知识讲解二元一次不等式组与平面区域基础

二元一次不等式（组）与平面编稿：张希勇审稿：李霞

【学习目标】

1.了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.

2.会从实际情境中抽象

出二元一次不等式组. 3.理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域. 【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义

1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元

一次不等式. 2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元

一次不等式组.

3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对(,)xy，所有这样的有序实数对(,)xy构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.

要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.

二元一次不等式所表示的平面区域：

在平面直角坐标系中，直线:0lAxByC???将平面分成两部分，平面内的点分为三类：

①直线l上的点（x，y）的坐标满足：0???CByAx；

②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0???CByAx；

③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0AxByC???.

即二元一次不等式0AxByC???或0AxByC???在平面直角坐标系中表示直线

0AxByC???的某一侧所有点组成的平面区域，直线0AxByC???叫做这两个区域的边界，

（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.

要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定

二元一次不等式表示的平面区域

由于对在直线0AxByC???同一侧的所有点(,)xy，把它的坐标(,)xy代入AxByC??，所得到实数的符都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)xy，从

00AxByC??的正负即可判断

0AxByC???表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C?时，常把原点作为此特殊点）

以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域

由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

2. 画二元一次不等式0(0)AxByC????或0(0)AxByC????表示的平面区域的基本步骤：

①画出直线:0lAxByC???（有等画实线，无等画虚线）；

②当0?C时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C?时，另取一特殊

点判断；

③确定要画不等式所表示的平面区域.

要点诠释：“直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】

类型一：二元一次不等式表示的平面区域

例1. 画出不等式240xy???表示的平面区域. 【解析】先画直线240xy???（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24xy??得200440??????, ∴原点不在240xy???表示的平面区域内，

不等式240xy???表示的区域如图：

【总结升华】

1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊

地，当0?C时，常把原点作为此特殊点.

2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线

举一反三：

【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域

（1）4312xy??；（2）1?x

【答案】

（1）（2）

【变式2】(2015·漳州模拟)图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）

A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0

【答案】

直线对应的方程为x-y-1＝0，

对应的区域，在直线的下方，

当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，

即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，

则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，

故选：A．

【变式3】（2016 马鞍山）不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）

【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，

故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，

故选D。

类型二：二元一次不等组表示的平面区域

例2. 用平面区域表示不等式组???????????3005xyxyx

【思路点拨】

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

【解析】不等式x－y+5≥0表示直线x－y+5＝0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.不

等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式组3122yxxy???????.

【解析】不等式312yx???表示直线312yx???右下方的区域，

2xy?表示直线2xy?右上方的区域，

取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集

【变式2】画出下列不等式组表示的平面区域.

（1）3232626xyxxyyx?????????????；（2）22300xyxyxy?????????????；【答案】

（1）（2）

例3.画出下列不等式表示的平面区域

(1) 0)1)((????yxyx；(2) xyx2??

【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图. 【解析】

(1) 原不等式等价转化为010xyxy????????或???????10yxyx（无解），

故点),(yx在区域010xyxy????????内，如图：

(2) 原不等式等价为0020yxyxy??????????或0020yxyxy??????????，如图

【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式(1)(40xyxy?????）

【答案】

【变式2】用平面区域表示不等式

（1）1yx??；（2）xy?；（3）xy?

【答案】

（1）（2）（3）

类型三：求平面区域的面积

【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663例题1】

例4．求不等式组???????????3006xyxyx表示的平面区域的面积. 【解析】

【法1】（特殊三角形）

显然ABC?为等腰直角三角形，???90A，ACAB?，

易得B点坐标为)3,3(?，C点坐标为)9,3(，则12||?BC

∴3661221?????ABC S. 【法2】（面积公式）

易得A点坐标为)3,3-(，B点坐标为)3,3(?，C点坐标为)9,3(，

则26)39()33(||22?????AC由点到直线的距离公式得高262|6)3(3|?????AC h

∴36262621?????ABC S. 【法3】（向量法）

易得A点坐标为)3,3-(，B点坐标为)3,3(?，C点坐标为)9,3(，

则)6,6(?AC，)6,6(??AB

∴3666)6(621????????ABC S. 故不等式组???????????3006xyxyx表示的平面

区域的面积等于36.

【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区域的应用，注意图形的分解转化

举一反三：

【变式】画出不等式组3003xyxyx???????????表示的平面区域并求其面积.

【答案】如图，面积为81

例5．（2015·吉安一模）在平面直角坐标系中，若不等式组

101010xyxaxy?????????????，（a为常数）所表示的平面区域的面积等于5，则a

的值为( )

A．-11 B．3 C．9 D．9或-11 【答案】C

【思路点拨】aa作出不等式组对应的平面区域，利用对应图形的面积即可得到a的值．【解析】

作出不等式组对应的平面区域，

若不等式组构成平面区域则a＞0，

此时对应的区域为△ABC，

则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1+a)，

∴ AC＝1+a，

则△ABC的面积1(1)152Sa????·，解得a＝9，

故选：C．

【总结升华】本题主要考查线二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．

举一反三：

【变式】（2015·岳阳二模）已知x、y∈R，不等式组2000xyxyyk???????????所表

示的平面区域的面积为6，则实数k的值为()

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】

作出不等式组对应的平面区域：则k＞

由20xyyk??????，解得2xkyk??????，即A(-2k，k)，

由0xyyk??????，解得xkyk?????，即B(k，k)

∵平面区域的面积是9，

∴1(3)62kk?，

即24k?

解得k＝±2，

解得k＝2或k＝-2（舍），

故选：B．

类型四：实际应用问题

【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663 例题4】

例6.某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～

二元一次不等式组与平面区域教案

“§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域”教案一、题目：高中数学必修5 第三章不等式第3.3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第一课时二、课程分析：教材中为了引导学生探究二元一次不等式表示的平面区域，采用了类比一元一次不等式的解集在数轴上的表示法，这是一条很好的思路，教学中应该遵循这一思路展开教学，引导学生进行探究，本课的教学设计也是以这一思路为指导的。另外，教材中的探究过程是在直线上和左上方分别取点P和A，使这两点的横坐标相等，比较纵坐标的大小，进而总结出“同侧同号”的结论。这个探究过程的逻辑是严密的，却也是非实质的，“P与A的横坐标相同”这一限制是多余的，在学生小组活动中可以不用兼顾，只需在直线某侧任意取若干点，把坐标代入直线方程，考察计算结果的符号即可，为了弥补这样做的逻辑缺陷，教师可以在小组活动后统一用代数办法进行证明。三、学情分析：学生的基础知识较差，分析问题、解决问题的能力还不成熟，需要依据这一学情对教学活动做如下调整：一是放弃教材中由实际情境引出二元一次不等式的相关概念的设计，改为一句话带过：“在日常生活中，有很多不等关系需要用二元一次不等式（组）来表达。所以本节课我们先来探究二元一次不等式（组）的相关知识，为以后的学习生活打好基础。”这样做是因为学生很可能在寻找不等关系、列不等式组这些动作中花费较多时间。二是在小组合作探究活动之前，教师先引导学生理清探究的思路，定好探究目标。这样可以使时间有限的小组探究活动的效率提高，使每一个同学都能在探究中自己的任务。四、教学目标： 1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，会用“特殊点法”画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。 2、过程与方法：通过类比，找到探究的途径；在探究过程中，善于发现，及时总结，进一步熟悉从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观：在小组合作探究活动中，积极投入，培养合作意识，增强学习数学的信心，感悟探求新知的常用思想。五、教学重点：

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才

是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)

二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧：先考虑开平方法,

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析课题一元二次方程章节复习及典型例题解析学习目标与考点分析学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用考点分析：1一元二次方程的定义、解法、及根与系数的关系学习重点理解并掌握一元二次方程的概念及解法学习方法讲练说相结合学习内容与过程一回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握）一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程压轴题[含答案解析]

一元二次方程 1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值． 2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程( a －6)x 2 ＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x 1＋1)( x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值． 4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2 －(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且 x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2 （2）若点A （1，2），B （ 1 2 ，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝ 5 4 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（福建模拟）已知方程组 ???y 2 ＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解 ? ????x ＝x 1y ＝y 1 和 ?????x ＝x 2 y ＝y 2 ，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b ，使得 1 x 1 ＋ 1 x 2 ＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

一元二次方程的解法—知识讲解

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：

《一元二次方程》知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式：　 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想

一元二次方程??? →降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

二元一次不等式(组)与平面区域(解析版)

二元一次不等式（组）与平面区域班级______________ 姓名______________ 1．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1) D ．(－1,1) 解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D. 2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2) D ．[0,2] 解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0

左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为???? ? x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0， x －1≥0. 5．若不等式组???? ? x ≤0，y ≥0， y －x ≤2 表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0 扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.7 2 B.7 3 C.74 D.12 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ????－12，3 2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝7 4. 6．不等式组???? ? x ＋2y ≤8，0≤x ≤4， 0≤y ≤3 表示的平面区域的面积为________．