高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型

墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：

1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =

4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接

球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。由AM⊥MN，SB//MN，可得

AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。因此，

三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型

棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：

1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +

5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = 4√3，解得R = 4√3 + 3r，联立两式解得R = 7√3，r = √3，答案为R = 7√3，r = √3.

2）已知棱台的上底面和下底面都是正方形，上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：同理可得棱台的高为3√2.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (2 + 4 + 3√2)/(2 + 4 - 3√2) = 2 + √2，解得R = (2 + √2)r。又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = 3√2，解得R = 5√2 + 2√2√2，联立两式解得R = 6√2，r = 3√2 - 2√2√2，答案为R = 6√2，r = 3√2 - 2√2√2.

类型三、正棱锥模型

正棱锥模型是指底面为正多边形，且侧棱垂直于底面中心连线的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例3：

已知正棱锥的底面为正六边形，边长为2，侧棱长为3，

求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得正棱锥的高为3√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + c)/(a - c) = (2 + 3√3)/(2 - 3√3) = -1/√3，解得R = -r/√3.又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = 3√3，解得R = 3√3 - r/√3，联立两式解得R = 2√3，r

= -2√3/3，由于r为正数，故答案为R = 2√3，r = 2√3/3.

类型四、正四面体模型

正四面体模型是指四个等边三角形构成的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半

径r。

例4：

已知正四面体的棱长为2，求其外接球半径R和内切球半

径r。

解：由勾股定理可得正四面体的高为√6.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + c)/(a - c) = (2 + √6)/(2 - √6) = -√6，解得R = -r√6.又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = √6，解得R = 2√6/3，联立两式解得R = 2√6，r = -

√6/3，由于r为正数，故答案为R = 2√6，r = √6/3.

类型五、正八面体模型

正八面体模型是指八个正三角形构成的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例5：

已知正八面体的棱长为2，求其外接球半径R和内切球半

径r。

解：由勾股定理可得正八面体的高为√6.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + c)/(a - c) = (2 + √2)/(2 - √2) = -√2 + 1，解得R = (1 - √2)r。又由相似三角形可得R/r = (h +

R)/(h - r)，代入h = √6，解得R = √6 - √2r，联立两式解得R = √6 - √2，r = (√6 + √2)/6，答案为R = √6 - √2，r = (√6 + √2)/6.

类型六、正十二面体模型

正十二面体模型是指十二个正五边形构成的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例6：

已知正十二面体的棱长为2，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得正十二面体的高为2√(10 + 2√5)。设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + c)/(a - c) = (2 + √5)/(2 - √5) = -3 + 2√5，解得R = (2√5 - 3)r。又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = 2√(10 + 2√5)，解得R = 2√(5 + √5) - √(10 + 2√5)r，联立两式解得R = 2√(5 + √5)，r = (√5 - 1)/√10，答案为R = 2√(5 + √5)，r = (√5 - 1)/√10.

类型七、正二十面体模型

正二十面体模型是指二十个正三角形构成的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例7：

已知正二十面体的棱长为2，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得正二十面体的高为√(5 + 2√5)。设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + c)/(a - c) = (2 + √5)/(2 - √5) = -1 + √5，解得R = (1 + √5)r。又由相似三角形可得R/r = (h + R)/(h - r)，代入h = √(5 + 2√5)，解得R = √(5 + 2√5) - √5r，联立两式解得R = 2√5 - √5，r = (√5 - 1)/√5，答案为R = 2√5 - √5，r = (√5 - 1)/√5.

类型八、球的内切与外接

对于任意几何体，可以通过求其内切球半径r和外接球半径R，进而求出其体积和表面积。而对于球体本身，其内切球

和外接球就是它本身。因此，球体的内切球半径r等于其半径，外接球半径R等于2倍半径。

题目：求解切瓜模型中的球体参数

切瓜模型是指两个平面互相垂直的情况，其中一个平面为小圆的直径。下面分别讨论几种情况。

情况一：如图9-1所示，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（即AC为小圆的直径）。

解题步骤：

1.确定球心O的位置，因为O是三角形PAC的外心，所

以O在三角形PAC的外接圆上，且O是大圆的球心，先求出

小圆的直径AC=2r；

2.利用正弦定理，求出球的半径R，即abc/

（sinA*sinB*sinC）=2R；

3.求出球的表面积S，即S=4πR^2.

情况二：如图9-2所示，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（即AC为小圆的直径），且O1C=OC+O1O。

解题步骤：

1.确定球心O的位置，因为O是三角形PAC的外心，所以O在三角形PAC的外接圆上，且O是大圆的球心，先求出小圆的直径AC=2R2-O1O；

2.利用勾股定理，求出球的半径R，即R=r+O1O；

3.求出球的表面积S，即S=4πR^2.

情况三：如图9-3所示，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是三角形ABC的外心。

解题步骤：

1.确定球心O的位置，取三角形ABC的外心O1，则P、O、O1三点共线；

2.先求出小圆的半径O1A=r，再求出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）；

3.利用勾股定理，求出球的半径R，即R=(h-R)+r；

4.求出球的体积V，即V=1/3πR^3.

最后，还有一些特殊情况需要注意，如当P到小圆的距

离为半径时，三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点P也是圆锥

的顶点。利用勾股定理，可以求出三棱锥的外接球半径。

3）在三棱锥P-ABC中，已知PA=PB=PC=3，侧棱PA与

底面ABC所成的角为60度，求该三棱锥外接球的体积。

解：设外接球的半径为R，则三棱锥的高为h=3sin60度

=3*√3/2=3√3/2.由勾股定理可得，三棱锥的底面半径为√3，因

此外接球的半径为R=3/√2.外接球的体积为

V=4/3*π*R^3=33π/3.

4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，

△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。

解：首先确定球心O的位置，球心O位于正三角形ABC

的外心上。由勾股定理可得，三棱锥的高为h=√3/2.设球的半

径为R，根据题目条件可得R=1/2.因此，棱锥的体积为

V=1/3*底面积*高=1/3*√3/4*1/4*√3/2=1/36.

例4

1）一个正六棱柱的底面为正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，底面周长为3，求这

个球的体积。

解：设正六边形的边长为a，正六棱柱的高为h，底面外

接圆的半径为r。由勾股定理可得，h=√(a^2-(a/2)^2)=√3/2*a。

底面周长为3，因此a=1.正六棱柱的体积为V=底面积*高

=3√3/4.由于六棱柱的顶点在同一个球面上，因此球的半径为

R=√(h^2+(a/2)^2)=√7/2.球的体积为

V=4/3*π*R^3=4/3*π*7/2*√7/2=49π/6.

2）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120度，求此球的表面积。

解：由勾股定理可得，BC=2√3.设球的半径为R，根据勾

股定理可得，R=BC/2=√3.球的表面积为S=4πR^2=4π*3=12π。

3）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60度，求多面体E-ABCD

的外接球的表面积。

解：首先确定球心O的位置，球心O位于△EAB的外心上。由勾股定理可得，AB=3，因此△EAB的外接圆半径为

R=3/√3=√3.矩形ABCD的对角线AC=√(AD^2+AB^2)=√13.多

面体E-ABCD的外接球半径为R=AC/2=√13/2.外接球的表面积为S=4πR^2=26π/2=13π。

解析：题目中给出的长方体的三组对棱分别相等，可以画出如下的长方体模型：

设长方体的长、宽、高分别为$a,b,c$，则根据勾股定理，有：

begin{cases}

a^2+b^2=x^2 \\

b^2+c^2=y^2 \\

c^2+a^2=z^2

end{cases}$$

又因为 $AB=CD=y$，$AD=BC=x$，$AC=BD=z$，所以$a+b=y$，$b+c=x$，$a+c=z$。

将$a+b=y$，$b+c=x$，$a+c=z$ 代入$2R=a+b+c$，得到：

2R=x+y+z$$

将 $x,y,z$ 用 $a,b,c$ 表示，得到：

2R=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$$

根据XXX公式，三角形的面积可以表示为：

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

其中 $p$ 表示三角形的半周长。将 $2R$ 代入，得到：

S=\sqrt{R(R-a)(R-b)(R-c)}$$

其中 $R=\frac{2R}{2}$。又因为长方体的体积为 $V=abc$，所以四面体的体积为 $V_A=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}abc$。

将 $S$ 和 $V_A$ 代入外接球半径的公式

$R=\frac{3V_A}{4S}$，得到：

R=\frac{3abc}{4\sqrt{R(R-a)(R-b)(R-c)}}$$

将 $a,b,c$ 用 $x,y,z$ 表示，得到：

R=\frac{}{4\sqrt{(x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)}}$$

将 $x=AD=BC,y=AB=CD,z=AC=BD$ 代入，得到：

R=\frac{3xy\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{4\sqrt{(x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)}}$$

将 $x=y=AD=BC=2$，

$z=AC=BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ 代入，得到：

R=\frac{3\cdot 2\cdot

2\sqrt{2+2^2}}{4\sqrt{(2+2+2\sqrt{2})(2+2-

2\sqrt{2})(2\sqrt{2}+2-2)}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$$

所以三棱锥 $P-ABC$ 的外接球半径为

$\frac{3\sqrt{6}}{4}$。

根据墙角模型，可以得到 $2R=a+b+c=2\cdot 2=4$，其中$a,b,c$ 分别为三角形 $PAB,PBC,PCA$ 的边长。因为$PAB,PBC,PCA$ 都是直角三角形，所以可以利用勾股定理求出它们的边长，分别为 $2\sqrt{2},2\sqrt{2},2$。代入公式

$2R=\frac{abc}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ 中，可以求得外接球半径为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

1.如图，正六棱柱ABCD-EF与正四棱锥P-ABCDEF有共同的底面ABCD，且球O1，O2分别为正六棱柱和正四棱锥的内切球，球心O1，O2分别在对面的棱上，求球O1，O2的半径之比。

解析：首先，我们可以先求出正六棱柱和正四棱锥的高。因为O1,O2分别在对面的棱上，所以我们可以通过棱长求出高。设正六棱柱ABCD-EF的棱长为a，正四棱锥P-ABCDEF 的棱长为b，则有：

AD^2=AE^2=AB^2+a^2$

PF^2=PA^2+AF^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{4}a^2$

因为O1，O2分别是内切球，所以有：

O_1D=O_1E=r_1$

O_2F=O_2P=r_2$

根据勾股定理，我们可以得到：

OD=\sqrt{AD^2-O_1D^2}=\sqrt{(AB^2+a^2)-r_1^2}$

OF=\sqrt{PF^2-

O_2F^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{4}a^2)-r_2^2}$ 因为O1，O2分别在对面的棱上，所以有：

OD+OF=CD+EF=\frac{3}{2}a+b$

所以。

sqrt{(AB^2+a^2)-

r_1^2}+\sqrt{(\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{4}a^2)-

r_2^2}=\frac{3}{2}a+b$

我们再利用内切球的性质，即两球切于一点，可以得到：

r_1+r_2=CD+EF=\frac{3}{2}a+b$

解这个方程组，即可得到$

2.如图，正六棱柱ABCD-EF的棱长为2，球O1为其内切球，O2为其外接球，则O1O2的长度为多少？

解析：首先，我们可以求出正六棱柱的高。因为球O1为其内切球，所以有：

O_1D=r_1$

根据勾股定理，我们可以得到：

OD=\sqrt{AD^2-O_1D^2}=\sqrt{(AB^2+a^2)-

r_1^2}=\sqrt{a^2+3}$

因为球O2为其外接球，所以有：

O_2D=R=OD+r_1=\sqrt{a^2+3}+r_1$

所以。

O_1O_2=2r_2-O_2D=2\sqrt{2}-\sqrt{a^2+3}-r_1$

因为正六棱柱ABCD-EF的棱长为2，所以有$a=\sqrt{3}$。代入上式，可得：

O_1O_2=2\sqrt{2}-\sqrt{12}-r_1=2\sqrt{2}-2-r_1$

因为球O1为正六棱柱的内切球，所以有：

r_1=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

代入上式，可得：

O_1O_2=2\sqrt{2}-2-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

所以，$O_1O_2\approx0.268$。

1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，

SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为多少？

解：根据勾股定理，可以得到底面ABC是一个直角三角形，因此有两种情况。对于第一种情况，三棱锥的高为2，底面三边长分别为3、4、5，因此外接球半径为3；对于第二种情况，三棱锥的高为4，底面三边长分别为6、8、10，因此外接球半径为6.综上所述，选项A为正确答案。

2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA垂直于平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA=2/3，则该三棱锥的外接球体积等于多少？

解：首先可以通过勾股定理得到SA的长度为2.然后根据外接球的性质，可以通过连接三角形ABC的中心和顶点S，

利用正弦定理求出外接球半径R。具体来说，设三角形ABC

的中心为O，则AO=BO=CO=2/√3，因此有

sin(60°)=SA/AO=R/(2/√3)，解得R=2.最后，根据球体积的公

式V=4/3πR³，可以得到外接球体积为32π/3.

3.正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于多少？

解：可以通过连接三角形ABC的中心和顶点S，利用勾

股定理和正弦定理求出外接球半径R。具体来说，设三角形ABC的中心为O，则AO=BO=CO=√3，因此有

R=√(2²+3²)/2=√13/2.最后，根据球体积的公式V=4/3πR³，可以

得到外接球体积为(52π/27)。

4.三棱锥P-ABC中，平面PAC垂直于平面ABC，△PAC

边长为2的正三角形，AB垂直于BC，则三棱锥P-ABC外接

球的半径为多少？

解：可以通过连接三角形ABC的中心和顶点P，利用勾

股定理和正弦定理求出外接球半径R。具体来说，设三角形