全等三角形判定四种方法学习总结

三角形全等

一．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”（SSS ）

图2－1 图2－2 图2－3 1．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．

分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______

证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______

在△______和△______中，

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??===),

______(____________,),(PM RQ RP 已知

∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．

2．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．

分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______．

在△ABC 和△DEF 中，

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??===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．

3．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ．

证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，

∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），

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??===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）．

练习

4．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .

如图2－4

5．“三月三，放风筝”．图2－5是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．

图2－5

二．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”(SAS)

图3－1 图3－2

1．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ． 求证：∠D ＝∠B ．

分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，

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??=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO

∴ △AOD ≌△______ （ ）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．

2．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ． 分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，

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______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．

练习

4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ． 求证：∠B ＝∠C ．

图3－3

5．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．

求证：∠B＝∠C．

图3－4

6．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：BC＝DE．

图3－5

7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

图3－6

三．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”(ASA)，判定方法4——“角角边”(AAS)

图4－1

2．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ． 分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证P A ＝______， 只要证______≌______．

证明：在△______与△______中，

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??∠=∠=∠=∠),

______(______),______(______),

______(______

∴ △______≌△______ （ ）． ∴P A ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），

∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．

3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ． 分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______． 在△______与△______中，

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??==∠∠=∠),

______(______),______(),

______(C AOC

∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．

图4－2

练习

4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E

5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）

图4－3

A ．甲和乙

B ．乙和丙

C ．只有乙

D ．只有丙

6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（ ） A ．DE ＝DF B ．AE ＝AF C ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：△AOD ≌△COB ．

证明：在△AOD 和△COB 中，

图4－4

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??∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A

∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：AD＝AC．

图4－5

9．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

图4－6

10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE ＝4．求BM、CF的长．

11．填空题

（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．

（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以

添加条件______，证明全等的理由是______．

图4－7 图4－8

12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11