20.极点与极线地性质

第15讲:极点与极线的性质 125

第15讲:极点与极线的性质

极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.

定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.

特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.

[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线

G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:

l l l P M P A D M P

N C N B

[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.

证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为

p:ax p x+b

x x y p p ++cy p y+d

p x x ++e

p y y ++f=0,q:ax Q x+b

x x y Q Q ++cy Q y+d

Q x x ++e

Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b

p Q p y x x y ++cy p y Q +d

Q x x ++e 2

Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b

y x x y Q Q ++cy Q y+d

Q x x ++e

Q y y +

+f=0上?点Q 的极线也通过点P.

推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;

证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二

点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.

推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共

点;同理可证:共点线的极点必共线.

推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点.

证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0? ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.

[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b

00y

x x y ++ 126 第15讲:极点与极线的性质

cy 0y+d

20x x ++e 2

y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20

y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin θ

+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+dx 0+ey 0+f)=0?t 0=-2θ

θθθsin 2cos sin cos 20000002

00020cy by bx ax f ey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2

+bxy+

cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02

+dx 0 +ey 0+f)=0?t 1+t 2=-θ

θθθθ

θθθ220000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=

θθθ2200200020sin cos sin cos c b a f

ey dx cy y bx ax +++++++?t 0=

12t t t t +;而|PA||QB|= |QA||PB|?|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|?t 0=

12t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的两

条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22

=4S 1S 2.

证明:以椭圆G:

2a x +

2b y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:

0=+

b y y a x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B

作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则|

|||11BC AD =|1||1|22022021

0-+-+

y y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =

|||2222222022022

12212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=

)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:

0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --?|

|22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由?????=+=+2222222222212212b

a y a x

b b a y a x b ?b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2

(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0?b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0?a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)?|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2

x 2|?||||BP AP =|

|11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1?

||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ?||||BC AD =||||QC AQ ?||||BP AP =|

|QC AQ ?PQ ∥BC ∥AD ?S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ?S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ?S △QAD =S △PAD =S 1,S

△QBC

=S △PBC =S 3,S △QAB =

21S △PCD =21S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ?????=|

|||||||QA QC QB QD ?=1?2

QAB S ?=S △QAD S △QBC ?S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.

[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:22x +y 2

=1的两焦点为F 1 ,F 2,点P(x 0,y 0)满足0<2

20x +y 02<1,则|PF 1|+|PF 2|

的取值范围为 ,直线

x +y 0y=1与椭圆C 的公共点个数为 . [解析]:由0<22

0x +y 02<1知,点P 在椭圆C 内,所以直线

x +y 0y=1与椭圆C 相离?公共点个数为0;2c ≤PF 1|+|PF 2|<2a ? 2≤PF 1|+|PF 2|<22?|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2,22).

[原创问题]:已知椭圆C:4

2x +32y =1,点P(x 0,y 0)满足42

x +320y >1(x 0≠0),直线l:40x x +30y y =1.

(Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的公共点个数;

(Ⅱ)若射线OP 与直线l 、椭圆C 分别交于点Q 、M,求证:|OP||OQ|=|OM|2

[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:42x +32

y =1????==θ

θsin 3cos 2y x ,θ∈[0,2π),所以,直线l 与椭圆C 的公共点个数?关于θ的方程

第15讲:极点与极线的性质 127

20x cos θ+330y sin θ=1解的个数?直线:20x x+3

30y y=1与圆:x 2+y 2

=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:20x x+330y y =1的距离d=

20y x +<1?直线:

x x+3

30y y=1与圆:x 2+y 2

=1的公共点个数=2?直线l 与椭圆C 的公共点个数=2; (Ⅱ)因射线OP:y=

x y x(x 与x 0同号),与40x x +30y y =1联立得:40x x +0203x x y =1?x=202004312y x x +?y=202004312y x y +?Q(20

2004312y x x +,

200

4312y x y +)?|OP||OQ|=

20202

02043)(12y x y x ++;由y=

00x y x 与42x +32y =1联立得:42x +20203x y x 2=1?x 2=2020204312y x x +?y 2

=20

20204312y x y +?

|OM|2

=x 2

+y 2

04312y x x ++20

204312y x y +=

202043)(12y x y x +

+?|OP||OQ|=|OM|2

例2:抛物线中的共线性质.

[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,

点A 关于x 轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设FB FA ?=

,求△BDK 的内切圆M 的方程. [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=k(x+1)(k ≠0),则D(x 1,-y 1),由??

?=+=x

y x k y 4)1(2

?ky 2

-4y+4k=0?y 1+y 2=k 4,y 1y 2= 4;所以,点F 在直线BD 上?FB ∥FD ?(x 2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)?y 1(k y 2-2)+y 2(k

1-2)=0?y 1y 2-k(y 1+y 2)=0; (Ⅱ)由FB FA ?=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(

k y 2-2)(k y 1-2)+y 1y 2=(1+21k )y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+4=4(1+21k )-28k +4=8-24

=98?k=±43; 根据对称性,不妨设k=43,则直线AB:3x-4y+3=0,且k KD =4

3?KF 平分∠AKD ?圆M 的圆心M 在x 轴上;(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2

- 4x 1x 2=

7162?k BD =1212y y x x +-=7

?直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1

5|1|3+t

4|1|3-t ?t=91?圆M:(x-91)2+y 2=9

. [原创问题]:已知抛物线y 2=2px 及定点A(a,b),B(-a,0)(ab ≠0,b 2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线AM,BM 与抛物线的

另一交点分别为M 1,M 2.求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

[解析]:设M(2pt 2,2pt),M 1(2pt 12,2pt 1),M 2(2pt 22,2pt 2),则点B,M,M 2对应的极线分别为:x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22,由

B,M,M 2三点共线?三线x=a,2ty=x+2pt 2

,2t 2y=x+2pt 22

共点?a=2ptt 2?t 2=

2,点A,M 1对应的极线分别为:by=px+ap, 2t 1y=x+2pt 12

,由A,M,M 1三点共线?三线by=px+ap,2ty=x+2pt 2

,2t 1y=x+2pt 12

共点?bp(t+t 1)=2p 2

tt 1+ap ?t 1=

b bt

a 2--,由

?????+=+=22

221

12222pt x y t pt x y t ????+==)(22121t t p y t pt x ????

???

--=--=)2(2)

2()2()(2

pt b pt t p a b y pt b t bt a a x ?x-a=)2(22pt b t t p a --=b a 2y ?M 1,M 2对应极线的交点在定直线b p 2y=x+a, 即

p 2

2y=2p 2a x +上?直线M 1M 2恒过一个定点(a,b pa 2).

128 第15讲:极点与极线的性质

例3:抛物线中的比例性质.

[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=2

1x 2与直线l:y=kx-1没有公共点,设点P 为直线

l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点Q;

(Ⅱ)若点P 与(Ⅰ)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M 、N 两点.证明:

||||PN PM =|

|QN QM . [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线y=2

x 2在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=y+y 1、x 2x=y+y 2,由点P(x 0,

y 0)在这两切线上得:???+=+=0

2200

110y y x x y y x x ?直线AB:x 0x=y+y 0(注意到:y 0=kx 0-1)?x 0x=y+kx 0-1?直线AB 过定点Q(k,1);

(Ⅱ)设直线MN:??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=y+y 0,得:t Q =θθcos sin 2002

0x y x --;代入y=21x 2得:t 2cos 2

θ+2(x 0cos θ-sin

θ)t+x 02

-2y 0=0?t 1+t 2=2?

θ20cos cos sin x -,t 1t 2=

0cos 2y x -?

21212t t t t +=θθcos sin 2002

0x y x --?t Q =21212t t t t +;所以,||||PN PM =||||QN QM ?2

1t t

Q t t t t --21?t Q =

12t t t t +成立. [原创问题]:已知抛物线C:x 2=4y 与直线l:y=x-2,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点.

(Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点T;

(Ⅱ)若过点P 的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,与直线AB 交于点Q.证明:

|1PM +

|1PN =

|2PQ .

[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线C:x 2=4y 在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=2(y+y 1)、x 2x=(y+y 2),

由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:???+=+=)

(2)

(202200110y y x x y y x x ?直线AB:x 0x=2(y+y 0)(注意到:y 0=x 0-2)?x 0x=2y+2x 0-4?直线AB 过定

点T(2,2);

(Ⅱ)设直线MN:???+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=2(y+y 0),得:t Q =θθcos sin 24002

0x y x --;代入x 2=4y 得:t 2cos 2

θ+2(x 0cos θ-2sin θ)t

+x 02

-4y 0=0?t 1+t 2=2?

θ20cos cos sin 2x -,t 1t 2=

0cos 4y x -?

21212t t t t +=θθcos sin 24002

0x y x --?t Q =21212t t t t +;所以,||1PM +||1PN =|

|2PQ ?11

t 21t =Q t 2?t Q =2

1212t t t

t +成立. 例4:抛物线中的面积关系.

[始源问题]:(2009年湖北高考试题)过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0),的直线与抛物线相交于M 、N

两点,自M 、N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1、N 1. (Ⅰ)当a=

时,求证:AM 1⊥AN 1; (Ⅱ)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S 2

2=λS 1S 3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

[解析]:(Ⅰ)当a=

2p 时,A(2p ,0),设M(2pm 2,2pm),N(2pn 2,2pn),则M 1(-2p ,2pm),N 1(-2

p ,2pn),由AM ∥AN ?(2pm 2

- 2p ):(2pn 2-2p )=2pm:2pn ?mn=-4

1?1AM ?1AN =p 2+4p 2

mn=0?AM 1⊥AN 1;

第15讲:极点与极线的性质 129

(Ⅱ)由AM ∥AN ?(2pm 2

-a):(2pn 2

-a)=2pm:2pn ?2pmn+a=0;因

||||11NN MM =2

22pn a pm a ++;当MN ⊥/

x 轴时,||||AN AM =|2||2|22pn a a pm --= 2

222pn a a pm --;所以,

||||11NN MM =||||AN AM ?2222pn a pm a ++=2

222pn a a pm --?4p 2m 2n 2=a 2

成立;当MN ⊥x 轴时,显然有||||11NN MM =||||AN AM ;设MN 1与NM 1交于点Q(点Q 即原点O),由MM 1∥NN 1?

||||1QN MQ =||||11NN MM =|

|AN AM ?AQ ∥MM 1∥NN 1;设∠MQM 1=α,则S 1=21|QM||QM 1|sin α,S 3

21|QN||QN 1|sin α;又S △QMN =11N QM S ??S 2=11N QM S ?+(1AQM S ?+1AQN S ?)=11N QM S ?+(S △AQM +S △AQN )=11N QM S ?+S △QMN =2S △QMN ;S 1S 3=2

|QM||QM 1|sin α?

21|QN||QN 1|sin α=21|QM||QN|sin α?21|QM 1||QN 1|sin α=S △QMN 11N QM S ?=4

1S 22?S 2

2=4S 1S 3?存在λ=4,使得对任意的a>0,都有S 2

2=λS 1S 3成立.

[原创问题]:已知抛物线C:y 2=4x,直线l:y=2x+2,过点P(1,1)的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,A 、B 两点在直线l 上的

射影点分别为N 、M,记△PAN 、△PMN 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3. (Ⅰ)当AB ∥直线l 时,求证:P 是AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 2

2=4S 1S 3.

[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),则y 12=4x 1;由P 是AB 的中点?B(2-x 1,2-y 1)?(2-y 1)2=4(2-x 1)?y 1=2x 1+1?点A 在直线y=2x+1

上,同理可得点B 也在直线y=2x+1上?直线AB:y=2x+1?AB ∥直线l;由统一法知,当AB ∥直线l 时, P 是AB 的中点;

(Ⅱ)设直线AB:??

?+=+=θ

θsin 1cos 1t y t x (t 为参数),代入y 2=4x 得:t 2sin 2

θ+2(sin θ-2cos θ)t-3=0?t 1+t 2=2?θθθ2sin sin cos 2-,t 1t 2=-

sin 3;点A(1+t 1cos θ,1+t 1sin θ)到直线l 的距离|AN|=

3sin cos 2|11+-θθt t ,点B(1+t 2cos θ,1+t 2sin θ)到直线l 的距离

|BM|=5

3sin cos 2|22+-θθt t ?

||||BM AN =|

3sin cos 2||

3sin cos 2|2211+-+-θθθθt t t t (由点A 、B 在直线l 的同侧?2t 1cos θ-t 1sin θ+3与t 2cos θ-t 2sin θ+3同号)=3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t ;而||||PB PA =||||21t t (点A 、B 在点P 的异侧)=-2

1t t ;所以,||||BM AN =||||PB PA ?3sin cos 23sin cos 22211

+-+-θθθθt t t t =-

t t ?2(2cos θ-sin θ)t 1t 2+3(t 1+t 2)=0?2(2cos θ-sin θ)(-θ

2sin 3)+3?2?θθθ2sin sin cos 2-=0成立; 以下同例题可证:S 2

2=4S 1S 3.

例5:椭圆中的共线性质.

[始源问题]:(2012年北京高考试题)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).

(Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;

(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线.

[解析]:(Ⅰ)由曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆?m-2>5-m>0?

,5); (Ⅱ)当m=4时,曲线C:x 2

+2y 2

=8?A(0,2),B(0,-2);设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由???=++=8

242

2y x kx y ?(2k 2+1)x 2

+16kx+24=0?△= 32(2k 2

-3)>0?k 2

23;且x 1+x 2=-12162+k k ,x 1x 2=1

2242+k ;又由直线BM:y=112x y +x-2?G(2311+y x ,1),即G(6311+kx x ,1)?k AG =- 1136x kx +=-3k -12x ,k AN =222x y -=222x kx +=k+22x ?k AN -k AG =

34k +12x +2

2x =34k +2?2121x x x

x +=34k +2?2416k -=0?A,G,N 三点共线. 第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点P 与Q 是二次曲线G 的一对共轭点,过点Q 的直线AC 与曲线G 相交于A 、C 两点,AP 与曲线G 相交于另一点B,BQ 与曲线G 相交于另一点D,则P 、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:

130 第15讲:极点与极线的性质

若直线PQ 与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,且PA ?

+PB ?

=0,则称点P 与Q 是圆锥曲线G 的一对共轭点.

[原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)过点D(-1,e),其中,e 是椭圆C 的离心率,椭圆C 的左、右顶点分别为A(-2,

0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点E(4,0)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在一条定直线上.

[解析]:(Ⅰ)由a=2,

1a +

2b e =1?1+

2b c =a 2?b 2

=1?椭圆C:

2x +y 2

=1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=k(x-4),由?

?=+-=44)4(22y x x k y ?(1+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2

-4=0?x 1+x 2=224132k k +,x 1x 2=2241464k k +- ?k 2

)(4322121x x x x +-+,x 1x 2(1+4k 2)=64k 2

-4?x 1x 2?)(8821x x +-=)(8]8)(5[42121x x x x +--+?2x 1x 2=5(x 1+x 2)-8;又由直线AM:y=

11+x y (x

+2),直线BN:y=

222-x y (x-2)?直线AM 与BN 的交点P 的横坐标x 满足:211+x y (x+2)=222-x y (x-2)?2

)

4(11+-x x k (x+2)= 2)4(22--x x k (x-2)?x=83262122121----x x x x x x =8

3268)(5122

121-----+x x x x x x =1?点P 在一条定直线x=1上.

例6:椭圆中的中点性质.

[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆252x +9

y =1的两条切

线PM 、PN,切点分别为M 、N.

(Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q; (Ⅱ)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段MN.

[解析]:(Ⅰ)设P(7t+7,5t-5),则直线MN 的方程为:25

77+t x+955-t y=1?(

257x+95y)t+(257x-95y-1)=0,由257x+9

5y=0,且

257x-95y-1=0?x=1425,y=-109?直线MN 恒过定点Q(1425,-10

); (Ⅱ)MN ∥l ?2577+t :955-t =5:(-7)?t=53392?直线MN 的方程为:5x-7y-35533=0,代入椭圆方程252

x +92y =1得:2

75332?x 2 -2

53325?x+25[(

5533?)2

-9]=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=

?定点Q 平分线段MN. [原创问题]:过点Q(1,1)作己知直线l:3x+4y=12的平行线交椭圆C:4

x +

y =1于点M 、N. (Ⅰ)分别过点M 、N 作椭圆C 的切线l 1、l 2.证明:三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点Q 是线段MN 的中点;

(Ⅲ)设P 为直线l 上一动点,过点P 作椭圆C 的切线PA 、PB,切点分别为A 、B,证明:点Q 在直线AB 上.

[解析]:(Ⅰ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),切线l 1、l 2交于点P(x 0,y 0),由切线l 1:

41x x+31y y=1,切线l 2:42x x+3

y=1均过点P(x 0, y 0)?

41x x 0+31y y 0=1,42x x 0+32y

y 0=1?直线MN:40x x+30y y=1;又由直线MN 过点Q(1,1)?40x +3

0y =1?3x 0+4y 0=12?点P 在直线l 上?三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线MN ∥直线l ?

40x :30y =41:31,又40x +30y =1?x 0=y 0=7

?直线MN:3x+4y=7?点Q 是线段MN 的中点; (Ⅲ)设P(x 0,y 0),则直线AB:3x 0x+4y 0y=12?3x 0x+(12-3x 0)y=12?点Q 在直线AB 上.

第15讲:极点与极线的性质 131

例7:椭圆中的比例性质.

[始源问题]:(2011年山东高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:3

x +y 2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原

点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线x=-3于点D(-3,m). (Ⅰ)求m 2

+k 2

的最小值; D y (Ⅱ)若|OG|2=|OD||OE|. G A (i)求证:直线l 过定点; E

(ii)试问点B,G 能否关于x 轴对称？若能,求出 -3 O x 此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.

[解析]:(Ⅰ)设E(-3λ,m λ),A(-3λ+t,m λ+kt),

则B(-3λ-t,m λ-kt).由点A 、B 都在椭圆C 上??????=-+--=+++-3

)(3)3(3)(3)3(2

222kt m t kt m t λλλλ,两式相减得mk=1?m 2+k 2

≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立,所以m 2

+k 2

的最小值=2.

(Ⅱ)(i)设直线OG 与椭圆C 相交于另一点T,则由椭圆C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2

=|OD||OE|?DT EG ?+

DG ET ?=0,由轨迹1知,点E 在直线-x+my=1上,即直线l 的方程为:-x+my=1?直线l 过定点(-1,0);

(ii)若点B,G 关于x 轴对称?点G(-3λ-t,-m λ+kt),由点G 在直线OE 上?(-3λ-t):(-3λ)=(-m λ+kt):m λ?6m λ+mt =3kt(注意到mk=1)?m 2

(6λ+t)=3t ?t=

236m

m -λ,又由点E 在直线l 上?3λ+m 2

λ=1?λ=2

31m +?B(-

33m -,-

3m m -)?

31(233m -)2

+(23m

m -)2=1?m=1,k=1,λ=41,t=43?A(0,1),B(-23,-21),G(-23,21)?△ABG 的外接圆方程:(x+21)2+y 2=45. [原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)内一点P(2,1),射线OP 与椭圆C 交于点N,与直线l 0:x+y-12=0交于点M,满

足|OP||OM|=|ON|2

,且椭圆C 在N 处的切线平行于直线l 0. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点(A 在P 与Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.

[解析]:(Ⅰ)由射线OP:y=2

1x(x ≥0),直线l 0:x+y-12=0?M(8,4);设N(2t,t)(t>0),由|OP||OM|=|ON|2?

5?80=4t

+t 2

?t=2?N(4,2)?

16a

=1,椭圆C 在N 处的切线:

x +

y =1;由切线平行于直线l 0?

?a 2=2b 2?b 2=12,a

=24?椭圆C:242x +12

2y =1;

(Ⅱ)设直线l:??

?+=+=θ

θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2

+4(sin θ+cos θ)t-18=0?t 1+t 2=-

θθθ22cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θ

θ22cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0?t Q =

θcos sin 9

+;而|QA||PB|=|QB||PA|?

(t Q -t 1)(-t 2)=(t Q -t 2)t 1?(t 1+t 2)t Q -2t 1t 2=0?-θ

θθθ2

cos sin 2)cos (sin 4++?

θθcos sin 9+-2(-θ

θ22cos sin 218

+)=0成立. [原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)内一点P(2,1),过点P 且平行于x 轴直线被椭圆C 截得的弦长为46,过点

P 且平行于y 轴直线被椭圆C 截得的弦长为210. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0:x+y-12=0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点,若QA =λAP ,QB =μBP .求证:λ+

132 第15讲:极点与极线的性质

μ为定值.

[解析]:(Ⅰ)由

y a

x +=1,令y=1得:|x|=

12-b ;令x=2得:|y|=

b 42-a ;由题知,

a 12-

b =26,

b 42-a =

10?a 2

12422

-b b ,22

a b (a 2

-4)=10?2412-b (1

2422-b b -4)=10?b 2=12?a 2

=24?椭圆C:242x +122y =1;

(Ⅱ)设直线l:??

?+=+=θ

θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2

+4(sin θ+cos θ)t-18=0?t 1+t 2=-

θθθ2

cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θ

θ2

cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0?t Q =

θcos sin 9

+;由QA =λAP ,QB =μBP

?λ=

1t t t Q -,μ=

2t t t Q -?λ+μ=2-t Q ?

1t t t t +=2-θθcos sin 9+?9)cos (sin 2θθ+=0.

例8:椭圆中的共线性质.

[始源问题]:(2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形, R

以AB 为直径的⊙K 分别交AC 、BC 于P 、Q,分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交 C 于点R,分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S.证明:点C 在线段RS 上. P Q S

[解析]:设⊙K:x 2+y 2=r 2,R(-r,a),S(r,b)?点R,S 对应的极线分别为:AQ:

-rx+ay=r 2

,BP:rx+by=r 2

?Q(

222)(r a r r a +-,

222r a ar +),P(-

222)(r b r r b +-,

222r b br +) A K B

?AP:y=r b (x+r),BQ:y=-r a (x-r),由???????

+=--=)()(r x r b y r x r a y ????

???+=+-=b a ab y r b a b a x 2?C(

b a b a +-r,b a ab +2) ?点C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2,由三线:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2

共点于(

a b

a +-r, b

a r +2

2)?R,C,S 三点共线?点C 在线段RS 上. 该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:

[原创问题]:若对任意θ∈[0,2π),直线l:xcos θ+2ysin θ-2=0与椭圆C:

2b y a x +=1(a>b>0)均只有一个交点M.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当θ∈(0,

)时,若直线l 与x 轴交于点N,椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B,直线BM 上的点Q 满足QA ⊥x 轴,直线AM 与NQ 交于点P,求点P 的轨迹方程.

[解析]:(Ⅰ)由??

?=-+=-+0

02sin 2cos 2

22222b a y a x b y x θθ?(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)y 2-8b 2ysin θ+4b 2-a 2b 2cos 2θ=0?△=64b 4sin 2θ-4(a 2cos 2

θ +4b 2

sin 2

θ)(4b 2

-a 2b 2

cos 2

θ)=0?a 2

-4+(4b 2

-a 2

)sin 2

θ=0恒成立?a 2

-4=0,4b 2

-a 2

=0?a 2

=4,b 2

=1?椭圆C:4

2x +y 2

=1; (Ⅱ)由xcos θ+2ysin θ-2=0?N(

cos 2

,0);(Ⅰ)知,M(2cos θ,sin θ)?直线AM:y=2cos 2sin +θθ(x+2),BM:y=2cos 2sin -θθ(x-2)

?Q(-2,

θθcos 1sin 2-)?直线NQ:y=-cot θ(x-θcos 2);令2cos 2sin +θθ(x+2)=-cot θ(x-θcos 2)?(2cos 2sin +θθ+θθcos sin )x=θsin 2

-1

cos sin +θθ

?x=2?点P 的轨迹方程x=2(0

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02 +bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0? ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点. [比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b 2 00y x x y ++

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义.

系统稳定性意义以及稳定性的几种定义一、引言：研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。（2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。）（3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012 x y < +<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上．问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?．注：要证明的结论等价于 FQ PF EQ PE =，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ，则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆．因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ，因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ，因此O ，M ，B ，D 四点共圆．因此 ∠OMD ＝∠OBD ，又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此点M 为弦EF 的中点．证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆．因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ）因此 EM ＝FM ，下略．证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ）从而得证．证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点极线

2.2.2 极点与极线，配极原则（一）作图原理定理（配极原则）如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线也通过P 点。证明：这二阶曲线的方程为0=S ，P 点的坐标为)(3,2,1p p p ，Q 点的坐标为),,(321q q q ，于是，P 点关于0=S 的极线为0=p S ，Q 点关于0=S 的极线为0=q S ，因P 点的极线通过Q 点，所以有0=pq S ，但qp pq S S =。所以有0=qp S ，这表示Q 点的极线0=q S 通过P 点。推论1 两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线。推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。推论3 设PB PA ,为二次曲线的切线，若其中B A ,为切点，则AB 为P 点的极线. 定义3.3 如果一个三点形的三个顶点恰是对边的极点，则此三点形叫做自极三点形。（二）作图举例例1 、一个完全四点形的四哥顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。证明：如下图10，设X Y Z 是完全四点形ABCD 的对边三点形，于是1),(,1),(-=-=XF AD XE BC ，所以F E ,均为关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF 即直线YZ 是X 的极线。同理，XY 是Z 的极线，由配极原则知，XZ 是Y 的极线

例2、已知点P 不在二阶曲线)(c 上，求作P 点关于)(c 的极线。解：过P 点作)(c 的两条割线，与)(c 分别交于B A ，与D C ，，如下图所示，设AC 与BD 交于点Q ，AD 与BC 交于点R ，则直线QR 就是P 点的极线。事实上，由例1可知PQR 是自极三点形

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上．问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?．注：要证明的结论等价于FQ PF EQ PE = ，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ，则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆．因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ，因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ，因此O ，M ，B ，D 四点共圆．因此 ∠OMD ＝∠OBD ，又 BOD FMD ∠= ∠2 1，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此点M 为弦EF 的中点．证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝PA ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆．因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ）因此 EM ＝FM ，下略．证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ? = ? ∠∠= = ??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE =，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠= ?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ）从而得证．证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点及系统稳定性

极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析： ⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开： 1n a s -+++

系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为 …… 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。 F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是?(s)的分母，即?(s)的特征多项式，其零点是?(s)的极点。取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。 s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数 1212()n s t s t s t n y t C e C e C e =+++0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→?? ===??>→∞? →∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαω?αα+-=±=+? →∞（2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

Γ在P点处的切线； (2)当P在Γ外时，过点P作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)； (3) 当P在Γ内时，过点P任作一割线交Γ于,A B，设Γ在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹. 定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B，交l于Q，则PA PB AQ BQ =①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点 P与Q关于Γ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线. 推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q，则有 211 PQ PA PB =+②；反之，若有②成立，则点P与Q关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211 PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有图2 B

判断系统稳定性

摘要现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。

一、设计原理 1.设计要求（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性；

二阶系统性能改善与稳定性

例1 系统结构图如图所示。求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。计算过程及结果列表 K 计算 10 0.5 0.09 开环传递函数 )1 ( 10 ) ( 1+ = s s s G )1 ( 5.0 ) ( 2+ = s s s G )1 ( 09 .0 ) ( 3+ = s s s G 闭环传递函数10 10 ) ( 2 1+ + = Φ s s s 5.0 5.0 ) ( 2 2+ + = Φ s s s 09 .0 09 .0 ) ( 2 3+ + = Φ s s s 特征参数 ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 81 arccos 158 .0 16 .3 2 1 16 .3 10 ξ β ξ ω n ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? = = = 45 arccos 707 .0 707 .0 2 1 707 .0 5.0 ξ β ξ ω n ?? ? ? ? = ? = = = 67 .1 3.0 2 1 3.0 09 .0 ξ ω n 特征根 12 .3 5.0 2,1 j ± - = λ5.0 5.0 2,1 j ± - = λ ? ? ? - = - = 9.0 1.0 2 1 λ λ ? ? ? = = 11 .1 10 2 1 T T 动态性能指标 2 2 1 00 00 1.01 1 60.4 3.5 3.5 7 0.5 p n s n t e t ξπξ π ξω σ ξω -- ? == ? - ? ? == ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = - = - - 7 5.3 5 238 .6 1 1 2 2 n s n p t e t ξω σ ω ξ π ξ ξπ() 1221 11 9 31 ,0 s s p T T t t T T t λλ σ ?== ? =?= ? ?=∞= ?

信号与系统_——零极点及稳定性响应

实验七、系统极零点及其稳定性三、已知下列传递函数H(s)或H(z)，求其极零点，并画出极零图。 1. b=[3 -9 6]; a=[1 3 2]; zplane(b,a) 2. b=[1]; a=[1 0]; zplane(b,a)

3. b=[1 0 1]; a=[1 2 5]; zplane(b,a)

4. b=[1.8 1.2 1.2 3]; a=[1 3 2 1]; zplane(b,a) 五、求出系统的极零点，判断系统的稳定性。 5、先求出分子分母多项式系数 >> syms s >> zs=100*s*(s+2)^2*(s^2+3*s+2)^2; >> expand(zs) ans = 100*s^7+1000*s^6+4100*s^5+8800*s^4+10400*s^3+6400*s^2+1600*s >> syms s >> ps=(s+1)*(s-1)*(s^3+3*s^2+5*s+2)*((s^2+1)^2+3)^2; >> expand(ps) ans = -32-80*s-48*s^2+8*s^4-16*s^3+28*s^6+20*s^5+44*s^7+30*s^8+s^13+8*s^11+23*s^9+3*s^12 +11*s^10 再求出极零点 b=[100 1000 4100 8800 10400 6400 1600 0]; a=[1 3 8 11 23 30 44 28 20 8 -16 -48 -80 -32];

[z,p]=tf2zp(b,a) 求解结果： z = -2.0005 + 0.0005i -2.0005 - 0.0005i -1.9995 + 0.0005i -1.9995 - 0.0005i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p = 1.0000 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i -1.2267 + 1.4677i -1.2267 - 1.4677i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -1.0000 -0.5466 极点不是都在左半平面，因此系统不稳定。 6、clear all; clc; num=conv([1 -1.414 1],[1 1]); den=conv([1 0.9 0.81],[1 -0.3]); [z,p]=tf2zp(num,den) zplane(z,p); z = -1.0000 0.7070 + 0.7072i 0.7070 - 0.7072i

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

极点与极线背景下的高考试题王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于 ,A B ，交l 于Q ，则 PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =? ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 图1 图2

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线的定义 1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点 M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22 :220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线 0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线2 2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l 的方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点图1

实验二：系统稳定性和稳态性能分析

实验二：系统稳定性和稳态性能分析主要内容：自动控制系统稳定性和稳态性能分析上机实验目的与要求：熟悉 MATLAB 软件对系统稳定性分析的基本命令语句熟悉 MATLAB 软件对系统误差分析的 Simuink 仿真通过编程或 Simuink 仿真完成系统稳定性和稳态性能分析一实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。二实验任务 1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用 MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。（2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)k s G s s s s s +=+++，当取k =1，10，100用MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性。只要将（1）代码中的k 值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k 变化对系统稳定性的影响。 2、稳态误差分析（1）已知如图所示的控制系统。其中2(5)()(10) s G s s s +=+，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。从 Simulink 图形库浏览器中拖曳Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如右上图所示：（2）若将系统变为I 型系统，5()(10) G s s s =+，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信

滤波器稳定性与极点

在数字信号处理中，系统的稳定性是一个很重要的问题，比如说在滤波器的设计中，都要求系统必须稳定，否则是无法使用的。那么，如何判断系统是否稳定呢？从定义上说，如果输入有界，则输出必定有界的系统是稳定的。从数学上可以推导出，因果系统冲击响应Z变换的收敛域包含单位圆的系统是稳定的。从零点极点的角度，则是系统函数的所有极点都在单位圆内的系统是稳定的。如何来理解呢？我们先以一个简单的单极点系统为例来理解系统的稳定性。比如有一个单极点系统： H(z)=1/(1-2z-1) 表示的是如下的如下的信号处理过程：系统当前输出是当前的输入加上2倍的系统上一时刻输出之和。这个系统是不稳定的，因为当前输出需要放大上一个时刻的输出，这也就是说，系统存在的自激的过程，直观上我们就可以很好地理解，自激系统是不稳定的。从分析极点的角度看，这个系统的极点为2，在单位圆外，与数学上的分析是一致的。极点在单位圆内的要求，对一阶极点而言，实际上也就是直观上要求系统不能自激。对于高阶极点的情况，由代数学可知，高阶极点可进行分式的分解，也即是高阶极点可以分解成多个一阶极点并联而成的系统，在并联系统中，只要有一个系统不稳定，整个系统就是不稳定的。这与数学上要求的所有极点都在单位圆内是对应的。对于更一般的既包含零点又包含极点的系统，可以看成一个全零点系统和全极点系统串接而成，零点与系统的稳定性无关，分析和结论与高阶全极点系统完全一致。在滤波器的设计中，可以很方便地通过调整极点改变滤波器的特性。而在许多设计精巧的滤波器中，极点往往在单位圆上或单位圆附近，在实际中还要考虑量化及数的精度等问题，确保系统的稳定性。

高等几何第五章

第五章二次曲线的仿射性质如果将仿射变换 (5.0.1) 111112213 221122223 ''x a x a x a x a x a x a =++?? =++? 1112 2122 0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设 '' 1212''3333 ',',,x x x x x y x y x x x x ====，于是(5.0.1)化为 '112 111213' 333 '212212223'3 33x x x a a a x x x x x x a a a x x x ?=++????=++?? 设' 33x x ρ=，上式变为 (5.0.2) 1111122133 221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++?? =++?≠≠??=? 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。 §1 二次曲线的仿射性质 1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置设二次曲线的方程为 (5.1.1) 3 ,,1 0,()ij i j ij ji i j S a x x a a == ==∑ 现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得 (5.1.3) 1211 x x = 因此

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图,过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q .求证:动点Q 在一条定直线上. 问题1 如图,过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q ,直线PQ 交⊙O 于点E 、F ,点M 为弦EF 得中点.求证:PM PQ PF PE ?=?. 注:要证明得结论等价于 FQ PF EQ PE =,即“内分比＝外分比”,也即点P ,E ,Q ,F 构成调与分割。证法一:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF , 则A ,Q ,M ,B 四点共圆,Q ,C ,D ,M 四点共圆. 因此 ∠BMF ＝∠BAD ,∠DMF ＝∠DCB , 因此 ∠BMF ＝∠FMD ,从而∠BOD ＝∠BMD , 因此O ,M ,B ,D 四点共圆. 因此 ∠OMD ＝∠OBD , 又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ,OB ＝OD ,因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF (另法:将∠OMF 视为圆周角,则其所对得弧由两部分组成一个半圆) 因此点M 为弦EF 得中点. 证法二:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ,延长DM 交⊙O 于点N .连结OM ,BM ,BN ,EN .

由于 C ,Q ,M ,D 四点共圆,Q ,A ,B ,M 四点共圆. 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ,∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF (AAS ) 因此 EM ＝FM ,下略. 证法三:这题可以用“面积正弦法”解决,您可以随便找三角形来构成正弦比 . QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ,这可以由下面得推导得到: DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin (由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ) 从而得证. 证法四:设直线PQ 为 x 轴,直线AB ,CD ,AD ,BC 方程为 0),(1=y x f ,0),(2=y x f ,0),(3=y x f ,0),(4=y x f ;P (p ,0),Q (q ,0),E (e ,0),F (f ,0)、