法、交换法
4）线性系统误差消除法——对称法
5）周期性系统误差消除法——半周期法
第三节粗大误差
一旦发现粗大误差的测量值，应将其从测量结果中剔除
1.粗大误差的产生原因：客观、主观
2.防止与消除粗大误差的方法
采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法 3. 判别粗大误差的准则
3σ准则：是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数皆较少，故3σ准则只是一个
近似的准则 罗曼诺夫斯基准则 格罗布准则 狄克松准则
第四节 测量结果的数据处理实例 P52
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。
间接测量误差是各个直接测得值误差的函数，称间接测量误差为函数误差。
研究函数误差的内容，实质是研究误差的传递 ，而对于这种具有确定关系的误差计算，也称为误差合成。 1.函数系统误差计算 P59 简介测量值：
，其函数系统误差公式：
，i
x f
??为各直接测量值的误差传递
函数。 特别地： 若函数为线性公式
，则函数的系统误差为：
若三角函数为，则函数的系统误差为
，
2.函数随机误差计算（很复杂）P61
函数随机误差公式：（适用于各测量值的随机误差时相互独立的情况）
当各个测量值的随机误差为正态分布时，该式中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为：
在多数情况下，1i a =，且函数形式比较简单，即，12n y x x x =++???+， 则函数的标准差为，
函数的极限误差为,
三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算方法基本相同。 3.误差间的相关关系和相关系数 误差间的线性相关关系
相关系数：常用方法-直接判断法、试验观察和简略计算法 第二节 随机误差的合成 1.标准差的合成
各个标准差合成后的总标准差为：
，
若各误差互不相关，则有：
2.极限误差的合成 P68
第三节 系统误差的合成 1.已定系统误差的合成
已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
2.未定系统误差的合成
第四节 系统误差与随机误差的合成
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其综合，以求得最后测量结果的总误差，并常用极限误差来表示，但有时也用标准差来表示。 1.按极限误差合成 2.按标准差合成 第五节 误差分配
任何测量过程皆包含多项误差，而测量结果的总误差则有各单项误差的综合影响所确定。误差分配：给定测量结果总误差的允差，要求确定各个单项误差。 研究间接测量的函数误差分配： 当各因素均为随机误差，且互不相关时，
若已给定y σ，需确定i D 或相应的i σ，使满足
显然，式中i D 可为不确定解，因此一般需按下列步骤求解。 1.按等作用原则分配误差
等作用原则12n D D D σ=???==
，得i σσ=
或用极限误差表示i δ=
若各个测得值的误差满足i σ或i δ，则所得的函数误差不会超过允许给定值。 2.按等可能性调整误差
如何调整：根据具体情况进行调整，对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。 3.验算调整后的总误差
按误差合成公式计算实际总误差，若超过给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差；若实际总误差较小，可扩大难以测量的误差项的误差。 第六节 微小误差取舍原则
微小误差：某误差的数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不予以考虑。 微小误差的取舍原则：即确立判定误差为微小误差的数值范围。
对随机误差和未定系统误差，微小误差舍去原则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的11
310:。
一般精度的测量，13
k y D σ≤；比较精密的测量，110
k y D σ≤
选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总误差的11
310
:.
第七节 最佳测量方案的确定
目的：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差为最小。
由
知，欲使y σ最小，可从以下方面考虑。
1.选择最佳函数误差公式
一般地，直接测量值的数目越少，函数误差就会越小。故应选用包含直接测量值最少的函数公式。若不同的函数公式所包含的直接测量值数目相同，应选取误差较小的直接测量值的函数公式。
2.是误差传递函数等于零或为最小，即使
i
x f
??尽可能小
第四章 测量不确定度
测量不确定度愈小，测量结果的质量越高，使用价值越大，其测量水平愈高。 1.测量不确定度的基本概念
指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有的一个参数，用以表示被测量值的分散性。 A 类评定：一些分量由一系列观测数据的统计分析来评定。
B 类评定：另一些分量是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。 两类评定方法不分优劣，按实际情况的可能性加以选用。
所有的不确定度分量均用标准差表征，或是由随机误差引起，或由系统误差引起，都对测量结果的分散性产生相应影响。 2.测量不确定度与误差
区别：误差时测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心，因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。 第二节 标准不确定度的评定
用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u 表示，其包含若干不确定分量i u 。 1.标准不确定度的A 类评定 2.标准不确定度的B 类评定
采用B 类评定法，需先根据实际情况分析，对测量值进行一定的分布假设，可假设为正态分布或其它分布，常见情况：
当测量估计值x 受到多个独立因素影响，且影响大小相近时，则假设为正态分布，由所取置信概率P 的分布区间半宽a 与包含因子p k 来估计标准不确定度，即x p
a
u k =
当估计值x 取自有关资料，所给出的测量不确定度x U 为标准差的k 倍时，则其标准不确定度为x
x U u k
=
当已知估计值x 落在区间（x a -，x a +）内的概率为1，且在区间内各处出现的机会相等，则x
服从均匀分布，其标准不确定度为x u =
当估计值x 受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则x 服从在区间（x a -，
x a +
）内的三角分布，其标准不确定度为x u =
当估计值x 服从在区间（x a -，x a +
）内的反正弦分布，其标准不确定度为x u =3.自由度及其确定
每一个不确定度都对应着一个自由度，并将不确定度计算表达式中总和所包含的项数
n 减去各项之间存在的约束条件数k ，所得差值称为不确定度的自由度（n k -）。
自由度的确定
1）标准不确定度A 类评定的自由度
对A 类评定的标准不确定度，其自由度v ，即为标准差σ的自由度。 2）标准不确定度B 类评定的自由度
2
12u v u σ=
?? ???
，
u
u
σ为评定u 的相对标准差；u σ为评定u 的标准差
第三节 测量不确定度的合成 1.合成标准不确定度
在间接测量中，被测量Y 的估计值y 是由N 个其它量的测得值i x 的函数求得，即
)(12,,,n y f x x x =???，且各直接测得值i x 的测量标准不确定度为i
x u ，它对被测量估计
值影响的传递系数为i f x ??，则由i x 引起被测量y 的标准不确定度分量为i i x i
f
u u x ?=
?， 而测量结果y 的不确定度y u 应是所有不确定度分量的合成，合成标准不确定度c u ：
若i x ，j x 的不确定度相互独立，则
若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按A 类评定或B 类评定方法来确定各不确定度分量i u 的值，然后按上述不确定度合成方法求得合成标准不确定度：
所以，测量结果可表示为：c Y y u =± 2）展伸不确定度 3）不确定度的报告
第四节 测量去确定度应用实例 P89
第五章 线性参数的最小二乘法处理
第一节 最小二乘原理 1.最小二乘法原理
测量结果的最可信奈值应在残余误差平方和（在不等精度测量的情形中应为加权残余误差平方和）为最小的条件下求出。
等精度测量的最二条件：2222
12min n v v v v ??++???+==??
按最小二乘条件给出最终结果能充分地利用误差的抵偿作用，可以有效地减小随机误差的影响，因而所得结果具有最可信耐性。
上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。
一般地，最小二乘法可用于线性参数的处理，也可用于非线性参数的处理；线性参数的最小二乘法处理是最小二乘法理论的基本内容。 线性参数的测量方程的一般形式和相应的估计量为
其误差方程：
矩阵形式的最小二乘原理：P96
第二节正规方程
最小二乘法则可以讲误差方程转化为有确定解的代数方程组，从而求解这些未知数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程（或称为法方程）
线性参数的最小二乘法处理程序：
?据具体问题列出误差方程式
?按最二原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程
?求解正规方程，得到待求的估计量
?给出精度估计
非线性参数的最小二乘法处理程序：先将其线性化，然后按线性参数法处理。
如何建立正规方程？
1.等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程
2.不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程
3.非线性参数最小二乘法处理的正规方程
4.最小二乘原理与算术平均值原理的关系
算术平均值原理可看做是最小二乘法原理的特例
第三节精度估计
第六章-回归分析
寻求被测量的最佳值及其精度；寻求两个或多个变量之间的内在关系（回归分析）
变量之间的关系可分为两种类型：
函数关系
相关关系：变量之间既有密切的关系，又不能由一个或几个变量的数值精确地求出另一个变量的数值，而是要通过试验和调查研究，才能确定他们之间的关系，称这类变量之间的关系为相关关系。
1.一元线性回归
通过试验，分析所得数据，找出二者之间关系的经验公式。若为线性关系，则成为一元线性回归。（即直线拟合过程）
实验数据误差分析和数据处理
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
误差理论与大数据处理作业
第一章绪论 １-1、研究误差的意义就是什么?简述误差理论的主要内容。 答: 研究误差的意义为: (1)正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以消除或减小误差; (2)正确处理测量与实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据; (3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器与测量方法,以便在最经济条件下,得到理想 的结果。 误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2、试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点就是什么？ 答:测量误差就就是测的值与被测量的真值之间的差;按照误差的特点与性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号保持恒定,或遵循一定的规律变化(大小与符号都按一定规律变化); 随机误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号以不可预定方式变化; 粗大误差的特点就是可取性。 1-3、试述误差的绝对值与绝对误差有何异同,并举例说明。 答:(1)误差的绝对值都就是正数,只就是说实际尺寸与标准尺寸差别的大小数量,不反映就是“大了”还就是“小了”,只就是差别量; 绝对误差即可能就是正值也可能就是负值,指的就是实际尺寸与标准尺寸的差值。＋多少表明大了多少,－多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者就是指系统的误差未定但标准值确定的,后者就是指系统本身标准值未定。1-6.在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为50ｍｍ,已知其最大绝对误差为 1μm,试问该被测件的真实长度为多少? 已知:L=5０,△L=1μm＝0.001mm, 解: 绝对误差=测得值－真值,即: △L=L-L =L-△Ｌ＝50-0.０01=4９、999(mｍ) 测件的真实长度Ｌ １-7、用二等标准活塞压力计测量某压力得100、2Ｐa,该压力用更准确的办法测得为100、５Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解:在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值-实际值, 即: 100.2－100、5＝-０、3( Pa)
误差理论与数据处理 实验报告
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于 真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''''''??''=''＝o 修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4 3 2 1 lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++± =2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ± 3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=， mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ， mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610??==abc V )(44.805413 mm = 体积V 系统误差V ?为： c ab b ac a bc V ?+?+?=? )(74.2745)(744.274533mm mm ≈= 立方体体积实际大小为：)(70.777953 0mm V V V =?-= 2 22222lim )()()( c b a V c f b f a f δδδδ??+??+??±= 2 22 22 2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±= 测量体积最后结果表示为: V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±= 3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。 解： 长方体的体积计算公式为：321a a a V ??= 体积的标准差应为：2 323 22222121)()()( σσσσa V a V a V V ??+??+??= 现可求出： 321a a a V ?=??；312a a a V ?=??；213 a a a V ?=?? 若：σσσσ===321 则 有 ： 23 2221232322222121)()()()()()( a V a V a V a V a V a V V ??+??+??=??+??+??=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ 若：321σσσ≠≠ 则有：2 32212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++= 3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ， V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。UI P =5.226.12?=)(5.283mw = ),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ I u I U P I f U f I f U f σσσσσ))((2)()( 2 222????+??+??= I U I U U I I f U f σσσσ+=??+??= 5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw = 3-6 已知x 与y 的相关系数1xy ρ=-，试求2 u x ay =+的方差2u σ。 【解】属于函数随机误差合成问题。 《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案 第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 误差分析和数据处理 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为 ______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态) 测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的 _________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。 23. 超出在规定条件下预期的误差称为_____(粗大)误差。 24. +=_____（） 25. ++=_____（） 26. （） 28. pH=的有效数字是____(2)位。 29. 保留三位有效数字，结果为____。 30. 为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子称为______（修正因子）。 一、检定一只5mA、级电流表的误差。按规定，要求所使用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器允许误差的1/3。现有下列3 只标准电流表，问选用哪一只最为合适，为什么? （本题10 分） （1）15mA级（2）10mA级（3）15mA级 《误差理论与数据处理》练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为： 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的 权数一般凭经验确定。 （4）几何平均值 （5）对数平均值 以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找 出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观 测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多 属于正态分布，故通常采用算术平均值。 （三）中位数（xM ） 第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果 重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得 《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o 《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为，问该砝码的实际质量是________。 5g 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和_________来表示。 标准差极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为Ω,标准偏差为Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 sqrt(15),3*sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝ V ，标准差σ（U ）＝ ，按99%（置信因子 k = ）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 V* 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ ，则两 电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150 )(16.0) 100150(100)(2 2 2212 1 22 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R= 264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R 14. 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm ；50.003mm 。则 _______________测量精度高。 第二种方法 15. 用某电压表测量电压，电压表的示值为226V ，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近的误差为5V ，则被测电压的修正值为_______________ ，修正后的测量结果 _______________为。 －5V ，226+(－5V )=221V 16. 检定一只级、量程为100V 的电压表，发现在50V 处误差最大，其值为2V ，而其他刻度处的误差均小于2V ，问这只电压表是否合格_______________。 合格 17. 电工仪表的准确度等级按_____分级，计算公式为 ___ 答案：引用误差，引用误差=最大绝对误差/量程 18.二等活塞压力计测量压力值为，该测量点用高一等级的压力计测得值为 Pa ，则此二等活塞压力计在该测量点的测量误差为________。 答案： 误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法 进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的 规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须 具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 —、一、基本概念 1.误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真 值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法 加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3 )个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能 使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的感官的灵 敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几 率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有 时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为: y= y = 式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。 自图I 一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 (2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。b为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在土 误差及数据处理基础理论知识综述 2009-12-1 13:45:43 误差及数据处理基础理论知识综述 前言 由于各行各业有各自的误差理论及数据处理理论，但基础理论都是一致的，大同小异。现就在检验（测量）领域的误差理论及数据处理基础知识进行理论文字上的综述，尝试作一次理论上的探讨，与各位同仁共同学习和提高，如有不妥及错误之处请各位批评指正。 一、误差基础知识 在各种测量领域，我们经常使用一些术语，例如测量误差、测量准确度和测量不确定度等来表示测量结果质量的好坏。现我们从上述三个术语的定义出发，给出这些术语的基本概念，并指出它们之间的差别，以利于正确使用这些术语。 （一）测量结果 测量结果的定义是“由测量所得到的赋予被测量的值”，因此测量结果是通过测量得到的被测量的最佳估计值。由于任何测量都存在缺陷，因而通常测量结果并不等于真值。完整表述测量结果时，必须给出其测量不确定度，必要时还应说明测量所处条件，或影响量的取值范围。以便使用者可以正确地利用该测量结果。 测量结果可能是单次测量的结果，也可能是由多次测量所得。对于前者，测得值就是测量结果；若为多次测量所得，则测得值的算术平均值才是测量结果。因此在给出测量结果时，通常说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，同时还应表明它是否为几个值的平均。 测得值，有时也称为观测值，是指从一次观测中由测量仪器或量具的显示装置中所得到的单一值。一般地说，它并不是测量结果。测量结果是指对测得值经过恰当的处理（如按一定的规则确定并剔除测得值中的离群值）、修正（指必须加上由各种原因引起的必要的修正值或乘以必要的修正因子）或经过必要的计算而得到的最后提供给用户的量值。因此测得值或观测值是测量中得到的原始数据，是测量过程的一个中间环节。对于间接测量而言，测得值或观测值往往具有和被测量不同的量纲。而测量结果则是整个测量的最 一.填空题 1. ______(3S 或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。 23. 超出在规定条件下预期的误差称为_____(粗大)误差。 24. 0.1082+1648.0=_____（1648.1） 25. 1.7689+0.023568+300.12589=_____（301.9184） 26. 0.6893-0.023500+10.12=______（10.78 ） 27. 5.38、6.30、6.46.7.52的平均值是____(6.415) 28. pH=12.05的有效数字是____(2)位。 29. 1.327465保留三位有效数字，结果为____(1.327)。 30. 为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子称为______（修正因子）。 一、检定一只5mA 、3.0 级电流表的误差。按规定，要求所使用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器允许误差的1/3。现有下列3 只标准电流表，问选用哪一只最为合适，为什么? （本题10 分） （1）15mA 0.5 级（2）10mA 1.0 级（3）15mA 0.2 级 二、测量闸门时间T 与计数的脉冲数N ，则频率可按式T N f =求得，若已知N 、T 的相对误差T N ββ,，请给出频率f 的相对误差。（10分）误差理论与数据处理答案
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