高等数学第二章习题

第一节 数列的极限

一、观察下列数列{}n x 的变化趋势，判断是否有极限？若有极限，写出其极限

1、21

21

=-1n n

n n x -+（） 2、(1)2

n

n x -=

3、ln n x n =

4、1

1(1)n

n x n

=+- 二、利用数列极限的定义证明: 1、313

lim 212

n n n →∞+=+；

2、lim0.999....91n →∞

=

三、设数列{}n x 满足lim n x a n

→∞

=， 证明：lim n n x a →∞

=

一、填空题

2124___0240.001.

x y x x y δδ→=→<-<-<、当时，，问当取时，只要，必有

2121______10.01.

23

x x y z x z y x -→∞=→>-<+、当时，，问当取时，只要，必有 二、用函数极限的定义证明：

122141lim 2 2lim 021x x x x →--==+、、

0:().

f x x x →三、试证函数当时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在 并且相等

()0?x x x x

φ=→四、讨论：函数在时的极限是否存在

一、填空题

323

1lim __________.3x x x →-=-、

1

2__________.x →=、 2111

3lim(1)(2)__________.x x x x

→∞+-+=、

3(1)(2)(3)

4lim __________.5n n n n n

→∞+++=、 201

5lim sin __________.x x x

→=、

cos 6lim __________.x x x x

e e -→+∞=+、

4220427lim __________.32x x x x

x x →-+=+、

2030

50

(23)(32)8lim __________.(21)x x x x →∞-+=+、

二、求下列各极限

111

1lim(1...)242

n n →∞++++、 220()2lim

h x h x h →+-、

3113

3lim()11x x x →---、 4lim x 、

第四节 无穷大、无穷小

一、填空题

1、凡无穷小量皆以________为极限

2lim ()()______,(lim 0)x x x x f x A f x A αα→→==+=、是条件其中

3,(),______.f x 、在同一过程中若是无穷大则是无穷小

4、当0x →时，无穷小1cos x -与n mx

等价，则 ____,____.m n =

412:0,,, 10.

x

x y x x y +→=>二、根据定义证明当时函数是无穷大问应满足什么条件能使

+11

sin (0,1],0,.y x x x

=→三、证明函数在区间上无界但当时这个函数不是无穷大

四、320,12x x x x →---证明：当时与3是同阶无穷小

第五节 极限的存在准则

一、填空题

0sin 1lim

_________x x x ω→=、 0sin 22lim __________sin 3x x

x

→=、

0cot 3lim __________x x

x

→=、 04lim cot 3__________x x x →?=、

sin 5lim __________2x x

x

→∞=、 1

06lim(1)_________x x x →+=、

217lim()_________x x x x →∞+=、 1

8lim(1)_________x x x

→∞-=、

二、求下列各极限

01cos 21lim

sin x x x x →-、 tan 24

2lim(tan )x

x x π→

、

3lim()x

x x a x a →∞+-、 4lim(

)1

n n n →∞+、

的极限存在，并求出该极限 .

第六节：连续函数及其性质

一、填空题 1、指出21232

x y x x -=

-+ 在1x =是第_______类间断点；在2x =是第_____类间断点 .

2、指出22(1)

x x

x x --在0x =是第________类间断点；在1x =是第______类间断点；在

1x =-是第_____类间断点

3、6

lim ln(2cos 2)x x π

→

=________. 4

、1

lim

x x =→________. 二、讨论函数 21()lim 21n n

x f x n x

→∞-=+的连续性，若有间断点，判断其类型 .

三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续 .

1、1,1

()3,1x x f x x x -≤?=?->?

在x R ∈上

2、()tan x

f x x

=在x R ∈上

四、设2, 0()1, 02

ln(), 0a x x f x x b x x x ?+

?==??++>??

已知()f x 在0x =处连续，试确 定a 和b 的值.

五、设0,0,a b >>证明方程sin x a x b =+，至少有一个不超过a b +正根

六、若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<< 则1[,]n x x 上必有 ξ，

使 12()()......()

()n f x f x f x f n

ξ+++=

复习题二

一、选择题： 1、函数2

()1x

f x x

=

+在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界；

(C)有界，且 121()2

f x ≤≤

； (D)有界，且 2

221x

x -≤≤+ .

2、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ） （A ）2

x ； （B ）1cos x -； （C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +

3、设00,0,a b ≠则当（ ）时有1010

1010 (i)

.........m m m n n x n

a x a x a a

b x b x b b --→∞+++=+++ (A)m n > ； (B)m n = ； (C)m n < ； (D),m n 任意取 4、设1, 10

(), 01

x x f x x x --<≤?=?

<≤?则0

lim ()x f x →=( )

(A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 5、0

lim

x x

x

→=（ ） (A)1； (B)-1； (C)0； (D)不存在. 二、求极限：

1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2

、32

lim 3

x x →- ；

3、20

lim(1)x

x x →+ ； 4、1lim (1)x

x x e →∞

-

5、当0x ≠时，lim cos

cos ........cos 242

n n x x x

→∞

；

6

、21sin

lim x x

三、设有函数sin , 1

()(1)1, 1

ax x f x a x x

四、讨论函数1

arctan

1()sin

2

x x f x x

π

-=

的连续性，并判断其间断点的类型 .

五、证明奇次多项式：21

20121()n n n P x a x a x a ++=+++ 0(0)a ≠至少存在一个实根 .

六、若()f x 在[0,2]a 上连续，(0)(2)f f a =，证明在[0,]a 上至少存在一点ξ，使

()()f f a ξξ=+