数学分析简明教程答案09
第九章 再论实数系
§1 实数连续性的等价描述
1．求数列}{n x 的上、下确界（若}{n x 无上（下）确界，则称)(-∞∞+是}{n x 的上（下）确界）：
（1）n
x n 1
1-
=； （2）])2(2[n
n n x -+=；
（3）)3,2,1(1
1,122 =+==+k k x k x k k ； （4）n
n x n n 1])1(1[+-+=；
（5）n
n n n
x )1(21-+=；
（6）3
2cos
11π
n n n x n +-=
． 解（1）0}inf{,1}sup{==n n x x ； （2）-∞=+∞=}inf{,}sup{n n x x ； （3）1}inf{,}sup{=+∞=n n x x ； （4）0}inf{,3}sup{==n n x x ； （5）1}inf{,5}sup{==n n x x ； （6）2
1
}inf{,1}sup{-
==n n x x ． 2．设)(x f 在D 上定义，求证： (1) )}({inf )}({sup x f x f D
x D
x ∈∈-=-；
(2) )}({sup )}({inf x f x f D
x D
x ∈∈-=-．
证明 (1)设a x f =)}(inf{，则D x ∈?，都有a x f ≥)(，因而a x f -≤-)(，又由于
0>?ε，都D x ∈?ε，使得εε+-a x f )(，因此
)}({inf )}({sup x f x f D
x D
x ∈∈-=-.
(2) 设b x f D
x =∈)}({sup ，则D x ∈?有b x f ≤)(，从而b x f -≥-)(，又由于,0>?ε
都D x ∈?ε，使得εε->b x f )(，从而εε+-<-b x f )(，因此
)}({sup )}({inf x f x f D
x D
x ∈∈-=-.
3．设E sup =β，且E ?β，试证自E 中可选取数列}{n x 且n x 互不相同，使
β=∞
→n n x lim ；又若E ∈β，则情形如何？
证明 由已知条件知E sup =β且E ?β，因而
(1) E x ∈?，有β (2) 0>?ε，都存在E x ∈ε，使得εβε->x ． 由(1)、(2)知： 对1=ε，存在E x ∈1，使得ββ<<-11x ； 对},21min{1x -=βε，E x ∈?2，使得ββ<<-221 x 并且112)(x x x =-->ββ； 对},31min{2x -=βε，E x ∈?3，使得ββ<<-23 1 x 并且223)(x x x =-->ββ； … 如此继续下去，得数列}{n x 且n x 互不相同，并且β=∞ →n n x lim ． 若E ∈β，则结论不真，如? ?? ???=n E 1，则1sup =E ，但没有n x 互不相同的数列}{n x ，使1lim =∞ →n n x ． 4． 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于∞+的数列必有下确界，趋于∞-的数列必有上确界． 证明 (1) 由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界； (2) 设+∞=∞ →n n x lim ，则N ?，当N n >时0>n x ，因而}0,,,,m in{21N x x x 是数列 }{n x 的下界，由确界原理知数列}{n x 存在下确界； (3) 设-∞=∞ →n n x lim ，则N ?，当N n >时0 }{n x 的上界，由确界定理知数列}{n x 存在上确界． 5．试分别举出满足下列条件的数列： （1）有上确界无下确界的数列； （2）含有上确界但不含有下确界的数列； （3）既含有上确界又含有下确界的数列； （4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 解（1）有上确界无下确界的数列，如}{}{n x n -=有上确界1}sup{-=n x ，但无下确界； （2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取? ?????=n x n 1}{，则该数列含有它的上确界 1}sup{=n x ，但下确界0}inf{=n x ，该数列不含有0； （3）既含有上确界又含有下确界的数列，如? ?? ???-+=n x n n )1(1}{，既含有上确界1，又 含有下确界0； （4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如 ?????? ?∈=-∈+==++. ,213; ,121Z k k n n Z k k n n x n 则数列}{n x 有上确界3和下确界0，该数列}{n x 上含其上、下确界3和0． §2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4． 证明 设数列}{n x 有界，即存在R b a ∈,，使得对N n ∈?，都有b x a n ≤≤．下证}{n x 有收敛子列． （1）若}{n x 存在子列}{k n x 是常数列，则}{k n x 是}{n x 的收敛子列． （2）若}{n x 不存在是常数列的子列，下证}{n x 有收敛子列，为此设}|{N n x X n ∈=，则X 是无限点集． 反设}{n x 没有收敛的子数列，则],[b a x ∈?都不是}{n x 的任一子数列的极限，因此对 ],[b a x ∈?，都存在开区间),(x x x v u I =，使得x I x ∈且X I x 是有限集（否则对包含x 的任一开区间),(x x v u 都有X 的无穷项，则x 是}{n x 的某一子列的极限），因此所有开区间 x I 构成闭区间],[b a 的一个开覆盖Ω，由有限覆盖定理知存在有限数m ，使 i x m i I b a 1 ],[=? ， 因而有 )()()()()(],[3211 X I X I X I X I X I X b a m i x x x x x m i =?=， 注意到上式右端每一项都是有限集，故X b a ],[为有限集，矛盾! 综合（1）（2）知}{n x 必有一收敛的子数列． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 证明 设数列}{n x 单调递增且有上界，则}{n x 是有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛子数列}{k n x ，设c x k n k =∞ →lim ，则由}{n x 单调递增知c 必为数列}{n x 的上界，且根 据数列极限的定义知,,0K ?>?ε当K k >时，有ε<-c x k n ，即 εε+<<-c x c k n ， 特别地 ε->+c x K n 1， 取1+=k n N ，则当1+=>k n N n 时，由数列}{n x 单调递增且c 为它的上界知 εε+<≤≤<-+c c x x c n n K 1， 即ε<-c x n ，从而c x n n =∞ →lim ，即单调递增有上界数列必有极限． 同理可证}{n x 单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 证明 不妨假设数列}{n x 单调递增有上界（}{n x 单调递减有下界可同理证明)，即存在 R b ∈，使得b x x x a n ≤≤≤≤≤= 21，下证数列}{n x 有极限． 若b a =，则}{n x 为常驻列，故}{n x 收敛，因而以下假设b a <． 取b b a a ==11,，二等分区间],[11b a ，分点为211b a +，若2 1 1b a +仍为}{n x 的上界，则令2,11212b a b a a += =；若21 1b a +不是}{n x 的上界，即存在m ，使2 11b a x m +>，则令12112,2b b b a a =+= . 二等分区间],[22b a ，分点为222b a +，若2 2 2b a +为}{n x 的上界， 则令2,22323b a b a a += =；若2 2 2b a +不是}{n x 的上界，则令 .,223223b b b a a =+= 依此类推得一闭区间套{ }],[n n b a ，每一个区间的右端点都是}{n x 的上界，由闭区间套定理知存在唯一的R c ∈，使得c 属于所有闭区间，下证数列}{n x 的极限为c ． 由于02lim )(lim 1 =-=--∞→∞ →n n n n n a b a b ，故根据数列极限的定义，0>?ε，存在N ，当 N n >时，都有2 ε < -n n a b ，而],[n n b a c ∈，故 ),(],[εε+-?c c b a n n . （*） 另一方面，由闭区间套的构造知K ?，使得n K n b x a ≤≤，故对K n >?，由于K n x x >，故n n K n b x x a ≤≤≤. 而由（*）知εε+<<-c x c n ，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞ →lim ， 因而单调有界数列必有极限. 4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样？若将条件 ??],[],[2211b a b a 去掉或将条件0→-n n a b 去掉，结果怎样？试举例说明． 分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列? ?? ?????? ??n 1, 0满足001lim =??? ??-∞→n n 且 ??? ? ?????????????????????????n 1,031,021,011,0，但不存在r ，使r 属于所有区间． （2）若将定理其它条件不变，去掉条件 ??],[],[2211b a b a ，则定理仍不成立，如 ??????????? ?+n n n 1,是闭区间列，且0→-n n a b ，但显然不存在r ，使r 属于所有区间． （3）若去掉定理条件0→-n n a b ，则定理仍不成立，如闭区间序列? ?? ?????????+- n n 13,11满足 ??],[],[2211b a b a ，此时区间]3,1[内任意一点都属于闭区间序列的任何区间，与唯一性矛盾． 5．若}{n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列∞→k n x ,a x k m →（a 为有限数）． 证明 由于}{n x 无界，故N k ∈?，都存在k n x ，使得k x k n >，因而∞=∞ →k n k x lim ． 又由于}{n x 不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知0M ?，对0>?K ，存在 K m k >，使得0||M x k m <. 从而对于0>?K ，数列}{k m x 为有界数列，从而必有收敛子 列}{k m x ．故结论成立． 6．有界数列}{n x 若不收敛，则必存在两个子列b x a x k k m n →→,)(b a ≠． 证明 由于}{n x 为有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛的子列}{k n x ，不妨设 )(∞→→k a x k n ，又因为数列}{n x 不收敛于a ，故从}{n x 中去掉}{k n x 后所得的项还有 无穷多项(否则数列}{n x 就收敛于a )．记其为数列}{k n x ，又因为}{k n x 为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为b ，则b a ≠，而此子列也是}{n x 的子列，故设其为}{k m x ，因而)(lim b a b x k m k ≠=∞ →. 7．求证：数列}{n a 有界的充要条件是，}{n a 的任何子数列}{k n a 都有收敛的子数列． 证明 必要性：由紧致性定理知结论成立． 充分性：反设数列}{n a 无界．若}{n a 是无穷大量，则}{n a 的任何子列都不存在收敛的子列，矛盾；若}{n a 不是无穷大量，则由第5题知}{n a 有一子列}{k n a 是无穷大量，从而 }{k n a 没有收敛的子数列，也矛盾．因而数列}{n a 有界． 8．设)(x f 在],[b a 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：)(x f 在],[b a 上有界． 证明 对],[b a t ∈?，由于)(x f 在t 处的极限存在，故设A x f t x =→)(lim ，则对01>=ε，