(完整版)高中数学通用模型解题方法技巧总结

高中数学通用模型解题方法

1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={—1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3。但是，这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0，不要把它搞忘记了。

3。注意下列性质：

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）.同样，对于元素a2, a3，……a n，都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集.

当然，我们也要注意到，这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为,非空真子集个数为

（3）德摩根定律：

有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c（a〉0) 在上单调递减，在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1。或者，我说在上 ,也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

∨∧⌝

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”

()()().

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

满足条件，满足条件，

若；则是的充分非必要条件；

若；则是的必要非充分条件；

若；则是的充要条件;

若；则是的既非充分又非必要条件；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一,允许B中有元素无原象.)

注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有n m个.

如:若，;问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。

函数的图象与直线交点的个数为个.

8。函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备）

9。求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：

●分式中的分母不为零；

●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

●指数式的底数大于零且不等于一；

●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●正切函数

●余切函数

●反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1］，值域是,函数y＝arccosx的定义域是［－1, 1] ，值域是［0, π］，函数y＝arctgx的定义域是 R ,值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0，π） .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集,就得到函数的定义域.

10. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________.

复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围，即为的定义域。

例若函数的定义域为,则的定义域为。

分析:由函数的定义域为可知：;所以中有.

解：依题意知：

解之，得

∴的定义域为

函数值域的求法 直接观察法

一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 求函数y=的值域 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 求函数y=-2x+5，x ［-1，2］的值域. 判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘在判别式上面

下面,我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x

bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

反函数法

求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域. 求函数y=值域。 函数有界性法

接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的性.

求函数y=，,的值域。

函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=（2≤x ≤10）的值域 换元法

简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 用。

例 求函数y=x+的值域。 形结合法

型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2

=1上，

函数y=+的值域.

原函数可化简得:y=∣x —2∣+∣x+8∣

可以看成数轴上点P(x)到定点A （2）,B(—8）间的距离之和. 图可知：当点P 在线段AB 上时， x —2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 求函数的值域为：［10，+∞） 函数y=+ 的值域

原函数可变形为:y=+

上式可看成x 轴上的点P(x ，0）到两定点A （3，2)，B （-2 ，—1 ）的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y=∣AB ∣= =，求函数的值域为［，+∞）。 函数y= —的值域 将函数变形为:y= —

上式可看成定点A （3，2）到点P(x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。即：y=∣AP ∣—∣B 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ¹，则构成△ABP ¹，根据三角形两边之差小于第边，

∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣＜∣AB ∣= = —＜y ＜

当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 。 所述，可知函数的值域为：（—，-）。

求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x 轴的同侧。不等式法

利用基本不等式a+b ≥2，a+b+c ≥3（a,b ，c ∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例:

3

3

(

)13

()32x (3-2x)(0

x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）

a b c +⋅⋅≤=++≤ 法

，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 求函数y=的值域

2(0)

11332

2x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）

x x

x x +

>+

+≥=≥

方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法，一般优先考虑接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：做题，特别是做大题时, 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂

13。反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便.请看这个例题：

（2004.全国理）函数的反函数是( B ）

A．y=x2－2x+2（x〈1）B．y=x2－2x+2(x≥1）

C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1）

当然，心情好的同学,可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算.下面请看一下我的思路：原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y〉=1,则反函数定义域为x>=1，答案为B。

我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？

14。反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点(x，y）和点（y,x)关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称;

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04. 上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案

是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。自己想想,不懂再问我

15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种： （1)定义法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1）,f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求的正负号或者与1的关系 (2)参照图象:

①若函数f （x)的图象关于点（a ，b ）对称，函数f （x ）在关于点(a ，0）的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f （x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f （x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质:

①函数f （x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的

②函数f(x ）与cf(x)(c 是常数）,当c ＞0时,它们是同向变化的;当c ＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1（x)，f2（x)同向变化，则函数f1（x ）＋f2（x)和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x ），f2(x)同向变化，则函数f1(x ）f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2（x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与在f （x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u ＝φ(x)，x[α,β]与函数y ＝F(u),u∈［φ（α)，φ(β）]或u∈［φ(β）,φ(α）]同向变化，则在［α，β］上复合函数y ＝F ［φ（x)］是递增的;若函数u ＝φ（x ）,x ［α，β］与函数y ＝F （u),u∈［φ(α），φ(β)］或u∈［φ(β)，φ（α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ（x ）]是递减的.（同增异减）

－1,它们的增减性相同。

∴……)

16. 如何利用导数判断函数的单调性？

值是( ） A 。 0

B 。 1

C. 2

D 。 3

∴a的最大值为3）

17。函数f（x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

(1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.

。

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性。

三、复合函数奇偶性

函数，T是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f（x)+f(x+t）=0，我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：,

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f（2a—x）,或者说f(a-x）=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x）=f（2a-x),或者说f（a-x）=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

19。你掌握常用的图象变换了吗？

联想点（x，y）,(-x，y）

联想点（x，y)，（x,—y）

联想点（x，y）,(—x，-y）

联想点（x，y）,（y，x）

联想点（x,y），(2a—x，y)

联想点（x，y）,（2a—x，0)

（这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y—b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）

注意如下“翻折"变换：

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k为斜率,b为直线与y轴的交点）

的双曲线.

应用：①“三个二次"（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定(动），对称轴动（定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

21. 如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x,

2、令x=0或1来求出f（0)或f（1）

3、求奇偶性，令y=-x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）-—-———————-————f（x±y)＝f（x）±f(y)

2.幂函数型的抽象函数

f(x）＝x a-—-—--——-———--——f（xy)＝f(x）f（y）；f(）＝

3.指数函数型的抽象函数

f(x）＝a x—-————--—---—--—--—f（x＋y）＝f（x)f(y）；f（x－y）＝

4.对数函数型的抽象函数

f（x)＝lo g a x（a〉0且a≠1）—---—f（x·y)＝f（x）＋f(y）；f（）＝f（x)－f(y）

5.三角函数型的抽象函数

f（x）＝t gx-————-——--——-—-————-—-—-——f（x＋y）＝

f(x）＝cot x—--———--———----—----—-——f（x＋y)＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f(x＋y）＝f(x）＋f（y）,且当x>0时，f(x）〉0,f（－1)＝－2求f（x)在区间[－2，1]上的值域.

分析:先证明函数f（x）在R上是增函数(注意到f（x2）＝f[（x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f（x1））;再根据区间求其值域。

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f(x＋y）＋2＝f（x)＋f（y），且当x〉0时,f（x)>2，f（3)＝ 5，求不等式f（a2－2a－2）〈3的解。

分析：先证明函数f（x)在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号。

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y）,且f（－1）＝1，f(27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1］。

（1）判断f（x）的奇偶性;

（2）判断f(x）在［0，＋∞］上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f(x1)＝f(·x2）＝f（)f（x2）；

（3)0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞)，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1）≠f（x2）;对任何x和y,f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求:

（1）f（0)；

（2）对任意值x，判断f(x）值的符号.

分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x）,使下列三个条件：①f(x)〉0,x∈N；②f(a＋b）＝f（a）f(b）,a、b∈N;③f（2)＝4.同时成立?若存在，求出f（x)的解析式，若不存在，说明理由。

分析：先猜出f(x）＝2x;再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在(0，＋∞）上的单调增函数，满足f(x·y)＝f（x）＋f（y），f（3)＝1，求：（1）f(1）;

（2）若f(x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式。

例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x).如果f(a b）＝f（a)＋f（b),那么g（a＋b）＝g(a）·g(b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n,则g(m）＝a，g(n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（a b)＝f [g（m)g(n）］….

例8已知函数f（x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝;

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

试问：

（1）f(x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）在(0,4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由.

分析:（1）利用f［－（x1－x2)］＝－f［(x1－x2）],判定f（x）是奇函数；

（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a,4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数。因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f(x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y),

（1）求证：f（1）＝f（－1)＝0；

（2）求证:f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数,解不等式f（x）＋f（x－)≤0。

分析：函数模型为：f（x）＝lo g a|x｜（a＞0）

（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；

（2）令y＝－1；

（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（｜x｜)。

例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f（0）≠0，f(x＋y）＝f（x）·f（y)，且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）当x＞0时，0＜f(x）＜1；

（2）f（x）在x∈R上是减函数。

分析:（1)先令x＝y＝0得f(0)＝1，再令y＝－x;

（3）受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f(x）f(y)可得f（x－y）＝，

进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.

练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y)对任意实数x、y都成立，则( )

(A)f（0）＝0 (B）f（0）＝1

（C)f（0）＝0或1 （D）以上都不对

2。若对任意实数x、y总有f(xy)＝f（x）＋f（y）,则下列各式中错误的是（）

（A）f（1)＝0 （B）f（）＝f（x）

（C)f()＝f（x)－f(y）（D）f（x n）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f(x）对一切实数x、y满足:f（0）≠0，f(x＋y）＝f(x)f（y），且当x＜0时，f（x）＞1,则当x＞0时，f（x)的取值范围是( ）

（A）（1,＋∞) （B)（－∞，1）

(C）（0,1) （D）（－1，＋∞）

4.函数f(x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，则f（x）为（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

5。已知不恒为零的函数f（x)对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2［f（x）＋f（y）］，则函数f（x）是（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

参考答案：

1．A

2．B

3．C

4．A

5．B

23。你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

(和三角形的面积公式很相似，可以比较记忆。要知道圆锥展开图面积的求法)